Chuyên đề đồng dư thức

ĐỒNG DƯ THỨC1... Bài 2: Chứng minh rằnga.

ĐỒNG DƯ THỨC

1 Định nghĩa : Cho a b Z m N, � ; � * a được gọi là đồng dư với b theo modunlo m nếu a và b có cùng số dư khi chia cho m Kí hiệu là : a b�(mod )m

Vậy a b�(mod )m �(a b m )M

2 Tính chất : Cho a b c d e Z m n N, , , , � ; , � * thì :

a Tính chất phản xạ : a a� (mod )m

b Tính chất đối xứng : a b�(mod )m � �b a(mod )m

c Tính chất bắc cầu : a b�(mod );m b c�(mod )m � �a c(mod )m

d

(mod ) (mod ) (mod )

(mod ) (mod )

(mod ) (mod )

a c b d m

a c b d m

a c b d m

a e b e m

a e b e m

 � 

�

�  � 

�

� �

�

�

e a b�(mod )m �a n �b n(mod )m

f a b�(mod )m �a n b n. � (mod )m n

a b

e e

với e UC a b e m� ( , );( , ) 1

h a b�(mod );m a b�(mod ')m � �a b(modm m, ' )

k ac bc� (mod );( , ) 1m c m  � �a b(mod )m

3 Định lý Fermat nhỏ: Cho a là số nguyên và p là số nguyên tố, khi đó : a p �a(mod )p

+) Đặc biệt: Nếu ( , ) 1a p  �a p1�1(mod )(p p P� )

4 Các dạng toán

Dạng 1 : Tìm số dư của phép chia

Bài 1: Tìm số dư

a 9294 cho 15 b 19442005 cho 7

c A153251 cho 9 d A32003 cho 13

e A570750 cho 12 f A3200542005 cho 11 và 13

Lời giải

a Ta có: 92 2(mod15)� �9294 �2 (mod15)(1)94

Lại có: 24 �1(mod15)�(2 )4 23 �1 (mod15)23 �(2 ) 24 23 2 �4(mod15)�294 �4(mod15)(2)

Từ (1)(2) �du: 4

b Ta có: 1994�2(mod 7)�19942005 �( 2) 2005(mod 7)

Lại có: ( 2) 3 �1(mod 7)�( 2 ) ( 2) ( 2)(mod 7) 3 668  � �( 2) 2005 �2(mod 7)

2005

1944

c Ta có:

1532 2(mod 9)� �1532 �2 (mod 9);2 �5(mod 9)�1532 �5(mod 9)�1532 1 4(mod9)�

Vậy số dư là : 4

d Ta có: 33 �1(mod13);2003 3.607 2  �3203 (3 ) 33 667 2

3 3 667 667 3 667 2

3 �1(mod13)�(3 ) �1 �(3 ) 3 �9(mod13)�du: 9

e Ta có: 52 � ��1(mod12) (5 )2 35 1(mod12) 570 1(mod12)(1)

7 � ��1(mod12) (7 ) 1 (mod12) 7 1(mod12)(2)

Từ (1)(2) �A570750 chia cho 12 dư 2

f Ta có: 35 �1(mod11)�(3 )5 401 �1(mod11);45�1(mod11)�(4 )5 401 �1(mod11)

2005 2005

+) 33�1(mod13)�(3 ) 3 1.3(mod13)3 668 � �32005 �3(mod13);43 �1(mod13)�(4 ) 4 1.4(mod13)3 668 �

Bài 2: Chứng minh rằng

a 220024 chia hết cho 31 b 22225555 55552222 chia hết cho 7

c 2014200256 chia hết cho 2016

Lời giải

a 25 �1(mod 31);2002 5.400 2  �22002 (2 ) 2 ;25 400 2 5 �1(mod31)�(2 )5 400 �1 (mod31)400

(2 ) 2 1.2 (mod 31) 2 4(mod31) 2 4

b Ta có: 2222 3(mod 7)� �22225 �3 (mod 7) 5(mod 7)5 � �22225555 �51111(mod 7)(1) Lại có : 5555 4(mod 7)� �55552� �42 2(mod 7)�55552222 �51111(mod 7)(2)

Từ (1)(2) �2222555555552222 �5111121111(mod 7)(3)

Mặt khác : 5�2(mod 7)�51111�( 2) 1111 �21111(mod 7)�5111121111 �0(mod 7)(4)

Từ (3)(4) �2222555555552222M7

c Ta có:

2014 �2008(mod 2016);2014 �4(mod 2016)�2014 �2014 2014 �2008.4 1984(mod 2016)�

2014 (2014 ) 1984 1024(mod 2016) 2014 1024 64(mod 2016)

