(Luận văn thạc sĩ) phổ đồ thị và ứng dụng

Mỗi véc tơ x được gọi là một véc tơ riêng của ma trận A haycủa đồ thì được gán nhãn G tương ứng với giá trị riêng λ.. Đồ thị G là chính quy bậc r nếu và chỉ nếu tất cả các véc tơ 1 là mộ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

PHẠM VĂN QUANG

PHỔ ĐỒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 60460113

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS TS LÊ ANH VINH

HÀ NỘI−2017

LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết

ơn sâu sắc tới PGS TS Lê Anh Vinh, người đã tận tình hướng dẫn để em cóthể hoàn thành luận văn này

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáotrong khoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học QuốcGia Hà Nội đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa.Nhân dịp này em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Trường Trung họcphổ thông Khoa Học Giáo Dục - Đại học Khoa học Giáo dục - Đại học QuốcGia Hà Nội đã tạo điều kiện giúp đỡ trong quá trình hoàn thành chương trìnhđào tạo và hoàn thiện luận văn này

Hà Nội, ngày 07 tháng 04 năm 2017

Học viên

Phạm Văn Quang

Mục lục

Lời nói đầu 2

Chương 1 Phổ của đồ thị 3 1.1 Khái niệm cơ bản 3

1.2 Một số khái niệm khác 8

1.3 Một vài kết quả từ đại số tuyến tính 13

Chương 2 Phổ và các phép toán đồ thị 25 2.1 Phần bù, hợp và nối các đồ thị 25

2.2 Phổ của các đồ thị đặc biệt 31

Chương 3 Một số ứng dụng của phổ đồ thị 35 3.1 Ứng dụng trong đếm số đồ thị con 35

3.2 Ứng dụng xác định bậc chính quy và tính hai phần 38

3.3 Ứng dụng xác định tính liên thông 42

3.4 Ứng dụng của giá trị phổ lớn thứ 2 44

3.4.1 Giá trị riêng lớn thứ hai 44

3.4.2 Giá trị riêng với môđun lớn thứ hai 46

3.5 Phổ đồ thị và bài toán của Richard Brualdi 47

3.5.1 Đối phổ của đồ thị theo chuẩn `pn 50

3.5.2 Đối phổ của đồ thị hai phần đầy đủ 52

Kết luận 55

Tài liệu tham khảo 56

LỜI NÓI ĐẦU

Trong toán học và tin học, lý thuyết đồ thị là lĩnh vực nghiên cứu rất quantrọng và có nhiều ứng dụng Trong thực tế có nhiều bài toán như mạng lướiliên kết website, mạng lưới giao thông, có thể biểu diễn bởi một cấu trúc đồthị nào đó Do vậy, sự phát triển của các thuật toán xử lý đồ thị là một trongcác mối quan tâm chính của khoa học máy tính và toán học ứng dụng

Một trong những kết quả đầu tiên trong lý thuyết đồ thị xuất hiện trongbài báo của Leonhard Euler về Bảy cây cầu ở K¨onigsberg, xuất bản năm 1736.Bài báo này cũng được xem như một trong những kết quả tôpô đầu tiên tronghình học, tức là, nó không hề phụ thuộc vào bất cứ độ đo nào Nó diễn tả mốiliên hệ sâu sắc giữa lý thuyết đồ thị và tôpô học

Năm 1852, Francis Guthrie đưa ra bài toán bốn màu về vấn đề liệu chỉ vớibốn màu có thể tô màu một bản đồ bất kì sao cho không có hai nước nào cùngbiên giới được tô cùng màu Bài toán này được xem như đã khai sinh ra lýthuyết đồ thị, và chỉ được giải sau một thế kỉ vào năm 1976 bởi Kenneth Appel

và Wolfgang Haken Trong khi cố gắng giải quyết bài toán này, các nhà toánhọc đã tạo ra nhiều thuật ngữ và khái niệm nền tảng cho lý thuyết đồ thị.Việc ứng dụng rộng rãi trong khoa học kĩ thuật khiến cho lí thuyết địnhtính của đồ thị ngày càng phát triển hơn những năm sau đó Lí thuyết phổ của

đồ thị là một trong những khái niệm quan trọng cho biết được nhiều thôngtin về đồ thị Trong luận văn này, ta tập trung tìm hiểu khái niệm này với nộidung chính được tham khảo trong tài liệu [1], [11] và [12] Bố cục luận văngồm phần mở đầu, ba chương, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo.Chương 1 dành để trình bày một vài khái niệm cơ bản về lí thuyết phổ của đồthị Chương 2 đề cập tới kết quả về phổ của đồ thị và các phép toán trên đồthị Chương 3 dành để nêu lại một số ứng dụng phổ của đồ thị trong việc xácđịnh tính chất định tính của đồ thị đó

Hà Nội, ngày 07 tháng 11 năm 2017

Phạm Văn Quang

Chương 1

Phổ của đồ thị

Mục đích chính của chương này nhằm giới thiệu một vài khái niệm cơ bảncủa lí thuyết đồ thị, đặc biệt là phổ của đồ thị.Các định nghĩa chính dưới đâycủa chương được tham khảo chủ yếu trong sách của D Cvetkovic, P Rowlinson,

S Simic [1]

Cho G là một đơn đồ thị vô hướng hữu hạn và không có khuyên Giả sử cácđỉnh của G được gán nhãn là 1, 2, , n Nếu đỉnh i và j được nối với nhaubởi một cạnh thì ta nói i và j kề nhau và viết i ∼ j Trước hết ta xem xét matrận kề A của đồ thị G được định nghĩa như sau: A = A(G) = (aij), trong đó

aij = 1 nếu i ∼ j và bằng 0 trong các trường hợp khác

Do đó A là ma trận đối xứng với các phần tử trên đường chéo chính bằng

0, các phần tử khác có thể lấy các giá trị là 0 và 1 trong trường hợp bất kỳ,tuy nhiên xuyên suốt luận văn này các phần tử được xem là các số thực Một

ví dụ về đồ thị và ma trận kề của nó được cho trong Hình 1.1

Hình 1.1: Một đồ thị được gán nhãn G và ma trận kề A của nó.

