bai tap ti so the tich on thi thptqg 2020

Gọi ' V là thể tích của khối tứ diện có các đỉnh là trọng tâm của các mặt của khối tứ diện ABCD Tính tỉ.. Tính diện tích tam giác MNP biết mặt phẳng , ,  P chia khối chóp đã cho thành

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỈ SỐ THỂ TÍCH

Câu 81 Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB AC và AD đôi một vuông,

góc Các điểm M N P lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng, ,

của khối tứ diện AMNP

A V 7 a3 B V 28 a3 C V 14 a3 D V 21 a3

Câu 82 Cho tứ diện ABCD có thể tích V Gọi ' V là thể tích của khối tứ

diện có các đỉnh là trọng tâm của các mặt của khối tứ diện ABCD Tính tỉ.

số

'

V

V

A

27



V

' 23 27



V

27



V

27



V V

Câu 83 Cho hình chóp S ABC có chiều cao bằng 9 , diện tích đáy bằng 5 Gọi M là trung điểm của cạnh SB và N thuộc cạnh SC sao cho



A V 15. B V 5 C V 30 D V 10

Câu 84 Cho khối chóp S ABC có thể tích bằng 16 Gọi , , M N P lần lượt

là trung điểm các cạnh SA SB SC Tính thể tích V của khối tứ diện, , .

AMNP

A V 2. B V 4. C V 6 D V 8

Câu 85 Cho tứ diện ABCD có thể tích V Xét các điểm P thuộc đoạn

AB , điểm Q thuộc đoạn BC và điểm R thuộc đoạn BD sao cho

PB QC RD Tính thể tích của khối tứ diện BPQR theo V

A BPQR 5.

V V

B BPQR 4.

V V

C BPQR 3.

V V

D BPQR 6.

V V

Câu 86 Cho tứ diện ABCD có AB AC AD đôi một vuông góc và, ,

tam giác ABC ACD ADB Tính thể tích V của khối tứ diện AMNP., ,

A V 8 a3 B V 4 a3 C V 6 a3 D V 2 a3

Câu 87 Cho hình chóp .S ABC có SA3, SB4, SC5 và

A V 5 2. B V 5 3. C V 10. D V 15

Câu 88 (ĐỀ THAM KHẢO 2016 – 2017) Cho tứ diện có thể tích bằng V

Gọi V là thể tích của khối đa diện có các đỉnh là các trung điểm của các

cạnh của khối tứ diện đã cho, tính tỉ số .



V

V

A

1

2





V

1 4





V

2 3





V

5 8





V V

Câu 89 Cho hình chóp đều S ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng

2a Gọi M là trung điểm SB , N là điểm trên đoạn SC sao cho

2



A

3 11 36

a

V

3 11 16

a V

3 11 24

a V

D

3 11

18

a

V

Câu 90 Cho hình chóp đều S ABC có tất cả các cạnh bằng a Mặt phẳng

lượt tại M N P Tính diện tích tam giác MNP biết mặt phẳng , ,  P chia

khối chóp đã cho thành hai phần có thể tích bằng nhau

A

2 3 8

MNP a

S

B

2 3 16

MNP a

S

C

2 3

3

4 2

MNP a S

D

2 3

3

4 4

MNP a

S

Câu 91 Cho tam giác ABC vuông cân ở A và AB a Trên đường thẳng

qua C và vuông góc với  ABC lấy điểm D sao cho  CD a Mặt phẳng

  qua C và vuông góc với BD , cắt BD tại F và cắt AD tại E Tính thể tích V của khối tứ diện CDEF

A

3

6

a

V

B

3

24

a V

3

36

a V

3

54

a V

Câu 92 Cho tứ diện ABCD có thể tích V và các điểm M N P thỏa mãn, ,

điều kiện   2

AM AB ,   3

AN AC và   4

đúng?

A AMNP 24.

V V

B V AMNP 8 V C V AMNP 24 V D AMNP 8.

