Mô phỏng bài toán vận chuyển neutron 03

Tuy nhiên, để giải được phương trình này rấtphức tạp vì vấn đề ở đây là chúng ta phải giải quyết bài toán 7 chiều: 3 không gian, 2 hướng, và năng lượng với thời gian Phương pháp Monte Ca

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-Vũ Thị Linh

MÔ PHỎNG BÀI TOÁN VẬN CHUYỂN NEUTRON

Chuyên ngành: Vật lí lí thuyết và vật lí toán

Mã số: 60 44 01 03

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS Nguyễn Hoàng Oanh

LỜI CẢM ƠN

Trước hết, em xin được gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến thầy giáo TS.Nguyễn Hoàng Oanh Cảm ơn thầy đã truyền đạt cho em những kiến thức chuyênngành hết sức cần thiết, đã chỉ bảo em nhiệt tình trong quá trình học tập môn học vàquá trình thực hiện luận văn này

Em xin được gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban chủ nhiệm khoa Vật lý, các thầy côtrong khoa Vật lý, các thầy cô trong tổ Vật lý trường Đại học Khoa học tự nhiên đãquan tâm tạo điều kiện giúp đỡ em trong suốt thời gian làm luận văn cũng như trongsuốt quá trình học tập, rèn luyện tại trường

Em xin được gửi lời cảm ơn đến các anh chị nghiên cứu sinh, các bạn họcviên cao học khóa 2011-2013 đang học tập và nghiên cứu tại bộ môn Vật lý lýthuyết và Vật lý toán- Khoa Vật lý - Trường ĐH KHTN - ĐHQGHN đã nhiệt tìnhgiúp đỡ và hướng dẫn em trong quá trình học tập

Cuối cùng em xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, bạn bè đã luôn quan tâmđộng viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện luận văn này

Em xin chân thành cảm ơn

Hà Nội, ngày 25 tháng 12 năm 2015

Học viên

Vũ Thị Linh

MỤC LỤC

PHẦN MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chon đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Cấu trúc luận văn 2

PHẦN NỘI DUNG 3

Chương I Giới thiệu về cơ bản về bài toán vận chuyển neutron 3

1.1 Cơ sở Vật lý 3

1.1.1 Tương tác của neutron với vật chất 3

1.1.2 Lò phản ứng hạt nhân 11

1.2 Lý thuyết vận chuyển netron 13

1.2.1 Những khái niệm cơ bản 13

1.2.2 Lý thuyết vận chuyển tổng quát 15

Chương II Giới thiệu về phương pháp Monte Carlo 17

2.1 Giới thiệu 17

2.2 Tích phân Monte Carlo 18

2.3 Ước lượng sai số 19

2.4 Số ngẫu nhiên 20

2.5 Lấy mẫu điển hình 24

2.6 Chuỗi Markov 25

Chương III Mô phỏng bài toán vận chuyển neutron 26

3.1 Bài toán vận chuyển neutron qua lớp vật liệu 26

3.2 Thuật toán đơn giản và thảo luận cho bài toán vận chuyển neutron 2D 28

3.2.1 Bài toán vận chuyển với tán xạ đàn hồi 28

3.2.2 Bài toán vận chuyển với tán xạ phi đàn hồi 34

KẾT LUẬN 39

TÀI LIỆU THAM KHẢO 40

DANH MỤC HÌNH VẼ

Hình 1.1 Tiết diện phản ứng (n, γ) của 238 U và tiết diện phân hạch của 235 U, 238 U

và 239 Pu (Dữ liệu của thí nghiệm ENDF/B-VI, 300K) 4

Hình 1.2 Số lượng trung bình các neutron phân hạch tức thời của 235 U, 238 U, 239 Pu và 241 Am (Dữ liệu của thí nghiệm ENDF/B-VI) 7

Hình 1.3 Tỉ lệ neutron trễ với các đồng vị 235 U, 238 U, 239 Pu và 241 Am 7

Hình 1.4 Phổ của phân bố phân hạch tức thời của 235 U, 238 U, 239 Pu, Am 8 241 (Dữ liệu của thí nghiệm ENDF/B-V) 8

Hình 1.5 Tiết diện tán xạ đàn hồi của 1 H, 16 O, 238 U và tiết diện tán xạ phi đàn hồi toàn phần của 238 U (Dữ liệu của thí nghiệm ENDF/B-VI, 300K) 10

Hình 1.6 Thể tích vô cùng nhỏ trong không gian 3 chiều 15

Hình 2.1 Minh họa thuật toán loại trừ 23

Hình 3.1 Mô tả vùng tương tác của neutron 26

Hình 3.1: Đồ thị sự phụ thuộc của tỉ lệ hạt bị hấp thụ theo quãng đường tự do trung bình 29 Hình 3.2: Đồ thị sự phụ thuộc của tỉ lệ hạt phản xạ theo quãng đường tự do trung bình 30

Hình 3.3: Đồ thị sự phụ thuộc của tỉ lệ hạt truyền qua theo quãng đường tự do trung bình 31

Hình 3.4: Đồ thị sự phụ thuộc của tỉ lệ hạt bị hấp thụ theo quãng đường tự do trung bình xác xuất hấp thụ neutron trong mỗi lần tương tác là pc = 0.5, bề dày của tấm vật liệu là 1 đơn vị độ dài 32

Hình 3.5: Đồ thị sự phụ thuộc của tỉ lệ hạt phản xạ theo quãng đường tự do trung bình xác xuất hấp thụ neutron trong mỗi lần tương tác là pc = 0.5, bề dày của tấm vật liệu là 1 đơn vị độ dài 33

Hình 3.6: Đồ thị sự phụ thuộc của tỉ lệ hạt truyền qua theo quãng đường tự do trung bình, xác xuất hấp thụ neutron trong mỗi lần tương tác là pc = 0.5, bề dày của tấm vật liệu là 1 đơn vị độ dài 34

Hình 3.7: Đồ thị sự phụ thuộc của tỉ lệ hạt hấp thụ theo phần trăm mất mát năng lượng sau mỗi lần tán xạ 36 Hình 3.8: Đồ thị sự phụ thuộc của tỉ lệ hạt phản xạ theo phần trăm mất mát năng lượng sau mỗi lần tán xạ 37 Hình 3.9: Đồ thị sự phụ thuộc của tỉ lệ hạt truyền qua theo phần trăm mất mát năng lượng sau mỗi lần tán xạ 38

DANH MỤC BẢNG

Bảng 3.1 Sự phụ thuộc của tỉ lệ số hạt hấp thụ, phản xạ và truyền qua vào quãng đường dịch chuyển trung bình, xác xuất hấp thụ neutron trong mỗi lần tương tác là

p c = 0.3333, bề dày của tấm vật liệu là 1 đơn vị độ dài 29

Bảng 3.2 Sự phụ thuộc của tỉ lệ số hạt hấp thụ, phản xạ và truyền qua vào quãng đường dịch chuyển trung bình, xác xuất hấp thụ neutron trong mỗi lần tương tác là

p c = 0.3333, bề dày của tấm vật liệu là 1 đơn vị độ dài 32

Bảng 3.3: Sự phụ thuộc của tỉ lệ số hạt hấp thụ, phản xạ và truyền qua vào phần % mất mát năng lượng sau mỗi lần tán xạ, xác xuất hấp thụ neutron trong mỗi lần tương tác là p c = 0.3333, bề dày của tấm vật liệu là 1 đơn vị độ dài 35

PHẦN MỞ ĐẦU

1. Lí do chon đề tài

Hiện nay, có hai phương pháp mô phỏng sự vận chuyển và tương tác củaneutron trong lò phản ứng hạt nhân Phương pháp tất định dựa trên phương trìnhchuyển động Boltzman với kết quả được lấy xấp xỉ Phương pháp Monte Carlo môphỏng hệ hạt nhân một cách chính xác dựa trên mô hình thống kê

