Tại thời điểm ban đầu vật cách vị trí cân bằng một khoảng 4cm, có vận tốc bằng 0 và có xu hướng chuyển động theo chiều âm của trục tọa độ.. Phương trình dao động làA[r]
Trang 1Buicongthang.tk
Chuyên đề :VIẾT PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG
I –Kiến thức cần nhớ :
– Phương trình chuẩn: x = Acos(t +φ) ; v = –Asin(t + φ) ; a = – 2Acos(t + φ)
– Công thức lượng giác : sinα = cos(α – π/2) ; – cosα = cos(α + π) ;
– Công thức : = 2
T
= 2πf
–Hệ thức độc lập đối với thời gian :
+Giữa tọa độ và vận tốc:
A A
2 2 2
v
2 2 2
v
+Giữa gia tốc và vận tốc:
2 2 4 2
1
2
2
2
a2 4 A2 2 v 2
II –Phương pháp: Viết phương trình dao động điều hòa –Xác định các đặc trưng của một DĐĐH.
* Chọn hệ quy chiếu : - Trục Ox ……… - Gốc tọa độ tại VTCB
- Chiều dương ……… - Gốc thời gian ………
* Phương trình dao động có dạng: x =Acos(t + φ) cm
* Phương trình vận tốc : v = -Asin(t + φ) cm/s
* Phương trình gia tốc : a= -2Acos(t + φ) cm/s2
a – Tìm
* Đề cho : T, f, k, m, g, l0 - = 2πf =2
T
, với T = t
N
, N – Tổng số dao động trong thời gian Δt
Nếu là con lắc lò xo :
= k
m, (k : N/m ; m : kg) = 0
g l
, khi cho l0 =mg
k = 2
g
Đề cho x, v, a, A
- == 2v 2
A x = a
x =
max
a
A =
max
v A
b – Tìm A
Trang 2Buicongthang.tk
* Đề cho : cho x ứng với v A = x2 ( ) v 2
- Nếu v = 0 (buông nhẹ) A = x
- Nếu v = vmax x = 0 A = vmax
* Đề cho : amax A = max
2
a
* Đề cho : chiều dài quĩ đạo CD A = CD
2 .
* Đề cho : lực Fmax = kA A = Fmax
k * Đề cho : lmax và lmin của lò xo A =
max min
2
* Đề cho : W hoặc Wdmax hoặc Wtmax A = 2W
k .Với W = Wđmax = Wtmax =
2
1kA
* Đề cho : lCB,lmax hoặc lCB, lmim A = lmax – lCB hoặc A = lCB – lmin.
c - Tìm (thường lấy – π < φ ≤ π) : Dựa vào điều kiện ban đầu : Nếu t = 0 :
* Nếu t = 0 :
- x = x0 , v = v0 0
0
x A cos
v A sin
0
0
x cos
A v sin
A
φ = ?
- v = v0 ; a = a0
2 0
0
a A cos
v A sin
0
v
- x0 =0, v =v0 (vật qua VTCB)
0
0 A cos
v A sin
cos 0
v
sin
0
2 v
- x =x0, v =0 (vật qua VT biên ) x0 A cos
0 A sin
0
x
cos sin 0
o
0;
A /x /
* Nếu t = t1 : 1 1
x A cos( t )
v A sin( t )
2
a A cos( t )
v A sin( t )
Lưu ý :– Vật đi theo chiều dương thì v > 0 sinφ < 0; đi theo chiều âm thì v < 0 sin > 0
– Trước khi tính φ cần xác định rõ φ thuộc góc phần tư thứ mấy của đường tròn lượng giác
*Lưu ý :– Vật theo chiều dương thì v > 0 sinφ < 0; đi theo chiều âm thì v < 0 sin > 0
– Trước khi tính φ cần xđ φ thuộc góc phần tư thứ mấy của đường tròn lượng giác
sinx =cos(x –
2
) ; – cosx = cos(x + π) ; cosx = sin(x +
2
)
*Các trường hợp đặc biệt : Chọn gốc thời gian t = 0: x 0 = ? v 0 = ?
Trang 3Buicongthang.tk
Vị trí vật lúc
t = 0 : x 0 =?
CĐ theo chiều trục tọa độ; dấu của v 0 ?
Pha ban đầu φ?
Vị trí vật lúc
t = 0 : x 0 =?
CĐ theo chiều trục tọa độ; dấu của v 0 ?
Pha ban đầu φ?