Các giá trị riêng của A là các số thực λ thỏa mãn Ax = λx với véc tơ khác

không x ∈ Rn Mỗi véc tơ x được gọi là một véc tơ riêng của ma trận A (haycủa đồ thì được gán nhãn G) tương ứng với giá trị riêng λ Quan hệ Ax = λx

có thể được mô tả theo cách sau: nếu x = (x1, x2, , xn)T thì

Vì A là một ma trận đối xứng thực, các giá trị riêng là những số thực.Chúng ta thường ký hiệu các giá trị riêng là λ1, λ2, , λn và trừ khi chúng tachỉ ra trong những trường hợp khác, chúng ta giả sử rằng λ1 ≥ λ2 ≥ · · · ≥ λn.Khi cần, chúng ta sử dụng ký hiệu λi = λi(G) (i = 1, 2, , n)

Định nghĩa 1.1.1 Tập các giá trị riêng của ma trận kề A của đồ thị G đượcgọi là phổ của đồ thị G

Giá trị riêng lớn nhất λ1(G) được gọi là chỉ số (index) của G Với mọi sốnguyên k ≥ 0, moment phổ thứ k của G là Pn

i=1λki ký hiệu bởi sk Chú ý rằng

sk là tổng đường chéo của Ak và n moment phổ đầu tiên xác định phổ của G.Mệnh đề 1.1.2 Nếu đồ thị G có bậc lớn nhất là ∆(G) thì |λ| ≤ ∆(G) vớimọi giá trị riêng λ của G

Chứng minh Với ký hiệu ở trên, đặt u là một đỉnh mà |xu| là cực đại Sử dụngPhương trình (1.1), chúng ta có:

|λ||xu| ≤ X

v∼u

|xu| ≤ |∆(G)||xu|

Vì xu 6= 0, mệnh đề được chứng minh

Mệnh đề 1.1.3 Đồ thị G là chính quy bậc r nếu và chỉ nếu tất cả các véc tơ

1 là một véc tơ riêng của G (với giá trị riêng tương ứng r)

Nếu λ là một giá trị riêng của A thì tập {x ∈ Rn : Ax = λx} là một khônggian con của Rn gọi là không gian riêng của λ và ký hiệu bởi ε(λ) hoặc εA(λ).Các không gian riêng của λ được gọi là các không gian riêng của G Tất nhiên,việc gán nhãn các đỉnh của G sẽ dẫn đến một hoán vị của các tọa độ trong

véc tơ riêng (và các không gian riêng) Vì A là ma trận đối xứng nên nó có thểchéo hóa bởi một ma trận trực giao Vì vậy không gian riêng là các trực giaotừng đôi một và bằng cách ghép với các cơ sở trực chuẩn của các không gianriêng chúng ta thu được một cơ sở trực chuẩn của Rn gồm các véc tơ riêng.Ngoài ra, số chiều của εA(λ) bằng bội của λ như một nghiệm của PG(x) Nóicách khác, bội hình học (geometry multiplicity) của λ tương tự như bội đại sốcủa λ; do đó chúng ta chỉ đề cập đến bội của λ Một giá trị riêng đơn là mộtgiá trị riêng có bội 1 Nếu G có các giá trị riêng phân biệt µ1, , µm tươngứng với các bội k1, , km, chúng ta sẽ viết µk1

Ví dụ 1.1.5 Các giá trị riêng của chu trình có độ dài n là 2 cos2πjn (j =

0, 1, , n − 1) Để thấy điều này, ta quan sát rằng một ma trận kề có dạng

A = P + P−1 trong đó P là một ma trận hoán vị xác định bởi một hoán vịvòng độ dài n Nếu ω căn bậc n của đơn vị thì (1, ω, ω2, , ωn−1)T là một véc

tơ riêng của P với giá trị riêng tương ứng ω Vì vậy các giá trị riêng của A là

số ω + ω−1 trong đó ωn = 1 Vì vậy giá trị riêng lớn nhất là 2 (với bội 1) và giátrị riêng lớn thứ hai là 2 cos2πn (với bội 2) Giá trị riêng nhỏ nhất là −2 (vớibội 1) nếu n là chẵn và 2 cos(n−1)πn (với bội 2) nếu n lẻ

Ví dụ 1.1.6 Đồ thị Petersen (Hình 1.2) có phổ là 31, 15, (−2)4

Hình 1.2: Đồ thị Petersen.

Chúng ta nói rằng hai đồ thị là đồng phổ nếu chúng có phổ giống nhau Rõràng, các đồ thị đẳng cấu là đồng phổ (nói cách khác, phổ là bất biến đồ thị).Tuy nhiên các đồ thị có phổ giống nhau không nhất thiết là đẳng cấu: các đồthị không đẳng cấu trong Hình 1.3(a) có phổ là 21, 03, (−2)1 Đây là ví dụ với

số đỉnh ít nhất Hình 1.3(b) là đồ thị liên thông không đẳng cấu đồng phổ với

số đỉnh ít nhất: đa thức đặc trưng của chúng là (x − 1)(x + 1)2(x3− x2− 5x + 1).Các đồ thị khác nhau được đặc trưng bởi phổ của chúng hoặc cùng với các bấtbiến đại số của chúng

Hình 1.3: Hai cặp đồ thị đồng phổ không đẳng cấu.

Cho đồ thị G với tập đỉnh 1, 2, , n Gọi D là ma trận đường chéo

diag(d1, , dn), trong đó di là bậc của đỉnh i (i = 1, , n) Ma trận Laplaciancủa một đồ thị G là ma trận D − A và ma trận Laplacian không dấu là matrận D + A Ma trận Seidel của G là ma trận S = J − I − 2A, trong đó J là

ma trận 1 kích thược n × n Vì vậy phần tử ở vị trí (i, j) của S là 0 nếu i = j,

−1 nếu i ∼ j và 0 trong các trường hợp khác Giống như các đồ thị chính quy

đã biết, có rất ít sự lựa chọn giữa các ma trận của nó từ quan điểm phổ đồthị Giả sử rằng G là đồ thị chính quy bậc r và A có các giá trị riêng xếp theothứ tự không tăng λ1, , λn Từ Mệnh đề 1.1.2 và 1.1.3, ta có λ1 = r và tất

cả các véc tơ gồm toàn 1 có thể mở rộng tới một cơ sở trực giao của Rn gồmcác véc tơ riêng của ma trận A, rI ± A và J − I − 2A Khi đó D ± A có các giá

trị riêng

r ± r, r ± λ2, , r ± λn,trong đó S có các giá trị riêng n − 1 − 2r, −1 − 2λ2, , −1 − 2λn