Phương pháp tất định đóng vai trò chủ đạo trong việc mô phỏng và mô hìnhhóa lò phản ứng hạt nhân Điều đầu tiên mà chúng ta cần giải quyết đó là giải đượcphương trình chuyển động Boltzmann Tuy nhiên, để giải được phương trình này rấtphức tạp vì vấn đề ở đây là chúng ta phải giải quyết bài toán 7 chiều: 3 không gian,

2 hướng, và năng lượng với thời gian

Phương pháp Monte Carlo tận dụng sức mạnh của máy tính hiện đại để giảicác bài toán phức tạp, khó hoặc không thể giải bằng phương pháp giải tích [4] Hiệuquả của phương pháp này so với các phương pháp khác tăng lên khi số chiều củabài toán tăng Đối với bài toán vận chuyển hạt, thế mạch của phương pháp MonteCarlo nằm ở khả năng ước lượng thống kê cho các tích phân tốc độ phản ứng màkhông cần phải tính đến thông lượng vô hướng Khả năng xử lý đối với những biếnđổi phức tạp trong biến số không gian và năng lượng của phương pháp Monte Carlokhiến cho nó trở thành một sự thay thế hấp dẫn cho các phương pháp vận chuyển tấtđịnh

Trên thế giới đã có nhiều chương trình và thuật toán mô phỏng bài toán vậnchuyển neutron bằng phương pháp Monte Carlo, với việc sử dụng những công cụphần mềm tính toán số khác nhau như ngôn ngữ lập trình C++, matlab Tuy nhiên,đối với nhiều người thì những chương trình mô phỏng này hoặc là đắt tiền, khó sửdụng cũng như khó sửa đổi Vì vây trong luận văn này, tôi bước đầu xây dựng mộtchương trình mô phỏng bài toán vận chuyển neutron bằng phương pháp MonteCarlo dựa trên phần mềm tính toán số Scilab đơn giản hơn và dễ tiếp cận với ngườihọc hơn rất nhiều

2. Mục đích nghiên cứu

Bước đầu xây dựng chương trình mô phỏng bài toán vận chuyển neutron bằng phương pháp Monte Carlo, dựa trên phần mềm tính toán Scilab

3 Cấu trúc luận văn

Luận văn gồm 3 chương:

Chương I Giới thiệu về cơ bản về bài toán vận chuyển neutron

Chương II Giới thiệu về phương pháp Monte Carlo Chương

III Mô phỏng bài toán vận chuyển neutron

PHẦN NỘI DUNGChương I Giới thiệu về cơ bản về bài toán vận chuyển neutron1.1 Cơ sở Vật lý

1.1.1 Tương tác của neutron với vật chất

Các phản ứng phân hạch dựa trên chuỗi phản ứng tự duy trì bởi các neutron.Các neutron không mang điện và chúng dễ dàng xuyên qua các đám mây electron

và hàng rào thế Coulomb của các hạt nhân nguyên tử Các tương tác neutron làtương tác mạnh trong giới hạn khoảng 10-15 m, cỡ bán kính của hạt nhân [2] Trongchương mở đầu này chúng tôi tìm hiểu cơ sở vật lý của các tương tác neutron,những kiến thức cần thiết để nghiên cứu mô phỏng Monte Carlo bài toán vậnchuyển neutron

Tương tác vật lý của neutron được mô tả cả bằng cơ học cổ điển và cơ họclượng tử Các phản ứng tán xạ đàn hồi ở mức năng lượng thấp thuộc phạm vi ứngdụng của cơ học cổ điển Cơ học lượng tử đóng vai trò quan trọng trong các hiệntượng như: quá trình neutron đâm xuyên sâu vào trong hạt nhân bia và tương tác vớicác cấu phần của hạt nhân; một vài hiện tượng thể hiện tính sóng của neutron nhưnhiễu xạ neutron xuất hiện khi các neutron có năng lượng thấp tương tác với cấutrúc tinh thể của vật liệu,v.v

Ngoài tán xạ đàn hồi, các tương tác neutron khác thường gặp trong các quá trìnhphân hạch không quá khác nhau Chúng đều tạo ra các hạt nhân hợp phần ở trangthái kích thích với thời gian tồn tại ngắn và nhanh chóng phân rã để trở lại trạng thái

cơ bản (ground state) Mode phân rã sẽ quy định loại phản ứng, trong quá trình tínhtoán bài toán vận chuyển neutron, chúng có thể được chia ra thành 3 loại phản ứng:hấp thụ, phân hạch và tán xạ Mỗi loại phản ứng xảy ra với một giá trị cận dưới củađộng năng của neutron tới, nếu động năng nhỏ hơn giá trị này thì phản ứng khôngxảy ra

Khi hấp thụ neutron hạt nhân trở thành hạt nhân hợp phần với năng lượng kíchthích tối thiểu bằng năng lượng liên kết của neutron trong hạt nhân đó Nếu nănglượng liên kết này lớn hơn một giá trị ngưỡng nào đó (phụ thuộc vào mỗi đồng vị)thì hạt nhân ban đầu có thể bị phân hạch khi hấp thụ neutron với năng lượng bất kỳ

ra khi động năng của neutron đủ lớn để cho năng lượng kích thích vượt quá nănglượng ngưỡng.

Xác suất tương tác giữa neutron tới và hạt nhân bia được đặc trưng bởi tiết diệntương tác vi mô, phụ thuộc vào hạt nhân bia, loại tương tác và năng lượng củaneutron tới Ở năng lượng thấp, xác xuất xảy ra các phản ứng hợp phần tỉ lệ trựctiếp với thời gian mà neutron đi qua vùng tương tác của lực tương tác mạnh Điềunày dẫn đến sự phụ thuộc của các tiết diện tán xạ vào đại lượng nghịch đảo vận tốccủa neutron, 1/v

Sự phụ thuộc của các tiết diện phóng xạ vào các đại lượng vật lý trở nên phứctạp hơn khi năng lượng tăng và các tương tác ở cấp độ vi mô cần đến sự vận dụngcủa cơ học lượng tử xuất hiện, dẫn đến sự thay đổi phức tạp trong tiết diện phảnứng Nếu năng lượng toàn phần của neutron xấp xỉ bằng năng lượng của trạng tháihợp phần kích thích, xác suất tương tác có thể tăng lên vài bậc Điều này có thểđược quan sát với các đỉnh cộng hưởng trên đồ thị sự phụ thuộc của tiết diện tươngtác vào năng lượng Khoảng cách giữa các đỉnh cộng hưởng thu hẹp lại khi nănglượng tăng Đến một lúc nào đó, không thể quan sát được các đỉnh riêng rẽ Vùngnày là miền cộng hưởng không thể phân giải Ở mức năng lượng cao hơn nữa, sựcộng hưởng trở nên trùng lặp và chúng ta quan sát được dạng đường cong trơn

Sự hấp thụ

Hình 1.1 Tiết diện phản ứng (n, γ) của 238U và tiết diện phân hạch của

Sự hấp thụ đề cập đến tất cả các phản ứng mà không có neutron thứ cấp đượcphát ra Hiện tượng hấp thụ đơn giản nhất là hiện tượng bắt neutron bức xạ hayphản ứng (n,γ) Neutron tới được giữ lại trong các hạt nhân bia và năng lượng dựthừa được giải phóng bằng sự phát xạ photon năng lượng cao Một ví dụ cho phảnứng bắt bức xạ neutron của 238U :

238

U + n  239U* + γ (1.1) Trong thực tế phản ứng (n,γ) làphương thức hấp thụ duy nhất với các đồng vị actini giàu neutron Các phản ứngphân hạch và tán xạ chiếm ưu thế ở vùng năng lượng cao Tiết diện tương tác phản