VTCB x0 = 0 Chiều dương: v0 > 0 φ =– π/2
x0 = A 2
2
Chiều dương: v0 > 0
φ = – 4
VTCB x0 = 0 Chiều âm :v0 < 0 φ = π/2
x0 = –A 2
2
Chiều dương:v0 > 0
φ = – 3 4
biên dương x0 =A v0 = 0 φ = 0
x0 = A 2 2
Chiều âm : v0 < 0
φ = 4
biên âm x0 = -A v0 = 0 φ = π
x0 = –A 2
2
Chiều âm :v0 > 0
φ =3 4
x0 = A
2
Chiều dương: v0 > 0
φ = – 3
x0 = A 3 2
Chiều dương: v0 > 0
φ = – 6
x0 = –A
2
Chiều dương:v0 > 0
φ = – 2 3
x0 = –A 3
2
Chiều dương:v0 > 0
φ = – 5 6
x0 = A
2
Chiều âm : v0 < 0
φ = 3
x0 = A 3 2
Chiều âm : v0 < 0
φ = 6
x0 = –A
2
Chiều âm :v0 > 0
φ = 2 3
x0 = –A 3
2
Chiều âm :v0 > 0
φ =5 6
Vòng tròn lượng giác
Trang 4Buicongthang.tk
d.Các ví dụ:
1 Một vật dao động điều hòa với biên độ A =4cm và T = 2s Chọn gốc thời gian là lúc vật qua VTCB theo chiều dương của
quỹ đạo Phương trình dao động của vật là :
A x = 4cos(2πt- π/2)cm B x = 4cos(πt- π/2)cm.C x = 4cos(2πt + π/2)cm D x = 4cos(πt + π/2)cm
HD : = 2πf = π và A = 4cm loại B và D.
t =0 : x0 = 0, v0 > 0 :
0
0 cos
v A sin 0
sin 0
chọn φ = - π/2 x = 4cos(2πt - π/2)cm Chọn : A
2 Một vật dao động điều hòa trên đoạn thẳng dài 4cm với f = 10Hz Lúc t = 0 vật qua VTCB theo chiều dương của quỹ đạo.
Phương trình dao động của vật là :
A x = 2cos(20πt +π/2)cm B.x = 2cos(20πt- π/2)cm C x = 4cos(20t -π/2)cm D x = 4cos(20πt + π/2)cm
HD : = 2πf = π và A = MN /2 = 2cm loại C và D
t = 0 : x0 = 0, v0 > 0 :
0
0 cos
v A sin 0
sin 0
chọn φ = - π/2 x =2cos(20πt- π/2)cm Chọn : B
3 Một lò xo đầu trên cố định, đầu dưới treo vật m Vật dao động theo phương thẳng đứng với tần số góc
= 10π(rad/s) Trong quá trình dao động độ dài lò xo thay đổi từ 18cm đến 22cm Chọn gố tọa độ tại VTCB chiều dương hướng xuống, gốc thời gian lúc lò xo có độ dài nhỏ nhất Phương trình dao động của vật là :
A x = 2cos(10πt + π)cm B x = 4cos(0,4πt)cm C x = 4cos(10πt- π)cm D x = 4cos(10πt + π)cm
HD : = 10π(rad/s) và A =lmax lmin
2
= 2cm
t = 0 : x0 =2cm, v0 = 0 : 2 2cos
0 sin
cos 0
0 ;
chọn φ = π x = 2cos(10πt + π)cm Chọn : A
4 Một chất điểm dđ đh dọc theo trục ox quanh VTCB với biên độ 2cm chu kỳ 2s Hãy lậ phương trình dao động nếu chọn
mốc thời gian t0=0 lúc
a Vật đi qua VTCB theo chiều dương
Góc
Hs lượng gíác
00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 3600 0
6
4
3
2
3
2
4
3
6
sin 0
2
1
2
2 2
3 1
2
3
2
2
2
cos 1
2
3 2
2
2
2
1
2
2
2
3
-1 1
3
3 1 3 kxñ 3 -1
3
3
cotg kxđ 3 1
3
3 0
3 3
-1 3 kxđ kxđ
Trang 5Buicongthang.tk
B.Vật đi qua VTCB theo chiều âm
c Vật ở biên dương
d Vật ở biên âm
T
2
rad/s
a t0= 0 thì
0 sin
cos 0
0
0
A v
A
x
0 sin
0 cos
ta có phương trình x=2cos(.t)
b t0= 0 thì
0 sin
cos 0
0
0
A v
A
x
0 sin
0 cos
ta có x=2.cos(.t)
0 sin
cos 0
0
A v
A A
x
; d 0
0
cos sin 0
5 Một chất điểm dao động điều hoà dọc theo trục Õ quanh VTCB O với biên độ 4 cm, tần số f=2 Hz hãy lập phương trình
dao động nếu chọn mốc thời gian t0=0 lúc
a chất điểm đi qua li độ x0=2 cm theo chiều dương
b chất điểm đi qua li độ x0=-2 cm theo chiều âm
a t0=0 thì
3 0
sin 4.
