Bài tập tỉ số thể tích khối đa diện - Lê Bá Bảo

[ Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12 ] Luyện thi THPT Quốc gia 2018 TỶ SỐ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN I PHƯƠNG PHÁP Kết quả 1 Cho tam gi¸c trªn c¹nh chän trªn c¹nh chän , ' , ' OAB OA A O OB B O  Lóc ®ã ' ' ' ' OA B OAB S OA OB S OA OB  Chøng minh 1 1 2 2 Gäi H, H' lÇn l­ît l¯ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A v¯ A' lªn OB Lóc ®ã v¯ ' ' ' ' ' OA B OAB S A H OB S AH OB    Suy ra §Þnh lý thales' ' ' ' ' ' ' OA B OAB S A H OB OA OB S AH OB OA OB   H' HB' A' B A O Kết quả 2 Cho h×nh chãp trªn c¹nh chän trªn[.]

TỶ SỐ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

I- PHƯƠNG PHÁP

Kết quả 1: Cho tam giác OAB, trên cạnh OA chọn A'O, trên cạnh OB chọn B'O

OA B OAB

Chứng minh:

Gọi H, H' lần lượt l¯ hình chiếu vuông góc của A v¯ A' lên OB

Lúc đó: S OA B' '  A H OB' ' ' v¯ S OAB  AH OB

Suy ra:

Định lý thales

OA B

OAB

A'

B

A

O

Kết quả 2:

Cho hình chóp S ABC , trên cạnh SA chọn A'O, trên cạnh SB chọn B'O trên cạnh S chọn C C'O

.

S A B C

S ABC

Chứng minh:

Lúc đó:

(SBC)

S A B C SB C S ABC SBC

Suy ra:

Định lý thales ' ' ' ' ' ' ' ' ' '

S A B C SB C

B'

A'

B A

S

II- BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌA

Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' ' Tỉ số thể tích của khối AA B C' ' ' và khối ABCC' là

A 1 B 1

3

Lời giải

1 3 1 3

' ' ' ' ' '

'

; ' ' '

A B C

AA B C

C ABC

ABC

V

V

Do S ABC S A B C' ' ' và d A A B C ; ' ' ' d C ABC ;  

nên (1): ' ' ' 1

'

AA B C

C ABC

V

Chọn đáp án A

A'

B'

C'

B

C A

Ví dụ 2: Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD Gọi M N lần lượt là trung điểm của , SB SD Mặt , phẳng AMN cắt  SC tại E Gọi V2 là thể tích của khối chóp S AMEN và V1 là thể tích khối chóp S ABCD Khẳng định nào sau đây đúng?

A 2 1 1

V  V B 2 1 1

V  V C 2 1 1

V  V D 2 1 1

V  V

Lời giải

1 2

SM SN SI

SB SD SO  Qua O dựng OK // AE

Xét AEC: 1

2

/ /



 

 Suy ra: K là trung điểm EC

Xét SOK: 1

2

/ /

IE OK



 

 Suy ra: E là trung điểm SK Vậy 1

3

SE

SC 

S AMEN S AME

S ABCD S ABC

1

6

S AMEN S ABCD

V  V

K I

O

E

M N

S

B A

Chọn đáp án D

Ví dụ 3: Cho tứ diện đều ABCD Điểm M là trung điểm AB và N trên cạnh CD sao cho

2

A 3 B 3

3

Lời giải

Ta có:

1

3 3

BMCN BACN BMCN BACN

BACN BACD BACN BACD

BMCN BACD

BACD BMCN

A

B

C

M

N

Ví dụ 4: Cho hình chóp S ABC Gọi M N, lần lượt thuộc các cạnh SB SC, sao cho

2

SMMB SN  CN Mặt phẳng AMN chia khối chóp thành hai phần, gọi V1V S AMN. và

2 ABCNM

V V Khẳng định nào sau đây đúng?

A V1 V2 B 1 1 2

V  V C 1 1 2

V  V D 1 2 2

V  V

Lời giải

2 3 3 .

