Tính độ dài đường cao kẻ từ A xuống cạnhBC.. 2 Tìm các giá trị nguyên của a để P nhận giá trị là số nguyên.. a Giải phương trình với m=0... 2 Tìm các giá trị nguyên của a để P nhận giá
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
NAM ĐỊNH
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN
Năm học: 2019 - 2020 Môn thi: Toán (chung) – Đề 1 Dành cho học sinh thi vào các lớp chuyên tự nhiên
Thời gian làm bài: 120 phút;
(Đề thi gồm: 01 trang.)
Câu 1 ( 2,0 điểm).
1) Tìm điều kiện xác định của biểu thức
2019 3
9 3
P
x x
−
−
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m
để đường thẳng y=(m2−1)x+7
và đường thẳng
y= x m+ +
(với m≠ ±1
) là hai đường thẳng song song
3) Cho tam giác ABC vuông tại A có AB=6cm, BC=10cm.
Tính độ dài đường cao kẻ từ A xuống cạnhBC.
4) Một hình trụ có diện tích hình tròn đáy là
2
9 cm ,π
độ dài đường sinh là 6cm. Tính thể tích hình trụ đó
Câu 2 (1,5 điểm) Cho biểu thức
2
4 :
với a>0, a≠1.
1) Rút gọn biểu thức P
2) Tìm các giá trị nguyên của a
để P nhận giá trị là số nguyên
Câu 3 (2,5 điểm).
1) Cho phương trình
x + m− x m− − =
(với m
là tham số)
a) Giải phương trình với m=0
b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m
để phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 2
,
x x
(giả sử
x <x
) thỏa
mãn 1 2
|x | |− x + =1| 5
2) Giải phương trình ( x+ −4 2)( 4− + = −x 2) 2 x
Câu 4 (3,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD (BD AC< )
Đường tròn( )O
đường kính AC cắt các tia ,
AB AD
lần lượt tại H I, khácA. Trên dây HI lấy điểm K sao cho
HCK = ADO
Tiếp tuyến tại C của đường tròn ( )O
cắt BD tại E (D nằm giữa B E, ) Chứng minh rằng:
ĐỀ CHÍNH
THỨC
Trang 21) ∆CHK#∆DAO
và
AO KC HK
OB
=
2) K là trung điểm của đoạn HI.
3)
EI EH+ OB <AE
Câu 5 (1,0 điểm).
1) Giải hệ phương trình
3
3 5 6 11
5
1
xy y x x
=
+
2) Cho x y z, , là các số thực dương thỏa mãn x y z+ + =2019xyz.
Chứng minh rằng
2019.2020
xyz
-HẾT -SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
NAM ĐỊNH
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN
Năm học: 2019 - 2020 Môn thi: Toán (chung) – Đề 1 Dành cho học sinh thi vào các lớp chuyên tự nhiên
(Hướng dẫn chấm gồm 05 trang)
Câu 1
1) Tìm điều kiện xác định của biểu thức
2019 3
9 3
P
x x
−
−
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m
để đường thẳng y=(m2−1)x+7
và đường thẳng y=3x m+ +5
(với m≠ ±1
) là hai đường thẳng song song
3) Cho tam giác ABC vuông tại A có AB=6cm, BC =10cm.
Tính độ dài đường cao kẻ từ A xuống cạnhBC.
4) Một hình trụ có diện tích hình tròn đáy là
2
9 cm ,π
độ dài đường sinh là 6 cm. Tính thể tích khối trụ đó
(2,0đ)
1)
Biểu thức xác định khi
0
3 0 9
x x x
≥
− ≠
≠
0,25
0 9
x x
≥
⇔ ≠
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 3Với
1,
m≠ ±
ta có đường thẳng ( 2 )
1 7
y= m − x+
và đường thẳng y=3x m+ +5
là
hai đường thẳng song song khi và chỉ khi
7 5
m m
− =
≠ +
0,25
Tìm được m= −2
3) Tính được
8cm
Tính được đường cao
4)
Thể tích hình trụ là
3
54 cm
Câu 2 Cho biểu thức
2
4 :
với a>0,a≠1.