ứng (n, γ) của 238U được biểu diễn trong hình1.1

Các phản ứng bắt quan trọng khác gồm (n,p), (n,α) và (n,3He) Chúng là cácphản ứng điển hình chỉ xảy ra khi với một ngưỡng năng lượng của neutron đến Một

ví dụ là phản ứng (n,α) của 10B:

10

B + n  11B*  7Li + 4HeUrani và các actini là những đồng vị nặng với hơn 90 proton và 140–160neutron trong hạt nhân Các phản ứng hợp phần rất phức tạp và các tiết diện tươngtác của actini được đặc trưng bởi số lượng lớn các vùng cộng hưởng Đỉnh cộnghưởng đầu tiên được phân tách khá rõ ràng trong miền năng lượng tương đối thấp.Dải cộng hưởng không phân giải được bắt đầu từ khoảng 10 KeV Miền liên tục nàyđược thể hiện trong hình là một đường trơn liên tục

Sự phân hạch là tương tác trong đó các hạt nhân hợp phần ở trạng thái kíchthích sau khi hấp thụ neutron chậm bị phân chia thành 2 mảnh:

235

U + n  236U*  135Xe +98Sr + 3n

Trong phản ứng này, sản phẩm trung gian là 236U sẽ bị phân rã thành các hạtnhân nhỏ hơn Thông thường thì sản phẩm tạo ra sẽ là 2 đồng vị có số khối trungbình với một đồng vị nặng hơn đồng vị kia một chút Sản phẩm của phản ứng phânhạch thường có nhiều neutron và bị phân rã β- để đi đến trạng thái bền vững

Phản ứng phân hạch có thể xảy ra đối với tất cả các nguyên tốt thuộc họ actini vàchiếm ưu thế trong vùng năng lượng cao cỡ MeV Trong thực tế, phản ứng cần nănglượng khoảng 6 MeV để có thể xảy ra trong khi năng lượng sinh ra trong quá trình tạothành hạt nhân hợp phần là khoảng 5 MeV Sự chênh lệch năng lượng này làm chophản ứng phụ thuộc lớn vào hiệu ứng chẵn lẽ: sự thay đổi số lượng neutron từ lẻ sangchẵn giải phóng thêm vài MeV, đủ để nâng năng lượng lên trên ngưỡng phân hạch Cácđồng vị có số neutron lẻ (235U, 239Pu, 241Pu, 242Am,…) là những đồng vị phân hạch,chúng có thể bị phân hạch bởi sự hấp thụ các neutron có năng lượng thấp Các đồng vịphân hạch có số neutron chẵn (238U, 237Np, 241Am…) chỉ phân hạch khi hấp thụ cácneutron có động năng lớn hơn giá trị ngưỡng, khoảng 1 MeV Các tiết diện phân hạchcủa 235U, 238U, và 239Pu cũng được vẽ trong hình 1.1.

Phản ứng phân hạch tạo ra 1 đến 6 neutron mới Số neutron trung bình sinh ra làhàm tuyến tính của năng lượng neutron tới và nó cũng phụ thuộc vào số khối củađồng vị Ngoài các neutron tức thời phát ra trong sự kiện phân hạch, còn có nhiềuneutron được tạo ra từ các chuỗi phân hạch của các đồng vị sản phẩm có số lượngneutron dư Sự phóng xạ neutron dư hầu như là tức thời nhưng nó cũng có thể xảy

ra sau sự phân rã của đồng vị phóng xạ khác có thời gian sống dài hơn Một ví dụcủa chuỗi phản ứng là sự phân rã của sản phẩm phân hạch 87Br:

87

Br  87Kr*  86Kr + n (1.4) Hạt nhân 87Br ở trạng thái kíchthích với chu kì bán rã 56 s và phân rã tạo nên hạt nhân 87Kr Hạt nhân 87Kr đượctạo nên ở trạng thái kích thích cao với năng lượng 6 MeV đủ để phóng ra tức thờimột neutron và chuyển thành hạt nhân 86Kr bền Thời gian sống của chuỗi phân rãđược chi phối bởi phản ứng đầu tiên với chu kì bán rã là 56s Phản ứng này quyếtđịnh thời gian mà neutron có thể được phát ra sau sự kiện phân hạch Các neutron

trễ này có vai trò quan trọng đối với hằng sốthời gian trong các lò phản ứng hạt nhân

Hình 1.2 Số lượng trung bình các neutron phân hạch tức thời của 235U,

238

U, 239Pu và 241Am (Dữ liệu của thí nghiệm ENDF/B-VI)

Hình 1.2 cho thấy số lượng neutron phát ra tăng lên theo số khối của đồng vị vànăng lượng neutron tới

Một đại lượng quan trọng trong vật lý lò là tỉ lệ của số neutron trễ được vẽ trênhình 1.3 với 4 đồng vị Tỉ lệ này với các đồng vị urani cao khiến cho những nhữngnhiên liệu làm từ urani tốt hơn nhiều so với các dạng nhiên liệu khác

Neutron phân hạch được phát ra đẳng hướng do có rất nhiều hạt được sinh ratrong phản ứng mà các định luật bảo toàn năng lượng, động lượng không chi phốihướng tới và phát Hơn nữa thời gian sống của trạng thái trung gian đủ dài để cáchạt neutron tới “quên” đi hướng cũ của nó.

Phân bố năng lượng của neutron phân hạch tức thời có dạng hàm phân bốMaxwell, có đỉnh ở quanh giá trị 1 MeV Đoạn cuối của đường phân bố kéo dài tớikhoảng năng lượng cao nhất là 10 MeV và kết thúc ở khoảng năng lượng thấp nhất

là 100 eV Phổ của phân bố phân hạch tức thời của 235U, 238U, 239Pu, 241Am được

vẽ trong hình 1.4

Các phân bố hơi khác nhau đối với các đồng vị khác nhau, nhưng hầu nhưkhông phụ thuộc vào năng lượng neutron tới Các neutron phân rã được sinh ra ởcác mức năng lượng thấp, có vai trò quan trọng trong tính toán lò phản ứng

Năng lượng toàn phần sinh ra trong phản ứng phân hạch (Q) khoảng 200 MeV

và nó có sự phụ thuộc nhỏ vào đồng vị sử dụng làm bia Phần lớn năng lượng,khoảng 80% được giải phóng dưới dạng động năng của các mảnh phân hạch Nănglượng này được sinh ra ngay tại vị trí phân hạch Tuy nhiên ta không thể thu đượctoàn bộ 200 MeV năng lượng phân hạch do các neutron và photon bị rò ra bên ngoàilõi lò Khoảng 4% năng lượng bị mất do các hạt neutrino không tương tác với vậtchất Không phải tất cả năng lượng được giải phóng ngay Các phân rã phóng xạ củacác sản phẩm phân hạch chiếm khoảng 6% tổng năng lượng phân hạch với hằng sốphóng xạ biến thiên từ vài phần nghìn giây cho đến hàng nghìn năm

