ÔN tập về hệ PHƯƠNG TRÌNH

- Tập hợp tất cả các nghiệm của hệ gọi là tập nghiệm của hệ phương trình.. Hệ PT tương đương- quy tắc biến đổi hệ phương trình: - Hai hệ phương trình được gọi là tương đương nếu chúng c

ÔN TẬP VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH I.ÔN TẬP LÝ THUYẾT:

1 Khái niệm: Hệ hai phương trình bậc nhất 2 ẩn có dạng:

 I ax by c' '  1' 2 

a x b y c

 

�

� Với a, b, c, a’, b’, c’ là các số cho trước x ; y là ẩn.

- Nếu ( x0; y0) thỏa mãn phương trình (1) và phương trình (2) thì ( x0; y0) gọi là nghiệm của hệ phương trình

- Tập hợp tất cả các nghiệm của hệ gọi là tập nghiệm của hệ phương trình

2 Hệ PT tương đương- quy tắc biến đổi hệ phương trình:

- Hai hệ phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng một tập nghiệm

- Hai qui tắc biến đổi hệ phương trình:

+ Qui tắc thê

+ Qui tắc cộng đại số

3 Các phương pháp giải hệ phương trình:

- Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

- Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

4 Số nghiệm của hệ PT:

- Hệ (I) có nghiệm duy nhất  ' '

- Hệ (I) vô nghiệm duy nhất  ' ' '

- Hệ (I) vô số nghiệm duy nhất  ' ' '

II MỘT SỐ DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI:

Dạng 1: Giải hệ phương bậc nhất hai ẩn:

A Các phương pháp giải:

- Giải hệ bằng phương pháp cộng

- Giải hệ bằng phương pháp thế

B Ví dụ: Giải hệ phương trình:















) 2 (

2

3

) 1

1

2

y

x

y

x

























































0

1 0

2 1 3

2 6 3

2 1 3

2 ) 2 1 ( 3

2 1

y

x y

y x

y y

y x

y y

y x

Vậy hệ phương trình có một nghiệm (x; y) = (1; 0)

C Bài tập: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

a) 













31 11 10

7 11 2

y x

y x

d) 















7 3 6

4 2 5

y x

y x

g)

2 3 5

5 4 1

x y

x y

 

�

�  

�

b) 









 7 2

3 3

y x

y x

c) 









 0 3 2

8 5 2

y x

y x

e) 











6 15 6

2 5 2

y x

y x

f) 













5 6 4

11 3 2

y x

y x

h)

5 2 4

6 3 7

x y

x y

  

�

�   

� i)

Dạng 2: Giải hệ phương qui về bậc nhất hai ẩn:

A Các bước thực hiện:

Bước 1: Biến đổi hệ đã cho về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn Bước 2: Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Bước 3: Kết luận nghiệm

B Ví dụ: Giải hệ phương trình

 

   

   

�     �      �

�

           

           

Vậy hệ phương trình có một nghiệm ( ; ) (7;6)x y 

C.Bài tập: Giải hệ phương trình

a)

5( 2 ) 3 1

2 4 3( 5 ) 12

  

�

�    

�

b)

c)

d)

( 1)( 1) 1

( 3)( 3) 3

   

�

�    

�

e)

 

   

   

�

�

   

�

f)

6( ) 8 2 3

5( ) 5 3 2

   

�

�    

�

g)

2 3

10 0

x y

� 

�

�

�   

�

h) i) j)

Dạng 3: Giải hệ phương trình bằng cách dặt ẩn phụ:

A.Các bước thực hiện

Bước 1: Tìm ĐKXĐ của hệ phương trình (nếu cần)

Bước 2: Đặt ẩn phụ cho các biểu thức chung trong các phương trình của

hệ đã cho để được hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Bước 3: Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn nhận được, từ đó tìm

nghiệm của hệ đã cho

Bước 4: Kiểm tra và kết luận nghiệm.

B.Ví dụ: Giải hệ phương trình:

ĐKXĐ x� 1;y�1

Đặt

;

1 a 1 b

Theo cách đặt ta có hệ phương trình:

        

�   �   �   

3 1

�    � 

Thay

; b

vào cách đặt ta được:

1 1

1 2

1 2

x

y

� 

� 



� Vậy nghiệm của hệ phương trình là: x = 1; y = 3

C Bài tập

Bài 1 Giải các hệ phương trình sau:

b

a

Bài 2 Giải các hệ phương trình sau:

3

a b c

1

Bài 3 Giải các hệ phương trình sau:

3

�

Bài 4 Giải các hệ phương trình sau:

a)

2 2 3 3 14

�

�

   

 

 

)

3 1 5

b

�    

�

�

    

3 1 2 2 7 )

c

�    

�

�

    

�

Dạng 4: Hệ phương trình chứa tham số

4.1: Tìm điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất, vô nghiệm, vô số nghiêm:

A Các bước thực hiện:

Bước 1: Biến đổi hệ phương trình đã cho về hệ có 1 phương trình mới ( chỉ còn

một ẩn)

Bước 2: Tìm điều kiện để phương trình mới có nghiệm duy nhất, vô nghiệm ,

vô số nghiệm,từ đó đi đến kết luận về số nghiệm của hệ phương trình đã cho

B Ví dụ: Cho hệ phương trình:

2

x y m

 

�

�   

� Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất và tìm nghiệm của hệ

phương trình theo m?

