Thiết bị giảm chấn sử dụng chất lỏng thiết lập bài toán và một số kết quả mô phỏng số luận văn ths cơ học 60 44 22

Sự tiêu tán năng lượng xảy ra do nhiều hiện tượng:hiện tượng gãy sóng mặt thoáng chạm đáy, va đập vào các màng ngăn, hiệntượng nhớt ở lớp biên,…Trong khóa luận này, tác giả đề cập đến bà

Phan Thị Thu Phươ ng

THIẾT BỊ GIẢM CHẤN SỬ DỤNG CHẤT

LỎNG:

THIẾT LẬP BÀI TOÁN VÀ MỘT SỐ KẾT QUẢ MÔ PHỎNG SỐ

LUẬN VĂN THẠC SĨ

Hà Nộ

i - 20 08

Phan Thị Thu Phươ ng

THIẾT BỊ GIẢM CHẤN SỬ DỤNG CHẤT

LỎNG:

THIẾT LẬP BÀI TOÁN VÀ MỘT SỐ KẾT QUẢ MÔ PHỎNG SỐ

Chuyên ngành:

Cơ học chất lỏng

Mã số: 60.44.22

LUẬN VĂN THẠC SĨ

CƠ HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS TSKH Nguyễn Đông Anh

Hà Nộ

i - 20 08

Chương 1: Thiết lập mô hình ……… 9

1.1 Thiết lập mô hình và một số khái niệm……… 9

1.2 Hệ phương trình cho trường hợp 2 chiều……… …

Chương 2: Giải số hệ phương trình cho trường hợp chất lỏng lý tưởng…… 21

2.1 Phương pháp sai phân……… …

2.2 Điều kiện biên và điều kiện ban đầu………

2.3 Cách giải ………

2.4 So sánh kết quả tính bằng phương pháp số với phương pháp giải tích………… ………

2.5 Kết luận ………

Chương 3: Giải số hệ phương trình 2D cho trường hợp chất lỏng thực……… 31

3.1 Phương pháp sai phân……… …31

3.2 Điều kiện biên và điều kiện ban đầu……… ….31

3.3 Cách giải……… …32

3.4 Kết luận

1

Kết luận chung ………34

Phụ lục……… 35

Danh mục công trình của tác giả……… 42

Tài liệu tham khảo………43

2

Hiện tượng sóng sánh của chất lỏng trong bình chứa xuất hiện rộng rãitrong nhiều lĩnh vực, đặc biệt là lĩnh vực vận tải chất lỏng Do đó đã có nhiềucông trình nghiên cứu sâu về vấn đề này Các nghiên cứu cho thấy đây là mộtquá trình phi tuyến phức tạp Sự tiêu tán năng lượng xảy ra do nhiều hiện tượng:hiện tượng gãy sóng (mặt thoáng chạm đáy), va đập vào các màng ngăn, hiệntượng nhớt ở lớp biên,…

Trong khóa luận này, tác giả đề cập đến bài toán được thiết lập để mô tảhiện tượng dao động sóng sánh của chất lỏng xuất hiện trong bể chứa hình chữnhật chịu tác dụng của kích động điều hòa theo phương ngang

- Xét bể chứa chữ nhật có chiều rộng 2R theo phương x với mức nướckhi chất lỏng đứng yên trong bể là H Bể chứa bị kích động điều hòa theo 2phương x và y tương ứng là XG và YG Hệ trục tọa độ được chọn như trong Hình3

Để đơn giản hóa, ta đưa vào các giả thuyết sau:

- Chất lỏng trong bể là không nén được, không nhớt và không rối

- Áp suất trên bề mặt chất lỏng là hằng số

- Thành bể là cứng và mực nước khi bể đứng yên là hằng số

9

O

H

Hình 3: Bể chứa và hệ tọa độ tương ứng

Dưới đây là ký hiệu của các đại lượng dùng trong bài:

a: biên độ dưới dạng không thứ nguyên của dao động của bể chứa

g: gia tốc trọng trường

H: mực nước trong bể khi bể chứa đứng yên

k: số sóng

k1: số sóng tham biến

n: số đoạn chia theo phương x

R: một nửa chiều rộng của bể theo phương x

T: thời gian

u, v, w: vận tốc tương ứng theo phương x, y, z

q2 = u2 +v2 +w2

us, vs: vận tốc trên bề mặt, tương ứng theo phương x và y

XG, YG: di chuyển của bể chứa theo phương x và y do kích động điều hòagây ra

δ: tỉ lệ giữa mực nước và một nửa chiều rộng bể chứa

∆x: độ lớn của đoạn chia theo phương x

Với chất lỏng có độ nhớt nhỏ, ảnh hưởng của ma sát trong chỉ đáng kể ởlớp biên sát biên cứng Từ giả thiết này, chất lỏng ngoài lớp biên được coi nhưchất lỏng có thế, vì thế ta có thể đưa vào hàm thế φ Giả sử hàm thế đưa vào này

có dạng [9]

φ= F (x, y , t )G (z )

trong đó F và G là những hàm ngẫu nhiên

Từ phương trình liên tục (1) ta thấy hàm thế φ này thỏa mãn phương trìnhLaplace:

∆φ=0Khi thay (5) vào điều kiện biên dướI đáy bể:

trong đó k là hằng số thu được khi tách biến, và được gọi là số sóng; us và

vs là các thành phần vận tốc trên mặt thoáng, tương ứng theo phương x và y

Khi cho trước số sóng k, ta sẽ tính được phân bố của vận tốc theo phươngz

Để đơn giản hóa, ta đưa vào các xấp xỉ sau[9]:

trong đó X = x, y , t và U =u , v, w,q với kí hiệu có nghĩa là z =η

được thay vào sau khi đã tính đạo hàm riêng của U theo X hoặc z

Sử dụng các biểu thức (8) và (9) sau khi tích phân phương trình liên tục

(1) và các phương trình chuyển động (2), (3), (4) theo z, từ z =− H đến z =η , rồikhử biến độc lập z từ các biến phụ thuộc, ta thu được một bài toán 2 chiều đặctrưng bởi các biến η, u s ,v s

Tích phân phương trình (1) theo z ta được[9]:

với σ và φ được định nghĩa như sau:

13

Sau đó ta tích phân phương trình (4) theo z và chọn hằng số tích phân sao

cho p = p0 tại z =η , khi đó ta thu được phương trình:

p − p

= g (η−

0

ρ

Thay phương trình (12) vào phương trình (2) và (3) để khử p, cho tại z =η

và sử dụng các biểu thức (8) và (9) để viết lại, ta nhận được các phương trình

Sử dụng phương trình (14) để khử w trong hệ phương trình (13), ta nhận

được hệ phương trình mới có dạng:

Bây giờ ta viết lại các phương trình (10), (15), (16) dưới dạng không thứnguyên Trước tiên, ta sử dụng các biến không thứ nguyên được định nghĩa nhưsau[9]:

Các phương trình (20), (21), (22) ở trên là hệ phương trình mô tả hiện

tượng dao động phi tuyến của chất lỏng trong bể chứa

Để đơn giản và dễ nhìn hơn, chúng ta qui ước cách ký hiệu để mô tả các

biến và các tham số không thứ nguyên và các đại lượng được viết cho mặt

thoáng bằng chữ thường thay vì thêm chỉ số trên “*” và chỉ số dưới “s”, cụ thể

+

Vậy hệ phương trình (23)-(25) là hệ phương trình mô tả hiện tượng dao

động phi tuyến của chất lỏng trong bể chứa

* Sự liên hệ phân tán

Liên hệ phân tán là mối liên hệ giữa số sóng k với tần số góc tương ứng

Khi khử các thành phần phi tuyến và các gia tốc lực trong các phương trình từ

(23) đến (25), ta được hệ phương trình tuyến tính mô tả dao động tự do trên mặt

Ta lại giả thiết rằng u và v trong phương trình (26) là vận tốc tại vị trí z =0

và từ (26), (27), ta có thể thu được phương trình sau:

∂2 f

2 f

Mặt khác hàm thế cũng thỏa mãn phương trình Laplace, nên ta có thể rút

được mối liên hệ sau:

