ĐỒNG DƯ THỨC1.
Trang 1ĐỒNG DƯ THỨC
1 Định nghĩa : Cho
*
a b Z m N∈ ∈
a được gọi là đồng dư với b theo modunlo m nếu a và b
có cùng số dư khi chia cho m Kí hiệu là :
(mod )
a b≡ m
Vậy
(mod )
a b≡ m ↔ −(a b m)M
2 Tính chất : Cho
*
a b c d e Z m n N∈ ∈
thì :
a Tính chất phản xạ :
(mod )
a a≡ m
b Tính chất đối xứng :
a b≡ m → ≡b a m
c Tính chất bắc cầu :
a b≡ m b c≡ m → ≡a c m
d
(mod ) (mod ) (mod )
(mod )
(mod )
a c b d m
a c b d m
a c b d m
a e b e m
a e b e m
+ ≡ +
− ≡ −
≡
e
a b≡ m →a ≡b m
f
a b≡ m →a n b n≡ m n
g
e e
với
( , );( , ) 1
e UC a b e m∈ =
h a b≡ (mod );m a b≡ (mod ')m → ≡a b(mod[m m, ' )]
k
ac bc≡ m c m = → ≡a b m
3 Định lý Fermat nhỏ: Cho a là số nguyên và p là số nguyên tố, khi đó :
(mod )
p
a ≡a p
Trang 2+) Đặc biệt: Nếu
1
( , ) 1a p = →a p− ≡1(mod )(p p P∈ )
4 Các dạng toán
Dạng 1 : Tìm số dư của phép chia
Bài 1: Tìm số dư
a
94
92
cho 15 b
2005
1944
cho 7
c
5
A= −
cho 9 d
2003
3
A=
cho 13
e
70 50
A= +
cho 12 f
2005 2005
A= +
cho 11 và 13 Lời giải
a Ta có:
94 94
Lại có:
Từ (1)(2) →du: 4
b Ta có:
2005 2005
Lại có:
( 2)− ≡ −1(mod 7)→ −( 2 ) ( 2) ( 2)(mod 7)− ≡ − ↔ −( 2) ≡ −2(mod 7)
2005
1944
→
chia cho 7 dư 5
c Ta có:
1532 2(mod 9)≡ →1532 ≡2 (mod 9);2 ≡5(mod 9)→1532 ≡5(mod 9)→1532 − ≡1 4(mod9)
Vậy số dư là : 4
d Ta có:
3 3 667 667 3 667 2
Trang 3e Ta có:
Từ (1)(2)
70 50
A
chia cho 12 dư 2
f Ta có:
2005 2005
+)
2005 2005 2005
Bài 2: Chứng minh rằng
a
2002
chia hết cho 31 b
5555 2222
chia hết cho 7
c
200
chia hết cho 2016 Lời giải
a
5 400 2 2 2002 2002
chia hết cho 31
b Ta có:
Lại có :
2 2 2222 1111
Từ (1)(2)
5555 2222 1111 1111
Mặt khác :
1111 1111 1111 1111 1111
Trang 4Từ (3)(4)
5555 2222
c Ta có:
Bài 3: Chứng minh rằng :
2
7.5 n 12.6n
A= +
chia hết cho 19 với mọi số tự nhiên n Lời giải
Ta có:
2
7.5 n 12.6n 7.25n 12.6n
Lại có :
25 6(mod19)≡ →25n ≡6 (mod19)n →7.25n ≡7.6 (mod19)n →7.25n +12.6n ≡7.6n+12.6 (mod19)n
2
Bài 4: Chứng minh rằng :
2 1 2
A= + + + M ∀ ∈n N
Lời giải
Ta có:
4 ≡3(mod13)→(4 )n ≡3 (mod13)n →4.(4 )n ≡4.3 (mod13)n →4 n+ ≡4.3 (mod13)(1)n
Lại có:
3 ≡ −4(mod13)→3 3n ≡ −4.3 (mod13)n →3n+ ≡ −4.3 (mod13)(2)n →4 n+ + ≡3n 4.3n−4.3n =0(mod13)
2 1 2
Bài 5: Tìm số dư :
776 777 778
chia cho 3 và 5 Lời giải
Trang 5Ta có:
776 776 776
chia 3 dư 2
+) Lại có:
Vậy A chia 5 dư 2
Bài 6: Chứng minh rằng
a
15
chia hết cho 11 b
30 20
chia hết cho 30
c
222 555
30
chia hết cho 2014 Lời giải
a
2 ≡ −1(mod11);10≡ −1(nod11)→10 ≡ −1(mod11)→2 10 ≡1(mod11)→20 ≡1(mod11)
5
b
30 20
c
555 555
222≡ −2(mod 7)→222 ≡ −( 2) (mod 7)
Có:
185
( 2)− ≡ −1(mod 7)→ −( 2) ≡ −1(mod 7)→222 ≡ −( 1)(mod 7)→ ≡ −A 1 1(mod 7) 0(mod 7)≡
Trang 6d Ta có :
Bài 7: Tìm số dư trong phép chia
1998 1999 2000 10
