BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 ĐẠI HỌC BK TP HCM

Ch ng minh Sup A∪ =MaxSupA, SupB.

BÀI GI NG

TOÁN CAO C P (A1)

CH NG I: GI I H N C A DÃY S

1.1 S TH C

1.1.1 Các tính ch t c b n c a t p s th c

A S c n thi t m r ng t p s h u t Q

Do nhu c u đòi h i c a cu c s ng,t p các s t nhiên N={0,1,2, }, c s c a phép đ m đã

đ c m r ng sang t p các s nguyên Z={0,±1, ±2, } Sau đó, do trong Z không có các ph n

t mà tích v i 2 ho c 3 b ng 1, nên ngu i ta đã xây d ng t p các s h u t Q, đó là t p g m các s

đ c bi u di n b i t s c a hai s nguyên, t c là s th p phân h u h n ho c vô h n tu n hoàn

N u ch d ng l i trên t p Q thì trong toán h c g p ph i nhi u đi u h n ch , đ c bi t là g p khó

kh n trong vi c gi i thích các hi n t ng c a cu c s ng Ch ng h n vi c tính đ ng chéo c a hình vuông có kích th c đ n v ng chéo đó là 2không th mô t b i s h u t Th t v y

B S vô t

M t s bi u di n d i d ng th p phân vô h n không tu n hoàn,hay không th bi u di n

d i d ng t s c a hai s nguyên đ c g i là s vô t

C S th c

T t c các s h u t và s vô t t o thành t p h p s th c

Kí hi u t p s th c là R

V y t p s vô t là R\Q

Ng i ta có th xây d ng t p s th c R nh vào m t h suy di n hay nói cách khác nh vào

m t h tiên đ Chúng ta không trình bày đây mà coi r ng t p h p s th c R là quá quen thu c

và ki m tra l i s tho mãn tiên đ đó Chúng ta coi đó là các tính ch t c a t p h p R

Tính ch t 1: T p R là m t tru ng giao hoán v i hai phép c ng và nhân: (R, + , )

R R a

c b c a b a R c b a

,

,,,

3 ∀a,b∈R+,a+b∈R+,ab∈R+

Tính ch t 3: T p R là đ y theo ngh a sau đây:

M i t p con X không r ng c a R b ch n trên trong R đ u có m t c n trên đúng thu c R và

m i t p con không r ng X c a R b ch n d i trong R đ u có m t c n d i đúng thu c R

G i s nh nh t trong các c n trên c a X trong R là c n trên đúng c a X trong R, kí hi u

s đó là M* hay SupX (đ c là Suprémum c a X)

G i s l n nh t trong các c n d i c a X trong R là c n d i đúng c a X trong R, kí hi u

± 2∈R \ Q nh ng

Q R

Q R

\2.2

\)2(2

∉

∉

−+

2 ∀x∈R\Q,∀y∈Q,x+y∈R\Q

Q R x

Q R xy

\1

d dàng ch ng minh 6∉Q (t ong t nh ch ng minh 2∉Q) Theo chú ý trên suy ra q+1=0

và q2+1=0 i u này là mâu thu n V y q∉Q

Ví d 2: Tìm các c n d i đúng và c n trên đúng trong R n u chúng t n t i c a t p

,,

)1(2

1

N n u N

n n

8

12

11

2

13

112

12

1

4

30

2

12

1

1

1 2 1 2 1

2 1 2

2 2 2

−

≤

−

⇒+

=

+ +

+ +

u

u p

p u

u u p

u

p p

p p

p p

Ví d 3: Cho A, B là hai t p không r ng c a R và b ch n trên

a Ch ng minh Sup (A∪ )=Max(Sup(A), Sup(B)) B

b G i A+B={x∈R,∃(a,b)∈A×B,x=a+b}, ch ng minh

Sup(A+B) = Sup(A) + Sup(B)

B b

SupA a

A a

b a B A b

2,

B b

SupA a

A a

)(

,

*

B A Sup SupB SupA

M

SupB SupA

b a B A b a

+

=+

=

∃

⇒

−+

>

++

∈+

∃

1.1.2 T p s th c m r ng

Ng i ta thêm vào t p s th c R hai ph n t kí hi u là − và ∞ +∞ T p s th c m r ng

kí hi u là R và R=R∪{−∞,+∞}, các phép toán + và , quan h th t đ c đ nh ngh a nh sau:

1 ∀x∈R

−∞

=+

=+∞

+

x x

x x

)()(

)()(

++∞

)()(

)()(

=+∞

x x

x x

)()(

)()(

=+∞

x x

x x

)()(

)()(

4

−∞

=+∞

+∞

))(

())(

(

))(

())(

(

5 ∀x∈R

+∞

≤

∞+

Cho a,b∈R và a≤b Trong R có chín lo i kho ng sau đây:

[ ]a,b ={x∈R;a≤x≤b}đ c g i là đo n hay kho ng đóng b ch n

(a b] {x R a x b

b x a R x b a

;,

b x a R x b a

a x R x a

x a R x a

;,

;,

;,

;,

;,

} }

x khi x

n

i i n

i i n

x x R x

x x

R x x x x N

n

y x xy R

y x

,,,,

,,

1 1

3 2 1

4

x x R

∈

∀

n i i n

i i

x x x N n

y x y x R y x

1 1

2 1

*

,,

,,,

,,

y x y x y

x Max R y x

−

−+

=

−++

2

1),(,,

−

→

×a,:

ó là hình nh tr c quan v kho ng cách gi a 2 đi m x và y trên đ ng th ng tr c s

1.2 S PH C

)

Chúng ta đã bi t r ng trong tr ng s th c R không th phân tích thành th a s tam th c

th c này thành d ng

c bx

ax2 + +

04

∈

∀

'

' '

' 4

' '

,,

,,

y y

x x iy

x iy x R

y x y x

z z z z z z

z z z z

=

⇔

=

−+

=

−

T các phép toán trên, nh n đ c các tính ch t d i đây:

1.∀z∈C,z= z

2.∀( )z,z' ∈C2, z+z'= z+z'

z z z C

i i

n i i n

i i n

z z

z z

C z z z N n

1 1

1 1

2 1

*

,,

,,,

C C C z C

∀

'' z

z z

G Phép lu th a, công th c Moavr ( Moivre)

Cho z=r(cosθ+isinθ ), ∀k∈Z

z N

=

π θ

ρ

k n

N n e

r

k i n n

π θ

1 , 0

\

1 0

1

1 1

k

N n

ω

ω ω

ω

d Các s ph c ωkbi u di n trên m t ph ng ph c b i các đ nh c a m t đa giác đ u n c nh

n i ti p trong đ ng tròn l ng giác và m t trong các đ nh là đi m có to v b ng 1 a giác này

nh n 0x làm tr c đ i x ng, ch ng h n v i n=2, n=3, n=4, bi u di n hình h c các s ωkcho trên hình 1.2

y y y

2

32

1

i

−

−n=2 n=3 n=4 h.1.2

Ví d 1: Hãy tìm t t c các ánh x f : C → C sao cho:

R i

z

i z z

C C f

khi ) 1 ( 1

, khi

khi

1 :

α β

β α α

1

1

1θ

2 , 3 ,

2

π θ

) 12

5 cos(

2 4

z = trong đó z1 = 3 − i , z2 = 1 + i

4 ,

2

6 ,

2

2 2

2 2

1 1

1 1

π θ

π θ

r

Argz z

r

5 )

4 6 (

2 2

π π

π

i i

e e

−

=

3 2

2 3

Argz

z r i z

3

2 sin 3

2 (cos

1 ) 3

5 sin 3

5 (cos 2

) 3 ( 8

1 ) 6

7 sin 6

7 (cos 2

) 3 1 ( 8

1 ) 3

2 sin 3

2 (cos 2

) 3 ( 8

1 ) 6

sin 6 (cos 2

4 4

3

4 4

2

4 4

1

4 4

0

i i

i i

i i

i i

−

= +

=

+

−

= +

=

+

−

= +

=

+

= +

=

π π

ξ

π π

ξ

π π

ξ

π π

ξ

Ví d 3 Tìm môđun và acgumen c a s ph c 200

100

) 3 (

) 1 (

i

i z

1 . −

= z z z

6 ,

2

4 ,

2

2 2

2

1 1

1

π θ

π θ

Argz z

200 ,

2 200 2 200

200

Argz z

Ví d 4: Ch ng minh r ng ∀z∈C thì

11

2

11

2 ≥+

≥+

⎢

⎣

⎡

z z

2

11

2

z z

04

32204

320

4

32

0)(

2)(

2 2

2

2 2 2

2

2 2 2 2 2

<

++

<

−++

x x x

y x

y x x

y x

y x y

x

02

12

31' = − =− <

c

b c

1,aa

a

b Arg a

c

b c Arg

b

a Arg a c

b c Arg

k b

a a c

b c Arg

b

a a c

b c a

b b

a c a

c b b

a a c

b c b

a a c

b c

21

02

0

.1

111

11

2

2 2

2 2

Ví d 6: Cho a∈Rhãy tính c n b c 4 trong t p C c a s ph c:

z =8a2−(1+a2)2 +4a(1+a2)i

Gi i:

Nh n xét [ 2 ]2

)1(

)1()1(2

1)

1(2

)1()1(2

1)

1(2

i a a

i a a

i a a

i a a

Suy ra các giá tr c a 4 z s là:

2

2,

)1()1(2

⇔+

=

04sin

cos24cos

cos2)4sin4

(cos

3

3 4

θ

θ θ

ς

θ θ

θ

z z z

θ

πθ

cos2

0cos

204

θ

ππ

θ

cos2

0cos

24

L y 6

1

24

5sin4

5cos2

)1(24

3sin4

3(cos22

3 1 6

1 4

3 1 6

1 3

3 1 2

i i

z

i i

z z

ππ

1.2.3* Áp d ng s ph c vào l ng giác

A Khai tri n cosnθ,sinnθ,tgnθ

Cho θ ∈R,n∈N*.Áp d ng công th c Moivre và công th c nh th c Newton

=

−

=+

=

k

k k k n k n n

i C

i n

i n

0

sin.cossin

cossin

θ θ

θ θ θ

θ

3 3 3 1

1

2 2 2

sincos

sincos

sin

sincos

coscos

n n n

n

n n n

C C

n

C n

Sau khi thay 2θ 2θ vào các công th c trên s có:

cos1

θ θ

θ θ θ

θ θ

θ

1cos

coscossincos

sin

tg C tg C

tg C tg C n

n n

n tgn

n n

n n

n n

B Tuy n tính hoá pθ pθ pθ qθ

sin.cos,sin,cos

ω ω ω ω

θ ω

1sin

2

1cos

2,

i

e N

p

V y

p p

sin2

S d ng công th c nh th c Newton và xét các tr ng h p sau đây:

=

++

+

−+

=

++

) 1 2 ( 2

2 1

2 1

2

2 2

2 2 2 1 2 2

2 2

2

)(2cos2

12

cos

2cos2

`)1(2cos2

2cos2

11

cos2

m k

k m m

m m

m

m m m

m m

m m m

m m m

m m

m

k m C

C

C C

m C

m

C C

θ θ

θ θ

θ

ω

ω ω

ω θ

−

−

=

−++

−

−

=

−++

2 2

) 1 2 ( 2

2 1

2

2 2

2 2 2 1 2 2

2 2

2

)(2cos)

1(2

)1(12

sin

)1()

1(2cos2

2cos2

)1(1

1sin

)1(2

m k

k m k m

m

m m m

m

m m m m

m m m m

m m m

m m

m m

k m C

C

C m

C m

C C

θ θ

θ θ

ω

ω ω

ω θ

LL

+ +

+

−

− +

+ +

+ +

−+

=

++

−+

k m m m

m m m

m m m

m m

m m

m m

k m

C

C m

C m

C C

0 1 2 2 1

2

1 2 1

1 2

1 2 1

2 1 2 1

1 2 1 2 1 2 1

2 1 2

)212cos(

2cos

cos2

)12cos(

2)12cos(

2

11

1cos

2

θ θ

θ θ

θ

ω

ω ω

ω ω

ω θ

θ

ω

ω ω

ω θ

)212sin(

)1(12sin

sin)

1(2)

12sin(

.2)12sin(

2

11

sin)1(2

1 2 0

2 1

2

1 2 1

1 2

1 2 2

1 1 2 1 2 1 2 1

2 1

2

k m

C

C i

m C

i m

i

C i

k m m

k

k m

m m

m m m m

m

m m m

m m

m m

−+

−

−

=

−++

−

−+

+ +

−

− +

+ +

+ +

∑

LL

sin

sau đó th c hi n phép nhân r i cùng tuy n tính hoá các s h ng thu đ c

θ

p

sin,cos

k n n

k

C

0 0

)sin(

),cos(

Gi i:

=

= + =

=

k

k ib ia n

k

kb a i n

C

0 0

) (

.2

1sin.2

sin22

1sin21

2

2 ) 1 ( 1

b

b n e

b i e

b

n i e

e e

e e iS C

nb a i b

i

b n i ia ib

n ib ia n n

2sin2

1sin2sin,

2sin2

1sin2

cos

b

b

n nb a S

b

b

n nb a

12

1sin

n

n k

Gi i:

Vì sin0 = 0 và sink ≤1 nên

n n

n k n

k k

k k

n k

n k n

k n

k n

k

cos.1sin

)1sin(

.2

12

12

cos.2

121

)2cos1(.2

1sinsin

sin

0

0 0

2 0

1cos

.1sin

)1sin(

≤

+

n n

nên

1sin2

12

1sin

n k

n n

11,

1,

)1(),

1 1

2

1, ,

a u n n

a u n n N

n n

n n

n

2 M i dãy không b ch n s phân k

3 M t dãy ti n t i +∞ thì không b ch n trên, đi u ng c l i không đúng, ch ng h n:

4 u a u n a

n n

n n

u b

v a u

n

n n n

n n

0 n0 n n0 u n a

λ

λλ

5 ∃M ∈R+ sao cho ∀n∈N,v n ≤M

εε

εε

u v u

M u

n n n

n n n n

n

1

1,

b v

b b v n n N

∃

b b v

b v b

n n

2,

0

2 2

2

b b v n n N

n

11

0

Ta th y

n n n

n

v

u v

= ,theo 6 ta nh n đ c

b

a v

u a a l l u n n n

n n

n n

1 1

,,

a u n

k n

n u

1

*

2 ,lim

lim

Gi i:

1lim1limlim

1

11

,

1 2

2 2 1

2 1

=+

≥

=+

=+

≤+

n n n

n n

k n

n n

k n

k n

u w

v

w n

n n n

n u

v n

n n

n k

n

n u

N n

1 0

lim

a khi

a khi

a khi

an

n

⇒+∞

=

+

≥

=+

n

n i

i i n n

n

a nh

nh

nh h

C h

a

lim)

1(lim)

(lim

11

n n

a a

a a

V i a=0 rõ ràng an = 0,∀ ⇒lim =0

∞

→

n n

n a n

Xét a=1⇒ =1⇒lim =1

∞

→

n n

n

a a

=

=

1 0

0

11

1

11

1

k

n k

n k n

n k

k n

k n

n n

n n

a n a

C a

a C a

a a

⇒∀n∈N* thì 0≤ −1≤ −1= ⇒lim =1

∞

→

n n n n

a n

h C a

n k

k k n

n

−

≥

−++

n n

1

2 1

lim2

α α α

n

a n

a n

a n

n

n n

2

.1

n

a n

a a a n

a n

a n

a a a n

a

n n

u n

= ∑

=

n k n

k n

0)22)(

12(

11

122

112

1

1

≤+

≤

>

++

=+

−+

++

=

−

+

n n u

n n

n n

n u u

n

n n

x x

n n n

1

1 1

Suy ra xn2 ≥ 5 hay

n n

2

5 lim lim

n

x x

T đó ta có

a

a a

v v

u u

n n

n n

u u n n N n

n n

n n

1

1 0

,

n n

n

v v lv

u lv u

v v lv

u lv

+

1 1

1

1 1

+

−

−++

−

−+

−++

n n

k n

n k n

n n

n n n

n n

n n n n

n n n

n n

e

n

n n

11

11

!

11

1

21

11

!

11

1

!2

111

1

2.1

)1) (

1(1

3.2.1

)2)(

1(12.1

)1(11

11

3 2

LL

LL

L

Suy ra

)11

()1

11()!

1(

1)1

11()1

11(

!

1)

1

11(

!2

1111

−+++

−++

n

n n

n n

n n

n n

11

12

12

!

1

!3

1

!2

12

G i gi i h n c a (en) là s e, rõ ràng e > 0.Sau đây dùng s e làm c s c a logarit

1

'

n n e

!

1lim

1(

1

!

1)!

1)(

1(

1)!

1(1

!

1)!

1)(

1(

1

' ' 1 1

++

−

=

−++

++

=

−+++

n n

n n n

n e e v

!

12

!1

' 0

* '

q q q

a q

p q

a v e e

N a q

a q k

e

q q

q k q

!