ω = k

σ

với xấp xỉ thu được khi kδ 1 Có thể thấy rõ rằng sự phân tán của sóng trên mặt

thoáng giảm dần khi δ giảm

1.2 Hệ phương trình cho trường hợp hai chiều

Dưới đây ta sẽ thiết lập bài toán cho bể chứa chữ nhật với dòng chảy 2chiều song song với mặt phẳng xz

1.2.1 Hệ phương trình với chất lỏng lý tưởng

Từ phương trình (23) đến (25), cho v = 0 , phương trình (25) lúc này đồngnhất bằng không nên hệ phương trình cơ bản cho bể chứa hình chữ nhật nhưsau[9]:

(trong đó m là một số nguyên dương).

Để tính sự phản hồi của dao động ở lân cận cộng hưởng bậc nhất, số sóng

phụ k1 được chọn là k1 =π

2

1.2.2 Hệ phương trình với chất lỏng thực

Với chất lỏng thực, từ hệ phương trình (30)-(31), thêm thành phần λu vào

vế phải phương trình viết cho u, ta được hệ mới cho trường hợp hai chiều nhưsau[9]:

CHƯƠNG II GIẢI SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHO TRƯỜNG HỢP CHẤT LỎNG LÝ TƯỞNG

2.1 Phương pháp sai phân

Một số mô hình toán học đã được đề cập để giải quyết hiện tượng sóngsánh của chất lỏng trong bình chứa, nhưng nói chung, do tính phức tạp của hiệntượng nên cần phải thực hiện các thí nghiệm vật lý để xác định Trong trườnghợp tổng quát, các phương pháp số được áp dụng để mô tả chuyển động sóngsánh của chất lỏng Vì vậy, khi chất lỏng sóng sánh với biên độ lớn, trong nhữngbình chứa có hình dạng phức tạp thì các phương pháp số là lựa chọn duy nhất

Để tính toán sự cộng hưởng dao động trong bể chữ nhật, các phương trìnhđược rời rạc hóa thành các phương trình vi phân thường để giải số

Các phương trình (30) và (31) là viết cho số sóng k bất kỳ Sóng trên mặtthoáng ban đầu thỏa mãn một tính chất phân tán phụ thuộc vào số sóng k Nếutrong phương trình (30), thay k bằng k1, thành phần thứ 3, được gọi là phần phântán sẽ mất đi và do đó không thể xem xét sự lan truyền của sóng trên bề mặtđược nữa Nhưng chúng ta cũng biết là phương pháp rời rạc hóa sẽ đưa ra đượccác tính chất phân tán khi truyền sóng qua hệ rời rạc Vì thế, thay k bằng k1 trongcác phương trình cơ bản (30) và (31) rồi khử thành phần phân tán, sự phân tánban đầu của sóng trên mặt thoáng sẽ được thay thế bằng các thành phần rời rạc.Bằng cách này ta mới có thể xem xét đặc trưng phân tán

21

∂t ∂x

+

Bể có chiều rộng bằng 2, được chia thành n đoạn cho u và n+1 đoạn cho

 Trong mỗi đoạn, các biến u i (i =1 ~ n) hay ηi (i = 0 ~ n) được sắp xếp như

trong Hình 6 Độ rộng của mỗi đoạn là

x =

Lần lượt tích phân hai phương trình (32) trên các đoạn ηi và u i , ta thu

được hệ phương trình sau[9]:

Khử u i ở phương trình (34) và thay nghiệm chung dưới dạng [9]

ηi =(α sinkx i + β coskx i)sin (ωt + γ)

22

 Trong trường hợp kδ 1, biểu thức xấp xỉ của phương trình (36) bằngchính phương trình (29), lúc này ta thu được

23

Hình 5: Mối quan hệ phân tán [9]

Hình 5 là biểu diễn mối quan hệ phân tán trong (29) và (36) với các giá trị

được làm tròn để lấy tích phân trong (38) là n =10, 5, 4 và 4 tương ứng với

 = 0.1;0.2 và 0.3 Ta có nhận xét là khiδcàng lớn (hayk

k1càng lớn) thì saikhác giữa hai phương trình (29) và (36) càng lớn

2.1.2 Rời rạc hóa

Sau khi thay k bằng k1 trong hai phương trình (30) và (31), ta được hai phương trình mới như sau:

24

Ta

rời

rạc

∂u i 1

25

2.2 Điều kiện biên và điều kiện đầu

Điều kiện biên trong trường hợp này được viết cho η0 và ηn

và:

và ta có thể thu được sự cộng hưởngdừng nhất thờ i của dao động của chấtlỏng trong bể chứa.

