Phương pháp Giả sử mặt phẳng ỏ chia khối đa diện thành hai khối có thể tích là V1 và V2.. M là trung điểm SC, mặt phẳng P chứa AM và // BD chia hai hình chóp thành hai phần.. Tính tỉ s
Trang 1DẠNG 2: TỈ SỐ THỂ TÍCH
A Phương pháp
Giả sử mặt phẳng ỏ chia khối đa diện thành hai khối có thể tích là V1 và V2 Dễ tính k = ta có thể:
- Tính trực tiếp V1 và V2 bằng công thức suy ra k
- Tính V2 (Hoặc V1 ) bằng công thức tính thể tích của cả khối suy ra thể tích V2 (Hoặc V1 ) k
Ta có các kết quả sau:
+ Hai khối chóp có cùng diện tích đáy là tỷ số thể tích bằng tỉ số hai đường cao tương ứng
+ Hai khối chóp có cùng độ dài đường cao thì tỉ số thể tích bằng tỉ số hai diện tích đáy
+
(Chỉ đúng cho khối chóp tam giác (tứ diện))
B Các bài tập
Bài 1: Chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành M là trung điểm SC, mặt phẳng
(P) chứa AM và // BD chia hai hình chóp thành hai phần Tính tỉ số thể tích của hai phần
đó
Giải
Trang 2Gọi O = AC BD, I = SO AM
} (P) (SBD) = B’D’ // BD
=
= (Vì I là trộng tâm tam giác SAC)
= 1
Mà VSABD = VSCBD = VSABCD
+ = + =
=
=
Bài 2: Hình chóp SABCD có đáy là hình vuông SA (ABCD), (SC,(SAB)) = ỏ Mặt phẳng (P) qua A và vuông góc SC chia hình chóp thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần đó
Giải
Trang 3Kí hiệu K1 = VSMAQN
V2 = V – V1
Gọi O = AC BD Tam giác SAC kẻ AN SC
E = SO AN suy ra E (P)
}
}
(P) // (SBD) (P) (SBD) = MQ // BD
} CB (SAB) ( ) ̂ = ỏ
V1 = 2VSANQ; V = 2VSACB
=
=
Tam giác vuông SAC: SA2 = SC SN SN =
Tam giác vuông SAB : SA2 = SB SQ SQ =
=
= (
)2
} CB SB
Tam giác vuông SBC: cos ỏ =
SC =
Trang 4
Tam giác vuông SAB: SA2 = SB2 – AB2 = SB2 – BC2 = SB2 – SB2 tan ỏ
=
= (cos 2 = 1- sin2
=
= =
Bài 3: SABCD là hình chóp tứ giác đều cạnh a, đường cao h Mặt phẳng qua AB (SDC) chia chóp làm hai phần tính tỉ số thể tích hai phần đó
Bài 4: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ cạnh là a M là trung điểm CD, N là trung
điểm A’D’ Tính tỉ số thể tích hai phần đó (MNB’) chia hình lập phương
Giải
Gợi ý: Gọi V1; V2 tương ứng là thể tích các phần trên và phần dưới thiết diện ta có
V1 = VB’ECF – (VEPD’N + VFMQC)
Để ý: ED’ = a; FC = ; PD’ = ; CQ =
Tính được V1 =
V2 = V – V1 = a3 -
=
=
Trang 5
Bài 5: Cho tứ diện SABC lấy M, N thuộc cạnh SA, SB sao cho = ;
=2 Mặt phẳng qua MN// SC chia tứ diện thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần này
Giải
Dễ thấy thiết diện là hình thang MNEF với (MF // NE)
Đạt V = VSABC, V1 = VMNEFCS; V2 = VMNEFAB
V1 = VSCEF + VSFME + VSMNE
=
=
V
=
vSABE =
V V1 = + V =
V =
Trang 6
Bài 6: Cho lăng trụ đứng tam giác đều ABCA’B’C’ có cạnh đáy và cạnh bên đều bằng a;
M, N, E lần lượt là trung điểm của BC, CC’, C’A’ Tính tỉ số thể tích hai phần lăng trụ do (MNE) tạo ra
Giải
Dễ thấy (MNE) cắt lăng trụ theo thiết diện là ngũ giác MNEFI
Gọi V1; V2 tương ứng là thể tích phần trên và phần dưới của thiết diện, ta có :
V1 = VNIBM+ VNNB’FI + VNB’C’EF
V2 = VNFA’E+ VNAA’FI + VNACMI
So sánh từng phần tương ứng ta có V1 = V2 = 1
Bài 7: Cho hình vuông ABCD cạnh a, {O} = AC BD, Ox (ABCD) Lấy S Ox, S
0 Mặt phẳng qua AC và vuông góc (SAD) chia hình chóp thành hai phần tính tỉ số thể tích của hai phần đó