.

S AMN

S ABC

S AMN S ABC ABCNM S ABC

Vậy 1 1 2

V  V

Chọn đáp án C

N M

C

B A

S

Ví dụ 5: Cho hình chóp tam giác đều S ABC Gọi M N lần lượt là trung điểm của , BC SM Mặt , phẳng ABN cắt SC tại E.Gọi V là thể tích của khối chóp 2 S ABE và V là thể tích khối chóp 1

S ABC Khẳng định nào sau đây đúng?

A 2 1 1

V  V B 2 1 1

V  V C 2 1 1

V  V D 2 1 1

V  V

Lời giải

Qua M dựng MK // BE Xét tam giác BEC:

1

2

/ /

MK BE



 Suy ra: K là trung điểm EC

Xét tam giác SMK: 1

2

/ /



 Suy ra: E là trung điểm SK Vậy 1

3

SE

SC 

.

.

S ABE

S ABE S ABC

S ABC

hay 2 1 1

V  V Chọn đáp án A

K E

N

M C

B A

S

Ví dụ 6: Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' ' Gọi E F lần lượt là trung điểm của các cạnh , AA' và BB'

Đường thẳng CE cắt đường thẳng C A' ' tại E' Đường thẳng CF cắt đường thẳng B C' ' tại F'

Gọi V là thể tích khối chóp 2 C ABFE và V là thể tích khối lăng trụ 1 ABC A B C ' ' ' Khẳng định nào sau đây đúng?

A 2 1 1

V  V B 2 1 1

V  V C 2 1 1

V  V D 2 1 1

V  V

Lời giải

Hình chóp C A B C ' ' ' và lăng trụ ABC A B C ' ' ' có

đường cao và đáy bằng nhau nên

C A B C ABC A B C C ABB A

Do EF là đường trung bình của hình bình hành

1

' ' ABFE ABB A C ABFE C ABB A

hay 2 1 1

V  V Chọn đáp án A

E'

F'

F E

A'

B' C'

C B A

Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABC, trên AB, BC, SC lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho AM2MB,

BN NC SP PC Tỉ lệ thể tích hai khối chóp S BMN và A CPN là:

A.4

Lời giải

3 5 15

S BMN B MNS

S ABC B ACS

5 2 10

A CPN C ANP

S ABC C ABS

15 10 3

.

.

:

S BMN

A CNP

V

V

P

N

M

B A

S

C

Chọn đáp án C

Ví dụ 8: (Đề minh họa Bộ GD&ĐT) Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC và AD đôi một vuông

góc với nhau; AB6a,AC7a và AD4a Gọi M, N, P tương ứng là trung điểm các cạnh BC,

CD, DB Tính thể tích V của tứ diện AMNP

14

V  a C 28 3

7

V  a

Lời giải

28

ABCD

V  AB AC AD a

Dễ thấy MNP được tạo nên bởi các đường trung

bình của BCDchúng đồng dạng với nhau theo tỉ

số

3

7

AMNP ABCD ABCD BCD

N P

D

A

B

C

Ví dụ 9: Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' Gọi O là tâm của ABCD; M N, lần lượt là trung điểm của A B' ' và A D' ' Tỉ số thể tích của khối A ABD' và khối OMND C B' ' ' bằng

A 4

7

Lời giải

Do S ABD S A B D' ' 'S MND C B' ' ' S B C D' ' 'S MND'B'

'B'

ABD MND

'

'B' ' ' ' ' ' '

A MN

MND A B D ABD

A B D

S

4

' ' '

MND C B ABD

1 3 1 3

'

' ' '

' ' '

; ' ' ' '

ABD

A ABD

OMND C B

MND C B

V

V

d O A B C D S

4 7 ' ' '

ABD

MND C B

S

S

O

N

M A'

B'

D'

C'

D A

B

C

Ví dụ 10: Cho hình chóp S ABC có SA vuông góc với mặt đáy, SA a , ABC đều cạnh 2a Gọi

,

M N lần lượt thuộc các cạnh SB SC, sao cho SMMB SN,  2CN Tính thể tích khối

AMNCB

A

3

2 3

3 3

9a C

3

4 3

9a D

3

2 3

3a

Lời giải

3 2

3

2 3 3 .

