HSG 6 CD 8 HÌNH học góc

Trường hợp tia Ot thuộc nửa mặt phẳng chứa tia Oz bờ là đường thẳng chứa tia Oy thì tia Ot trùng với tia Oz dotO y  y O z= 800 nên tia Oy không là tia phân giác của t O z.. Trường hợp

Chuyên đề 8: HÌNH HỌC (góc)

(ĐỀ HSG 6 SỐ D - 13)

Câu 1.

a, Cho 6 tia chung gốc Có bao nhiêu góc trong hình vẽ ? Vì sao

b, Vậy với n tia chung gốc Có bao nhiêu góc trong hình vẽ

a.Cho x O y  1 0 0 .Vẽ tia Oz sao cho góc z O y  3 5  Tính x O z trong từng trường hợp

b Diễn tả trung điểm M của đoạn thẳng AB bằng các cách khác nhau

Lời giải

a, Có 2 cách vẽ tia OZ (có hình vẽ)

b, Có thể diễn tả trung điểm M của đoạn thẳng AB bằng 3 cách khác nhau

M là trung điểm của AB

c Vẽ các tia A x, A y lần lượt là tia phân giác của góc B A C và C A M Tính góc x A y

d Lấy K thuộc đoạn thẳng B M v à C K  1 c m Tính độ dài B K

b) Lấy điểm O nằm ngoài đường thẳng AB Giả sử  AOB = 1000 ;  AOM = 600; MON = 200 Hỏi tia ON có phảI là tia phân giác của góc MOB không ? Vì sao

Giải:

a) AB = 2MB = 2(MN + NB) = 2( a + b)

=  AOM +  MON +  NOB

= 1000 – ( 600 + 200) = 200

Vậy tia ON là tia phân giác của góc MOB

Vì: Tia ON nằm giữa hai tia OM, OB

a) Tính số đo các góc xOy và yOz

tO y  8 0 Tia Oy có là tia phân giác của t O z không ? Tại sao ? c) Qua O kẻ thêm 50 đường thẳng nữa sao cho các đường thẳng này đều không chứa các tia Ox, Oy, Oz.Vẽ đường tròn tâm O bán kính r Gọi A là tập hợp các giao điểm của đường tròn nói trên với các tia gốc O có trong hình vẽ, tính số tam giác mà các đỉnh của

+ y O z = 1800

9

y O z 4

= 1800 =>y O z = 800

=>x O y = 1000

tO y  8 0 Tia Oy có là tia phân giác của t O z không ? Tại sao ?

Trường hợp tia Ot thuộc nửa mặt phẳng chứa tia Oz bờ là đường thẳng chứa tia Oy thì tia

Ot trùng với tia Oz ( dotO y  y O z= 800 ) nên tia Oy không là tia phân giác của t O z Trường hợp tia Ot thuộc nửa mặt phẳng chứa tia Ox bờ là đường thẳng chứa tia Oy thì tia

Oy nằm giữa 2 tia Oz và Ot mà tO y  y O z (= 800 ) nên tia Oy là tia phân giác của t O z

c) Qua O kẻ thêm 50 đường thẳng nữa sao cho các đường thẳng này đều không chứa các tia Ox, Oy, Oz.Vẽ đường tròn tâm O bán kính r Gọi A là tập hợp các giao điểm của đường tròn nói trên với các tia gốc O có trong hình vẽ, tính số tam giác mà các đỉnh của

nó đều thuộc tập hợp A (Cho biết 3 điểm cùng nằm trên một đường tròn thì không thẳng hàng)

Lập luận có 50.2 + 4 = 104 tia gốc O => A có 104 điểm

Lập luận để có 104.103/2 = 5356 đoạn thẳng nối 2 trong 104 điểm của A

Nối 2 đầu của mỗi đoạn thẳng với 1 điểm thuộc 102 điểm còn lại (không phải là các mút của đoạn thẳng đó) được 102 tam giác

Vậy có 5356.102 tam giác Nhưng như thế thì mỗi tam giác được tính 3 lân, vậy ta

có5356.102 : 3 = 182104 tam giác

Cho điểm O trên đường thẳng xy Trên nửa mặt phẳng có bờ là xy vẽ tia Oz sao

Câu 6.