Với các đồ thị không chính quy, không có một liên hệ đơn giản giữa các phổkhác nhau; Định lý 1.3.15 sẽ cung cấp một số bất đẳng thức, nhưng bây giờ tađưa ra một ví dụ rõ ràng

Ví dụ 1.1.7 Cho đồ thị như trong Hình 1.1 Các giá trị riêng của ma trậnLaplacian là 5, 5, 3, 3, 0 Các giá trị riêng của ma trận Laplacian không dấu là

Ma trận Seidel có liên quan đặc biệt tới graph switching (thường được gọi

là Seidel switching): cho một tập con U các đỉnh của đồ thị G Đồ thị GU thuđược từ G như sau Với u ∈ U, v /∈ U các đỉnh u, v kề nhau trong GU nếu vàchỉ nếu chúng không kề trong G Giả sử rằng G có ma trận kề trong G là

A(G) = AU B

T

!,

trong đó AU là ma trận kề của đồ thị con cảm sinh bởi U và BT là chuyển vịcủa B Khi đó GU có ma trận kề

A(GU) = AU B

T

!,

trong đó B thu được từ B bằng cách thay 0 bởi 1 Khi G là chính quy thì côngthức này dễ chỉ ra (Xem Ví dụ 1.1.4) Việc tìm kiếm một điều kiện cần và đủtrên U cho GU là chính quy như sau:

Mệnh đề 1.1.8 Giả sử rằng G là chính quy với n đỉnh và bậc r Khi đó GU

là chính quy bậc r nếu và chỉ nếu U sinh ra một đồ thị con bậc k, trong đó

|U | = n − 2(r − k)

Chú ý rằng đồ thị switching đối với tập con U của tập các đỉnh giống như là

đồ thị switching đối với các hợp phần của nó Đồ thị switching được mô tả dễdàng từ ma trận Seidel S của G: ma trận Seidel của GU là T−1ST trong đó T

là ma trận đường chéo với phần tử đường chéo thứ i là 1 nếu i ∈ U và −1 nếu i

không thuộc U Ta dễ dàng thấy rằng đồ thị switching trên U và V giống nhưswitching đối với (U \V ) ˙∪(V \U ) Ta thấy rằng switching xác định một quan

hệ tương đương trên đồ thị Chú ý ràng đồ thị tương đương switching có matrận Seidel tương tự và vì vậy có phổ Seidel giống nhau Xét quan hệ giữa phổ

và phổ Seidel của các đồ thị chính quy, chúng ta có mệnh đề sau:

Mệnh đề 1.1.9 Nếu và G và GU là chính quy và cùng bậc thì G và GU cóphổ giống nhau

ký hiệu là Qm Các đỉnh của nó là 2m m-bộ 0 và 1 và hai bộ là kề nhau nếu vàchỉ nếu chúng chỉ khác tại một đỉnh nào đó

Các đỉnh hay các cạnh được gọi là độc lập nếu chúng không kề nhau từngđôi một Khi viết, một tập các đỉnh độc lập thường được gọi là một tập ổnđịnh Một tập các cạnh độc lập trong G được gọi là một matching của G Mộtmatching của G được gọi là hoàn hảo nếu mỗi đỉnh của G là một đỉnh cuối củamột cạnh từ matching; các matching hoàn hảo cũng được gọi là 1-factor Thecocktail party graph CP (n) là một đồ thị chính quy duy nhất với 2n đỉnh bậc2n − 2; nó thu được từ đồ thị K2n bằng cách xóa một matching hoàn hảo Bậccủa một đỉnh v được ký hiệu là deg(v) hoặc dv Bậc nhỏ nhất trong G được

ký hiệu là δ(G), bậc lớn nhất được ký hiệu là ∆(G) Một cạnh chứa một đỉnhbậc 1 được gọi là một cạnh treo (pendant)

Một đồ thị chính quy bậc r được gọi là r-chính quy và một đồ thị 3-chínhquy được gọi là một đồ thị bậc ba (cubic graph) Một đồ thị chính quy mạnh

với tham số (n, r, e, f ) là một đồ thị r-chính quy với n đỉnh (0 < r < n − 1) saocho hai đỉnh kề bất kỳ có e đỉnh chung và hai đỉnh không kề bất kỳ có f đỉnhchung Ví dụ đồ thị Petersen (Hình 1.2) là đều mạnh với tham số (10, 3, 0, 1).Hạn chế 0 < r < n − 1 để loại trừ các đồ thị đầy đủ và các hợp phần của nó.Một đồ thị gọi là hai nhánh nửa chính quy (semi-regular bepartite) với tham

số (n1, n2, r1, r2) nếu nó là hai phần và cách đỉnh trong mỗi phần có bậc nhất(n1 đỉnh có bậc r1 và n2 đỉnh có bậc r2, trong đó n1r1 = n2r2)

Nếu B là tập hợp các tập con của tập S thì đồ thị liên thuộc (incidencegraph) xác định bởi B và S là đồ thị hai phần GB với tập đỉnh B ∪ S và vớimột cạnh nối giữa x ∈ S và B ∈ B khi x ∈ B Vì vậy nếu B có dạng v điểm và

b khối, trong đó mỗi khối có k điểm và mỗi điểm nằm trong r khối thì GB làmột đồ thị nửa chính quy với tham số (v, b, r, k) Trong trường hợp này, chúng

ta gọi GB là đồ thị phác họa (the graph of the design) Nhắc lại rằng trọng mộtt-design với các tham số v, k, λ, điểm t bất kỳ nằm trên khối λ và một designđối xứng là một 2-design với b = v < k (tương đương r = k < v)

Phần bù của một đồ thị G được ký hiệu bởi G trong khi mG ký hiệu cho

đồ thị gồm m bản sao rời nhau của G Đồ thị chia (subdivision graph) S(G)thu được từ G bằng cách thêm một đỉnh bậc 2 vào mỗi cạnh của G