.

S AMN

S ABC

3

S AMN S ABC ABCNM S ABC

a

Chọn đáp án A

2a

a

S

A

B

C

Ví dụ 11: Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình bình hành Gọi M là trung điểm cạnh SA Mặt phẳng   qua M và song song với ABCD, cắt các cạnh SB SC SD lần lượt tại , , N P Q, , Gọi

1 S ABCD.

V V và V2 V S MNPQ. Khẳng định nào sau đây đúng?

A V1 8V2 B V1 6V2 C V116V2 D V1 4V2

Lời giải

Dễ thấy, N P Q, , lần lượt là trung điểm các cạnh

SB SC SD

Ta có:

2

2

8

.

S MNPQ S MNP

S ABCD ABC

S MNPQ S MNP

S ABCD S ABC









Chọn đáp án A

N M

S

A

B

Ví dụ 12: Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình bình hành Gọi M là trung điểm cạnh SC Mặt phẳng   chứa AM và song song với BD, cắt các cạnh SB SD lần lượt tại , N P Gọi ,

1 S ANMP.

V V và V2 V ABCDPMN Khẳng định nào sau đây đúng?

A V2 3V1 B 2 3 1

V  V C V2 2V1 D 2 7 1

V  V

Lời giải

Gọi BDAC O ; AMSO I Suy ra I là

trọng tâm SAC và SBD Qua I dựng

/ /

PN BDThiết diện là tứ giác ANMP

.

S ANM

S ABCD S ABC

V

2

3 S ABCD. 3 S ABCD.

Chọn đáp án C

I

O

B A

C D

S

M

N P

Ví dụ 13: Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a Gọi M N P Q, , , lần

3

SMMA SN NB SP PC SQ  SD Tính thể tích khối SMNPQ

A

3

3 2

3 2

48a C

3 2

16a D

3 2

32a

Lời giải

Ta có: 1 2 3 1

2 3 4 4 .

.

S MNP

S ABC

S MNP S ABC S ABCD

2 4 3 8 .

.

S MPQ

S ACD

S MPQ S ACD S ABCD

16

SMNPQ S MNP S MPQ S ABCD

16 6a 32a

Chọn đáp án D

Q

P N

M

S

D

C

O

Ví dụ 14: Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' ' Gọi V1 V A A B C ' ' ' và V2 V ABC A B C ' ' ' Khẳng định nào sau đây đúng?

A 1 3 2

V  V C 1 1 2

V  V D 1 2 2

V  V

Lời giải

3

' ' ' ; ' ' ' ' ' '

V  d A A B C S

và V ABC A B C ' ' ' d A A B C ; ' ' '  SA B C' ' '

Suy ra: 1

2

1

3

V

V 

Chọn đáp án C

B'

C' A'

A

B

C

Ví dụ 15: Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' ' Điểm M trên cạnh AA sao cho: ' AM2MA' Gọi

1 M BCC B ' '

V V và V2 V ABC A B C ' ' ' Khẳng định nào sau đây đúng?

A 1 3 2

V  V C 1 1 2

V  V D 1 2 2

V  V

Lời giải

Do AA'/ /BCC B' 'V M BCC B ' ' V A BCC B ' '

' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '

A A B C ABC A B C A BCC B ABC A B C

Suy ra: 1

2

2

3

V

V 

Chọn đáp án D

M

C

B A

B'

Nhận xét: Điểm M có vẻ như có thể nằm bất kì trên đường thẳng AA'? Kết quả tỉ số thể tích trên vẫn đúng!

Ví dụ 16: Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' Gọi V1V BACB' và V2 V ABCD A B C D ' ' ' ' Khẳng định nào sau đây đúng?