1)

21)(

11(

!3

1)

11(

!2

12

n

k n

k n

n n

−

−++

−

−+

−+

1

!2

u 1 < n2 < < nk <

G i ( ) là m t dãy con c a (u

k n

H qu : (un) h i t đ n đi u ki n c n và đ là hai dãy con (ul 2n) và (u2n+1) đ u h i

đ n l

Ch ng minh:

i u ki n c n suy t đ nh lí 1

i u ki n đ : :∀ε >0, ∃n1,n2,∀p >n1 ⇒ u p −l <ε

Ch ng minh: Dùng ph ng pháp chia đôi

Ta s xây d ng b ng qui n p hai dãy th c (an), (bn) k nhau và m t dãy con

u

vô h n Do đó t n t i (an+1,bn+1)∈R2 sao cho a n+1 ≤b n+1 T p {u n [a n b n ]k N}

k ∈ +1, +1, ∈ là

2

1)(

2

1

0 0 1 1

N n

120

0

20

1 2

2 2

→+

n u

n

n u

x f x

R X

E Hàm s b ch n

1 Hàm s (x) b ch n trên trong X n u t n t i s A sao cho:

f A x f X

2 Hàm s f (x) b ch n d i trong X n u t n t i s B sao cho:

B x f X

F Hàm s h p

Cho f : X →R và g: Y →R v i f(X)⊂Y g i ánh x

))((

:

0

x f g x

R X f g

a

X

+

≤+

1 N u f,g:X → R b ch n trên và không âm thì f g b ch n trên và

Sup(f(x).g(x)) Sup f(x).Sup g(x)

X X

+

≤

Theo h qu suy ra Sup(f(x) g(x)) Sup f(x) Sup g(x)

X X

(

)()

(

)(

1))(

1(

x f Sup x

f

x f Sup x

f Sup

x f Sup x

f Sup

X X

X X

X X

λ λ

λ λ

λ λ

λ λ

( Inf ))

( ( )

( ))

( ( )

(

x f Sup x

f x

f Sup x

f

X X

x ng nhau qua đ ng phân giác c a góc ph n t th I và III

)(

1

x f

Ví d 1: Cho f,g:R → R tho mãn ∀x,y∈R, (f(x)− f(y))(g(x)−g(y))=0

Ch ng minh r ng ít nh t m t trong hai hàm s là h ng s

0))()())(

()((:

x g a g x f b f

x g a g x f a f R x

Tr t ng v và đ ý đ n g(a)=g(b) suy ra:

(f(a)− f(b))(g(a)−g(x))=0⇒ g(x)=g(a)

Ví d 2: Tìm hàm f (x) trên R sao cho x.f(x)+ f(1−x)= x3+1 ∀x∈R

Gi i: Gi s t n t i f (x),thay x b i 1-x vào h th c đã cho:

( ))

( ) ( (

1 , 0 1

, 0 1

, 0

1 , 0 1

, 0 1

, 0

x g Sup x f Sup x

g x f Sup

x g Sup x

f Sup x

g x f Sup

=

=

1 , 0 1

, 0 1

, 0 1

, 0 1

, 0 1

,

0

;11))

()((

;1)()

(x Sup g x Sup f x g x Sup Sup

* +

∈ R

.exp

a x a R

\

* +

∈ R

y

a x x a y

R R y

∀( , ) +* , log

th c a hàm s y =loga x cho b i hình h.2.3 Chú ý: Hàm lu th a có th m r ng khi mi n xác đ nh là R

2 ∀x,y∈R+*,

y x

y x

y x

xy

a a

a

a a

a

logg

lolog

loglog

4 cotgx xác đ nh trên R\{kπ,k∈Z}, là hàm s l , tu n hoàn v i chu k T =π và nh n giá tr trên kho ng (−∞,+∞)

1,

•∀x∈[ ]−1,1,sin(arcsinx)=x

• f(x)=arcsin(sinx) là hàm l , tu n hoàn v i chu k 2π và cho d i d ng:

π

,2

2,0)

(

x x

x x

x f

nÕu

nÕu

th c a y=arcsinx cho trên hình 2.4

cos π

V y

2arcsin

=

x

3 Hàm actang là ánh x ng c c a ,

2

,2

R arctg

)

x x x

R g arc

V y ta có x R y y arccotgx x cotgy

2,0

Chú ý:

•∀x∈R, cotg(arccotgx)=x

• k(x)=arccotg(tgx) xác đ nh trên R\πZ,tu n hoàn v i chu k π và

),0(,)