Chúng ta ký hiệu V (G) là tập đỉnh của G và E(G) là tập cạnh Ta nói rằng

G là rỗng nếu V (G) = ∅, tầm thường nếu |V (G)| = 1 và null nếu E(G) = ∅.Một đồ thị con H với V (H) = V (G) được gọi là tạo bởi đồ thị con spanningcủa G (spanning subgraph of G) Một chu trình spanning được gọi là chu trìnhHamilton và một đồ thị có chu trình Hamilton được gọi là đồ thị Hamilton.Một tự đẳng cấu của G là một hoán vị π của V (G) sao cho u ∼ v nếu vàchỉ nếu π(u) ∼ π(v) Rõ ràng, tự đẳng cấu của G là một nhóm (đối với hàmhợp) Chúng ta nói rằng G là vertex-transitive nếu với mọi u, v ∈ V (G), tồntại một tự đẳng cấu π của G sao cho π(u) = v

Hợp của các bản sao rời nhau của các đồ thị G và H được ký hiệu là G ˙∪H.Phép nối (join) G 5 H của các đồ thị rời nhau G và H là đồ thị thu được từ

G ˙∪H bằng cách nối mỗi đỉnh của G với mỗi đỉnh của H Đồ thị K15 H đượcgọi là một nón qua H trong khi K25 H (= K15 (K15 H)) được gọi là nónkép qua H Đồ thị K15 Cn (n ≤ 3) là wheel Wn+1 với n + 1 đỉnh Vì vậy đồthị trong Ví dụ 1.1.4 là wheel W5

Nếu uv là một cạnh của G, ta viết G − uv là các đồ thị thu được từ G bằngcách xóa cạnh uv Tổng quát hơn, nếu E là một tập các cạnh của G, chúng

ta viết G − E cho đồ thị thu được từ G bằng cách xóa các cạnh trong E Với

v ∈ V (G), G − v ký hiệu là đồ thị thu được từ G bằng cách xóa đỉnh v và tất

cả các cạnh kề với v Với U ⊆ V (G), ký hiệu G − U là đồ thị con của G sinhbởi V (G)\U Nếu mỗi đỉnh G − U kề với một đỉnh của U thì U được gọi làmột tập trội (dominating set) trong G

Nếu u, v là các đỉnh của đồ thị liên thông G thì khoảng cách giữa u và v,

ký hiệu d(u, v) là độ dại ngắn nhất của đường nối u, v trong G

Định nghĩa 1.2.1 Đồ thị thẳng L(H) của một đồ thị H là một đồ thị màcác đỉnh là các cạnh của H, hai đỉnh trong L(H) kề nhau khi các cạnh tươngứng trong H có đúng một đỉnh chung

Nếu G = L(H) với mọi đồ thị H thì H được gọi là một root graph của G.Nếu E(H) = ∅ thì G là một đồ thị rỗng Do đó, chúng ta lấy một đồ thị phẳng

có nghĩa là một đồ thị L(H), trong đó E(H) khác rỗng Chú ý rằng chúng ta

có thể giả sử (nếu cần) rằng H không có đỉnh cô lập Nếu H liên thông thìL(H) cũng vậy Nếu H không liên thông thì mỗi hợp phần không tầm thườngcủa H đưa tới một hợp phần liên thông của L(H)

Mệnh đề 1.2.2 Nếu H là một đồ thị liên thông và L(H) là chính quy, thì H

là chính quy hoặc hai nhánh nửa chính quy

Ma trận liên thuộc của đồ thị H là ma trận B có các hàng và các cột đượcđánh chỉ số bởi các đỉnh và các cạnh của H Phần tử (v, e) của B là

Lớp các đồ thị với phổ trong khoảng [−2, ∞) cũng chứa đồ thị phẳng suyrộng được định nghĩa như sau Đầu tiên, ta nói rằng một petal được thêm vàomột đồ thị khi chúng ta thêm một cạnh treo (pendant edge) và sau đó lặp lạivới một cạnh treo 2-chu trình Một blossom Bk chứa k petal (k ≥ 0) được thêmvào mỗi đỉnh đơn Vì vậy B0 là một đồ thị tầm thường Một đồ thị với cácblossom (có thể rỗng) tại mỗi đỉnh thì được gọi là một B-đồ thị Bây giờ chứng

ta mở rộng Định nghĩa 1.2.1 tới đồ thị phẳng của một B-đồ thị ˆH: các đỉnhtrong L( ˆH) kề nhau nếu và chỉ nếu các cạnh tương ứng trong ˆH có đúng mộtđỉnh chung Trong trường hợp đặc biệt, cạnh lặp lại giữa hai đỉnh của ˆH làkhông kề nhau trong L( ˆH) Vì vậy L(Bk) = CP (k) Nếu G = L( ˆH) thì chúng

ta gọi đa đồ thị ˆH là một root graph của G

Định nghĩa 1.2.3 Cho H là một đồ thị với tập đỉnh (v1, , vn) và đặt

a1, , anlà các số nguyên không âm Đồ thị phẳng suy rộng G = L(H; a1, , an)

là đồ thị L( ˆH), trong đó ˆH là B-đồ thị H(a1, , an) thu được từ H bằng cáchthêm ai petal tại đỉnh vi (i = 1, , n) Nếu tất cả các ai khác 0 thì G đượcgọi là một đồ thị phẳng suy rộng

Cách xây dựng đồ thị phẳng suy rộng được minh họa trong Hình 1.4

Hình 1.4: Xây dựng đồ thị phẳng suy rộng.

Một ma trận liên thuộc C = (cve) của ˆH = H(a1, , an) được định nghĩacho H với ngoại lệ sau: Nếu e và f là các cạnh giữa v và w trong một petal tại

v thì cwe, cwf = −1, 1 (Chú ý rằng tất cả những phần tử khác trong hàng w là0) Ví dụ, một ma trận liên thuộc của một đa đồ thị ˆH trong Hình 1.4 là:

Ở đây các hàng được đánh số bởi 1, 2, , 7 và các cột là a, b, , j

Với ma trận liên thuộc C định nghĩa ở trên, ta có A(L( ˆH)) = CTC − 2I và

vì vậy λ(L( ˆH)) ≥ −2 Chú ý rằng giá trị riêng nhỏ nhất lớn hơn −2 nếu và chỉnếu hạng của ma trận C là |V ( ˆH)| Tuy nhiên không phải tất cả các đồ thị Gvới λ(G) ≥ −2 là các đồ thị phẳng suy rộng, ngoại trừ một số hữu hạn các đồthị

Ví dụ 1.2.4 Nếu chúng ta quay (switch) đồ thị L(K4,4) đối với bốn đỉnh độclập thì chúng ta thu được các đồ thị chính quy bậc 6 khác nhau trên 16 đỉnh,gọi là đồ thị Shrikhande Nó là đồ thị chính quy mạnh với tham số (16, 6, 2, 2)