2014 1024 256(mod 2016) 2014 256 2016

Bài 3: Chứng minh rằng : A7.52n12.6n chia hết cho 19 với mọi số tự nhiên n

Lời giải

Ta có: A7.52n12.6n 7.25n12.6n

Lại có :

25 6(mod19)� �25n �6 (mod19)n �7.25n �7.6 (mod19)n �7.25n 12.6n �7.6n12.6 (mod19)n

2 7.25n12.6n 19.6n 0(mod19) A7.5 n12.6 19n n N

Bài 4: Chứng minh rằng : A42 1n 3n2M13 �n N

Lời giải

Ta có: 42 �3(mod13)�(4 )2 n �3 (mod13)n �4.(4 )2 n �4.3 (mod13)n �42 1n �4.3 (mod13)(1)n

Lại có:

3 �4(mod13)�3 3n �4.3 (mod13)n �3n �4.3 (mod13)(2)n �4 n 3n �4.3n4.3n 0(mod13)

2 1 2

4 n 3n 13

A    n N

Bài 5: Tìm số dư : A776776777777778778 chia cho 3 và 5

Lời giải

Ta có: 776�1(mod 3)�776776 �( 1) (mod 3) 776 �776776 �1(mod3)

777 0(mod3)� �777 �0(mod3);778 1(mod3)� �778 �1(mod3)�A chia 3 dư 2

+) Lại có: 776 1(mod5)� �776776 �1(mod5);777�3(mod5)�777777 �( 3) (mod 5) 777

778 �3 (mod 5)� �A 1 3 3 (mod5)� �A 1 3.3 3 (mod 5) 1 3 (3 1)(mod 5)� 

1 2.3 (mod 5);3 1(mod5) (3 ) 3 3(mod5) A 1 2.3 2(mod 5)

Vậy A chia 5 dư 2

Bài 6: Chứng minh rằng

a 20151 chia hết cho 11 b 230320 chia hết cho 30

Lời giải

a 25�1(mod11);10�1(nod11)�105 �1(mod11)�2 105 5 �1(mod11)�205�1(mod11)

5

20 1 0(mod11)

b 26 �1(mod13)�230 �1(mod13);33 �1(mod13)�330 �1(mod13)

30 20

2 3  1 1(mod13) 0(mod13)

c 555 2(mod 7)� �555222 �2 (mod 7);2222 3 �1(mod 7)�(2 )3 74 �1(mod 7)�555222 �1(mod 7)

555 555

222�2(mod 7)�222 �( 2) (mod 7)

Có:

185

( 2) �1(mod 7)���( 2) �� �1(mod 7)�222 �( 1)(mod 7) � �A 1 1(mod 7) 0(mod 7) �

d Ta có : 123430 �778(mod 2014)�12349 �7783 �1500(mod 2014)�12347 �15003�1234(mod 2014)

1234 1234 778.1234(mod 2014) 1234 1234.1234.778 1388(mod 2014) (1234 1388) 2014

Bài 7: Tìm số dư trong phép chia A(19971998 1998199919992000 10) chia cho 111

Lời giải

Ta có: 1998 0(mod11);1997� �1(mod11)�19971998 �1(mod11);1999 1(mod11)� �19992000 �1(mod11)

10 10 (1 0 1) 2 1024 25(mod111)

Bài 8: Sử dụng định lý Fermat nhỏ

Chứng minh rằng : A101010102 10103   101010  M5 7

Lời giải

Vì 7 là số nguyên tố nên (10,7) = 1 nên theo định lý Fermat nhỏ ta có :

10 �1(mod 7)�10 k � �1k 1(mod 7)

10n 2 1000 02 2,3 (10n 2) 6 10n 4(mod 6)

n

Đặt 10 6 4( ) 1010 106 4 10 106 4 1.1 (mod 7) 10 (mod 7)4 4 1010 10 (mod 7)4

n

n  ή ����k k N k k

10 �10 (mod 7);10 �10 (mod 7) ;10 �10 (mod7)� �A 10.10 5 0(� mod7)� MA 7

Bài 9: Sử dụng định lý Fermat nhỏ

Chứng minh rằng : A113312133131331  13311331M11

Lời giải

Vì 11 là số nguyên tố nên theo định lý Fermat nhỏ ta có : a11�11(mod11)a Z�

121 ( 11 11) 11 ( 11) 1331 ( 121 11) 11(mod11) (mod11)

Áp dụng kết quả trên ta được :

1331 1331 1331

1 2   1331 �1 2 1331 886446 0(mod11)   � � � MA11

Bài 10: Chứng minh rằng : a5 �a(mod30)a Z�

Lời giải

Ta có :

6

30 2.3.5 6.5;  a  a a a(  1) a a( 1)(a  1) a a( 1)(a1)(a 1)