Hình 1.4 Phổ của phân bố phân hạch tức thời của 235U, 238U,

Phản ứng phân hạch được mô tả trên đây chủ yếu áp dụng cho phân hạch firstchance trong đó hạt nhân ở trạng thái kích thích phân rã trực tiếp thành 2 mảnh Khicác neutron đến có năng lượng cao hơn, một phần năng lượng sẽ được giải phóngbởi phóng xa neutron trước khi hạt nhân bị phân hạch Những phản ứng đó được gọi

là second-chance, third-chance,… tùy thuộc vào số neutron bị phân rã trước khi đạtđến trạng thái cuối cùng Vật lý của phản ứng phân hạch trở nên phức tạp khi nănglượng của neutron đến tăng từ vài chục đến vài trăm MeV Các quá trình vật lý phứctạp này có thể được mô phỏng bằng phương pháp Monte Carlo Với ứng dụng trong

lò phản ứng hạt nhân, chỉ cần xem xét một vài kênh phản ứng là đủ, ở vùng nănglượng thấp chỉ có kênh phân hạch first-chance, các ngưỡng 5MeV và 10 MeV lầnlượt tương ứng với vùng xuất hiện sự đóng góp của kênh phân hạch second-chance

và third-chance

Sự tán xạ

Các va chạm tán xạ có thể phân chia thành 2 loại tương tác: tán xạ đàn hồi vàtán xạ phi đàn hồi Sự khác nhau giữa hai loại tương tác này là tán xạ đàn hồi thìbảo toàn động năng của các hạt tương tác Kết quả trực tiếp sự thay đổi năng lượngliên quan trực tiếp đến góc giữa neutron tới và neutron tán xạ Trong tán xạ phi đànhồi, một phần động năng chuyển thành năng lượng kích thích của hạt nhân sau vachạm

Trường hợp đơn giản nhất của tán xạ trong trường thế là neutron tương tác vớihạt nhân bia nhưng không xuyên vào bên trong Loại tán xạ đàn hồi này thường gặpvới các neutron có năng lượng thấp và nó có thể xảy ra đối với tất cả loại các đồng

vị Tiết điện tán xạ thế đàn hồi hầu như không thay đổi ở năng lượng thấp và ở nhiệt

độ 0K Chuyển động nhiệt của các nguyên tử bia làm tăng tần số va chạm kết quảdẫn đến sự phụ thuộc của tiết diện tán xạ vào đại lượng 1/v giống như tiết diệntương tác của phản ứng hợp phần

Ở năng lượng cao, neutron bắt đầu tương tác với các nucleon nằm trong bia vàtạo thành hạt nhân phản ứng hợp phần Trạng thái hợp phần kích thích có thể phân

rã trực tiếp để trở về trạng thái cơ bản bằng việc phát ra neutron trong trường hợptán xạ là đàn hồi.

Trong trường hợp tán xạ phi đàn hồi, một phần năng lượng hấp thụ được giảiphóng qua phóng xạ γ Các phản ứng phi đàn hồi được chia thành tán xạ theo mức

và tán xạ phi đàn hồi liên tục Sự phân rã của mỗi mức năng lượng rời tạc được xemnhư là một kênh phản ứng riêng biệt Phản ứng liên tục bao gồm sự tán xạ khôngphân giải được từ tất cả các mức năng lương cao Sự khác nhau giữa hai loại tán xạphi đàn hồi này là đối với tán xạ theo mức gắn với giá trị năng lượng phản ứng Qrời rạc, gắn liền trực tiếp với sự thay đổi góc tán xạ do năng lượng neutron thay đổinhư trong trường hợp đàn hồi Giá trị năng lượng Q của phản ứng tán xạ phi đàn hồiliên tục tuân theo một phân bố, mối quan hệ đơn giản giữa năng lượng và góc tán xạkhông đúng trong trường hợp này

Nếu năng lượng của neutron tới đủ lớn (cỡ khoảng MeV) thì tán xạ phi đàn hồi

có thể dẫn đến sự phát xạ nhiều neutron, hay một neutron và hạt nhân khác nhưproton, α, 3He

Hình 1.5 Tiết diện tán xạ đàn hồi của 1H, 16O, 238U và tiết diện tán xạ phi

238

Các tiết điện tán xạ đàn hồi của 1H, 16O, 238U và tiết diện tán xạ phi đàn hồitoàn phần của 238U được vẽ trong hình 1.5 Góc tán xạ đàn hồi thế của 16O kéo dàitới khoảng 0.5 MeV sau đó xuất hiện các đỉnh cộng hưởng Miền bắt đầu xuất hiệncộng hưởng của 238U bắt đầu ở năng lượng thấp hơn nhiều và đối với 1H thì cácmode tán xạ chỉ là tán xạ trong trường thế Năng lượng ngưỡng để xuất hiện tán xạphi đàn hồi ở cỡ vài chục KeV So sánh các tiết diện phản ứng phân rã của cùngđồng vị phóng xạ 238U trong hình 1.1 chúng ta thấy sự giống nhau rõ ràng trong cấutrúc cộng hưởng Đây là điều có thể dự đoán được, từ đó tất cả các phản ứng hợpphần xuất phát từ sự phân rã của cùng các trạng thái trung gian.

Trong thực tế, các phản ứng tán xạ thế đàn hồi là đẳng hướng trong hệ quychiếu khối tâm ở năng lượng thấp Các phản ứng không đẳng hướng xuất hiện ởnăng lượng cao, đặc biệt là gần miền cộng hưởng Các phản ứng phi đàn hồi thường

là đẳng hướng ở gần năng lượng ngưỡng, nhưng tính không đẳng hướng tăng dầntheo giá trị năng lượng của neutron tới

Quan sát hình 1.2 ta thấy hiệu suất trung bình của neutron phân hạch nằm trongkhoảng từ 2 đến 6 neutron Điều kiện để duy trì trạng thái bền vững là các neutronthừa cần được loại bỏ khỏi chuỗi phản ứng trước khi gây ra sự phân hạch mới Mộtphần các neutron bị rò ra khỏi lõi lò Một vài neutron được hấp thụ trong chất tảinhiệt, các vật liệu làm lò (nhôm, thép ) hoặc trong nhiên liệu mà không xảy ra sựphân hạch mới Phần neutron còn lại được dùng để điều khiển lò phản ứng Ta cũng

phải tính đến một số neutron dự trữ cho việc khởi động lò phản ứng, điều chỉnhnăng lượng lò và bù cho các hiệu ứng dẫn đến giảm số neutron xảy ra trong suốt quátrình vận hành.

Lò phản ứng nhiệt và lò phản ứng nhanh

Quan sát hình 1.4, các neutron phân hạch được sinh ra có năng lượng cao cỡkhoảng 1 MeV Hình 1.1 cho thấy tiết diện phân hạch của 235U là khoảng 1 barn ởtại khoảng giá trị năng lượng đó Các tiết diện tương tác ở năng lượng thấp cao hơnkhoảng 100 dến 1000 lần Giá trị của tiết diện tương tác lớn nghĩa là xác suất tươngtác cao, dẫn đến chỉ cần lượng nhỏ vật liệu phân hạch để đạt tới chuỗi phản ứng tựduy trì Vật liệu phân hạch có nhiều neutron trong miền năng lượng thấp sẽ chỉ cầnmột lượng nhỏ so với các vật liệu phân hạch khác

Đây là nguyên lý của các lò phản ứng nhiệt Các neutron phân hạch nhanh đượclàm chậm bởi các tán xạ đàn hồi trong chất làm chậm, là một vật liệu bao gồm cácđồng vị nhẹ Các vật liệu làm nhẹ thông thường nhất là nước nhẹ, nước nặng và thanchì Cần phải hiểu rõ vai trò của tán xạ đàn hồi đối với thời gian sống của mộtneutron trong lò phản ứng nhiệt Thời gian sống trung bình của neutron trong một lòhạt nhân loại LWR cỡ 0,1 ms Quá trình làm chậm mất khoảng 0,01 ms, trongkhoảng thời gian neutron bị tán xạ trong chất làm chậm Theo mô phỏng bằng máytính, có trên 90% các phản ứng là tán xạ đàn hồi với các nguyên tử hydro trongnước Trong đó có trên 30% phản ứng xảy ra dưới năng lượng 1 eV Khoảng 80%các phân hạch được xảy ra bởi các neutron được làm chậm