Từ Mệnh đề 1.1.9, đồ thị này là đồng phổ với L(K4,4) Nếu chúng ta quayL(K4,4) đối với các đỉnh của một đồ thị con cảm sinh L(K4,2) thì chúng ta thuđược một đồ thị đều bậc 10 với 16 đỉnh được gọi là đồ thị Clebsch, nó là đồthị chính quy mạnh với tham số (16, 10, 6, 6)

Các đồ thi này được minh họa trong Hình 1.5 Trong Hình 1.5(a), các đỉnhcủa L(K4,4) là các giao điểm của 4 đường nằm ngang với 4 đường thẳng đứng,hai đỉnh là kề nhau trong L(K4,4) khi và chỉ khi các điểm tương ứng là cộngtuyến Trong Hình 1.5(b) và 1.5(c), các đỉnh màu trắng là đỉnh trong tậpswitching mà tương ứng là đồ thị Shrikhande và đồ thị Clebsch

Ví dụ 1.2.5 Nếu chúng ta quy một đồ thị G đối với tập các đỉnh kề củađỉnh v, chúng ta thu được một đồ thị H trong đó v là một đỉnh cô lập Nếu

G = L(Ks) thì G − v là đồ thị đều bậc 16 trên 27 đỉnh, được gọi là đồ thịSchlafli Sch16; nó là đồ thị với các tham số (27, 16, 10, 8)

Hình 1.5: Xây dựng các đồ thị trong Ví dụ 1.2.4

Ví dụ 1.2.6 Cho S1, S2, S3 là tập các đỉnh của L(K8) mà tương ứng cảm sinhcác đồ thị con đẳng cấu với 4K1, C5∪C˙ 3 và C8 Các đồ thị Ch1, Ch2, Ch3 tươngứng thu được từ L(K8) bằng cách switching đối với S1, S2, S3 được gọi là đồthị Chang Đồ thị L(K8), Ch1, Ch2, Ch3 đều có bậc 12 và chúng là đồng phổtheo Mệnh đề 1.1.9 Từng cặp đồ thị không đẳng cấu, chúng đều là chính quymạnh với tham số (28, 12, 6, 4)

Đầu tiền chúng ta chú ý rằng một đồ thị được xác định bởi các giá trị riêng

và các véc tơ riêng tương ứng theo cách sau Cho A là ma trận kề của một

đồ thị G với các đỉnh 1, 2, , n và các giá trị riêng λ1 ≤ λ2 ≤ ≤ λn Nếu

x1, , x2 là các véc tơ riêng độc lập tuyến tính tương ứng với các giá trị riêng

λ1 ≤ λ2 ≤ ≤ λn của A Nếu X = (x1 | x2 | xn) và nếu E = diag(λ1, , λn)thì AX = XE, do đó

A = XEX−1

Vì G được xác định bởi A, chúng ta có kết quả cơ bản sau:

Định lý 1.3.1 Một đồ thị bất kỳ được xác định bởi các giá trị riêng của nó

và một cơ sở các véc tơ riêng tương ứng

Vì A là ma trận thực đối xứng nên tồn tại một ma trận trực giao U sao cho

UTAU = E Ở đây, cột của U là các véc tơ riêng là các cơ sở trực giao của Rn.Nếu cơ sở này được xây dựng cùng với cơ sở trực giao của không gian riêng của

A thì E = µ1E1 + + µmEm, trong đó µ1, , µm là các giá trị riêng phânbiệt của A và mỗi Ei có phân tích phổ

A = µ1P1+ + µmPm (1.3)

trong đó Pi = U EiET (i = 1, , m) Cho i cố định, nếu ε(µi) có x1, , xdnhư một cơ sở trực giao thì

Pi = fi(A), trong đó

fi(x) =

Q

s6=i(x − µs)Q

s6=i(µi− µs). (1.5)Tiếp theo chúng ta đề cập đến kỹ thuật véc tơ riêng thường được sử dụng đểtìm kiếm các đồ thị với chỉ số min, max trong một lớp các đồ thị cho trước.Một thương Reyleight của A là một đại lượng vô hướng dạng yTAy/yTy trong

đó y là một véc tơ khác véc tơ không trong Rn Cận trên của tập là giá trịriêng lớn nhất λ1 của A, hay tương đương với

λ1 = sup{xTAx : x ∈ Rn, kxk = 1} (1.6)Điều này được suy ra trực tiếp từ nhận xét rằng nếu {x1, , xn} là một cơ

sở trực chuẩn gồm các véc tơ riêng của A và nếu x = α1x1 + · · · + αnxn thì

α21+ · · · + α2n = 1, cùng với

xTAx = λ1α21+ · · · + λnα2n, (1.7)trong đó Axi = λixi (i = 1, , n)

Chú ý rằng với y 6= 0, ta có yTAy/yTy ≤ λ1 Dấu “=” xảy ra nếu và chỉnếu Ay = λ1y Tổng quát hơn, nguyên lý Rayleight có thể phát biểu như sau:nếu 0 6= y ∈ hxi, , xni thì λi ≥ yTAy/yTy, trong đó dấu “=” xảy ra khi vàchỉ khi Ay = λiy

Ngoài ra, mỗi giá trị riêng λi (i = 1, 2, , n) có thể được đặc trưng bởicác không gian con của Rn như sau Cho U U là một không gian con n − i + 1chiều của Rn sao cho hxi, , xni ∩ U 6= {0} Nếu x là một véc tơ đơn vị thuộc

giao của các không gian con này thì αi+1 = = αn = 0 và vì vậy theo (1.7)

xTAx ≥ λi Từ đó ta có sup{xTAx : x ∈ U, kxk = 1} ≥ λi Mặt khác cũng

từ (1.7), chặn dưới đạt được khi U = hxi, , xni bởi vì trong trường hợp này

α1 = = αi−1 = 0 với mọi véc tơ trong U Vì vậy, với mỗi i ∈ {1, , n} tacó

λi = inf{sup{xTAx : x ∈ U, kxk = 1} : U ∈ Un−i+1}, (1.8)trong đó Un−i+1 là tập tất cả các không gian con (n − i + 1) chiều trong Rn.Một ma trận đối xứng M cấp n × n được gọi là nửa xác định dương nếu tất

cả các giá trị riêng là không âm, tức là xTM x ≥ 0 với mọi x ∈ Rn

Định lý 1.3.2 Cho M là một ma trận nửa xác định dương với các giá trịriêng λ1 ≥ λ2 ≥ ≥ λn Khi đó