Hệ phương trình (42), (43) vàđiều kiện biên (44) được giải bằngphương pháp Runge-Kutta δ đượccho giá trị là 0.1 ứng với số đoạn chia

n được xác định từ phương trình (38)

là 10 Bước thời gian được chọn là1/60 chu kỳ dao động của bể chứa.Kích động ngoài tác dụng vào bểđược viết dưới dạng không

không thứ nguyên a được chọn là a =

0.05 cho tất cả các trường hợp

27

Cuối cùng, chu kỳ dao động tuần hoàn được tính bởi:

2π

X=1 X=-1

Hình 6: Sơ đồ sai phân tính toán theo x

2.4 So sánh kết quả tính bằng phương pháp số với phương pháp giải

tích

Hai đại lượng cần quan tâm nhất là hình dạng mặt sóng η(x, t ) và lực do chất

28

Theo [10], ta có công thức tính hai đại lượng này như sau:

khitính

toán,taso

Bảng 1: So sánh giá trị trên bề mặt của hai đại lượng: η và u

theo hai phương pháp giải

2.5 Kết luận

Khi giải bài toán (42) - (43) bằng phương pháp số ta thu nhận được hai đạilượng quan trọng nhất khi nghiên cứu bài toán này là mặt sóng và vận tốc tại mặtthoáng So sánh với kết quả giải tích, ta thấy rằng sự phù hợp giữa hai phươngpháp là khá tốt

30

3.1 Phương pháp sai phân

Hệ phương trình để tính trong trường hợp này chỉ khác hệ phương trình

(42), (43) ở thành phần gây cản, được biểu diễn qua thành phần giảm chấn −λu i

ở phươmg trình (43) Vẫn sử dụng phương pháp tiếp cận giống như trong

chương II, ta có các phương trình cụ thể như sau[9]:

∂u i

3.2 Điều kiện biên và điều kiện đầu

Điều kiện biên và điều kiện đầu của bài toán này được đặt giống như cho

bài toán 2 chiều viết cho chất lỏng lý tưởng

Điều kiện biên:

31

phương

pháp

Runge-Kutta để giải bài toán này vớicác giá trị của hệ số cản λ được chọnlần lượt là 0.06 tương ứng cho δ nhậngiá trị là 0.1 Số đoạn chia n đượcxác định cho mỗi δ khác nhau khilàm tròn thành số nguyên giá trị tínhđược từ phương trình (38) Bước thờigian được chọn là 1/60 chu kỳ daođộng của bể chứa Kết quả thu đượcsau khi giải được so sánh với kết quảthực nghiệm lấy từ [9] như sau:

Hình 7: Dao động của bề mặt thu được bằng thực nghiệm lấy từ [9]

Hình 8: Dao động của

bề mặt thu được bằng giải số

32

phương pháp và các thuật giải khác nhau.

Trong luận văn này, học viên sử dụng phương pháp Runge - Kutta để giảiquyết vấn đề Kết quả thu được khá gần với kết quả thực nghiệm của [9]

33

KẾT LUẬN CHUNG

Trong bản khóa luận này, dựa trên cơ sở lý thuyết từ các tài liệu thamkhảo, học viên đã giới thiệu được tổng quan về thiết bị giảm chấn bằng chấtlỏng cùng với những ứng dụng thực tế của thiết bị này trong đời sống Họcviên cũng trình bày được cách thiết lập mô hình dao dộng của chất lỏngtrong bể chứa dưới sự tác động của kích động điều hòa và giải số được bàitoán cho trường hợp 2 chiều bằng phương pháp Rung-Kutta Kết quả thuđược cho trường hợp chất lỏng lý tưởng khá phù hợp với kết quả tính bằngphương pháp giải tích Trong khi đó, kết quả cho trường hợp chất lỏng nhớt,với hệ số λ được chọn lần lượt là 0.06 khi so sánh với kết quả thực nghiệmtrong [9] là khá tốt