Các lò phản ứng nhanh hoạt động dựa trên một nguyên lý khác Hình 1.1 chỉ rarằng giữa dải năng lượng cao (nơi các neutron được sinh ra) và miền năng lượngthấp (nơi mà các neutron này trở thành neutron nhiệt), có một miền cộng hưởng mà

ở đó tiết diện phản ứng bắt bức xạ của 238U là cao Một tỉ lệ đáng kể các neutrontrong các lò phản ứng nhiệt bị mất trong các quá trình hấp thụ cộng hưởng này.Neutron trong các lò phản ứng nhanh được giữ trong trạng thái có động năng caobằng việc tránh sử dụng những vật liệu làm chậm tốt Hiện nay, các chất tải nhiệt được chọn trong các lò phản ứng nhanh là natri lỏng (các thiết kế lò dùng chì, chì –

bitmut và khí lạnh He cũng được đề xuất) Neutron nhanh làm tăng xác suất phânhạch của tất cả các đồng vị trong họ actini (bao gồm cả 238U), từ đó có nhiều hơncác neutron có năng lượng trên năng lượng ngưỡng Hiệu suất trung bình củaneutron phân hạch (hình 1.2) cũng lớn trong vùng năng lượng cao dẫn đến các lòphản ứng nhanh có thể tận dụng neutron tốt hơn hơn so với các lò phản ứng nhiệt.

1.2 Lý thuyết vận chuyển netron

1.2.1 Những khái niệm cơ bản

Mục đích của tính toán vận chuyển neutron là giải quyết sự phân bố tỉ lệ phảnứng hạt nhân trong phạm vi các điều kiện biên của một hệ vật lý, ví dụ lõi của một

lò phản ứng hạt nhân Tất cả các phương pháp giải tất định được rút ra từ lý thuyếtvận chuyển Cơ sở chung của lý thuyết không phức tạp vì nó dựa trên các định luậtbảo toàn đơn giản và một số định nghĩa toán học Ở nhiều phương diện, lý thuyếtvận chuyển neutron rất giống với các bài toán vận chuyển khác gặp phải trong nhiềulĩnh vực của vật lý học, ví dụ sự chuyển động của các phân tử trong chất lỏng hoặc

sự di chuyển của các ion và điện tử trong plasma

So với các bài toán khác, bài toán vận chuyển neutron có một số sự khác biệt rất

rõ ràng Một trong những điểm đặc trưng của bài toán vận chuyển neutron là sự phụthuộc phức tạp vào năng lượng của các tiết diện tương tác giữa neutron và hạt nhântrong môi trường tương tác Sở dĩ có điều này là do các phản ứng hạt nhân hợp phần

có chịu ảnh hưởng mạnh của các hiệu ứng vi mô dẫn đến phải vận dụng cơ họclượng tử Một điểm đáng chú ý khác là neutron không chịu tác dụng của thếCoulomb của các nguyên tử lân cận mà có thể đâm xuyên vào tương tác với hạtnhân Lực tác dụng có phạm vị tương tác giới hạn cỡ kích thước hạt nhân và cácquỹ đạo neutron giữa các va chạm tán xạ là các đường thẳng Hơn nữa, các tươngtác neutron với nhau có thể được bỏ qua dẫn dến sự tuyến tính của các điều kiện vachạm trong phương trình vận chuyển Dưới đây chúng ta tìm hiểu khái quát về bàitoán vận chuyển và các nguyên lý cơ bản để giải quyết bài toán

Ýnghĩa vật lý của tiết diện tán xạ

Như đã đề cập trên đây, xác suất để một neutron đơn lẻ tương tác với các hạtnhân bia được mô tả bằng tiết diện tương tác vi mô Để làm rõ ý nghĩa của nó, ta xéttrường hợp một chùm neutron được bắn vào một mẫu mỏng đặt vuông góc vớiphương chuyển động Cường độ của chùm neutron là I (theo đơn vị neutron/cm2s)

và tất cả neutron có cùng tốc độ, cùng hướng Để đơn giản, mẫu bia được coi nhưchỉ có một lớp nguyên tử và các neutron tới chỉ có một cơ hội để tương tác trong khixuyên qua lớp bia Bia có diện tích tiết diện tương tác A và nó được làm từ vật liệuđồng nhất với mật độ nguyên tử bề mặt NA (số nguyên tử trên một cm2)

Tốc độ phản ứng toàn phần trong mẫu bia tỉ lệ với cường độ của chùm tới, mật

độ nguyên tử của vật liệu bia và diện tích tiết diện tương tác của bia:

R = σt.I.A.NA (1.5) Hệ số tỉ lệ σt là tiết diệntương tác toàn phần vi mô của vật liệu bia Tốc độ mà các neutron bắn vào bia làI.A Do NA là số nguyên tử trên một đơn vị diện tích, có thể coi σt về cơ bản là xác

suất tương tác với một hạt nhân và được mô tả bằng tham

số tiết diện tương tác hiệu dụng của hạt nhân

Xác suất phản ứng trung bình trên thang vĩ mô được đặc trưng bởi tiết diệntương tác vĩ mô, được xác định bằng tích của tiết diện tương tác vi mô và mật độ hạtnhân:

σ(E) = Σi σi(E) (1.7) Nếu môi trường tương tác bao gồm vài đồng vị thì tiết diện tương tác vĩ mô của

vật liệu được tính bằng cách lấy tổng trên tất cả các phần tử:

Σi(r,E) = Σi Nm(r) σm,i(E)

Trong đó: σi(E) mô tả xác suất tương tác của neutron với một hạt nhân bia; Σi(r,E) là đại lượng liên quan đến các tính chất tương tác của môi trường gồm nhiều hạt nhân thuộc một hoặc một số loại nguyên tố.

1.2.2 Lý thuyết vận chuyển tổng quát

Các lý thuyết vận chuyển tổng quát về cơ bản dựa trên các phương pháp tínhtoán tất định, bao gồm thuyết nhiễu xạ Trong tính toán vận chuyển neutron ta giảthiết rằng các neutron được coi như một chất điểm chuyển động theo đường thẳnggiữa các sự kiện va chạm và tương tác giữa các neutron có thể bỏ qua Các giảthuyết bổ sung thường được thêm vào với các vật liệu cấu phần là đẳng hướng vàkhông phụ thuộc thời gian

Phương trình vận chuyển

Hình 1.6 Thể tích vô cùng nhỏ trong không gian 3 chiềuNhững điểm cơ bản nhất của lý thuyết vận chuyển có thể dẫn ra từ sự cân bằngmật độ hạt trong một yếu tố vô cùng nhỏ của không gian pha 6 chiều Trong hệ tọa

độ không gian Đề-các, các hạt được xét đặt trong yếu tố thể tích d3r=dxdydz tại vịtrí r Yếu tố vô cùng nhỏ trong không gian góc là vi phân theo góc chuyển động

d Ω

Năng lượng của các hạt được phân bố đơn giản trong khoảng dE xung quanh

E Một minh họa được mô tả trong hình 1.6

Sự cân bằng neutron bên trong yếu tố không gian pha 6 chiều đưọc miêu tảbằng phương trình vận chuyển [7]:

r Số hạng thứ ba baogồm tất cả các tương tác loại bỏ neutron ra khỏi dòng bởi tán xạ hoặc hấp thụ từ cácnăng lượng và góc khác nhau Nếu các số hạng nguồn và thất thoát cân bằng cũngnhư không có sự xuất hiện của thời gian trong phương trình, chúng ta sẽ thu đượcphương trình vận chuyển trạng thái dừng