λ1+ λ2+ + λr = sup{uT1M u1+ uTrM ur} (r = 1, 2, , n),

trong đó cận trên được lấy qua tất cả các véc tơ trực giao u1, u2, , ur Trongtrường hợp đặc biệt, λ1+ λ2 + + λr bị chặn dưới bằng tông của r phần tửtrực giao lớn nhất của M

Chứng minh Đặt M xi = λixi (i = 1, 2, , n), trong đó x1, , xn là trựcchuẩn Đặt U = (u1 | u2 | | ur), X = (x1 | x2 | | xn) và uj =

trên đường chéo đầu tiên Khi đó khẳng định thứ hai có được bằng cách lấy

θr

0 .0

cấp n × n Vì vậy M = QTQ, trong đó Q = XUT Nếu Q = (1 | | n) thì mỗicột qi nằm trong Rr và phần từ (i, j) của M là tích vô hướng qT

i qj Ma trận

QTQ được gọi là ma trận Gram của các véc tơ q1, , qn Chúng ta thường sửdụng ma trận Gram trong trường hợp M = AλI và λ là giá trị riêng nhỏ nhấtcủa G Trong trường hợp này bội của λ là −r

Vì trong trường hợp tổng quát, một đồ thị không thể xác định bởi các giátrị riêng của nó Lẽ tự nhiên là chúng ta cố gắng tìm kiếm nhiều hơn các bấtbiến đại số, những đại lượng mà có thể dùng để phân biệt các đồ thị đồng phổkhông đẳng cấu Chú ý rằng {e1, , en} là một cơ sở trực chuẩn của Rn mn

số αi,j = kPiejk được gọi là các góc của G, chúng là cosin của góc (nhọn) hợpbởi các trục với các không gian riêng Chúng ta giả sử rằng µ1 ≥ ≥ µn.Nếu chúng ta cũng để các cột của ma trận (αij) theo thứ tự thì ma trận này làmột bất biến đồ thị được gọi là ma trận góc của G Chúng ta sẽ thấy ở trongchương tiếp theo rằng phổ của các đồ thị con xóa đỉnh G − j được xác địnhbởi phổ của G và góc αij, , αmj Cơ sở của mối quan hệ giữa các góc đượcthể hiện qua mệnh đề sau:

i = 1, 2, , k có một cạnh từ vi−1 đến vi Bước đi là đóng nếu vk = v0 Kếtquả sau đây có thể chứng minh bằng quy nạp theo k.

Mệnh đề 1.3.4 Nếu A là một ma trận kề của một đồ thị thì phần tử ở vị trí(i, j) là a(k)ij của ma trận Ak bằng số bước đi độ dài k bắt đầu ở đỉnh i và kếtthúc tại đỉnh j

Từ Mệnh đề 1.3.4 ta có số bước đi đóng độ dài k bằng số số moment phổthứ k vì Pn

j=1a(k)jj = tr(Ak) = Pn

j=1λkj Từ sự phân tích phổ của A chúng tacó

Định lý 1.3.5 Tổng số Nk các bước đi độ dài k trong đồ thị G là

mà kéo theo phổ của đồ thị

Một ma trận đối xứng M là khả quy (reducible) nếu tồn tại ma trận hoán

vị P sao cho P−1M P có dạng X O

O Y

!, trong đó X, Y là các ma trận vuông.Nếu ngược lại, M được gọi là bất khả quy (irreducible) Nếu M = (mij) cấpn×n thì chúng ta định nghĩa đồ thị GM như sau Các đỉnh của GM là 1, 2, , n

và hai đỉnh phân biệt i và j kề nhau khi và chỉ khi mij 6= 0 Vì vậy GM là liênthông khi và chỉ khi M là bất khả quy

Định lý 1.3.6 Cho M là ma trận đối xứng bất khả quy với các phần tử không

âm Khi đó giá trị riêng lớn nhất λ1 của M là đơn, với véc tơ riêng tương ứng

có có tất cả các phần tử đều dương Ngoài ra, |λ| ≤ λ1 với mọi giá trị riêng λcủa M

Chứng minh Đặt x = (x1, , xn)T là một véc tơ riêng ứng với giá trị riêng

λ1 Đặt (y1, , yn)T, trong đó yi = |xi| (i = 1, , n) Khi đó yTy = 1 và

yTM y ≤ xTM x = λ1 Vì vậy y cũng là một véc tơ riêng ứng với giá trị riêng

λ1 Chúng ta thấy rằng không có yi nào (và vì vậy không có xi) bằng 0 bằngcách xem xét tính chất kề trong GM Phương trình giá trị riêng có thể viết:

Chúng ta nói rằng một véc tơ x = (x1, , xn)T không âm (dương) nếu mỗi

xi là không âm (dương); ta viết x ≥ 0, x > 0 Trong trường hợp của Định lý1.3.6, M có duy nhất một véc tơ riêng đơn vị tương ứng với λ1 và được gọi làvéc tơ riêng chính của M Trong trường hợp M là ma trận kề của đồ thị liênthông được gán nhãn G Chúng ta chỉ ra véc tơ đó như một véc tơ riêng chínhcủa G

Hệ quả 1.3.7 Cho M là một ma trận đối xứng, bất khả quy cấp n × n vớicác phần tử mij không âm và gọi λ1 là giá trị riêng lớn nhất của M Cho véc

Nếu ta áp dụng Định lý 1.3.6 cho ma trận kề của một đồ thị, ta thu được:

Hệ quả 1.3.8 Một đồ thị là liên thông khi và chỉ khi chỉ số của nó là giá trịriêng đơn với véc tơ riêng tương ứng dương

Chúng ta cũng có thể sử dụng Định lý 1.3.6 để chứng minh mệnh đề sau:Mệnh đề 1.3.9 Với mọi đỉnh u của một đồ thị liên thông G, chúng ta có

λ1(G − u) < λ1(G)