4
cos 4 2 0
v
x
=> x=4cos(4 )
3
t cm
b t0=0 thì
3
.2 0
sin 4.
4
cos 4 2 0
v
x
6 Một chất điểm d đ đ hdọc theo trục Ox quanh vị trí cân bằng O với 10rad / s
a Lập phương trình dao động nếu chọn mốc thời gian t0=0 lúc chất điểm đi qua li độ x0=-4 cm theo chiều âm với vận tốc 40cm/s
b Tìm vận tốc cực đại của vật
Giải: a t0=0 thì
A
A A
v
A
x
4 sin
4 cos 0 sin.
.10 40
cos 4
0
0
b vmax=.A10.4. 2 40. 2
Trang 6Buicongthang.tk
III–VIÊT PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA DÙNG SỐ PHỨC (NHỜ MÁY TÍNH fX 570MS; 570ES; 570ES Plus)
1- Cơ sở lý thuyết:
(0) (0)
0
(0) (0)
cos cos
cos( )
t
v
Vậy
(0) 0
(0)
a x
b
2- Phương pháp giải SỐ PHỨC:
Biết lúc t = 0 có:
(0)
(0) (0)
a x
A
v
v
3.- Chọn chế độ thực hiện phép tính về số phức của máy tính: CASIO fx–570ES, 570ES Plus
Chỉ định dạng nhập / xuất toán Bấm: SHIFT MODE 1 Màn hình xuất hiện Math.
Thực hiện phép tính về số phức Bấm: MODE 2 Màn hình xuất hiện CMPLX
Hiển thị dạng toạ độ cực: r Bấm: SHIFT MODE 3 2 Hiển thị số phức dạng r
Hiển thị dạng đề các: a + ib Bấm: SHIFT MODE 3 1 Hiển thị số phức dạng a+bi
Chọn đơn vị đo góc là độ (D) Bấm: SHIFT MODE 3 Màn hình hiển thị chữ D
Chọn đơn vị đo góc là Rad (R) Bấm: SHIFT MODE 4 Màn hình hiển thị chữ R
Nhập ký hiệu góc Bấm SHIFT (-). Màn hình hiển thị
4.- Thao tác trên máy tính (fx 570MS;570ES): Mode 2, R (radian), Bấm nhập : (0) v(0)
- Với máy fx 570ES : bấm tiếp SHIFT, 2 , 3, = máy sẽ hiện A, đó là biên độ A và pha ban đầu
-Với máy fx 570MS : bấm tiếp SHIFT, + (r (A)), = (Re-Im) máy hiện A,
sau đó bấm SHIFT, = (Re-Im) máy sẽ hiện
5 Chú ý các vị trí đặc biệt: (Hình vòng tròn lượng giác)
6 Thí dụ:
Ví dụ 1 Vật m dao động điều hòa với tần số 0,5Hz, tại gốc thời gian
nó có li độ x(0) = 4cm, vận tốc v(0) = 12,56cm/s, lấy 3,14 Hãy viết phương trình dao động
Vị trí của vật
lúc đầu t=0
Phần thực: a
Phần ảo: bi Kết quả:
a+bi = A
Phương trình:
x=Acos(t+) Biên dương(I):
x0 = A; v0 = 0
Theo chiều âm (II):
x0 = 0 ; v0 < 0
a = 0 bi = Ai A /2 x=Acos(t+/2) Biên âm(III):
x0 = - A; v0 = 0
Theo chiều dương
(IV): x0 = 0 ;v0 > 0
a = 0 bi= -Ai A- /2 x=Acos(t-/2)
Vị trí bất kỳ: a= x0
0
v
Hình Vòng Tròn LG
II
IV
-A
M
0
A
Trang 7Buicongthang.tk
iải: G Tính = 2f =2.0,5= (rad/s)
(0) (0)
4
4
a x
b
SHI FT m
Ví dụ 2 Vật m gắn vào đầu một lò xo nhẹ, dao động điều hòa với chu kỳ 1s người ta kích thích dao động bằng cách kéo m
khỏi vị trí cân bằng ngược chiều dương một đoạn 3cm rồi buông Chọn gốc tọa độ ở VTCB, gốc thời gian lúc buông vật, hãy viết phương trình dao động
G
iải: Tính = 2/T=2/1= 2 (rad/s)
(0) (0)
3
0
a x
b
; bấm -3, SHIFT 23 3 x 3 cos(2 t ) cm