Chương II Giới thiệu về phương pháp Monte Carlo

2.1 Giới thiệu

Các phương pháp Monte Carlo sử dụng việc lấy mẫu thống kê thông qua các bộ

số ngẫu nhiên để tính toán nghiệm xấp xỉ của một lớp rộng các bài toán Các phươngpháp Monte Carlo là các phương pháp sử dụng các giải thuật đơn giản, tận dụng sứcmạnh của máy tính hiện đại để giải các bài toán phức tạp khó hoặc không thể giải đượcbằng các phương pháp giải tích Phương pháp này được đặt tên là Monte Carlo, tênmột sòng bạc nổi tiếng ở Monaco, do sự tương đồng về việc sử dụng số ngẫu nhiêntrong đánh bạc và nghiên cứu khoa học Bàn quay rô – lét chính là một máy tạo sốngẫu nhiên đơn giản Theo nghĩa rộng nhất, bất cứ phương pháp nào sử dụng số ngẫunhiên đều có thể được quy vào lớp phương pháp Monte Carlo

Quá trình lấy mẫu thống kê có thể tiến hành trên máy tính bằng việc lặp lại một

số lượng rất lớn các bước đơn giản, song song với nhau Các thuật toán Monte Carlocũng là phương pháp tính bằng số hiệu quả cho nhiều bài toán liên quan đến nhiều biến

số mà không dễ dàng giải được bằng các phương pháp tất định khác, chẳng hạn bài toántính tích phân nhiều lớp Hiệu quả của phương pháp này so với các phương pháp tấtđịnh khác tăng lên khi số chiều của bài toán tăng Phương pháp Monte Carlo cũng đượcứng dụng trong nhiều bài toán tối ưu hóa như trong các ngành tài chính, bảo hiểm.Thông thường phương pháp Monte Carlo được thực hiện với số giả ngẫu nhiên dokhông thể tạo ra số ngẫu nhiên thực sự trên máy tính mà chỉ có thể thu thập từ các quátrình ngẫu nhiên xảy ra trong thực tế Các số giả ngẫu nhiên có tính tất định, được tạo ra

từ các thuật toán có quy luật có thể lặp lại được khi sử dụng trong cùng điều kiện

Để tìm hiểu phương pháp này, trước tiên ta xét bài toán tính số π do nhà toán

học Buffon đưa ra vào thế kỉ XVIII Xét điểm M(x,y) trong đó hai tọa độ x,y được gieomột cách ngẫu nhiên trong khoảng 0<x<1 và 0<y<1 Điểm M nằm trong hình tròn cótâm tại gốc tọa độ O(0,0) khi và chỉ khi x2+y2<1 Diện tích hình tròn có bán kính R=1

là S = R2 = còn hình vuông có cạnh a = 2 là a2 = 4, do đó xác xuất để tìm M nằmtrong hình tròn là Bằng cách tính tỉ số giữa tổng điểm nằm trong đường tròn và tổngđiểm được gieo ngẫu nhiên ta có thể tính toán xấp xỉ số π Phương pháp đơn giản này

hoạt động theo nguyên tắc thử và sai.

2.2 Tích phân Monte Carlo

Trên đây, chúng ta đã nêu ra một ví dụ đơn giản về tính số π bằng phương phápthử và sai Trong phần này, chúng ta tìm hiểu một phương pháp chính xác và hệ thốnghơn Phương pháp này đưa bài toán tính số π về bài toán tính tích phân rồi tích tíchphân đó bằng cách ước lượng giá trị trung bình của hàm trong vùng lấy tính phân

Diện tích của hình tròn có thể tính được bằng tích phân:

với a là bán kính của hình tròn Như vậy diện tích này có thể ước lượng được bằng

phương pháp số truyền thống như phương pháp hình thang, phương pháp Simpson haycác phương pháp tất định khác có độ chính xác cao hơn Ngoài các phương pháp kểtrên, tích phân còn có thể lấy bằng tích của giá trị trung bình của hàm số trong khoảng

lấy tích phân và độ lớn (chiều dài) của khoảng lấy tích phân.

Giá trị trung bình của hàm số f(x) trong khoảng từ a đến b có thể ước lượng bằng việc sử dụng một tập số ngẫu nhiên {xi} phân bố đều trong khoảng [a, b] Từ tập

hợp đó chúng ta có thể ước lượng giá trị trung bình:

Giá trị tích phân khi đó ước lượng bằng:

với N là tổng số điểm ngẫu nhiên được sử dụng.

Diện tích của đường tròn được ước lượng theo công thức:

Và như vậy ta có thể ước lượng giá trị của số pi là

Phương pháp Monte Carlo có thể dễ dàng mở rộng cho tích phân nhiều lớp Giá trị của tích phân nhiều lớp được ước lượng bằng tích của 2 số hạng:

- Giá trị trung bình của hàm số trong vùng cần tính

- Kích thước của vùng cần tính tích phân (độ dài đoạn thẳng trong tích phân 1lớp, diện tích trong tích phân 2 lớp, thể tích trong tích phân 3 lớp và tương tựcho tích phân nhiều lớp hơn)

Từ công thức tính sai số ở trên ta thấy rằng sai số trong tính tích phân ước lượng tỉ lệthuận với , độc lập với số lớp tích phân, vì thế phương pháp Monte Carlo sẽ ưuviệt hơn các phương pháp tính tích phân truyền thống khi số lớp tích phân càng lớn.Trên đây là ước lượng độ lệch chuẩn khi N giá trị số liệu là độc lập với nhau, khi Ngiá trị này phụ thuộc vào nhau, chúng ta phải sử dụng các phương pháp khác để tínhđến sự tương quan của dữ liệu vào ước lượng của độ lệch chuẩn như kết hợp dữ liệu,Jackknife, Bootstrap.

2.4 Số ngẫu nhiên

Tạo số giả ngẫu nhiên

Ta có thể tạo được các tập hợp nhỏ số ngẫu nhiên từ các quá trình ngẫu nhiêntrong tự nhiên (như quá trình bức xạ hạt nhân) hay đời sống hàng ngày (như tập hợpkết quả xổ số mở thưởng hàng ngày) Tuy nhiên các tập hợp số ngẫu nhiên này thườngquá nhỏ để sử dụng trong một bài toán Monte Carlo điển hình với yêu cầu hàng tỉ sốngẫu nhiên

Có một chương trình tạo số ngẫu nhiên chất lượng cao là việc quan trọng bậcnhất để đảm bảo một chương trình mô phỏng Monte Carlo hoạt động tốt Số ngẫunhiên được tạo ra từ một thuật toán nào đó không đảm bảo hoàn toàn được tính ngẫunhiên vì thuật toán là xác định và có thể lặp lại được Vì thế các số ngẫu nhiên tạo ratrên máy tính được gọi là các số giả ngẫu nhiên Một chương trình tạo số giả ngẫunhiên điển hình thường tạo ra các số ngẫu nhiên nguyên nhận giá trị từ 0 cho đến giá trịlớn nhất có thể được lưu trong máy tính Mỗi chương trình tạo số ngẫu nhiên đều phảiđược khởi tạo với một hoặc một tập hợp giá trị bắt đầu, với mỗi tập hợp giá trị khởi tạo

ta có một tập hợp số ngẫu nhiên riêng biệt Một chương trình tạo số ngẫu nhiên phảithỏa mãn các tính chất quan trọng sau đây:

- Tính lặp lại: sử dụng cùng một giá trị khởi tạo có thể thu được cùng một chuỗi

- Tính ngẫu nhiên: các số ngẫu nhiên trong tập hợp phân bố đồng nhất và không phụ thuộc vào nhau.

