Chương 5 6 XSTK ƯỚC LƯỢNG VÀ KIỂM ĐỊNH

Công thức cần phải ghi nhớ Giả sử 1 mẫu cụ thể của đại lượng ngẫu nhiên X được cho dưới bảng mẫu đơn sau + kì vọng mẫu cụ thể n x1... Kiểm tra ngẫu nhiên 31 thanh thép trên công trường

CHƯƠNG 5+6: ƯỚC LƯỢNG VÀ KIỂM ĐỊNH

I Công thức cần phải ghi nhớ

Giả sử 1 mẫu cụ thể của đại lượng ngẫu nhiên X được cho dưới bảng mẫu đơn sau

+) kì vọng mẫu cụ thể n x1 1 n x2 2 n x3 3 n x k. k

x

n

+) phương sai mẫu

2 1 ( ) 1 2 ( 2 ) 3 ( 3 ) ( ) 2

( )

n

1

n

n



 +) độ lệch chuẩn mẫu kí hiệu là s và độ lệnh chuẩn mẫu điều chỉnh kí hiệu là '

svà

2

s  s vàs'  s'2

Ví dụ Tính các giá trị đặc trưng của X

Khoảng

giá trị

của X

(200k1;

202k1)

(202k1;

204k1)

(204k1;

206k1)

(206k1;

208k1)

(208k1;

210k1)

(210k1;

212k1)

Số giá

Lần lượt với k1=4,k2=6 và k1=2, k2=4 tính các giá trị đặc trưng của X

TH1 Với k1=4,k2=6

Ta có bảng mẫu đơn sau

Ta có n  2 18 23 17 10 1 71    

Kỳ vọng mẫu cụ thể là

2.804 18.812 23.820 17.828 10.836 844

822, 0282 71

Phương sai mẫu là

71

Phương sai mẫu điều chỉnh là

n

n

II.Các dạng bài tập trong đề thi

Dạng 1 ước lượng khoảng cho kì vọng

Cho đại lượng ngẫu nhiên X  N (a, 2) với E(x) =a chưa biết , ước lượng tham số a từ t

p toàn bộ ĐLNN X lấy ra 1 ngẫu nhiên



Với độ tin cậy  cho trước luôn tìm được 1 số Z0 sao cho ( )0 1

2

cậy của E(x) là bằng a là (x z x0; z0)

Để xác định ( )z0 ta sử dụng excel lệnh =NORMSINV

2 Chưa biết phương sai

Ta có t0  t1n1 khoảng tin cậy của E(x) là bằng a là

0

( s t o ; s t )

0 1

n

t t 



 ta sử dụng lệnh excel =TINV(1-γ,n-1)

Dạng 2 ước lượng khoảng cho phương sai

Cho đại lượng ngẫu nhiên X  N (a, 2) với D(x)= 2

lấy ra 1 ngẫu nhiên , Thống kê được chọn là ĐLNN

2 2

ns U



phương

1

2

2

1

2

1

2





















suy ra khoảng tin cậy của D(x) là

2 2

1 2

(ns ;ns )

s Bài tập áp dụng

Bài 1 Tuổi thọ trung bình 1 loại bóng đèn do nhà máy A sản xuất là ĐLNN có phân bố chuẩn theo dõi một số bóng thu được bảng số liệu sau

3010k1)

(3010k1;

3020k1)

(3020k1;

3030k1)

(3030k1;

3040k1)

(3040k1; 3050k1)

Với độ tin cậy (94%)cho một ước lượng về khoảng tuổi thọ trung bình của bóng đèn với a) độ lệch chuẩn là  8 1 3k 

b) chưa biết độ lệch chuẩn (k1=2,k2=8)

c) Với độ tin cậy 92% cho một ước lượng khoảng cho DX

Bài giải

Ta có bảng mẫu đơn sau

Ta có n  2 20 23 19 4   68

Kỳ vọng mẫu cụ thể là

2.6010 20.6030 23.6050 19.6070 4.6090

6050,8824 68

Phương sai mẫu là

2 2 2 2 2

68

Phương sai mẫu điều chỉnh là

67

a, Vì đã biết độ lệch chuẩn nên áp dụng công thức TH1



Vậy với độ tin cậy 94% và độ lệch chuẩn 19, ước lượng 1 khoảng về tuổi thọ trung bình của

bóng đèn là

b,Chưa biết độ lệch chuẩn nên áp dụng công thức TH2

1n 0.06 1, 9132

o

Vậy với độ tin cậy 94% ước lượng 1 khoảng về tuổi thọ trung bình của bóng đèn là

0

( s t o ; s t ) 6046, 3910; 6055, 3738

c, Áp dụng công thức dạng ước lượng DX

Ta có

2

1

1

2

1

90,3977 2

46, 9786 1

2

u u





















Với độ tin cậy 94% , 1 khoảng ước lượng của DX là

2 2

1 2

(ns ;ns ) 277, 7541;534, 4632

Bài 2 Cường độ chịu kéo của loại thép nhà máy A là đlnn có phân bố chuẩn được cho dưới

bảng số liệu sau

Xi

(3500+k1;