cho góc xOz nhỏ hơn 90 0

a Vẽ tia Om; On lần lượt là phân giác của góc xOz và góc zOy

b Tính số đo các góc nhọn trong hình nếu số do góc mOz bằng 300

Giải:

b Vì Om là phân giác của góc xOz

nên xOm = mOz = 1/2xOz

mà mOz = 300

Suy ra: xOm = 300

xOz = 600

+ vì góc xOz và zOy kề bù

nên xOz = zOy = 1800

Suy ra: zOy = 1800 - xOz

= 1800 - 600 = 1200

z

n m

O

+ Vì On là phân giác của góc zOy

nên zOn = nOy = 1/2 zOy = 1/2 1200 = 600

Kết luận: xOm = 300

xOm = nOy = 600

Trên đường thẳng xx’ lấy một điểm O Trên cùng nửa mặt phẳng bờ l| đường

Câu 7.

thẳng xx’ vẽ 3 tia Oy, Ot, Oz sao cho: Góc x’Oy = 40 0 ; xOt = 97 0 ; xOz = 54 0

a) Chứng minh tia Ot nằm giữa hai tia Oy và Oz

b) Chứng minh tia Ot là tia phân giác của góc zOy

Giải:

Hình vẽ

a)Theo đề bài ta có góc x’Ox = 1800

mà góc x’Oy và góc yOx kề bù Mà góc x’Oy

= 400 ⇒ góc yOx = 1800

- 400 = 1400 Suy ra: góc xOt < góc xOy hay tia Ot nằm giữa hai tia Ox và Oy Lại có: góc xOz < góc xOt hay tia Oz nằm giữa hai tia Ot và Ox Vậy tia

Ot nằm giữa hai tia Oz và Oy

b)Theo câu a ta có tia Ot nằm giữa hai tia Oz và Oy ⇒ Góc zOt + góc tOy = góc zOy

Vì tia Ot nằm giữa hai tia Ox và Oy ⇒ Góc xOt + góc tOy = góc xOy hay góc tOy = 430

Từ (1) và (2) suy ra M B  M A 3c m hay M là trung điểm của AB

b)

TH1: Ot và Oz cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ xy:

TH2: Ot và Oz nằm về hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ xy:

(Đề số 82 Đề thi HSG 6 huyện Thanh Oai 2013-2014)

Câu 9.

Cho tia Oz nằm trong góc vuông xOy Vẽ tia Ot sao cho Ox là tia phân giác của góc tOz

Vẽ tia Om sao cho tia Oy là phân giác của góc zOm

a, Chứng minh rằng tia Om và tia Ot là hai tia đối nhau

b, Gọi Ox’ là tia đối của tia Ox, biết góc x’Om bằng 300 Tính góc tOz

c, Vẽ thêm 2014 tia phân biệt gốc O (không trùng với các tia Ox,Oz,Oy,Om,Ox’ và Ot ) Hỏi trong hình vẽ có tất cả bao nhiêu góc ?

a)* Chứng minh góc tOz + góc zOm = 1800

Tia Oz nằm trong góc xOy nên góc xOz + góc zOy = góc xOy = 900

Theo giả thiết có các tia phân giác nên góc xOz = góc tOz

góc zOy = góc zOm

Từ đó suy ra góc tOz + góc zOm = 900

Hay góc tOz + góc zOm = 1800

* Chứng minh góc tOz và góc zOm là hai góc kề nhau:

b) Chứng minh góc tOx = mOx’ = 300 ( Cùng kề bù với góc mOx) Góc tOx = góc xOz = 300

2 1

2

1 2

Cứ 1 tia trong n+6 tia đó tạo với n+5 tia còn lại thành n+5 góc

Có n+6 tia nên tạo thành (n+5)(n+6) góc , nhưng như thế mỗi góc được tính 2 lần Vậy

b Cho biết góc BAM = 800 , góc BAC = 600 Tính góc CAM

c Vẽ các tia Ax, Ay lần lượt là tia phân giác của góc BAC và CAM Tính góc xAy

d Lấy K thuộc đoạn thẳng BM và CK = 1 cm Tính độ dài BK

Nếu K tia CB  K nằm giữa B và C

b) Gọi OD là tia phân giác của góc BOC Tính số đo góc AOD

c) Trên cùng nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AC chứa tia OB,OD, vẽ thêm n tia phân biệt (không trùng với các tia OA;OB;OC;OD đã cho) thì có tất cả bao nhiêu góc?