Chứng minh Đặt A = A0 r

rT 0

!, trong đó A0 = A(G ư u) và đặt x là véc tơ

riêng đơn vị của A0 tương ứng với λ1(G ư u) Nếu y = x

0

!thì yTy = 1 và

λ1(G ư u) = yTy ≤ λ1(G) Nếu dấu bằng xảy ra thì y là một véc tơ riêng của

A ứng với giá trị riêng λ1(G), điều này mâu thuẫn với y có một phần tử là số0

Nếu chúng ta áp dụng Hệ quả (1.10) cho mỗi hợp phần của một đồ thị Gtùy ý có chỉ số λ1(G), chúng ta có thể thấy rằng có một véc tơ riêng có hợpphần không âm tương ứng với λ1(G) Véc tơ này cũng có thể được sử dụngtrong thương Rayleight để thu được cận cho chỉ số của các đồ thị được chỉnhsửa như trong phần sau:

Mệnh đề 1.3.10 Nếu G ư w là đồ thị thu được từ một đồ thị liên thông Gbằng cách xóa cạnh uv thì λ1(G ư uv) < λ1(G)

Chứng minh Đặt x = (x1, , xn)T là véc tơ riêng đơn vị không âm của Gưuvtương ứng với giá trị riêng λ1(G ư uv) Khi đó

λ1(G ư uv) = xTA(G ư uv)x ≤ xTA(G)x ≤ λ1(G)

Nếu λ1(G ư uv) = λ1(G) thì x là véc tơ riêng chính của G và vì vậy không

có phần tử 0 Khi đó xTA(G ư uv)x = xTA(G)x ư 2xuxv < λ1(G ư uv), mẫuthuẫn

Tiếp theo chúng ta xem xét ràng buộc giữa các giá trị riêng

Định lý 1.3.11 Cho Q là một ma trận thực cấp n × n sao cho QTQ = 1 vàđặt A là một ma trận thực đối xứng với các giá trị riêng λ1 ≥ ≤ λn Nếucác giá trị riêng của QTAQ là µ1 ≥ ≥ µn thì

Chứng minh Đặt x1, , xnlà các véc tơ riêng trực giao của A và đặt y1, , ym

là các véc tơ riêng trực chuẩn của QTAQ lấy theo thứ tự đó Với mỗi i ∈{1, , m}, đặt zi là một véc tơ khác 0 trong không gian con

hy1, , yii ∩ hQTx1, , QTxiư1iT

Khi đó Qzi ∈ hx1, , xi−1i⊥, và vì vậy theo nguyên lý Rayleight ta có

λi ≥ (Qzi)

TA(Qzi)(Qzi)T(Qzi) =

zTi QTA(Qzi)(Qzi)T(Qzi) ≥ µi.Bất đẳng thức thứ hai trong (1.16) thu được bằng cách áp dụng chứng minhtrên với −A và −QTAQ

Khi bất đẳng thức (1.16) thỏa mãn, chúng ta nói rằng giá trị riêng µi đannhau (interlace) với giá trị riêngλj

Hệ quả 1.3.12 Cho G là một đồ thị với n đỉnh và các giá trị riêng λ1 ≥ λ2 ≥ ≥ λn và đặt H là một đồ thị con cảm sinh của G với m đỉnh Nếu các giátrị riêng của H là µ1 ≥ µ2 ≥ ≥ µm thì λn−m+i ≤ µi (i = 1, , m)

Chứng minh Đặt V (G) = {1, , n} và V (H) = {1, , m} Khi đó A(H) =

QTA(G)Q, trong đó QT có dạng (I | O) và vì vậy theo Định lý 1.3.11 ta cóđiều phải chứng minh

Bất đẳng thức trong Hệ quả 1.3.12 được biết như bất đẳng thức Cauchy vàkết quả này là thường được biết đến với tên là Định lý đan xen (InterlacingTheorem) Nó được sử dụng thường xuyên giống như kỹ thuật phổ trong lýthuyết đồ thị Trong trường hợp đặc biệt, khi H là một đồ thị con xóa đỉnhchúng ta có m = n − 1 và

λn ≤ µn−1 ≤ λn−1 ≤ ≤ λ2 ≤ µ1 ≤ λ1.Kết quả tiếp theo là một hệ quả xa hơn của Định lý 1.3.11

Hệ quả 1.3.13 Cho A là một ma trận đối xứng thực với các giá trị riêng

λ1 ≥ ≥ λn Cho một phân hoạch {1, 2, , n} = ∆1∪∆˙ 2 ∪ ˙∪∆˙ m với

∆i = ni > 0 Xét xét khối lượng tương ứng A = Aij, trong đó Aij là một khối

Nếu chúng ta giả sử rằng trong mỗi khối Aij trong Hệ quả 1.3.13 có tổngtất cả các hàng bằng nhau thì chúng ta có định lý sau:

Định lý 1.3.14 Cho A là ma trận bất kỳ được phân chia thành các khối nhưtrong Hệ quả (1.15) Giả sử rằng khối Aij có tổng các hàng là bij không đổi vàđặt B = (bij) Khi đó phổ của B được chứa trong phổ của A (tính cả bội củacác giá trị riêng)

Chứng minh Dễ thấy rằng nếu (x1, , xm)T là một véc tơ riêng của B thì

là một véc tơ riêng của A ứng với giá trị riêng như nhau

Tiếp theo chúng ta sẽ thiết lập bất đẳng thức Courant-Weyl, các giá trịriêng ở đây được sắp xếp theo thứ tự không tăng

Định lý 1.3.15 Cho A và B là các ma trận Hermittian cấp n × n Khi đó

Vì dim(V1∩ V2) ≥ dim V1+ dim V2− n nên ta có

dim((V1∩ V2) ∩ V3) ≥ dim V1+ dim V2+ dim V3 − 2n = 1,

do đó V1∩ V2∩ V3 có chứa một véc tơ đơn vị x Áp dụng nguyên lý Rayleightchúng ta có:

λj(A) + λi−j+1(B) ≥ xTAx + xTBx = xT(A + B)x ≥ λi(A + B)

Khi i ≤ j chúng ta thu được bất đẳng thức thứ hai trong định lý bằng cách ápdụng bất đẳng thức đầu tiên với −A và −B

Định lý 1.3.15 áp dụng cho một đồ thị với n đỉnh được cọi như hợp cáccạnh rời của hai đồ thị con Ví dụ, nếu A và B là các ma trận kề của G và