3500+2k1)

(3500+2k1;

3500+3k1)

(3500+3k1;

3500+4k1)

(3500+4k1;

3500+5k1)

(3500+5k1; 3500+6k1)

Ni 3 6+k2 17 7+k2 1

a) Cho 1 ước lượng không chệch của E(x) và D(x)

b) Với độ tin cậy (92+0,3k1%) cho 1 ước lượng khoảng cường độ tb của thép

c) Với độ tin cậy (95+0,1k1%) cho 1 ước lượng của phương sai

Bài 3(đề thi năm 2018) Cường độ chịu kéo của loại thép nhà máy A là đlnn có phân bố chuẩn được cho dưới bảng số liệu sau

Với độ tin cậy 95% cho 1 ước lượng về khoảng cường độ trung bình

Bài 4 (đề thi 2018) Gỉa sử lượng gạch dùng để xây 1 bức tường 1m3 là 1 đlnn có phân bố chuẩn XN a( ; ) quan sát số liệu về X ta có

a) Tìm 1 ước lượng không chệch của a,

b)Với độ tin cậy 96% cho 1 ước lượng không chệch phương sai của gạch

Dạng 3 Bài toán về kiếm định

Gỉa sử W là miền bác bỏ giả thuyết của H

Nếu G qs W bác bỏ H chấp nhận K

Nếu G qs W bác bỏ K chấp nhận H

Các loại kiểm định

0

: =

K : #

 







0

: =

K :









0

: =

K :

H  









trong đó 0 là tiêu chuẩn , định mức , mức tiêu hao sử dụng … Và

 thực tế hiện tại

3.1 Kiếm định giá trị về kì vọng

qs

x





+) Nếu kiểm định 2 phía 0

0

: =

K : #

H z z

z z







miền W zR z; z0 với ( )0 1

2

0

z z

z z









 với miền w    z R :z   z0  với ( ) 1z0  

0

z z

z z









 với miền w    z R :z z  0  với ( ) 1z0  

s





0

#

t t

t t







0

n

t t

0

t t

t t









0 2

n

t t

0

t t

t t









0 2

n

t t



3.2 So sánh 2 giá trị trung bình

1

( )

2

(y)

QS

Z







0

#

z z

z z







 với zR z: z0  với ( )0 1

2

0

z z

z z









 với zR: z z0  với ( ) 1z0  

0

z z

z z









 ới zR: zz0  với ( ) 1z0  

TH2 Chưa biết D(X) và D(Y) '2 '2 m(n m 2)

qs

T

n m





0

#

t t

t t







0

n m

t t 

0

t t

t t









0 2

n m

t t 

0

t t

t t









0 2

n m

t t 

0 (1 0 )

qs





0

#

z z

z z







 ới zR z: z0  với ( )0 1

2

0

z z

z z









 với zR: z z0  với ( ) 1z0  

0

z z

z z









 ới zR: zz0  với ( ) 1z0  

2

1

h

qs

U

E





0

1,

#

i i





W  UR U:  ( ,h 1)

Một số bài tập mẫu

Bài 1 (ví dụ dạng 1 đã biết phương sai) cho 1 số liệu sau

Định mức thời gian gia công 1 sản phẩm là 13,8 , với mức ý nghĩa 0,012 kiểm định ý kiến cho rằng mức trên là quá nhiều hay không với độ lệch chuẩn là 1

Bài giải

Ta có n=52, kì vọng mẫu 1.11, 2 14.12 12,8923

52

Ta có 0 13,8, Gía trị quan sát Z qs X 0 n 6, 539





: <13,8

H K











ta có miền bác bỏ giả thuyết

W zR z:  z với ( ) 1z0   với  0, 012 suy ra z 0 2, 2571

Ta thấy Z qs  z0 suy ra bác bỏ H chấp nhận K

Vậy với mức ý nghĩa cho trước là 0,012 và độ lệch chuẩn bằng 1 thì định mức thời gian gia công 1 sản phẩm trên là quá nhiều

Bài 2(ví dụ dạng 1 chua biết phương sai ) cho bảng số liệu sau

Biết lượng điện tiêu thụ trung bình của các hộ gia đình là 318, với mức ý nghĩa 0,009 kiểm đinhj ý kiến cho rằng các hộ gia điình tiêu thụ điện không thay đổi