Vô số nghiệm? Vô nghiệm

Bài giải

2 2

y mx m

x my m

 

�

 

Xét phương trình (*):

+ ) Nếu m2 – 4 ≠0  m ≠ ± 2 thì phương trình (*) có nghiệm duy nhất

   

2 2 3 2 3

x

 Hệ phương trình cho có nghiệm duy nhất

2 3



+ ) Nếu m2 – 4 = 0  m = ± 2

-) Nếu m = 2 thì phương trình(*) trở thành 0x = 0 ( luôn đúng )

=> Phương trình (*) vô số nghiệm => Hệ phương trình cho vô số nghiệm -) Nếu m = - 2 thì phương trình (*) trở thành 0x = 4 ( vô lý )

=> Phương trình (*) vô nghiệm => Hệ phương trình cho vô nghiệm

+) Vậy Với m ≠ ± 2 thì hệ phương trình (*) có nghiệm duy nhất

2 3 2 2

m x m m y m



� 

�

� 

� Với m = 2 thì hệ phương trình cho vô số nghiệm

Với m = - 2 thì hệ phương trình cho vô nghiệm

C. Bài tập:

Bài 1: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất :

mx y

x my m

 

�

�   

� Bài 2: Cho hệ phương trình

2  à tham sô

1

x my m

m l

 

�

�   

� Tìm m để hệ phương trình

a Có nghiệm duy nhất và tìm nghiệm duy nhất đó

b Vô nghiệm

c Vô số nghiệm

4.2 Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước:

A. Một số bài toán thường gặp:

Bài toán 1: Tìm điều kiện nguyên của tham số để hệ phương trình có nghiệm (x; y) trong đó x và

y là số nguyên.

Bài toán 2: Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn hệ thức cho trước.

B Ví dụ: Cho hệ phương tình

2 1

x y

 

�

�  

� Tìm giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) sao cho x và y là các số nguyên

Lời giải vắn tắt

Ta có

  ( 1) 2 * 2

  

�

 

�

�   �� 

 hệ phương trình cho có nghiệm duy nhất

 phương trình ( * ) có nghiệm duy nhất

 m + 1 ≠ 0  m ≠ - 1

và phương trình (*) có nghiệm

2 1 1

m x m





 => hệ phương trình có nghiệm  ;  2 1;

x y



 ��   ��

x y



 Hệ pT cho có nghiệm duy nhất (x; y) với x; y là số nguyên

1

mà m nê 1 U( 1)

 m + 1 = 1 hoặc m + 1 = - 1  m = 0 hoặc m = - 2

Vậy với m = 0 hoặc m = - 2 thì hệ phương trình cho có nghiệm duy nhất ( x; y) mà x; y là các số nguyên

C.BÀI TẬP :

Bài 1 : Cho hệ phương trình :

1

mx y

�

�  

�

a) Giải hệ với m = 1

b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất

c) Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm thoả mãn x = y

Bài 2 Cho hệ phương trình

m 1x y 3

mx y m

�   

�

�

 

� a) Giải hệ phương trình với m = 2

b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn điều kiện x + y > 0.

Bài 3: Cho hệ phương trình

( 1) 1

x y

  

�

�   

a) Giải hệ phương trình theo m

b) Tìm số nguyên m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất( x; y) mà x, y

là các số nguyên

c) Tìm m để nghiệm của hệ phương trình thỏa mãn x2 + y2 =

1

4 d) Tìm các giá trị của m để biểu thức

2x 5y S

x y





 nhận giá trị nguyên

Bài 4 Cho hệ phương trình :  

mx - 2my = m+1 (1)

x - 1 y = 2 (2)

�

a) Giải hệ phương trình khi m = 2

b) Giải hệ pt theo m

c) Tỡm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) mà điểm M( x; y) thuộc góc phần tư thứ nhất

d) Tìm m để hệ phương pháp nghiệm duy nhất (x;y) mà điểm M( x; y) thuộc một đường thẳng cố định

e) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) mà điểm M( x; y) thuộc đtròn có tâm là gốc tọa độ và bán kính là 5

f) Tìm giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm nguyên