A 1 5 2

V  V C 1 1 2

V  V D 1 2 2

V  V

Lời giải

3

V  d A BCB S

' '

' ' ' ' ' '

BCB C BCB C ABCD A B C D







Suy ra: 1

2

1

6

V

V 

Chọn đáp án B

D

A

B

C

D'

C'

Ví dụ 17: Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' Gọi M là trung điểm cạnh AB Gọi V1V MBCB' và

2 ABCD A B C D ' ' ' '

V V Khẳng định nào sau đây đúng?

A 1 5 2

V  V C 1 1 2

V  V

Lời giải

Ta có:

MBCB ABCB ABCD A B C D ABCD A B C D

C'

B' A'

D'

C

B A

D

Ví dụ 18: Cho khối lăng trụ tam giác ABCA B C' ' ', đường thẳng đi qua trọng tâm tam giác ABC

song song với BC cắt AB tại D, cắt AC tại E Mặt phẳng đi qua A D E chia khối lăng trụ thành ', , hai phần, tỉ số thể tích (số bé chia cho số lớn) của chúng bằng:

A 2

4

4

4 27

Lời giải

3 3 9

ADE

ABC

Mặt khác:

'

V  d A ADE S  d A ABC S

27d A ABC SABC 27V ABC A B C

' ' ' ' ' ' '

' ' '

A ADE

A B C CEDB ABC A B C

A B C CEDB

V

V

Chọn đáp án B.

E

A'

B'

C'

C

B A

Ví dụ 19: Xét khối chóp tứ giác đều SABCD, mặt phẳng chứa đường thẳng AB đi qua điểm C' của cạnh SC chia khối chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau Tính tỉ số SC'

SC

A 1

2

5 1 2



D 4 5

Lời giải

Đặt '  

SC

Ta có:

2

' '

.

2

S AD C

S AD C S ADC S ABCD

S ADC

và '

.

'

2

S ABC

S ABC S ABC S ABCD

S ABC

2

2

S ABC D S ABC S AC D S ABCD

Theo đề bài ta suy ra

2

S ABC D S ABCD

2

     

Chọn đáp án C.

S

O

C'

D'

D A

B

C

Ví dụ 20: Cho khối hộp ABCD A B C D ' ' ' ' có thể tích V Tính thể tích khối chóp A CB D ' '

A

3

V

2

V

3

V

D 3 4

V

Lời giải

Hình hộp đã cho là hợp của khối chóp đang xét với 4

khối chóp A AB D B AB C C B CD D ACD ; 4 ' ' '; ' ; ' ' '; '

khối cuối này cùng có thể tích bằng

6

V

nên thể tích cần

V 

Chọn đáp án A

Nhận xét: Hoàn toàn có thể "thử" trường hợp đặc biệt, khi

hình hộp đặc biệt trở thành hình lập phương cạnh a thì dễ

thấy thể tích khối lập phương là a , còn khối 3 A CB D ' ' là

khối tứ diện đều cạnh a 2 thể tích tương ứng là

3

 So sánh ta đưa ra kết quả

D'

C'

A

B

C D

Ví dụ 21: Cho hình chóp S ABCD đáy là hình chữ nhật , ABCD có BC2AB SA, vuông góc với đáy Gọi M là điểm trên cạnh AD sao cho AMAB Gọi V V1, 2 lần lượt là thể tích của hai khối chóp S ABM và S ABC Tính 1

2

V

V

A 1

1

1

1 2

Lời giải

Ta có:

AD

2

S ABC S ABCD

V

V

D

C B

A S

í dụ 22: Cho hình chóp đều S ABC có cạnh đáy bằng a góc giữa đường thẳng , SA và mặt đáy bằng 60 Gọi 0 A B C tương ứng là điểm đối xứng của '; '; ' A B C qua ; ; S Tính thể tích khối bát diện có các mặt ABC A B C A BC B CA C AB AB C BC A CA B ; ' ' '; ' ; ' ; ' ; ' '; ' '; ' '

A 2 3 a 3 B

3

3 2

a

C

3

2 3 3

a

D

3

4 3 3

a

Lời giải

Thể tích khối bát diện đã cho là

' ' ' '.