V V

Câu 93 Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a Gọi M N lần lượt là,

trung điểm của các cạnh AB BC và E là điểm đối xứng với B qua D ,

Mặt phẳng MNE chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện, trong

đó khối đa diện chứa đỉnh A có thể tích V Tính V

A

3

7 2

216

V

B

3

11 2

216

V

C

3

13 2

216

V

D

3

2 18

V

Câu 94 Mặt phẳng đi qua trọng tâm của tứ diện, song song với một mặt

phẳng của tứ diện và chia khối tứ diện thành hai phần Tính tỉ số thể tích (phần bé chia phần lớn) của hai phần đó

A

2

5

27

3 4

Câu 95 Cho tứ diện đều SABC có cạnh bằng 1 Mặt phẳng  P đi qua điểm S và trọng tâm G của tam giác ABC cắt các cạnh AB AC lần lượt,

tại M N Tính thể tích nhỏ nhất , V của khối tứ diện min SAMN

A min

2 18



V

B min

4 9



V

C min

2 27



V

D min

2 36



V

Câu 96 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và có

thể tích bằng 48 Gọi M N lần lượt là điểm thuộc các cạnh , AB CD sao,

A V 8. B V 20 C V 28 D V 40

Câu 97 Cho hình chóp .S ABCD Gọi ', ', ', ' A B C D lần lượt là trung

điểm của SA , SB , SC SD Tính tỷ số k của thể tích khối chóp, ' ' ' '

A

1

2



k

1 4



k

1 8



k

1 16



k

Câu 98 Cho khối chóp .S ABCD có thể tích bằng V Lấy điểm ' A trên cạnh SA sao cho

1 ' 3



Mặt phẳng   qua 'A và song song với đáy

 ABCD cắt các cạnh , ,  SB SC SD lần lượt tại ', ', ' B C D Tính thể tích

'

V của khối chóp ' ' ' ' S A B C D

A '3

V

V

B '9

V V

V V

V V

Câu 99 Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật Mặt

phẳng   đi qua , A B và trung điểm M của SC Mặt phẳng   chia

khối chóp đã cho thành hai phần có thể tích lần lượt là V V với 1, 2 V1V2 Tính tỉ số

1

2

V

V

A

1

2

1

4



V

1 2

3 8



V

1 2

5 8



V

1 2

3 5



V

Câu 100 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại

A và B , BA BC 1, AD2 Cạnh bên SA vuông góc với đáy và

2



SA Gọi H là hình chiếu vuông góc của V a trên SB Tính thể3 tích V của khối đa diện SAHCD

A

2 2

3



V

B

4 2 9



V

4 2 3



V

2 2 9



V

Câu 101 Cho hình chóp đều S ABCD Gọi N là trung điểm ,. SB M là điểm đối xứng với B qua A Mặt phẳng MNC chia khối chóp SABCD

thành hai phần có thể tích lần lượt là V V với 1, 2 V1V Tính tỉ số 2

1 2

V V

A

1

2

5

7



V

1 2

5 11



V

1 2

5 9



V

1 2

5 13



V V

Câu 102 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a ,



SM

k

SA Xác định k sao cho mặt phẳng MBC chia khối chóp

đã cho thành hai phần có thể tích bằng nhau

A

2

 



k

B

2

 



k

C

2

 



k

D

4





k

Câu 103 Gọi V là thể tích của hình lập phương ABCD A B C D , ' ' ' ' V là1

thể tích tứ diện 'A ABD Hệ thức nào sau đây đúng?

A V 6 V B 1 V 4 V 1 C V 3 V 1 D V 2 V 1

Câu 104 Cho lăng trụ đứng ABC A B C Gọi D là trung điểm AC Tính ' ' '

tỉ số k của thể tích khối tứ diện ' B BAD và thể tích khối lăng trụ đã cho.

A

1

4



k

1 12



k

1 3



k

1 6



k

Câu 105 Cho khối lăng trụ ABC A B C Đường thẳng đi qua trọng tâm    của tam giác ABC và song song với BC cắt các cạnh AB AC lần lượt tại,

N M

D'

C' B'

A'

D

C B

A

,

tích (phần bé chia phần lớn) của chúng

A

2

4

4

4 27

Câu 106 Cho hình lăng trụ ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông    cân tại A, AC2 2 Biết AC tạo với mặt phẳng   ABC một góc  0

60 và 4

 

AC Tính thể tích V của khối đa diện ABCC B  

A V 8 3. B

16 3



V

C

8 3 3



V

D

16 3 3



V

Câu 107 Cho khối hộp ABCD A B C D có thể tích     V Các điểm , , M N P

thỏa mãn điều kiện   2

AM AC ,   3 

AN AB và   4 

của khối tứ diện AMNP theo V

A V AMNP 8 V B V AMNP 4 V C V AMNP 6 V D V AMNP 12 V

Câu 108 Cho hình lăng trụ ABC A B C có thể tích bằng V Các điểm M , ' ' '