- Có chu kì dài: các chương trình tạo số ngẫu nhiên phải có chu kì đủ lớn để phục

vụ các nghiên cứu sử dụng nhiều số ngẫu nhiên

- Chất lượng chuỗi số ngẫu nhiên không phụ thuộc nhiều vào giá trị khởi tạo

- Đủ nhanh để tạo ra một tập hợp số ngẫu nhiên trong thời gian nhất định

Trong các thư viện chuẩn, chúng ta thường dùng thuật toán đồng dư tuyến tính

để tạo ra chuỗi số ngẫu nhiên tuân theo phân bố đều Chương trình này sử dụng các

hằng số a, c, m để tạo chuỗi ngẫu nhiên là số nguyên phân bố đều trong khoảng từ 0 đến m-1:

X i+1 = ( aX i + c )mod m

Một tập hợp số ngẫu nhiên thực có thể tạo được bằng cách chia cả tập hợp số nguyên

trên cho một hằng số phù hợp Ví dụ chia cho m ta được tập số thực nằm trong khoảng [0,1) Chu kỳ lớn nhất của chuỗi ngẫu nhiên là m, vì vậy các hằng số a, c phải được

chọn cẩn thận để đảm bảo chuỗi số có chu kỳ lớn nhất

Thuật toán tuyến tính đồng dư tuyến tính là thuật toán đơn giản nhất để tạo sốngẫu nhiên với chất lượng vừa phải sử dụng ít tài nguyên máy tính Khi cần có các tậphợp số ngẫu nhiên có chất lượng cao, chúng ta phải sử dụng các phương pháp tốt hơnvới nhiều tài nguyên tính toán hơn như thuật toán Fibonacci, thuật toán MersenneTwister, các thuật toán kết hợp

Phân bố xác suất

Gọi P(x)dx là xác xuất tìm thấy số ngẫu nhiên nằm trong khoảng (x, x+dx), P(x) được gọi là hàm mật độ xác suất P(x)=0 tương ứng với không có khả năng tìm thấy x,

và P(x)=1 tương ứng với khả năng chắc chắn tìm thấy x Hàm mật độ xác suất P(x)

thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa sau:

Vậy xác suất tìm thấy số ngẫu nhiên nằm trong khoảng [a, b] là

Cho một tập hợp số ngẫu nhiên tuân theo phân bố đều trong một khoảng nào đó,

có hai cách cơ bản để tạo một tập hợp số ngẫu nhiên tuân theo phân bố bất kỳ làphương pháp đổi biến và phương pháp loại trừ

Phương pháp đổi biến

Nếu ta có một tập hợp số ngẫu nhiên {x} có hàm mật độ xác suất là p1(x) xác định thì hàm mật độ xác suất p2(y) của tập hợp số ngẫu nghiên {y} được tạo ra bằng cách tác dụng hàm y = y(x) lên tập hợp {x} được xác định theo quy tắc bảo toàn xác

suất: |p1(x)dx| = |p2(y)dy| => p2(y) = p1(x)| |

Khi cả hai mật độ hàm mật độ p1(x) và p2(x) là đã biết, chúng ta có thể xác định hàm chuyển đổi y(x) bằng cách tích phân phương trình bảo toàn xác suất:

=  P1(x)=P2(y) 

y=P2-1(y)[P1(x)]

Đối với hàm p1(x) ban đầu là hàm phân bố đều trong khoảng [0,1), p1(x)=1 thì

= P1(x)=x y được tính ngược từ hàm sau x =

Ví dụ: Lấy mẫu biến ngẫu nhiên x có hàm mật độ xác suất f(x)=ae -ax trong khoảng [0,∞) ta có:

| |=f(x)= ae-ax nên t= e-ax hay x= Khi x = 0 thì t = 1 và x = ∞ thì t = 0,do đó ta có thể thu được biến x bằng cách gieo ngẫu nhiên biến t trong khoảng (0,1) và áp dụng công thức:

-x= -

để thu được một tập hợp số ngẫu nhiên {x} tuân theo phân bố f(x)=ae -ax trong

khoảng [0,∞).

Phương pháp loại trừ

Phương pháp đổi biến ở trên là một phương pháp tính toán hiệu quả cho phépthu thập các số ngẫu nhiên ở phân bố không đều, tuy nhiên phương pháp này có mộtnhược điểm là khó có thể áp dụng cho những hàm giải tích phức tạp Không phải hàmnào cũng tính ra được hàm ngược một cách dễ dàng, do đó cần thiết phải có mộtphương pháp khác để giải quyết vấn đề này.

Phương pháp loại trừ Von Neuman là một phương pháp rất đơn giản trong việctạo ra số ngẫu nhiên tuân theo mọi phân bố mong muốn Xét một hàm mật độ xác suất

f(x) khác 0 trong khoảng [xmin, xmax] và bằng 0 ở ngoài khoảng này Gọi C là một hằng

số lớn hơn hoặc bằng giá trị cực đại Fmax của hàm f(x) Phương pháp bao gồm gieo N cặp số ngẫu nhiên, tuân theo phân bố đều trong khoảng [xmin, xmax] và [0,C] và chỉ thu nhận những số nằm dưới đường cong f(x).

Gọi M là tổng số những cặp số được thu nhận và vm(x)dx là số những cặp số có hoành độ nằm trong khoảng (x, x+dx) Khi mà số lần gieo tiến tới vô cùng tỉ số vm(x)

Hình 2.1 Minh họa thuật toán loại trừ

Thuật toán chi tiết:

- Tạo một tập hợp số ngẫu nhiên {x} tuân theo phân bố đều trong khoảng [xmin,

xmax]

- Với mỗi giá trị x, gieo một số ngẫu nhiên n theo phân bố đều trong khoảng [0,1].

Giá trị x được chấp nhận giữ lại trong tập hợp nếu > n, nếu không nó sẽ bị

loại bỏ khỏi tập hợp

Thuật toán trên cho thấy rằng phương pháp này cho phép tạo ra một mật độ xác suất

f(x) bất kì, ngay cả khi hàm này chưa được chuẩn hóa.

Phương pháp loại trừ đòi hỏi cần nhiều số ngẫu nhiên của máu hơn phươngpháp biến đổi bởi vì một phần số ngẫu nhiên đã gieo bị loại bỏ Khi đã tính toán được

giá trị Fmax thì chúng ta có thể làm tăng hiệu suất tính toán bằng cách đặt C= Fmax.Phương pháp này còn một nhược điểm khác là không phải lúc nào ta cũng xác định

được Fmax một cách dễ dàng, việc lựa chọn C theo Fmax sẽ quyết định tỉ lệ loại bỏ caohay thấp

2.5 Lấy mẫu điển hình

Phương pháp Monte Carlo hoạt động dựa trên việc lấy mẫu không gian nghiệm củabài toán Khi trong không gian nghiệm có các vùng có đóng góp lớn hơn đáng kể sovới các vùng khác, quá trình lấy mẫu đều trong toàn bộ không gian nghiệm sẽ khônghiệu quả, nhất là khi yêu cầu đạt được kết quả chính xác với một khối lượng tính toánkhông quá lớn

Ví dụ như khi ước lượng giá trị trung bình của hàm số một biến f(x) nào đó trong khoảng [a, b] với N số ngẫu nhiên phân bố đều trong [a, b], độ chính xác của kết quả thu được sẽ phụ thuộc cả vào hình dạng của hàm số f(x) và giá trị N Trọng số đóng góp của mỗi giá trị f(xi) trong giá trị trung bình tỉ lệ với độ lớn của f(xi) Với cùng giá

trị N, hàm số f(x) càng ít biến đổi trong [a, b] thì giá trị trung bình ước lượng được sẽ càng chính xác Nếu vẽ một đường thẳng song song với trục x và cắt trục y tại giá trị trung bình chính xác, giao điểm này sẽ nằm gần các vùng có giá trị f(x) lớn Mục đích của chúng ta là tìm giao điểm một cách chính xác nhất có thể với N nhỏ nhất Để đạt

được điều này ta nên sử dụng tập hợp số ngẫu nhiên tuân theo phân bố có dáng điệu

gần với dáng điệu của f(x) nhất thay vì dùng tập hợp số ngẫu nhiên tuân theo phân bố