Ví dụ 3 Vật nhỏ m =250g được treo vào đầu dưới một lò xo nhẹ, thẳng đứng k = 25N/m Từ VTCB người ta kích thích dao
động bằng cách truyền cho m một vận tốc 40cm/s theo phương của trục lò xo Chọn gốc tọa độ ở VTCB, gốc thời gian lúc
m qua VTCB ngược chiều dương, hãy viết phương trình dao động
G
iải :
(0) (0)
0
4
a x k
Ví dụ 4: Một vật dao động điều hòa có biên độ A = 24 cm ,chu kỳ T= 4 s Tại thời điểm t = 0 vật có li độ cực đại âm (x = -A)
a) Viết phương trình dao động điều hòa x ?
b) Tình x ? v ? a ? ở thời điểm t = 0 ,5s
Hướng dẫn giải:
a) 2
2
T
(rad/s) Tại t = 0 0
0
cos cos 1
x A A
=> x = 24cos ( )
Cách 2 dùng máy tính :
(0) (0)
24
24 0
x v
b
; bấm Máy Fx570Es: Mode 2, Shift Mode 4 (R:radian),
2
2
Ví dụ 5: Một lò xo khối lượng không đáng kể có k = 200 N/m.Đầu trên giữ cố định đầu dưới treo vật nặng có m = 200g, vật
dao động thẳng đứng có vận tốc cực đại 62,8 cm/s viết PT dao động của vật
Hướng dẫn giải: Từ PT dđđh x = Acos t Xác định A, , ?
Trang 8Buicongthang.tk
*
m
K
2 , 0
* vmax= A => A = 2
10
8 , 62
v
(cm)
* Điều kiện ban đầu t = 0, x = 0, v > 0
0 = Acos Suy ra = /2
v = -Asin > 0 Suy ra < 0 => = - /2 => x = 2cos(10t-/2) (cm)
Ví dụ 6: Một vật dao động điều hòa với biên độ A = 4cm và T = 2s Chọn gốc thời gian là lúc vật qua VTCB theo chiều
dương của quỹ đạo Phương trình dao động của vật là :
A x = 4cos(2πt - π/2)cm B x = 4cos(πt - π/2)cm
C x = 4cos(2πt -π/2)cm D x = 4cos(πt + π/2)cm
Hướng dẫn giải: = 2πf = π Và A = 4cm loại A và C
t = 0 : x0 = 0, v0 > 0 :
0
0 cos
v A sin 0
sin 0
chọn φ = - π/2 Chọn : B
Ví dụ 7: Một vật dao động điều hòa trên đoạn thẳng dài 4cm với f = 10Hz Lúc t = 0 vật qua VTCB theo chiều âm của quỹ
đạo Phương trình dao động của vật là :
A x = 2cos(20πt - π/2)cm B.x = 2cos(20πt + π/2)cm
C x = 4cos(20t -π/2)cm D x = 4cos(20πt + π/2)cm
Hướng dẫn giải: = 2πf = 20π Và A = MN /2 = 2cm loại C và D
t = 0 : x0 = 0, v0 < 0 :
0
0 cos
v A sin 0
sin 0
chọn φ =- π/2 Chọn : B
Ví dụ 8: Một lò xo đầu trên cố định, đầu dưới treo vật m Vật dao động theo phương thẳng đứng với tần số góc =
10π(rad/s) Trong quá trình dao động độ dài lò xo thay đổi từ 18cm đến 22cm Chọn gốC tọa độ tại VTCB Chiều dương hướng xuống, gốc thời gian lúc lò xo có độ dài nhỏ nhất Phương trình dao động của vật là :
A x = 2cos(10πt + π)cm B x = 2cos(0,4πt)cm
C x = 4cos(10πt + π)cm D x = 4cos(10πt + π)cm
Hướng dẫn giải: = 10π(rad/s) và A =lmax lmin
2
t = 0 : x0 = -2cm, v0 = 0 : 2 2cos
0 sin
cos 0
0 ;
chọn φ = π x = 2cos(10πt + π)cm Chọn :A
IV Bài tập:
Bài 1: Một vật dao động điều hòa có biên độ A = 24 cm ,chu kỳ T= 4 s Tại thời điểm t = 0 vật có li độ cực đại âm
(x = -A) a) Viết phương trình dao động điều hòa x ?