1) Rút gọn biểu thức P
2) Tìm các giá trị nguyên của a
để P nhận giá trị là số nguyên
1,5
1)
Với
0, 1
a> a≠
ta có
2
1
a a a
a a a
Và
4
a
4 1
a a a
=
Do đó
a a P
a nguyên thì P nhận giá trị là số nguyên khi và chỉ khi
1 4
1 2
1 1
1 1
1 2
1 4
a a a a a a
− = −
− = −
− = −
− =
− =
− =
0,25
3 1 0 2 3 5
a a a a a a
= −
= −
=
⇔ =
=
=
Đối chiếu với điều kiện ta có a=2,a=3,a=5
(thỏa mãn)
0,25
Trang 4Câu 3
1) Cho phương trình
x + m− x m− − =
(với m
là tham số)
a) Giải phương trình với m=0
b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m
để phương trình có hai nghiệm phân biệt
1, 2
x x
(giả sử 1 2
x <x
) thỏa mãn 1 2
|x | |− x + =1| 5
2) Giải phương trình ( x+ −4 2)( 4− + = −x 2) 2 x
2,5
1.a)
Với m=0
, phương trình trở thành
Phương trình có hai nghiệm x= −1,x=5. 0,5
1.b)
Ta có ( )2 2
' m 2 m 5 0 m
∆ = − + + > ∀
nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt với mọi m
0,25
Mặt khác
2
Khi đó
( )
|x | |− x + = ⇔ − − − = ⇔ + = − ⇔ −1| 5 x x 1 5 x x 6 2 m− = − ⇔ =2 6 m 5 0,25
2)
Khi đó phương trình đã cho tương đương với
2
4 2
x x
− +
= −
( ) 0
x tm
⇔ =
( vì 4− + +x 2 2( x+ + >4 2) 0
với − ≤ ≤4 x 4
)
Vậy phương trình có nghiệm x=0.
0,25
Câu 4
Cho hình bình hành ABCD (BD AC< )
Đường tròn( )O
đường kính AC cắt các tia ,
AB AD
lần lượt tại H I, khácA. Trên dây HI lấy điểm K sao cho
HCK =ADO
Tiếp tuyến tại C của đường tròn ( )O
cắt BD tại E (D nằm giữa B E, ) Chứng minh rằng:
1) ∆CHK#∆DAO
và
AO KC HK
OB
=
2) K là trung điểm của đoạn HI.
3)
EI EH+ OB <AE
3,0 đ
Trang 5Xét ∆CHK
và ∆DAO
, có
HCK = ADO
và
nên ∆CHK#∆DAO
Suy ra
HK KC
Mà OB OD=
suy ra
HK OB AO KC HK
OB
2)
Từ ABCD là hình bình hành và O là trung điểm của AC suy ra B O D, , thẳng
hàng, từ đó suy ra
Mà
IKC HKC+ = o
và
AOD HKC=
( vì ∆CHK#∆DAO
) kết hợp với (1) ta suy
ra được
AOB IKC=
0,25
Chứng minh được ∆AOB#∆IKC
(vì
· · ,· ·
AOB IKC BAO KIC= =
)
Suy ra
(2)
AO KC KI
OB
=
Từ câu 1, ta có
AO KC HK
OB
=
(3)
0,25
Từ (2) và (3) suy ra HK =IK
hay K là trung điểm của đoạn HI. 0,25
3)
Chứng minh được
Ta có
180
AOB COE COE OEC OKC OEC OKI IKC OEC OKI COE OEC
o
o
Chứng minh tứ giác CKOE nội tiếp đường tròn
0,25
Suy ra được
OKE OEC= = o
từ đó suy ra EK ⊥OK,
kết hợp với IK ⊥OK.
0,25
Trang 6Nên 4 điểm H K I E, , , thẳng hàng.
Chứng minh ∆ECI#∆EHC
( vì ·HEC
chung,
ECI =EHC
)
Từ đó suy ra
2
EI EH EC
AE AC
EI EH AC AE
=
Mà BD AC OB OD< , =
nên
EI EH+4OB <AE
(đpcm)
0,25
Câu 5 1) Giải hệ phương trình
3
3 5 6 11
5
1
xy y x x
+
2) Cho x y z, , là các số thực dương thỏa mãn x y z+ + =2019xyz.
Chứng minh rằng
2019.2020
xyz
1,0
1
3
4 3 5 2 1 1 (1)
3 5 6 11
1
xy y x
x
+
Điều kiện
1 1
x y
> −
≥
Phương trình
(1)⇔ x y− +2 + x+ −1 y−1 = ⇔ = +0 y x 2
0,25
Thế vào phương trình (2) ta có
( ) ( )
2
5 37 2
1 2 1
5 37
2
x
x
=
=
Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm (x y; )
của hệ phương trình là
5 37 9 37 5 37 9 37
0,25
2
Từ giả thiết ta có
1 1 1
2019
Trang 7Bất đẳng thức đã cho tương đương với
x y z
Theo bất đẳng thức Cô si ta có
1 1 1
VT
x xy yz zx x y xy yz zx y z xy yz zx z
x y z
= + + ÷ + ÷+ + + ÷ + ÷+ + + ÷ + ÷
≤ + + ÷
Ta cần chứng minh
( ) ( ) ( )
2 2
1 1 1
3
x y z
x y z
xy yz zx xyz
xy yz zx x y z
Điều phải chứng minh
0,25
Lưu ý:
+ Các cách giải khác đáp án nếu đúng, phù hợp với chương trình THCS, ban giám khảo thống nhất cho điểm thành phần tương ứng
+ Điểm toàn bài là tổng điểm của các câu không làm tròn
HẾT