Như vậy, khi biết các thông số của bể chứa, các thong số của chấtlỏng, ta có thể đưa ra được mối quan hệ giữa chúng với phương trình mặtthoáng và vận tốc của chất lỏng tại mặt thoáng một cách trực quan khi sửdụng phương pháp số để giải

Kết quả của khóa luận này đưa ra một số vấn đề và hướng sau:

- Đưa ra quan hệ trực quan giữa hệ số cản của chất lỏng với các thông số của bể chứa và các thông số khác của chất lỏng

- Xác định các phương pháp khác để tiếp cận vấn đề để so sánh với phương pháp Runge-Kutta

- Nghiên cứu sâu hơn về phương pháp thực nghiệm để có các số liệu

so sánh giá trị hơn

34

real u(m,n),e(m+1,n),ee(m+1),uu(m),f1(m-1,4),f2(m,4),lamd

real

dx,dt,del,kk,sig,a,ome,dek,tadek,r,s,p,q,x,phi,h1,c1,I0,I1,phim,hm,km1,cm,Im1,Im,t

enddo

do i=2,m-1

call 1,jj),u(i,jj),u(i+1,jj),f2(i,1))

VF2(i,j,e(i-1,jj),e(i,jj),e(i+1,jj),e(i+2,jj),u(i-enddox=1.+0.5*(e(1,jj)+e(2,jj))ph1=phi(x,dek,tadek)h1=hh(ph1,tadek,sig)r=u(1,jj)+u(2,jj); k1=0.125*r*rc1=sig*del*del*ph1

I0=0.125*((-3.*e(1,jj)+4.*e(2,jj)-e(3,jj))**2)/dx/dx I1=0.125*((e(3,jj)-e(1,jj))**2)/dx/dx

f2(1,1)=(e(1,jj)-e(2,jj)+h1*k1+c1*(I0-I1))/dx+sig*a*ome*ome*sin(ome*t)+lamd*u(1,jj)

35

hm=hh(phim,tadek,sig)r=u(m-1,jj)+u(m,jj);km1=0.125*r*rcm=sig*del*del*phim

Im1=0.125*(e(m+1,jj)-e(m-1,jj))**2/dx/dxIm=0.125*(e(m-1,jj)-4.*e(m,jj)+3.*e(m+1,jj))**2/dx/dxf2(m,1)=(e(m,jj)-e(m+1,jj)+hm*km1+cm*(Im1-

Im))/dx+sig*a*ome*ome*sin(ome*t)+lamd*u(m,jj)

do i=1,m-1

ee(i+1)=e(i+1,jj)+0.5*dt*f1(i,1)enddo

r=1.+0.5*(e(1,jj)+e(2,jj));s=phi(r,dek,tadek)ee(1)=e(1,jj)-2.*dt*s*u(1,jj)/dx

p=1.+0.5*(e(m,jj)+e(m+1,jj));q=phi(p,dek,tadek)ee(m+1)=e(m+1,jj)+2.*dt*q*u(m,jj)/dx

do i=1,m

uu(i)=u(i,jj)+0.5*dt*f2(i,1)enddo

! tinh F*

do i=1,m-1

call VF1(i,j,ee(i),ee(i+1),ee(i+2),uu(i),uu(i+1),f1(i,2))enddo

do i=2,m-1

call 1),uu(i),uu(i+1),f2(i,2))

VF2(i,j,ee(i-1),ee(i),ee(i+1),ee(i+2),uu(i-enddox=1.+0.5*(ee(1)+ee(2))ph1=phi(x,dek,tadek)h1=hh(ph1,tadek,sig)r=uu(1)+uu(2); k1=0.125*r*rc1=sig*del*del*ph1

