Chương 1: ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM 1.1 Các khái niệm cơ bản: - Chất điểm là 1 vật có khối lượng, có kích thước rất nhỏ so với khoảng cách và kích thước của vật khác.. - Hệ chất điểm: là tập h
Trang 1Chương 1: ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM
1.1 Các khái niệm cơ bản:
- Chất điểm là 1 vật có khối lượng, có kích thước rất nhỏ so với khoảng cách và kích
thước của vật khác
- Hệ chất điểm: là tập hợp nhiều chất điểm rời rạc
- Vật rắn: là tập hợp nhiều chất điểm phân bố liên tục và có mối liên kết rắn
(khoảng cách giữa các chất điểm là không thay đổi)
Vd: Đống cát không phải là vật rắn do khoảng cách thay đổi
Cục gạch: vật rắn
- Chuyển động: là sự thay đổi vị trí của chất điểm trong suốt quá trình chuyển động
- Hệ quy chiếu: là hệ vật quy ước đứng yên để khảo sát các vật khác chuyển động
đối với nó Thường người ta gắn hệ trục tọa độ vào hệ quy chiếu
1.2 Phương trình chuyển động của chất điểm:
- Vectơ vị trí của chất điểm:
rr=x ir+y jr+z kr
x, y, z là hàm theo thời gian t
Tọa độ điểm M:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧ z y
Z
y
x
rr
j
r
i
r
kr
0
- Phương trình chuyển động của chất điểm M:
*vectơ vị trí
* tọa độ điểm M
- Quỹ đạo của chất điểm M: f (x,y,z) = 0: là tập hợp
các vị trí của chất điểm trong suốt quá trình
chuyển động
- Muốn tìm phương trình quỹ đạo của chất điểm, ta khử t ở phương trình chuyển
động chất điểm: 2 dạng
+ Dạng 1: phương pháp thế
+ Dạng 2: sin & cos theo t: áp dụng sin2 + cos2 = 1
Vd: i (t 2)j
2
t
( )
0 2 x y
2 x y
0 x t 2 t y 2
t x M
2
2 2
=
−
=
⇒
⎩
⎨
⎧
−
=
≥
=
⇒
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
−
=
=
Giới hạn quỹ đạo: t > 0 → 2x > 0 → x > 0
Trang 2( ) ( )
cos cos
sin
sin
r A t i A t j
x t
M
t A
y x
A A
ω ω
⎪
=
=
⎪⎩
r
x
ϑ r
1
rr
2
rr
z
y
0
r
Δr
Trường hợp này không còn giới hạn quỹ đạo
1.3 Vectơ vận tốc:
1/ Vectơ vận tốc trung bình: ϑr
r r r
t t t
ϑ
r r
r
2/ Vectơ vận tốc tức thời: ϑr
2 2
2
k j i
0 t
dt
dz dt
dy dt
dx
k dt
dz j dt
dy i dt
dx dt
r d
z y x
r dt
r
r lim
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
= ϑ
+ +
=
=
ϑ
+ +
=
=
ϑ
Δ
Δ
=
ϑ
→ Δ
r
r r r r
r
v r r r
r r
r r
⎪⎪⎩
⎪
⎪
⎨
⎧ Điểm đặt: điểm đang xét Phương: tiếp tuyến với quỹ đạo tại M Chiều: cùng chiều chuyển động
z
2 y
2
x +ϑ +ϑ ϑ
= ϑ
=
ϑr
Vd:
( )
2
2
4 1 2 1
t
j i
j t i t r
+
=
⇒
+
=
+ +
=
ϑ
ϑ
r
r r r
r r r
1.4 Vectơ gia tốc:
x
1
ϑr
z
y
0
ϑ
Δr
2
ϑr
2
ϑr
a r
1/ Vectơ gia tốc trung bình: ar
1 2
ϑ ϑ
r
r ⇒
t t
t
a
Δ
Δ
=
−
−
=ϑr ϑr ϑr r
1 2
1 2
Tịnh tiến ϑr2về ϑr1 => a
t
ϑ
Δ → =
Δ
r
2/ Vectơ gia tốc tức thời: a r
Trang 3lim
t
y
a
t
d
a
dt
a a i a j a k
d
d
a
ϑ
ϑ
ϑ
ϑ
Δ →
Δ
=
Δ
=
= ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ +⎜ ⎟
r r
r
r
r
r
r
r
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧ Điểm đặt: điểm đang xét M Phương: đường thẳng đi qua M Chiều: hướng về bề lõm của quỹ đạo Độ lớn:
2 2
2
2 2 2
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
+ +
=
=
dt
d dt
d dt
d
a a a a a
z y
x
z y x
ϑ ϑ
ϑ
r
2
k
Vd:
dt
ϑ
r
Vectơ gia tốc tức thời được chiếu lên phương tiếp tuyến và pháp tuyến, ta có vectơ gia
tốc tiếp tuyến và vectơ gia tốc pháp tuyến art
n
ar
Vectơ gia tốc tiếp tuyến a rt
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎨
⎧ Điểm đặt: điểm đang xét Phương: tiếp tuyến với quỹ đạo tại M (cùng phương ϑ
Vectơ gia tốc tiếp tuyến đặc trưng cho sự biến đổi về độ lớn của vectơ vận tốc Chiều
đặc trưng: chậm dần, nhanh dần
t
ar
M
r) Chiều: dϑ > 0 , 2 1
a r n
Do đó để tìm bán kính cong: phải có độ lớn ϑrvà ar n
Vectơ gia tốc pháp tuyến đặc trưng cho sự thay đổi về phương của vectơ vận tốc arn
n
ar nhỏ => R lớn
ϑ
> : chuyển động nhanh dần =>r ϑr
dϑ < 0 , ϑ ϑ2 < 1: chuyển động chậm dần =>a rt ↑↓ ϑ r
Độ lớn:
dt
d a
art = t = ϑ
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧ Điểm đặt: điểm đang xét Phương: đt ⊥ tiếp tuyến với quỹ đạo tại M Chiều: hướng vào tâm của vòng tròn quỹ đạo tại M Độ lớn:
R
an
2
ϑ
= (R: bán kính quỹ đạo tại M)
Trang 41
ϑr
1
n
ar
2
ϑr
n
ar lớn => R nhỏ an2
r
r
Vectơ vận tốc tức thời:
2 2
n t
n t a a a
a a a
+
=
+
=
r
r r r
ar đặc trưng cho sự thay đổi về độ lớn và phương của vectơ vận tốc
1.5 Chuyển động thẳng:
Quỹ đạo là đường thẳng: →R=∞→a n =0 (vì n = 2 ;R=∞→a n =0
R
Nên đưa chuyển động thẳng về 1 trục -> chỉ cần 1 thành phần để biểu diễn
2 2
~
~
x
r x i x
dx i
dt
d d x
a a i a a
dt dt
ϑ ϑ ϑ ϑ
ϑ
r r
r r
1/ Chuyển động thẳng đều: (ϑr=constuuuuur)
0 0
0
x t x dt dx
dt dx const dt
x
+
=
⇔
=
⇔
=
⇒
=
ϑ
2/ Chuyển động thẳng thay đổi đều: (ar =const)
0
n
ar = ⇒ar = art =constuuuuur
dx
dt
dx at
dt a d dt
d a
t x
x
t
0
2 0
0
0
0 0
2
1
0
0
ϑ ϑ
ϑ ϑ
ϑ
ϑ ϑ ϑ
+
=
−
⇔ +
=
⇒
= +
=
⇒
=
→
=
∫
∫
∫
∫
Hay:
( 0)
0 2
0 0 2
2 2 1
x x a
x t at x
−
=
−
+ +
=
ϑ ϑ
ϑ
r cùng chiều ϑr→ chuyển động nhanh dần đều
Trang 51.6 Chuyển động tròn: quỹ đạo là đường tròn ⇒ R = const
1/ Vectơ vận tốc góc ωr:
ω r
Liên hệ giữa r r Rr
, ,ω
ϑ : ϑ ωr= ×r Rr
2/ Vectơ gia tốc góc: βr
β r
Liên hệ giữa art r Rr:
, ,β art = ×βr rR ( ar cùng chiều t ϑr: nhanh dần)
2
t
n
t n
R
β
ω β
=
3/ Chuyển động tròn đều:
0 0
0
0
θ ω θ ω
θ
θ ω
ω
ϑ
θ θ
+
=
⇒
=
⇒
=
=
=
→
=
=
⇒
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
=
=
∫
∫d dt t dt
d const
a a a
const a
const R
const
t
n t
n
r
r r r
r
4/ Chuyển động tròn thay đổi đều:
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧ Điểm đặt: điểm∈∀ trục vòng tròn quỹ đạo (vectơ trục) Phương: trục của vòng tròn quỹ đạo
Chiều: theo quy tắc vặn nút chai
Độ lớn:
ϑr
t ar
ω r
β
R dt
dS R dt
R
S d dt
ω
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
=
r
n
ar
R
r
r
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎨
⎧ Điểm đặt: ∀ điểm∈trục vòng tròn quỹ đạo (vectơ trục)
Phương: trục của vòng tròn quỹ đạo Chiều: dω> →0 βr cùng chiều ωr (chuyển động nhanh dần)
0
dω < →βr ngược chiều ωr(chuyển động chậm dần)
Độ lớn:
R
a dt
d R dt R d dt
=
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
=
ϑ ω
β
Trang 60 0
0
,
ω β ω β
ω
ω β
β β
ω ω
+
=
⇒
=
⇒
=
=
⇒
=
⎭
⎬
⎫
=
=
∫
dt d
const a
R a
const R
const
t
t t
r
0
0
2
1
0
θ ω β θ ω
β θ
θ
θ
+ +
=
⇒ +
=
⇒
dt
0
ω − = −
1.7 Chuyển động trong gia tốc gr
:(chuyển động parabol)
0
0
0
(1)
t
t
a g gj
d
dt
d gj dt
ϑ ϑ ϑ ϑ
ϑ ϑ ϑ
= = −
∫ ∫
r r r r
r
r r
r r
Mà: ϑr0 =(ϑ0cosα) (ir+ ϑ0sinα)rj
dr
dt
0
0
2
2
1
2 1
2
r
r r
r
r r
r r
r
y
x ϑ ϑ
ϑr = +
mà:
0
2
1
2
x
y
r hj
=
r r
r
=> phương trình quỹ đạo:
0 2
0
cos
cos 1
sin 2
x
ϑ α
ϑ α
ϑ α
⎪⎪
⎨
⎪⎩
(3)
g
Trang 7Các vấn đề thường gặp:
• Ở độ cao cực đại: (B): tiếp tuyến nằm ngang →ϑy =0 ; a nB =g
g
t B ϑ0sinα
=
B Bx
ϑ =0⇒ = 0cos = =>
Ta có:
R
a n
2
ϑ
= =>
• Độ cao max: thế tB vào (1)
2 0
0 2
0
1
sin 2
1
2 sin 1 2
B
B
g
ϑ α
ϑ α ϑ αϑ α
0
x
B
M
B
ϑ r
ϑr
0
ϑr
gr
α
gr
A
C 0
g a
R
n
B B
α ϑ
ϑ 2 2
0
=
• Tại điểm chạm đất (C):
* Thời gian chạm đất; 2
0
1
2
y = − gt +ϑ αt + = ⇒ > h t
0
2 cos
g
g
t C 2ϑ0sinα
=
• Khi ném tại mặt đất (h=0)
*Tầm xa :
2 sin cos sin 2
C x
C max α = 45o
*Độ cao cực đại:
0 sin 1 2
B y
g
=
* Bán kính cong của quỹ đạo tại C: ( at=gsinα ; an=gcosα ; ϑc=ϑ0 )
α
ϑ ϑ
cos
2 2
g a
n
C
C = =
@Hỏi góc α?: ϑ0,x C cho trước
1 2
2
2
2
C
o
α β
⎧ =
=
= −
⎩
Trang 81.8 Phép biến đổi vận tốc – gia tốc:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+
=
+
=
+
=
o o o
a a a
r r r
r r r
r r r
r r r
' '
'
ϑ ϑ
b n t b
ϑr = 'r +r
• Quan niệm cơ học cổ điển:
Thời gian có tính tuyệt đối, không phụ thuộc vào hệ quy chiếu Trong khi vị trí, không
gian có tính tương đối, phụ thuộc vào hệ quy chiếu
Xét 2 hệ quy chiếu O, O’ ; và O’ chuyển động tịnh tiến so với O khi đó chuyển động
điểm M đ/v O và O’:
:
O r xi yj zk
O r x i y j z k
OM OO O M
r r r
r r r
uuuur uuuur uuuuur hay:
o o o
a a a
r r r
r r r
r r r
r r r
+
=
+
=
+
= ' '
' ϑ ϑ ϑ
M
x’
x
y
rr
'
rr
0
rr
y’
Vận tốc đie
⎧ :ϑ åm M so với O
Vận tốc điểm M so với O’
Vận tốc của O’ so với O Gia tốc điểm M so với O Gia tốc điểm M so với O’
Gia tốc của O’ so với O
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
r
:
:'
o
ϑ
ϑ
r
r
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
:
:'
:
o
a
a
a
r
r
r