M

1 4 4 4 2 4 4 43

Ta cần chứng minh : a5 �a(mod5)

+) Nếu a�0(mod5)�a5� �0 a(mod 5)

+) Nếu a��1(mod5)�a5 �� �( 1)5 a(mod5)

+) Nếu a��2(mod5)�a5�� �� �� �( 2)5 32 2 a(mod5)

Vậy a5 �a(mod5)�a p �a(mod )p

Bài 11: Chứng minh rằng :

22 22 (22 22) 3234

Lời giải

Ta có : 3234 3.22.7 2

+) Có : A�0(mod 22)

+) 22 1( 0 3)� m d �2222 �1(mod3)

+) 22 1( 0 7)� m d �2222 � �122 1(mod 7)�2222 7k1

+) 22 1( 0 7)� m d �22k � �1k 1(mod 7)

Đặt

7 .1

(22 )k (22 )k 22k 1 1 1 7 0(mod 7) 0(mod 49)

chu so

Vậy A�0(mod 3.22.49)�dpcm

Bài 12: Chứng minh rằng :

7 (7 77) 20

Lời giải

Ta có : 20 = 4 5

Đặt

7

7

7 (997 .7) :

B chu so �A le

7B 77 ( 1)B 1 1 1 0(mod 4)(1)

A  �  �  �

Ta có : B� � κ����( 1)(mod 4)  B 4k 3(k N*);7B 2B 24k3 16 8 1 3 3(mod 5)k k

3 77 80 0(mod 5)(2) 0(mod 20)( ì:(4,5)=1)

Bài 13: Chứng minh rằng : A   1n 2n 3n 4 5nM�nM/ 4(n N� *)

Lời giải

+) n4k� �A 1 16 k 81k  ( 1)4k

+) n4k1� �A 1 16 2 81 3 ( 1) 4 1 2 3 4 10 0(mod 5) k  k   4k �   � �

+) n4k2� �A 1 16 2 k 281 3k 2 ( 1) 44k 2 �1 4 9 16 30 0(mod5)   � �

+) n4k3� �A 1 16 2 k 381 3k 3 ( 1) 44k 3 �13  43 22 32 �0(mod5)

Vậy A luôn chia hết cho 5 khi n không chia hết cho 4

Bài 14: Chứng minh rằng : A(25n33 5 ) 17n2 n M  �n N*

Lời giải

32 8 9.3 5n n n 15 8 9.15n n 17.5n 0(mod17)

Bài 15: Chứng minh rằng : A n n  n2 n 1MB  (n 1)2 n N n� , 1

Lời giải

2 1 2( 2 1) ( 1)

A n    n n n n    n

+) Với n = 2 luôn đúng

+) Xét với n > 2

2 3 4

2 3 4

C

 

 

1 4 4 4 4 4 2 4 4 4 4 4 3

Ta có nhận xét sau :

1

C



2

C n n C n A n n

Bài 16: Chứng minh rằng :

69 220 119

119 69 220

le

A 1 4 4 2 4 43 M

Lời giải

Ta có : AM2

+)

69 220

119 69

220 1(mod3);119� �1(mod3);69 0(mod3)� � �A 1  ( 1) �0(mod 3); 3AM

+)

69 119

119 220

220�1(mod17);119 0(mod17);69 1(mod17)� � � �A ( 1) 1 �0(mod17)� MA17

Vậy AM2.3.17 102( dpcm)

Bài 17: Giả sử a a1, , 2 a100 là các số tự nhiên thỏa mãn : a1   a2 a3 a100 5100

Tìm số dư khi chia A a 15  a25 a1005 cho 30

Lời giải

Ta có : a5 � ήa (mod30) a Z� A a15 a25 a1005 a1 a2 a100 5 (mod 30)100

Có : 5�1(mod 6)�5100 �1(mod 6)�5100 �25(mod 6)

Mặt khác : 5100 �25(mod5);(5,6) 1 �5100 �25(mod30)

Vậy số dư là 25

Dạng 2: Tìm chữ số tận cùng của một sô

Bài 1: Tìm chữ số tận cùng của

a 1672010 b 141414 c

7

5 6 (4 )

Lời giải

a Ta có : 167 7(mod10)� �1672010 �72010(mod10)

Lại có : 72010 �491005�( 1) 1005 �1(mod10)

Vậy 72010 có tận cùng là 9

b

14 �4 (mod10);4 �(16) (mod10)�4 �6 (mod10)�4 �6(mod10)

Vậy tận cùng là 6

c 45.6.7 163.5.7 65.3.7(mod10)�45.6.7 �6(mod10)�45.6.7 có tận cùng là 6