I0=0.125*((-3.*ee(1)+4.*ee(2)-ee(3))**2)/dx/dxI1=0.125*((ee(3)-ee(1))**2)/dx/dx

I1))/dx+sig*a*ome*ome*sin(ome*t)+lamd*uu(1)

f2(1,2)=(ee(1)-ee(2)+h1*k1+c1*(I0-x=1.+0.5*(ee(m)+ee(m+1))phim=phi(x,dek,tadek)

36

do i=1,m-1

ee(i+1)=e(i+1,jj)+0.5*dt*f1(i,2)enddo

r=1.+0.5*(ee(1)+ee(2));s=phi(r,dek,tadek)ee(1)=e(1,jj)-2.*dt*s*uu(1)/dx

p=1.+0.5*(ee(m)+ee(m+1));q=phi(p,dek,tadek)ee(m+1)=e(m+1,jj)+2.*dt*q*uu(m)/dx

do i=1,m

uu(i)=u(i,jj)+0.5*dt*f2(i,2)enddo

! tinh F**

do i=1,m-1

call VF1(i,j,ee(i),ee(i+1),ee(i+2),uu(i),uu(i+1),f1(i,3))enddo

do i=2,m-1

call 1),uu(i),uu(i+1),f2(i,3))

VF2(i,j,ee(i-1),ee(i),ee(i+1),ee(i+2),uu(i-enddox=1.+0.5*(ee(1)+ee(2))ph1=phi(x,dek,tadek)h1=hh(ph1,tadek,sig)r=uu(1)+uu(2); k1=0.125*r*rc1=sig*del*del*ph1

I0=0.125*((-3.*ee(1)+4.*ee(2)-ee(3))**2)/dx/dxI1=0.125*((ee(3)-ee(1))**2)/dx/dx

I1))/dx+sig*a*ome*ome*sin(ome*t)+lamd*uu(1)

f2(1,3)=(ee(1)-ee(2)+h1*k1+c1*(I0-x=1.+0.5*(ee(m)+ee(m+1))phim=phi(x,dek,tadek)hm=hh(phim,tadek,sig)r=uu(m-1)+uu(m);km1=0.125*r*r

37

Im))/dx+sig*a*ome*ome*sin(ome*t)+lamd*uu(m)

do i=1,m-1

ee(i+1)=e(i+1,jj)+0.5*dt*f1(i,3)enddo

r=1.+0.5*(ee(1)+ee(2));s=phi(r,dek,tadek)ee(1)=e(1,jj)-2.*dt*s*uu(1)/dx

p=1.+0.5*(ee(m)+ee(m+1));q=phi(p,dek,tadek)ee(m+1)=e(m+1,jj)+2.*dt*q*uu(m)/dx

do i=1,m

uu(i)=u(i,jj)+0.5*dt*f2(i,3)enddo

!tinh F***

do i=1,m-1

call VF1(i,j,ee(i),ee(i+1),ee(i+2),uu(i),uu(i+1),f1(i,4))enddo

do i=2,m-1

call 1),uu(i),uu(i+1),f2(i,4))

VF2(i,j,ee(i-1),ee(i),ee(i+1),ee(i+2),uu(i-enddox=1.+0.5*(ee(1)+ee(2))ph1=phi(x,dek,tadek)h1=hh(ph1,tadek,sig)r=uu(1)+uu(2); k1=0.125*r*rc1=sig*del*del*ph1

I0=0.125*((-3.*ee(1)+4.*ee(2)-ee(3))**2)/dx/dxI1=0.125*((ee(3)-ee(1))**2)/dx/dx

I1))/dx+sig*a*ome*ome*sin(ome*t)+lamd*uu(1)

f2(1,4)=(ee(1)-ee(2)+h1*k1+c1*(I0-x=1.+0.5*(ee(m)+ee(m+1))phim=phi(x,dek,tadek)hm=hh(phim,tadek,sig)r=uu(m-1)+uu(m);km1=0.125*r*rcm=sig*del*del*phim

Im1=0.125*(ee(m+1)-ee(m-1))**2/dx/dx

38