N , P lần lượt thuộc các cạnh AA , ' BB , ' CC sao cho '

1 ' 2

AM

2 ' '3

BB CC Tính thể tích 'V của khối đa diện ABC MNP

A

2

3



B

9

16



C

20

27



D

11

18



Câu 109 Người ta cần cắt một khối lập

phương thành hai khối đa diện bởi một mặt

phẳng đi qua A (như hình vẽ) sao cho phần thể

tích của khối đa diện chứa điểm B bằng một

nửa thể tích của khối đa diện còn lại Tính tỉ số

'

CN

k

CC

A

1

3



k

B

2 3



k

C

3

4



k

1 2



k

Câu 110 Cho hình hộp ABCD A B C D Gọi M là điểm thuộc đoạn ' ' ' '.

'

phần có thể tích là V và 1 V Gọi 2 V là phần có chứa điểm B Tính tỉ số1 1

2

V

k

V

P N

B

A

D

F E

D

A

M

S

C

M N

A

7

32



k

B

7 16



k

C

7 25



k

D

25 32



k

ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI

Vấn đề 4 TỈ SỐ THỂ TÍCH

Câu 81 Tứ diện ABCD có các cạnh AB AC,

và AD đôi một vuông góc nên

3

1

6

ABCD

1 4

MNP  BCD

3

1

7 4

AMNP A BCD

Chọn A.

Câu 82 Gọi M là trung điểm AC , ; E F làn

lượt là trọng tâm của tam giác ABC ACD, .

Trong tam giác MBD có

1 3



Tương tự ta có các cạnh còn lại của tứ diện mới

sinh ra bằng

1

3 cạnh của tứ diện ban đầu

Do đó

3

 

  

 

V

Câu 83 Từ giả thiết, ta có

2 3



SN

1

2



SM

SB

Thể tích khối chóp .

1 9.5 15

3

S ABC

V

.

.

S AMN

ABMNC S ABC

S ABC

Chọn D

Câu 84 Ta có d S MNP ,    d A MNP , 

nên V AMNP V SMNP.

R Q

P

D C

B

A

G

F E

D

N M

C B

A

P

F

E

S

C

Mà

1

8

SMNP

SABC

1

2 8

AMNP S ABC

Chọn A.

Câu 85 Từ giả thiết, ta có

Ta có

BPQR

BACD

Suy ra

1

BPQR BACD

V

Chọn A

Câu 86 Ta có

3

1

6

ABCD

Gọi , ,E F G lần lượt là trung điểm của

BC CD DB

Suy ra

3

AEFG ABCD

,

2 3

Ta có

.

.

8

27

A MNP

A EFG

3

8

2 27

 V A MNP  V A EFG  a

Chọn D.

Câu 87 Trên các đoạn SB SC lần lượt lấy,

các điểm , E F sao cho SE SF 3

Khi đó .S AEF là khối tứ diện đều có cạnh

3



a

Suy ra

3

S AEF

a V

Ta có

.

.

S AEF

S ABC

20

5 2

9

 V S ABC  V S AEF 

Chọn A.

C' B' A'

C

B A

S

O

N M S

C

B A

Câu 88 Kí hiệu tứ diện và các điểm như hình

vẽ

.

.

1

  

  

S A B C

S A B C

S ABC

V

Tương tự A A MP.   B B MN.   C C NP.  8.

V

  S ABC  S A B C  A A MP  B B MN  C C NP

1



V

A.

Câu 89 Gọi O là tâm của ABC , suy ra SO ABC 

3

Suy ra

.

S ABC

V

Ta có

.

.

S AMN

S ABC

Suy ra

3

.

ABCNM

ABCNM S ABC

S ABC

V

Chọn D.

Câu 90 Mặt phẳng   P  ABC và cắt các cạnh SA SB SC lần lượt tại, ,

, ,

M N P

P A

B

C

S

M

N

F D

A

B C

E

D

N M

C B

A

P

x

Do đó

3

.

S MNP

S ABC

x

3

3

S MNP

S ABC

V

V

Suy ra tam giác MNP là tam giác đều cạnh

3 2

a

Vậy diện tích

4



MNP

S

Chọn D.