3

n góc Có n+4 tia nên tạo thành n 4 n 3 góc,

So sánh:

sao cho xOz = 400 Tính số đo góc yOz?

Lời giải



2

) 3 n )(

4 n

1 2009

1 2009

2009 2008





1 2009

1 2009

2010 2009

Trường hợp 1: Oz nằm trong góc xOy

+ Tại B thì tia O B nằm ngoài hai tia O x, O A

(Đề thi HSG 6)

Câu 17.

Cho bốn tia O A, O B , O C , O D , tạo thành các góc A OB, B O C , C O D , D OA không

có điểm chung Tính số đo của mổi góc ấy biết rằng: B O C = 3A O B ; C O D  5A O B;

b) Có thể diễn tả trung điểm M của đoạn thẳng A B bằng 3 cách khác nhau

Cách 1 :M là trung điểm đoạn thẳng A B

a) M ,B thuộc 2 tia đối nhau C B và C M

- Tia Od không nằm giữa 2 tia Oa và Ob

- Tia Ob không nằm giữa 2 tia Oa và Od

(Đề thi HSG 6_ Trường THCS Lê Ngọc Hân 1997-1998)

b) Chứng minh rằng MC vuông góc với Mt

Lời giải:

a) - Tia Mx là tia đối của tia MA nên A M x là góc bẹt hay

- My là tia phân giác của góc CMx nên tia My nằm giữa tia MC và tia Mx

Mà tia Mx là tia đối của tia MA nên góc AMx là góc bẹt

=> Tia My nằm giữa tia MA và tia Mx nên:

Thay số:

=>

b) Do My là tia phân giác của C M x nên Mx và MC nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau

có bờ là tia My

- Mt là phân giác của y M xnên Mt nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia My

Vậy Mt và MC nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ chứa tia My hay My nằm giữa

Trên đường thẳng AM lấy một điểm O Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AM vẽ các tia

M O C  B O C  Trên nửa mặt phẳng đối diện dựng tia OD (D

A M

Vậy OB nằm giữa 2 tia OM, OC

b) Do tia OB nằm giữa 2 tia OM, OC nên :

Hai góc D O A và A O B là góc có cạnh chung OA Còn 2 cạnh OD, OB nằm trong 2 nửa

4 5 1 3 5 1 8 0

D O A  A O B    ,

O D O B

 là 2 tia đối nhau  D, O, B thẳng hàng

HSG LÊ QUÝ ĐÔN – HƢNG HÀ

Câu 24.

a) Tính số đo mỗi góc có trên hình vẽ?

Trên mỗi tia Ox, Oy, Oz, Ot vẽ 10 điểm phân biệt khác điểm O Hỏi trên hình vẽ có tất cả

bao nhiêu tia?

x O t  Ta vẽ được hai tia Ot thoả mãn đề bài

+)Trường hợp 1: Ot nằm trên nửa mp bờ xz chứa tia Oy

+)Trường hợp 2: Ot nằm trên nửa mp bờ xz không chứa tia Oy

tia Oz nằm giữa tia Oy và Ot  y O z  z O t  y O t

1 8 0

x O t z O t  (kề bù)

c) Trên mỗi tia Ox, Oy, Oz, Ot vẽ 10 điểm phân biệt khác điểm O

Vì mỗi điểm nằm trên 1 tia tạo ra 1 tia mới; mỗi điểm nằm trên 1 đường thẳng tạo ra 2 tia mới

Trên mỗi tia Oy, Ot vẽ 10 điểm phân biệt khác điểm O tạo ra số tia là: 11 tia và do tia

Ox và Oz là hai tia đối nhau nên trên mỗi tia này vẽ 10 điểm phân biệt khác điểm O thì có

tất cả 21 điểm nằm trên xz tạo ra 2 1 2  4 2tia

Vậy số tia tạo thành trên hình vẽ là 1 1 2  4 2  6 4tia

HSG HUYỆN NGHĨA ĐÀN 2012 – 2013

Câu 25.