1

3

A B C BC A SBC SBC

Ta có: SA ABC;  SAG60 0 Xét SGA vuông tại

:

SA

Vậy

Chọn đáp án C.

60 0

a

C'

B'

A'

G

B S

III- BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN

Câu 1 Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a Gọi M N P Q, , , lần

lượt thuộc các cạnh SA SB SC SD sao cho , , , 2 3 1

3

SMMA SN  NB SP PC SQ  SD

Tính tỉ số thể tích giữa khối SMNPQ và khối S ABCD

A 3

12

Câu 2 Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' ' Gọi V1V A BCC B. ' ' và V2 V ABC A B C ' ' ' Khẳng định nào sau

đây đúng?

A 1 3 2

V  V C 1 1 2

V  V D 1 2 2

V  V

Câu 3 Cho tứ diện ABCD Gọi B' và C' lần lượt là trung điểm của AB và AC Khi đó tỉ số thể

tích của khối tứ diện AB C D' ' và khối tứ diện ABCD bằng:

A 1

8

Câu 4 Cho hình lăng trụ ngũ giác ABCDE A B C D E ' ' ' ' ' Gọi A B C D E, , , ,  lần lượt là trung

điểm của AA BB CC DD EE Khi đó tỉ số thể tích của khối lăng trụ ', ', ', ', '

ABCDE A B C D E     và khối lăng trụ ABCDE A B C D E ' ' ' ' '.bằng:

A 1

10

Câu 5 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có thể tích bằng V Lấy điểm A' trên cạnh SA sao cho

1 3 '

SA  SA Mặt phẳng qua A' và song song với đáy của hình chóp cắt các cạnh , ,

SB SC SD lần lượt tại B C D Khi đó thể tích khối chóp ', ', ' S A B C D ' ' ' 'bằng:

A

3

V

9

V

81V

Câu 6 Cho hình chóp S ABC có 'A và ' B lần lượt là trung điểm của các cạnh SA SB Tỉ số thể thể ,

tích .

' '

S ABC

S A B C

V

V bằng:

A 1

Câu 7 Cho hình chóp S ABC Gọi A' và B' lần lượt là trung điểm của SA và SASB Khi đó tỉ số

thể tích của hai khối chóp S A B C ' ' và S ABC bằng:

A 1

8

Câu 8 Cho hình chóp S ABCD Gọi A B C D lần lượt là trung điểm của ', ', ', ' SA SB SC SD Khi , , ,

đó tỉ số thể tích của hai khối chóp S A B C D ' ' ' ' và S ABCD bằng:

A 1

16

Câu 9 Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' Tỉ số thể tích của khối tứ diện ACB D' ' và khối hộp

' ' ' '

ABCD A B C D bằng:

A 1

6

Câu 10 Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' , gọi O là giao điểm của AC và BD Tỉ số thể tích của

khối chóp O A B C D ' ' ' ' và khối hộp ABCD A B C D ' ' ' 'bằng:

A 1

6

.

S ABC

S ABCD

V

A 1

8

.

S OAB

S ABCD

V

A 1

8

.

S OAB

S ABC

V

V bằng

A 1

8

Câu 14 Cho tứ diện SABC Gọi M N P lần lượt là trung điểm các cạnh , , AB BC AC Gọi , ,

1 S ABC.

V V , V2 V S MNP. Lựa chọn kết luận đúng trong các kết luận sau:

A V1 2V2 B V1 8V2 C V14V2 D V1 6V2

Câu 15 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M N lần lượt là trung ,

điểm của SA và SB Tính tỉ số thể tích .

.

S CDMN

S CDAB

V

A 1

2

'; '; '

A B C thỏa mãn SA2SA SB '; 3SB SC '; 4SC' Tính thể tích khối chóp S A B C ' ' '

Câu 17 Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' có cạnh bằng a Tính thể tích khối tứ diện .

' '

ACD B

A

3

3

a

3 2

3

4

a

3 6

4a