Câu 91 Ta có











Lại có BD   BD CE   2

Từ  1 và  2 , suy ra CE ABD  CE AD

Tam giác vuông ABC , có BC  AB2AC2 a 2.

Tam giác vuông DCB , có BD BC2CD2 a 3.

Tam giác vuông DCB , có

2 2

2

1

3

Tương tự, ta cũng có

2 2

1 2

Suy ra

3 2

.

.

D EFC

D EFC D ABC

D ABC

Chọn C.

Câu 92 Từ giả thiết, suy ra

.

.

A BCD

A MNP

Suy ra V A MNP. 24.V A BCD. 24 V Chọn C.

P Q

N

M

E D

C B

A

J I

F

E Q

P

D

A

B

C

Câu 93 Thể tích khối tứ diện đều ABCD cạnh a là

3 2 12



ABCD

a V

Gọi P ENCD và  Q EM AD

Suy ra , P Q lần lượt là trọng tâm của BCE và ABE

Gọi S là diện tích tam giác BCD , suy ra SCDE SBNE S .

Ta có

1

PDE  CDE S

Gọi h là chiều cao của tứ diện ABCD , suy ra

M BNE BNE

S h

  .

Q PDE PDE

S h

.

 ABCD  PQD NMB  a  a

Chọn B.

Câu 94 Gọi , , E F I lần lượt là trung điểm

của các cạnh AC BD EF khi đó I là trọng, ,

tâm của tứ diện ABCD Ta sẽ dựng mặt.

phẳng qua I song song với BCD 

Trong mặt phẳng EBD dựng đường thẳng

qua I song song với BD cắt FB FD lần,

lượt tại M N , .

lượt song song với BC CD cắt,

, ,

AB AC AD lần lượt tại , , P Q J

Do Q là trung điểm của

3 , 4

EC

3 4

Ta có

.

Câu 95 Gọi E là trung điểm của BC Qua ,. B C lần lượt kẻ đường thẳng song song với MN và cắt đường thẳng AE tại , P Q

G E Q P

N M

C B

A

A

B

C S

M

N

N

M

D

B

C A S











2

3











Vì SABC là tứ diện đều  SGABC và 

2 3



SG

0

SAMN AMN

Ta có

min

Câu 96 Gọi d là khoảng cách từ đỉnh A đến cạnh CD.

Diện tích hình bình hành S ABCD AB d .

Ta có S MBCN S ABCD  SAMN  SADN

AB d AM d DN d AB d AB d AB d

.48 28

S MBCN S ABCD

Chọn C.

D' C'

B' A'

S

A

C

B

D

D

B

C A

A' B' C' D' S

S

A

D

M N

Câu 97 Lưu ý: Tỉ số thể tích chỉ áp dụng cho khối chóp tam giác nên nếu

đáy là tứ giác ta chia đáy thành hai tam giác

Ta có V S A B C D ' ' ' ' V S A B C ' ' 'V S A D C ' ' '.

Mà

' ' '

.

S A B C

S ABC

Suy ra ' ' ' .

1

8



S A B C S ABC

Tương tự ta cũng có ' ' ' .

1

8



S A D C S ADC

S A B C D S ABC S ADC S ABC S ADC S ABCD

Suy ra

' ' ' '

.

1 8



S A B C D

S ABCD

V

Câu 98 Từ giả thiết suy ra

3



Tương tự

3

Ta có V S A B C D ' ' ' ' V S A B C ' ' 'V S A D C ' ' '

Mà

' ' '

.

S A B C

S ABC

' ' '

1

27

 V S A B C  V S ABC

Tương tự ta cũng có ' ' ' .

1

27



S A D C S ADC

Vậy

S A B C D S ABC S ADC S ABC S ADC S ABCD

V

Chọn C.

Câu 99 Kẻ MN CD  N CD , suy ra ABMN là thiết diện của khối  chóp

Ta có V S ABMN. V S ABM. V S AMN.



.

.

S ABM

S ABM S ABC S ABCD

S ABC



.

.

S AMN

S AMN S ABCD

S ACD

M D

C B

A

S

H

F

E M

N S

A

C

B

D

S ABMN S ABCD S ABCD S ABCD

5 8



ABMNDC S ABCD

nên

1 2

3 5



V V

Chọn D.

Câu 100 Tam giác vuông SAB , có SB SA2AB2  3.