Trên đoạn thẳng AB = 5cm, lấy điểm M Trên tia đối của tia AB lấy điểm N sao

cho

a) Tính độ dài đoạn thẳng BN khi BM = 2cm

b) Trên cùng nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB vẽ hai tia Ax, Ay sao cho

c) Hãy xác định vị trí của M trên đoạn AB để BN có độ dài lớn nhất

A N

Trang 17

b) Vì Ax; Ay nằm trên cùng nửa mp bờ AB và B A x  B A y( 4 0  1 1 0 )

nên Ax nằm giữa hai tia AB và Ay

7 0

N A y  y A x  nên tia Ay là tia phân giác N A x

c) Ta có N B  A N  A B, AB không đổi nên NB lớn nhất khi AN lớn nhất

a) Cho góc xOy bằng 800, góc xOz bằng 300 Tính số đo góc yOz ?

b) Cho 4 điểm A; B; C; D không nằm trên đường thẳng a Chứng minh rằng đường

thẳng a hoặc không cắt, hoặc cắt ba, hoặc cắt bốn đoạn thẳng trong số các đoạn thẳng sau: AB; AC; BC; BD; CD; AD

Giải

a) +) TH1: Hai tia Oy và Oz nằm trên hai nửa mp

đối nhau bờ chứa tia Ox :

Lập luận => Tia Ox nằm giữa hai tia Oy và Oz

y O z

+) TH2: Hai tia Oy và Oz cùng nằm trên một nửa mp bờ chứa tia Ox

Lập luận => Tia Oz nằm giữa hai tia Ox và Oy

y O z

b) +) TH1: Bốn điểm A; B; C; D cùng thuộc một nửa mp bờ là a

=> Đường thẳng a không cắt đoạn thẳng nào trong các đoạn thẳng AB; AC; AD; BC;

=> Đường thẳng a cắt 3 đoạn thẳng trong số 6 đoạn thẳng AB; AC; AD; BC; BD; CD

Suy ra điều phải chứng minh

m

z

y

x O

x O

z m

y

a) Tính số đo của góc AOC

b) Vẽ tia OD là tia đối của tia OA So sánh góc BOD và góc COD

Lời giải

a Vì điểm A nằm trong góc BOC nên

tia OA nằm giữa hai tia OB và OC

Mà BOA = 500 , BOC = 850

nên AOC = 850 - 500 = 350

b Vì OD là tia đối của tia OA

nên các góc AOB và BOD;

AOC và COD là hai góc kề bù, do đó:

Từ đó suy ra BOD = 1300 (1)

Lập luận tương tự ta được : COD = 1450 (2)

Từ (1) và (2) suy ra góc BOD nhỏ hơn góc COD

(Đề thi HSG6 huyện Việt Yên 2013 - 2014)

Câu 30.

Trên đường thẳng AM lấy một điểm O Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AM vẽ các tia

tia OD (D không cùng nằm trong nửa mặt phẳng với B,C qua bờ là AM) sao cho

a) Tia OB nằm giữa hai tia OM, OC không? vì sao?

b) Tính góc c) Chứng tỏ rằng 3 điểm D, O, B thẳng hàng

Lời giải

a) Nếu OB nằm giữa 2 tia OA, OC thì ta có :

= 1850 > 1800 (vô lý) Vậy OB nằm giữa 2 tia OM, OC

b) Do tia OB nằm giữa 2 tia OM, OC nên :

trong 2 nửa mặt phẳng đối nhau bờ AM nên :

Trên đường thẳng xy lấy điểm O Vẽ các tia Om, On trên hai nửa mặt phẳng đối

nhau có bờ là đường thẳng xy Cho biết góc mOy bằng hai lần góc nOy Tìm số

đo góc nOy để cho góc nOx bằng 3 lần số đo góc mOx

a)Lập luận được:

+) xÔm + mÔy = xÔy hay:900 +mÔy = xÔy

+) yÔn + nÔx = xÔy hay:900 + nÔx = xÔy xÔn = yÔm b)

+) Chứng minh được Ot nằm gữa On và Oy

+) Ot nằm giữa Om và Ox

Ot nằm giữa On và Om

+) Lập luận được : xÔt = tÔy

xÔt = xÔn + nÔt

tÔy = yÔm + mÔt

Ot là tia phân giác của góc mOn KL: Ot là phân giác của góc mOn

(Đề thi HSG6 huyện Thanh Oai 2013 - 2014)

Câu 34.