F Các hàm hypebôlic thu n

1 Hàm sinhypebôlic là ánh x sh:R →R xác đ nh nh sau:

∀x∈R, shx= (e x−e−x)

21

shx thx R

chx x R

2 2

b

y a

x Hyperbon x

sh x

acht x

• ch(a+b)=cha.chb+sha.shb ; sh(a+b)=sha.chb+shb.cha

ch(a−b)=cha.chb−sha.shb ; sh(a−b)=sha.chb−shb.cha

thb tha

thb tha b

a th thb

tha

thb tha b

a th

.1)(

;.1)(

−

−

=

−+

+

=+

• ch2a=ch2a+sh2a =2ch2a−1=1+2sh2a

sh2a=2sha.cha

a th

tha a

1

22+

2

1);

12(2

2ch p q ch p q chq

=+

2

22

2

22

2

q p sh q p ch shq shp

q p ch q p sh shq shp

q p sh q p sh chq chp

−+

=

−

−+

=+

−+

=

−

Tính ch t đã nêu lý gi i tên g i sinhypebôlic,

th c a các hàm shx, chx cho trên hình 2.8, còn đ th các hàm thx, cothx cho trên hình 2.9

Bi u th c logarit c a hàm hypebôlic ng c:

1 Tr c h t th y ngay r ng Argshx là hàm s l và vì:

)(

2

e e x shy x Argshx

Argshx R

e e x

x

x e

e e

x e

e

e e x

thy x Argthx y

R y x

y y

y y

y

y y

⇔+

11

11

)1(

,),

1,1(

2 2

1,1(

2

1Argthx

1

1ln2

11coth

,1,1

Argth x

Arg R

0, , , )

a a

P X

x

0

)( ,

N u a n ≠0, g i n là b c c a đa th c, kí hi u degP(x)=n

2 Ánh x f : X →R đ c g i là hàm h u t khi và ch khi t n t i hai đa th c

P,Q: X →R sao cho

)(

)()(,0)(,

x Q

x P x f x

Q X

G i

)(

)()(

x Q

x P x

f = là hàm h u t th c s khi và ch khi: degP(x)<degQ(x)

3 Hàm h u t t i gi n là các phân th c có d ng:

k

a x

A

)

q px x

C Bx

D i đây ta đ a ra các đ nh lí đ c ch ng minh trong lí thuy t đ i s

nh lí 1: M i đa th c b c n v i các h s th c đ u có th phân tích ra th a s trong d ng:

m l

m m k

l k

a x

P( )= ( −α1) 1 ( −α ) ( 2 + 1 + 1)β1 ( 2+ + )β

Trong đó αi(i=1,l) là các nghi m th c b i k i c a đa th c còn p j,q j,βj∈R

v i j =1,2, ,m và k n p j q j j m

m j j l

i

1 1

=

<

−

=+ ∑

∑

=

=

,

logloga x− a2 x+ a4 x =

Gi i:

i u ki n x ∈ R+*

a x a x

a a

a x

4

3ln

4

1ln

2

1ln

1ln

Ví d 5: Cho n∈ ,N x∈R hãy tính ( ch x ) P

n k

k − =

∏

=0

122

Gi i:

12

12

2122

12

21

22

12

12212

12214

12

2

1 1

0

2 2

+

+

=+

x ch x

ch P

cht

t ch cht

t ch t

ch t

t ch t ch

n n

o k

k

k n

k

k

x f

Argth Argth

thx

thx Argth

x f

xy

y x Argth xy

y x xy

y x y

x xy

y x xy

y x

y x y

y x

x Argthy

Argthx

2ln2

1)(3

13

113

1)

(

11

11

1ln2

11

1ln21

11

11ln2

11

1ln2

11

1ln21

=+

=+

+

−+

++

=

−

−+

+++

=

−

−

++

=

−

++

−

+

=+

Ví d 7: Gi i ph ng trình: arcsin(tgx)=x

4

,41

,1

2

,22

π π

π π π

π

x tgx

x k

, 1

cos

0sin

0cos

11sin

sin

)arcsin(sin)

arcsin(

Z k k

x x

x

x x

x tgx

x tgx

πππ

2.1.3 Hàm s s c p

nh ngh a: Hàm s s c p là nh ng hàm s đ c t o thành b i m t s h u h n các phép tính c ng, tr , nhân, chia và các phép l y hàm h p đ i v i các hàm s s c p c b n và các