Bài giải

Ta có n=29, X 322, 7586 ,S '2 58,5969 ,S '2 60, 6896 suy ra S ' 7, 7903

qs

X

S





: #318

H K









 w    t R t :  t0 với 1 28

0 n 0,009 2,807

t t t

Ta thấy T qs t0 suy ra không thuộc W vậy bác bỏ K chấp nhận H

Vậy với mức ý nghĩa 0,009 thì mức sử dụng điện của các hộ gia đình so với tháng trước là không đổi

Bài 3(dạng 4) Cho nhóm biến cố đầy đủ gồm A1,A2,A3,A4 thực hiện 60 phép thử ta có các kết quả sau

Hãy kiểm định ở mức ý nghĩa k% giả thuyết H: P(A1)=0,2 ; P(A2)=0,3 ; P(A3)=0,1 và P(A4)=0,4

Bài giải

Lấy k=8

Ta có bảng mẫu đơn sau

i

1

174, 3

QS

U

E





Cặp giả thuyết đối thuyết







Với mức ý nghĩa  0, 08 có h  1 3 bậc tự do

Miền bắc bỏ giả thuyết H

W  UR U: QS  ( ,h 1)

Ta thấy

2

(0, 08;3)

QS

U 

Vậy bác bỏ H chấp nhận K

Với mức ý nghĩa 0.08 thì

P(A1)#0,2 ; P(A2)#0,3 ; P(A3) #0,1 và P(A4)#0,4

BÀI TẬP TRONG ĐỀ THI

Bài 1 Gỉa sử X là cường độ chịu nén của các thanh thép cùng loại trên công trường,X có phân bố chuẩn Kiểm tra ngẫu nhiên 31 thanh thép trên công trường ta có bảng số liệu sau

X(kg/cm2) 2700-2720 2720-2740 2740-2760 2760-2780

Với độ tin cậy (100-k)% hãy cho 1 ước lượng về khoảng cường độ chịu lực trung bình của mỗi thanh thép

Bài 2 Định mức thời gian trung bình hoàn thành 1 sản phẩm là 300 phút, liệu có cần thay đổi mức định mức đó hay không nếu theo dõi thời gian hoàn thành sản phẩm của 30 công nhân ta có bảng số liệu sau

Biết thời gian hoàn thành sản phẩm là đại lượng ngẫu nhiên có phân bố chuẩn Với mức ý nghĩa k% hãy kết luận mức định mức nói trên

Bài 3 Cho nhóm biến cố đầy đủ gồm A1,A2,A3,A4 thực hiện 60 phép thử ta có các kết quả sau

Hãy kiểm định ở mức ý nghĩa k% giả thuyết H: P(A1)=0,2 ; P(A2)=0,3 ; P(A3)=0,1 và P(A4)=0,4

Bài 4 Gỉa sử lượng gạch dùng để xây 1m3 tường là đại lượng ngẫu nhiên có phân bố chuẩn Quan sát về X ta có số liệu sau

a) Tìm 1 ước lượng không chệch của a và 2

b) Với độ tin cậy (100-k)% hãy ước lượng số gạch trung bình dùng để xây 1m3 tường Bài 5 Gỉa sử thời gian gia công 1 sản phẩm là đại lượng ngẫu nhiên có phân bố chuẩn Quan sát thời gian gia công của 31 sản phẩm ta có bảng số liệu sau

a) Hãy ước lượng 1 điểm không chệch của EX và DX

b) Hãy ước lượng 1 khoảng về thời gian gia công trung bình 1 sản phẩm với độ tin cậy (100-k)%

Bài 6 Cho 1 đlnn X có bảng số liệu sau

(3625;11 )

Bài 7 Tỉ lệ phế phẩm của phương pháp sản xuất cũ là 5% Người ta áp dụng 1 phương pháp sản suất mới nhằm nâng cao chất lượng sản phẩm Hãy kiểm định ở mức ý nghĩa k% xem phương pháp mới có tốt hơn phương pháp cũ hay không, biết rằng kiểm tra chất lượng của

400 sản phẩm sản xuất theo phương pháp mới có 385+k sản phẩm đạt chất lượng

Bài 8 Một mẫu cỡ 100 từ đại lượng ngẫu nhiên X ta có số liệu sau

Hãy kiểm định ở mức ý nghĩa k% xem X có phân bố đều trên đoạn 10;18 không?

Bài 9 Trọng lượng thực tế của 1 bao xi măng là X và X có phân bố chuẩn, với trọng lượng trung bình theo quy định là 50kg, do nghi ngờ về các bao bị đóng thiếu ng ta cân thử 30 bao thu được bảng số liệu sau

Với mức ý nghĩa là k% kết luận gì về điều nghi ngờ nói trên