Cho góc xOy bằng 800, góc xOz bằng 300 Tính số đo góc yOz ?

Lời giải

a) +) TH1: Hai tia Oy và Oz nằm trên hai nửa mp đối nhau bờ chứa tia Ox :

Lập luận => Tia Ox nằm giữa hai tia Oy và Oz

Lời giải

a) Nếu OB nằm giữa hai tia OA, OC thì M O C C O B M O B 1 8 50(vô lý)

Vậy O B nằm giữa hai tia O M O C,

b) Do tia O B nằm giữa hai tia OM, OC nên: M O B B O C M O C

b) Gọi Ot là tia phân giác của x O y Chứng minh Ot cũng là tia phân giác của m O n

Lời giải

O

B C

y

x O

m

n t

a) Lập luận được: x O m m O y x O y hay 0

O tlà tia phân giác của m O n

Cho tia O x.Trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là Ox Vẽ hai tia O y O z, sao

a) Gọi O x ' là tia đối của tia O x.

Ta có x O y' 6 0 ,0 x O z' 6 00và tia Ox’ nằm giữa hai tia O y O z, nên

a) Ta có: x O y  6 0 ; x O z  6 0  và tia O x nằm giữa hai tia O y , O z nên

a) Vẽ tia phân giác Om của góc xOy và tia phân giác On của góc yOz

b) Tính số đo của góc mOn

a.Tính được yOn = 150 ; mOy = 750 (1đ)

b.Tính được mOn = 900

Đề thi HSG 6 Trực Ninh 2017 -2018

Câu 42.

x O y  1 6 0 Vẽ tia phân giác O x1của x O y Tính số đo góc x O x1

Giả sử O x 2là tia phân giác của x O x1, O x 3là tia phân giác của x O x2 ,……O x 4 2là tia phân giác của x O x4 1 Tính số đo góc x O x4 2

Lời giải

Tia O x1là tia phân giác của x O ynên

0 0 1

x O y  5 0 ; x O z  1 0 0 Vẽ tia Oy’ là tia đối của tia Oy Tính số đo y ' O z

Lời giải

Vì hai tia O z , O y cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia O x , mà x O y  x O z nên tia

Oy nằm giữa hai tia Ox vfa Oz

Suy ra tia Oy nằm giữa 2 tia O t , O z

Gọi Ot là tia phân giác của x O y Chứng minh Ot cũng là tia phân giác của m O n

Cho x O y  1 0 00và x O z  6 0 0 Tính số đo x O m ,biết O m là tia phân giác của yO z

Cho tam giác A B Cvà một đường thẳng dkhông đi qua bất kỳ đỉnh nào của tam giác và cắt cạnh B C của tam giác Hãy chứng tỏ rằng đường thẳng dcắt một và chỉ một trong hai cạnh A Bvà A C của tam giác A B C

Lời giải

y

x O

m

n t

*Học sinh vẽ hình đúng 2 trường hợp cho 0,5 điểm

Trường hợp 1: Tia O y ,tia O z cùng nằm trên một nửa mặt phẳng bờ chứa tia O x

-Trường hợp 2: Tia O z , O ynằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ chứa tia O x

+Ta có : x O y  x O z  1 6 00  1 8 00nên tia O x nằm giữa hai tia O y , O z

O

a) O zlà tia nằm giữa hai tia O x O y, (vì trên cùng nửa mặt phẳng bờ chứa tia O x ta thấy

d) Gọi Ot là tia phân giác của xO y Chứng minh Ot cũng là tia phân giác của m O n