đều Đây là kỹ thuật lấy mẫu điển hình

2.6 Chuỗi Markov

Trong các phần trên đây chúng ta đã tìm hiểu các tính chất và ứng dụng đơngiản của các tập hợp số ngẫu nhiên Trong các nghiên cứu khoa học, chúng ta sẽ mởrộng nghiên cứu giải các bài toán bằng việc sử dụng các quá trình ngẫu nhiên Chuỗicác quá trình ngẫu nhiên được sử dụng nhiều nhất là các chuỗi có tính chất Markov: sựxuất hiện của một sự kiện nào đó chỉ phụ thuộc trực tiếp vào sự kiện xuất hiện ngaytrước nó Ví dụ đơn giản chính là các chuỗi số ngẫu nhiên được tạo ra bởi thuật toántuyến tính đồng dư được kể trên đây Trong chương 3 chúng ta sẽ sử dụng các chuỗicấu hình Markov, số ngẫu nhiên để tính toán sự vận chuyển của neutron trong lò phảnứng hạt nhân

Chương III Mô phỏng bài toán vận chuyển neutron

3.1 Bài toán vận chuyển neutron qua lớp vật liệu

Một trong các bài toán thực tế phải giải quyết khi tính toán sự vận chuyển củaneutron trong lò phản ứng hạt nhân là bài toán vận chuyển neutron qua nhiều lớp vậtliệu theo các cấu hình khác nhau Sự tương tác của neutron với các detector đa lớpcũng là vấn đề nhân được sự quan tâm đặc biệt của các nhà thực nghiệm Vật lý hạtnhân Trong khuôn khổ luận văn này, chúng tôi bước đầu xây dựng các thuật toán,chương trình mô phỏng để tìm hiểu dạng bài toán này

Hình 3.1 Mô tả vùng tương tác của neutron

Xét sự va chạm của một neutron với một đĩa có chiều dày t theo chiều z và kích thước vô hạn theo 2 chiều x, y (Hình 3.1) Tại mỗi điểm trong lòng đĩa, neutron có thể

bị hấp thụ với xác xuất p c hoặc tán xạ với xác xuất p s Các xác xuất này lần lượt tỉ lệvới tiết diện hấp thụ và tiết diện tán xạ Nếu neutron bị tán xạ, phương hướng mới của

nó sẽ được xác định bằng góc cựcθ Trong bài toán này chúng ta không xét đến sự

dịch chuyển của neutron theo 2 chiều x và y nên ta không cần xét đến sự tán xạ theo

góc phương vịϕ

Nếu các neutron tán xạ đều theo tất cả các phương hướng,

p(θ,ϕ)dθdϕ = dΩ / 4πvới dΩlà góc khối vô cùng bé Vì dΩ = sin θdθdϕta có:

Phân bố mật độ xác xuất theoθ vàϕ có thể thu được bằng cách lấy tích phân theo góckia:

p(θ)=∫0 π p(θ,ϕ)dϕ=và

p(ϕ)=∫0 π p(θ,ϕ)dθ=Phân bố xác xuất theo điểm p(θ,ϕ)là tích của các xác xuất thành phần p(θ )và p(ϕ)với

vàϕ là các biến độc lập Vì xác xuất p(ϕ)là hằng số,ϕ có thể thu được từ công thức,

27

Quãng đường dịch chuyển, khoảng cách dịch chuyển được trong mỗi lần tán

xạ, thu được hàm mật độ xác xuất p(l )∝ e−l/ λ Từ công thức (3.36) ta có

l = −λ ln r ,với λ là quãng đường dịch chuyển trung bình

Với những thảo luận trên đây, chúng ta đã có đủ thông tin để tính toán các xuấtcho 1 neutron truyền qua đĩa, phản xạ ngược lại hoặc bị hấp thụ trong lòng đĩa Các

tham số cần thiết là độ dày t theo phương z của đĩa, xác xuất hấp thụ p c và quãngđường dịch chuyển trung bình λ Xác xuất tán xạ nhận giá trị p s = 1 – p c

3.2 Thuật toán đơn giản và thảo luận cho bài toán vận chuyển neutron 2D

3.2.1 Bài toán vận chuyển với tán xạ đàn hồi

Quá trình mô phỏng bắt đầu với z = 0 và tiến triển theo các bước sau:

1. Xác định xem neutron sẽ bị hấp thu hay tán xạ Nếu nó bị hấp thụ, cộng thêm 1 giá trị vào tổng số neutron bị hấp thụ và nhảy đến bước 5

2. Nếu neutron bị tán xạ, tính cos θ từ công thức (3.6) và l từ công thức (3.7) Thay đổi tọa độ theo phương z một lượng lcosθ

3. Nếu z < 0, cộng thêm 1 giá trị vào tổng số neutron bị phản xạ ngược lại khi tương tác với đĩa Nếu z > t, cộng thêm 1 giá trị vào tổng số neutron truyền

qua đĩa Trong cả 2 trường hợp, nhảy đến bước 5

4. Lặp lại các bước từ 1 đến 3 cho đến khi neutron đạt đến 1 trong 3 trạng thái: bị hấp thụ, bị phản xạ, truyền qua

5. Lặp lại các bước từ 1 đến 4 với neutron khác cho đến khi có đủ dữ liệu

* Tính toán với số hạt neutron đến là 10000 hạt với giá trị năng lượng thay đổi (thểhiện qua sự thay đổi của quãng đường tự do trung bình tỉ lệ thuận với căn bặc 2 củanăng lượng neutron) được bắn vào 1 bia dày 1 đơn vị độ dài làm bằng loại vật liệu cóxác xuất hấp thụ neutron trong mỗi lần tương tác là pc = 0.3333, ta thu được bảng số

QĐ tự do TB/1

ĐVDD

Tỉ lệ hạt bị hấpthụ

Tỉ lệ hạt phảnxạ

Tỉ lệ hạttruyền qua

Bảng 3.1 Sự phụ thuộc của tỉ lệ số hạt hấp thụ, phản xạ và truyền qua vào quãng đường dịch chuyển trung bình, xác xuất hấp thụ neutron trong mỗi lần tương tác là p c = 0.3333, bề dày của tấm vật liệu là 1 đơn vị độ dài.

Từ bảng số liệu, ta có các đồ thị sự phụ thuộc của tỉ lệ số hạt hấp thụ, phản xạ và truyền qua vào

quãng đường dịch chuyển trung bình như sau:

- Tỉ lệ neutron bị hấp thụ giảm dần khi năng lượng tăng, điều này là phù hợp vớinhận định tiết diện tán xạ tỉ lệ khoảng thời gian neutron nằm trong vùng tương tác vớihạt nhân thể hiện ở sự tỉ lệ thuận của tiết diện tán xạ vào nghịch đảo của vận tốc Trongtrường hợp này chúng ta chưa xem xét đến sự tương tác của neutron với các cấu trúcnội tại của hạt nhân bia nên các hiệu ứng lượng tử như các đỉnh cộng hưởng chưa xuấthiện Vì vậy chúng ta không cần khảo sát trên lưới số liệu đủ mau.

Hình 3.2: Đồ thị sự phụ thuộc của tỉ lệ hạt phản xạ theo quãng đường tự do trung bình

- Tỉ lệ neutron bị phản xạ ngược lại phía nguồn phát (nguồn phát là đẳng hướngnên tỉ lệ này lớn hơn 0.5) giảm dần theo năng lượng phù hợp với thực tế là độ đâmxuyên tỉ lệ thuận với năng lượng của neutron Trước khi tỉ lệ này giảm theo nănglượng, nó tăng đến cực đại do có một số neutron đi vào lớp mỏng bề mặt vật liệu rồi

Hình 3.3: Đồ thị sự phụ thuộc của tỉ lệ hạt truyền qua theo quãng đường tự do