G thì A + B = J − I và vì vậy với n ≥ 2, λ2(G) + λn−1(G) ≥ λn(Kn) = −1,

λ2(G) + λn(G) ≤ λ2(Kn) = −1 Chúng ta cũng có thể sử dụng Định lý 1.3.15

để thu được bất đẳng thức liên quan giữa phổ của ma trận kề A với phổ của matrận Laplacian D − A, ma trận D + A và ma trận Seidel J − I − 2A: chúng ta ápdụng định lý tương ứng với A và D−A, với −A và D+A và với 2A và J −I −2A

Ví dụ λk(D ± A) ≥ λn(A) ± λn−k+1(A) và λk(J − I − 2A) ≥ −2λn−k+1(A) − 1.Mệnh đề 1.3.16 Cho M là một ma trận thực đối xứng cấp n × n Nếu

QT R

!,

Một giá trị riêng khác 0 bất kỳ của S là một giá trị riêng của P − λI và vì vậygiá trị riêng của S là số thực Tương tự, giá trị riêng của T là số thực Sử dụngĐịnh lý 1.3.15, ta có

λ1(M ) − λ = λ1(S + T ) ≤ λ1(S) + λ1(T ) = λ1(P − λi) + λ1(RλI)

= λ1(P ) − λ + λ1(R) − λ,mệnh đề được chứng minh

Sử dụng lập luận quy nạp ta thu được kết quả sau:

Hệ quả 1.3.17 Gọi M là một ma trận thực đối xứng cấp n × n Nếu M đượcphân chia vào k2 khối Mij (kích thước ni× nj) thì

Cuối cùng chúng ta chứng minh một kết quả về định thức Với một ma trận

Ta có det(Sk1 , ,k n) = 0 khi k1, , kn không phân biết và vì vậy chúng ta

có thể lấy tổng qua tập con r phần tử {k1, , kn} của {1, , m} Khi đódet(Sτ (k1 ), ,τ (k n )) = sgn(τ ) det(Sk1 , ,k n) với bất kỳ hoán vị τ của k1, , kn, và

Chương 2

Phổ và các phép toán đồ thị

Chương này được tham khảo chính từ [1]với việc trình bày lại cách xác định

đa thức đặc trưng của các đồ thị được suy ra từ các đồ thị đơn giản hơn bằngcác phép toán Điển hình như chúng ta định nghĩa phép toán n-ary trên các đồthị G1, G2, , Gn (n = 1, 2, ) để thu được đồ thị G, và sau đó mô tả quan

hệ giữa phổ của G1, G2, , Gn và phổ của G Trong một số trường hợp quantrọng, phổ của G được xác định bởi phổ của G1, G2, , Gn, trong các trườnghợp khác, bất biến cộng tính của G1, G2, , Gn là quan trọng trong dạng cácgóc đồ thị hoặc các hàm nhảy khái quát Các phép toán được xem xét bao gồm

cả việc xóa hay thêm đỉnh

Định nghĩa 2.1.1 Đa thức đặc trưng PG(x) của đồ thị G là PG(x) = |xI − A|với A là ma trận kề của G

Khảo sát các định thức dẫn trực tiếp tới kết quả sau

Định lý 2.1.2 Đa thức đặc trưng của hợp rời hai đồ thị là

Định lý 2.1.3 Nếu G là một đồ thị chính quy bậc r với n đỉnh, thì

PG(x) = (−1)nx − n + r + 1

x + r + 1 PG(−x − 1), (2.1)tức là, nếu các giá trị riêng của G là λ1 = r, λ1, , λn, thì các giá trị riêngcủa G là n − 1 − r, −λ2 − 1, , −λn− 1

Chứng minh Nếu G có ma trận kề A thì G có ma trận kề J − I − A Đặt

x1, , xn là một cơ sở trực giao của Rn gồm các véc tơ riêng của A với x1 = j.Khi đó chúng ta có Ax−1 = rx1, (J −I −A)x1 = (n−1−r)x1 và (J −I −A)xi =(−1 − r)xi (i = 2, , n)

Trong trường hợp tổng quát, phổ của đồ thị G không xác định phổ của G

Ví dụ các phần bù của các đồ thị cùng phổ C4∪K˙ 1, K1,4 là không cùng phổ.Tuy nhiên phổ của G được xác định bởi phổ và góc chính của G

Mệnh đề 2.1.4 Cho đồ thị G với n đỉnh, phần bù G của G có đa thức đặctrưng

PG(x) = det((x + 1)I + A − J )

= det((x + 1)I + A) − jT adj((x + 1)I + A)j

= (−1)nPG(−x − 1)(1 − jT((x + 1)I + A)−1)

Mệnh đề 2.1.5 Cho đồ thị G bất kỳ với n đỉnh, đa thức đặc trưng SG(x) của

ma trận kề Seidel của G được xác định bởi

x + 1 + 2µi

! (2.4)

Ta cũng có thể áp dụng lập luận tương tự cho G ˙∪H Theo Định lý 2.1.2,giá trị riêng của G · ∪H là các giá trị riêng của G hoặc H (hoặc cả hai) Chúng

ta giả sử rằng G có n1 đỉnh và H có n2 đỉnh Ma trận kề của G ˙∪H có phântích phổ là

Ps O

O Qs

!,trong đó Pi là phép chiếu trực giao Rn1 → EA(ξi) và Qi là phép chiếu trực giao

Rn2 → EB(ξi) (i = 1, , s) Ở đây EA(ξi) = {0} nếu ξi không là một giá trịriêng của G và EB(ξi) = {0} nếu ξi không là một giá trị riêng của H Như trongMệnh đề 2.1.4 chúng ta có

x + 1 + ξi

!,(2.5)trong đó các số βi khác không chính là các góc chính khác không của G và các

số γi khác không chính là các góc chính khác không của H Lập luận này cóthể mở rộng cho hợp rời của các đồ thị tùy ý bất kỳ Chú ý rằng góc chính δicủa G ˙∪H được cho bởi

(n1+ n2)δi2 = n1βi2+ n2γi2 (i = 1, , s)

Hệ trên được rút ra từ định nghĩa hoặc từ so sánh (2.2) và (2.5)

Ta có thể viết lại Phương trình (2.2) sử dụng Mệnh đề 2.1.2 và 2.1.4 để thuđược:

PG ˙∪H(x) = (−1)n2PG(x)PH(−x − 1) + (−1)n1PG(−x − 1)PH(x)