Trang 9Buicongthang.tk
b) Tình x ? v ? a ? ở thời điểm t = 0 ,5s
Hướng dẫn giải:
2
T
(rad/s) Tại t = 0 0
0
cos cos 1
x A A
=>
x = 24 cos ( )
Cách 2: dùng máy tính :
(0) (0)
24
24 0
x v
b
; Máy Fx570Es bấm: Mode 2, Shift Mode 4 (R:radian),
2
2
Bài 2: Một lò xo khối lượng không đáng kể có k = 200 N/m.Đầu trên giữ cố định đầu dưới treo vật nặng có m =
200g, vật dao động thẳng đứng có vận tốc cực đại 62,8 cm/s viết PT dao động của vật.
*
m
K
2 , 0
rad/s (trong đó m = 200g = 0,2 kg)
* vmax= A => A = 2
10
8 , 62
v
(cm)
* Điều kiện ban đầu t = 0, x = 0, v > 0
0 = Acos Suy ra = /2
v = -Asin > 0 Suy ra < 0 => = - /2 => x = 2cos(10t-/2) (cm)
Dùng Máy Fx570Es bấm: Mode 2, Shift Mode 4 (R:radian),
2
2 2
Bài 3: Một vật dao động điều hòa với biên độ A = 4cm và T = 2s Chọn gốc thời gian là lúc vật qua VTCB theo
chiều dương của quỹ đạo Phương trình dao động của vật là :
A x = 4cos(2πt - π/2)cm B x = 4cos(πt - π/2)cm.
C x = 4cos(2πt -π/2)cm D x = 4cos(πt + π/2)cm.
Hướng dẫn giải: = 2πf = π Và A = 4cm loại A và C.
Trang 10Buicongthang.tk
t = 0 : x0 = 0, v0 > 0 :
0
0 cos
v A sin 0
sin 0
chọn φ = - π/2 Chọn : B
Dùng Máy Fx570Es bấm: Mode 2, Shift Mode 4 (R:radian),
Nhập:
2
2
2
Bài 4: Một vật dao động điều hòa trên đoạn thẳng dài 4cm với f = 10Hz Lúc t = 0 vật qua VTCB theo chiều âm
của quỹ đạo Phương trình dao động của vật là :
A x = 2cos(20πt - π/2)cm B.x = 2cos(20πt + π/2)cm
C x = 4cos(20t -π/2)cm D x = 4cos(20πt + π/2)cm.
Hướng dẫn giải: = 2πf = 20π Và A = MN /2 = 2cm loại C và D.
t = 0 : x0 = 0, v0 < 0 :
0
0 cos
v A sin 0
sin 0
chọn φ =- π/2 Chọn : B
Dùng Máy Fx570Es bấm: Mode 2, Shift Mode 4 (R:radian),
2
2 3
2
,
2
x
Bài 5: Một lò xo đầu trên cố định, đầu dưới treo vật m Vật dao động theo phương thẳng đứng với tần số góc =
10π(rad/s) Trong quá trình dao động độ dài lò xo thay đổi từ 18cm đến 22cm Chọn gốC tọa độ tại VTCB Chiều dương hướng xuống, gốc thời gian lúc lò xo có độ dài nhỏ nhất Phương trình dao động của vật là :
C x = 4cos(10πt + π)cm D x = 4cos(10πt + π)cm.
2
= 2cm loại B
t = 0 : x0 = -2cm, v0 = 0 :0 sin 2 2cos
cos 0
0 ;
chọn φ = π x = 2cos(10πt + π)cm Chọn :A Máy Fx570Es bấm: Mode 2, Shift Mode 4 (R:radian),
2
V TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Một chất điểm dao động điều hòa với tần số f = 1Hz Tại thời điểm ban đầu vật đi qua vị trí có l độ x =
5cm, với tốc độ v10 (cm/s) theo chiều dương Phương trình dao động của vật là