Gọi M là trung điểm AD  ABCM là hình vuông nên

2

  tam giác ACD vuông tại C

Ta có V S AHCD. V S ACD. V S AHC. .

●

.

S ACD ACD

●

2

2

S AHC

S AHC S ABC

S ABC

Vậy .

S AHCD

V

Chọn B.

Câu 101 Gọi ,h S lần lượt là chiều

cao và diện tích đáy của khối chóp

1 3



S ABCD

Nối MN cắt SA tại E , MC cắt AD

tại .F Tam giác SBM có , A N lần

lượt là trung điểm của BM và SB

suy ra E là trọng tâm tam giác

SBM Tứ giác ACDM là hình bình

hành nên F là trung điểm MC.

Ta có V BNC AEF. V ABCEN V E ACF.



.

.

S ENC

S ENC S ABC

S ABC

ABCEN S ABC S ABCD S ABCD

N M

B

D

C A S

A

D

A' B'

C'

D'

D

C'

B' A'

C

B A

BNC AEF ABCEN E ACF S ABCD S ABCD S ABCD

Suy ra

1

2

 S ABCD   V 

Câu 102 Kẻ      SN SM 



Khi đó mặt phẳng

Ta có V S MBCN. V S MBC. V S MCN.



.

.

S MBC

S MBC S ABC

S ABC



.

.

S MCN

S MCN S ACD

S ACD

Từ giả thiết, ta có

2

S MBCN S ABCD S ABC S ACD S ABCD

.

 

  V S ABCD  V S ABCD  S ABCD      

Chọn B.

Câu 103 Ta có V S ABCD.AA và'

1

1

'

3 

1

6 2

ABD  ABCD   V 

Suy ra V 6 V Chọn A.1

Câu 104 Ta có V ABC A B C ' ' ' SABC.BB và'

'

1

'

3 



B BAD BAD

Mà

' ' ' '

BAD  ABC    B BAD 

ABC A B C

V

V

Chọn D.

E G N

M

C

C'

H

C'

B' A'

C B A

Câu 105 Gọi G là trọng tâm của tam giác

ABC

Gọi E là trung điểm của BC

2 3

AE Đường thẳng d đi qua G và song song BC

, cắt các cạnh AB AC lần lượt tại , , M N

2 3

2

4

3









Ta có V ABC A B C.   SABC.AA và ' '.

1

'

3 



A AMN AMN

 2

Từ  1 và  2 , suy ra ' .

4

27   



A AMN ABC A B C

27

     

 V BMNC A B C  V ABC A B C

Vậy

'.

.

4 23

  



A AMN

BMNC A B C

V

Câu 106 Gọi H là hình chiếu của A trên mặt phẳng  A B C   

Suy ra HC là hình chiếu của  AC trên mặt phẳng   A B C   

0

60 AC A B C,    AC HC, AC H



Diện tích tam giác

2

4

2

ABC AC 

S

Suy ra V ABC A B C.    SABC.AH 8 3

A A B C A B C ABC A B C

16 3 3

       

ABCC B ABC A B C A A B C

Chọn D.

Câu 107 Ta có V V AB D C' ' V AA B D' ' 'V CC B D' ' 'V D DAC' V B BAC' 

A B

C D

C' D'

P M

N

A

B C

A'

B' C'

Mà AA B D' ' '  CC B D' ' '  D DAC'  B BAC' 6

V

Suy ra AB D C' ' 3

V V

Ta có

.

.

1

24

A B D C

A NPM

3

 

  A NPM  A B D C  V 

Chọn A.

Nhận xét: Công thức giải nhanh: Thể tích của khối tứ diện (4 đỉnh nằm trên hai đường chéo của hai mặt đối diện) có thể tích bằng

1

3 của khối lăng trụ tam giác

Câu 108 Công thức giải nhanh

.

3

 

ABC MNP

m n p

với

Áp dụng:

, ,

, ta dược

.

11

18



ABC MNP

Chọn D

Câu 109 Công thức giải nhanh ' ' ' '

0

AMNPBCD ABCDA B C D

V

Theo giả thiết, ta có ' ' ' '

0



AMNPBCD ABCDA B C D

CN

Chọn B.

Câu 110 Trong mặt phẳng CDD C , kẻ ' ' MN C D với  ' N CD Suy ra

1

4



và V là khối đa điện 1 ABB NCM'