20

O

y

x O

m

n t

Cho x A y, trên tia A x lấy điểm B sao cho A B  5c m.Trên tia đối của tia A x lấy điểm D sao cho A D  3c m C, là một điểm trên tia Ay

c) *Trường hợp 1: K thuộc tia Ax

Chứng minh được K nằm giữa A và B

5 1 4 ( )

A K K B A B K B A B A K c m

*Trường hợp 2: K thuộc tia đối của tia A x

-Lập luận chỉ ra được A nằm giữa K và B

x B

x B

a) Tính độ dài AC, biết: A D  4c m C D,  3c m

Cho nửa mặt phẳng bờ A B chứa hai tia đối OA và OB

a) Vẽ tia OC tạo với tia O Amột góc bằng a0,vẽ tia O D tạo với tia OC một góc bằng

a) Do O C O D, nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB và C O D  C O A a(  1 0  a)nên tia

OC nằm giữa hai tia OA và OD

b) Trong 3 tia O y O z O t, , tia nào nằm giữa hai tia còn lại ? Vì sao ?

c) Chứng minh: O zlà tia phân giác của y O t

t

c) Trường hợp 1: K thuộc tia Ax

Lập luận chỉ ra được K nằm giữa A và B

Suy ra A K  K B  A B  K B  A B  A K  6  2  4 (c m)

Trường hợp 2: K thuộc tia đối của tia Ax

-Lập luận chỉ ra được A nằm giữa K và B

x

y C

c) *Trường hợp 1: K thuộc tia Ax

Chứng minh được K nằm giữa A và B

5 1 4 ( )

A K K B A B K B A B A K c m

*Trường hợp 2: K thuộc tia đối của tia A x

-Lập luận chỉ ra được A nằm giữa K và B

y C

x B

c) Xét hai trường hợp (học sinh vẽ hình trong 2 trường hợp)

- Trường hơp 1:Tia Bz và BA nằm trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là BD

Lập luận tia BA nằm giữa hai tia Bz và BD

A B z  D B z A B D   

- Trường hợp 2: Tia B z'và BA nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là BD

Lập luận tia BD nằm giữa hai tia Bz và BA

z

Cho góc AOB và góc BOC là hai góc kề bù Biết góc BOC bằng 5 lần góc AOB

a) Tính số đo mỗi góc

b) Gọi OD là tia phân giác của góc BOC Tính số đo góc AOD

c) Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AC chứa tia OB, OD, vẽ thêm 2006 tia phân biệt (không trùng với các tia O A O B O C O D, , , đã cho) thì có tất cả bao nhiêu góc

2009 góc Có 2010 tia tạo thành 2010.2009 góc, nhưng như thế mỗi góc tính 2 lần

c) Từ B dựng tia B xsao cho D B x  9 0 0 Tính số đo A B x

d) Trên cạnh A B lấy điểm E (E không trùng với Avà B) Chứng minh rằng 2đoạn thẳng

b) Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC nên A B C  A B D  D B C

Do B D cắt AC nên đường thẳng B Dchia mặt phẳng làm hai nửa: 1 nửa mặt phẳng có

bờ B D chứa điểm C và nửa mặt phẳng bờ BD chứa điểm A

tia B A thuộc nửa mặt phẳng chứa điểm A

E thuộc đoạn AB E thuộc nửa mặt phẳng bờ BD chứa điểm A ,

E C

đường thẳng BD cắt đoạn EC Xét đường thẳng CE

Lập luận tương tự: ta có đường thẳng EC cắt đoạn BD Vậy 2 đoạn thẳng E C,B D cắt nhau

(Đề thi HSG 6 huyện Tam Dương 2017-2018)

 và  để tia O Anằm giữa hai tia O B và O x.Tính số đo M O xtheo  và 

Lời giải

a) Do A O xvà B O x là hai góc không kể nhau mà có chung cạnh Ox nên hai tia O Avà

O B cùng nằm trong một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia O x

Mà A O x  B O x(vì 0 0

b) Do O Anằm giữa hai tia O B và O x nên ta có:

A O x A O B  B O x   A O B   A O B 

x O

A