chia cho 111 Lời giải
Ta có:
10 10
chia 111 dư 25
Bài 8: Sử dụng định lý Fermat nhỏ
Chứng minh rằng :
10 10 10 10
Lời giải
Vì 7 là số nguyên tố nên (10,7) = 1 nên theo định lý Fermat nhỏ ta có :
10 ≡1(mod 7)→10 k ≡ ≡1k 1(mod 7)
Với mọi số tự nhiên n khác 0 thì : 1
n−
Đặt
10n =6k+4(k N∈ )→10 n =10 k+ =10 10k ≡1.1 (mod 7) 10 (mod 7)≡ →10 ≡10 (mod 7)
10 ≡10 (mod 7);10 ≡10 (mod 7) ;10 ≡10 (mod7)→ ≡A 10.10 − ≡5 0(mod7)→ AM7
Bài 9: Sử dụng định lý Fermat nhỏ
Chứng minh rằng :
1331 1331 1331 1331
Lời giải
Vì 11 là số nguyên tố nên theo định lý Fermat nhỏ ta có :
11 11( 11)
a ≡ mod ∀ ∈a Z
Trang 7121 ( 11 11) 11 ( 11) 1331 ( 121 11) 11(mod11) (mod11)
Áp dụng kết quả trên ta được :
1331 1331 1331
1 +2 + + 1331 ≡ + + +1 2 1331 886446 0(mod11)≡ ≡ → AM11
Bài 10: Chứng minh rằng :
a ≡a ∀ ∈a Z
Lời giải
Ta có :
6
30 2.3.5 6.5;= − a − =a a a( − =1) a a( −1)(a + =1) a a( −1)(a+1)(a +1)
M
1 4 4 42 4 4 43
Ta cần chứng minh :
a ≡a
+) Nếu
5
a≡ →a ≡ ≡a
+) Nếu
a≡ ± →a ≡ ± ≡a
+) Nếu
Vậy
a ≡a →a ≡a p
Bài 11: Chứng minh rằng :
22 22
Lời giải
Ta có :
2
3234 3.22.7=
+) Có :
0(mod 22)
A≡
+)
22
22 1( 0 3)≡ m d →22 ≡1(mod3)
+)
22 1( 0 7)≡ m d →22 ≡1 ≡1(mod 7)→22 =7k+1
Trang 87 1 7 7 6 5
A= + − = − = − = − + + + +
+)
22 1( 0 7)≡ m d →22k ≡ ≡1k 1(mod 7)
Đặt
7 .1
chu so
Vậy
0(mod3.22.49)
Bài 12: Chứng minh rằng :
7
7
( Có 100 chữ số 7 ) Lời giải
Ta có : 20 = 4 5
Đặt
7
7
B= chu so → A le
Ta có :
B≡ − → =B k+ k N∈ ≡ ≡ + ≡ ≡ ≡
Bài 13: Chứng minh rằng :
*
Lời giải
+)
4
+)
4
+)
3 3 4 3 3 3 2 2
Trang 9Vậy A luôn chia hết cho 5 khi n không chia hết cho 4
Bài 14: Chứng minh rằng :
(2 n 3 5 ) 17n n
A= + + + M ∀ ∈n N
Lời giải
32 8 9.3 5n n n 15 8 9.15n n 17.5n 0(mod17)
Bài 15: Chứng minh rằng :
2 1 ( 1)2 , 1
n
A n= − + −n n MB= − ∀ ∈n n N n>
Lời giải
2 1 2( 2 1) ( 1)
+) Với n = 2 luôn đúng
+) Xét với n > 2
2 3 4
C
1 4 4 4 4 4 2 4 4 4 4 4 3
Ta có nhận xét sau :
2 3 4
1
k k
C
−
2
Bài 16: Chứng minh rằng :
69 220 119
119 69 220
le
Lời giải
Ta có : AM2
+)
69 220
119 69
220 1(mod3);119≡ ≡ −1(mod 3);69 0(mod 3)≡ → ≡A 1 + −( 1) ≡0(mod 3); 3AM
Trang 10119 220
220≡ −1(mod17);119 0(mod17);69 1(mod17)≡ ≡ → ≡ −A ( 1) +1 ≡0(mod17)→ AM17
Vậy
AM = dpcm
Bài 17: Giả sử 1 2 100
, ,
a a a
là các số tự nhiên thỏa mãn :
100
1 2 3 100 5
Tìm số dư khi chia
1 2 100
cho 30 Lời giải
Ta có :
1 2 100 1 2 100
Có :
5≡ −1(mod 6)→5 ≡1(mod 6)→5 ≡25(mod 6)
Mặt khác :
Vậy số dư là 25
Dạng 2: Tìm chữ số tận cùng của một sô
Bài 1: Tìm chữ số tận cùng của
a
2010
167
b
14 14
14
c
7
5 6
(4 )
Lời giải
a Ta có :
2010 2010
Lại có :
2010 1005 1005
Vậy
2010
7
có tận cùng là 9
b
14 14.14 14 14.7 14 98 14.14
Vậy tận cùng là 6
Trang 11c
5.6.7 3.5.7 5.3.7 5.6.7 5.6.7
có tận cùng là 6