Chương 5: Symbolic math toolboxes

CH NG 5: SYMBOLIC MATH TOOLBOXES§1... Ta xét hàm... Tuy nhiên nhân Maple không coi k2và x2 là nh ng s d ng mà ch là các bi nhình th c, không có thu c tính toán h c.. Do v y khi tính b ng

CH NG 5: SYMBOLIC MATH TOOLBOXES

§1 KHÁI NI M CHUNG

Symbolic Math Toolboxes k t h p tính toán b ng ch vào môi tr ngMATLAB Các toolbox này b sung các ti n ích s và đ th v i các ki u tínhtoán toán h c khác nhau

Calculus đ o hàm, tích phân, gi i h n, t ng và chu i

TaylorLinear Algebra ngh ch đ o, đ nh th c,giá tr riêng, phân tích và

d ng chính t c c a ma tr n

Simplification ph ng pháp rút g n các bi u th cđ i s

Solution of Equations gi i b ng ch và b ng s các ph ng trình đ i s

và vi phânVariable Precision

đó t i Eidgenroessiche Technische Hochschule Zurich, Thu sĩ Maple đ c

th ng m i hoá và h tr c a công ty Waterloo Maple

§2 KH I Đ NG TOOLBOX

1 Các đ i t ng ch : Trong ph n này chúng ta s xem xét cách t o và dùng

các đ i t ng ch Chúng ta cũng s xem xét các bi n ch m c đ nh Symbolic Math Toolbox đ nh nghĩa m t ki u d li u MATLAB m i g i là đ i t ng chhay sym Bên trong, m t đ i t ng ch là m t c u trúc s li u mà nó l u bi u

di n chu i các kí t Symbolic Math Toolbox dùng các đ i t ng ch đ bi u

di n các bi n ch , các bi u th c ch , các ma tr n ch

2 T o các bi n và các bi u th c ch : L nh sym cho phép ta xây d ng các bi n

và các bi u th c ch Ví d l nh:

x = sym( x )

a = sym( alpha )

t o ra các bi n ch là x và a v i x là x và a là alpha

Gi s ta mu n ta mu n dùng bi n ch đ bi u di n t l vàng2

gán bi u th c ch ax2 + bx + c cho bi n f Tuy nhiên trong tr ng h p này

Symbolic Math Toolbox không t o ra các bi n t ng ng v i các s h ng a, b,

c và x trong bi u th c Đ th c hi n các phép toán b ng ch (ví d tích phân,

đ o hàm, thay th v.v) trên f ta ph i t o các bi n m t cách rõ ràng, nghĩa là c n

L nh conj là toán t t o s ph c liên h p.

Đ xóa thu c tính real c a x ta dùng l nh:

c Dùng sym đ truy c p các hàm c a Maple: Ta có th truy c p hàm giai

th a k! c a Maple khi dùng sym.

kfac = sym( k! )

Đ tính 6! hay k! ta vi t (l u trong ct5_1.m):

syms k n

subs(kfac,k,6)

ans =

720 subs(kfac,k,n)

Do A là ma tr n vòng t ng m i hàng và c t nh nhau:

sum(A(1,:))

ans =

a+b+c sum(A(1,:)) = = sum(A(:,2))

ans =

1

Bây gi ta thay A(2,3) b ng beta và b b ng alpha:

syms alpha beta

e Bi n ch m c đ nh: Khi dùng các hàm toán h c,vi c ch n các bi n đ c

nh n, a, b và v đ c coi là h ng hay thông s Tuy nhiên ta có th l y đ ohàm c a f theo n b ng cách vi t rõ bi n đ c l p ra Ta dùng các l nh sau đ t o

r = sqrt(x^2 + y^2 + z^2)

t = atan(y/x)

f = sin(x*y)/(x*y)

t o ra các bi u th c ch r, t và f Ta có th dùng các l nh diff, int, subs hay các

l nhSymbolic Math Toolbox khácđ x lí các bi u th c nh v y

b T o các M file: M file cho phép ta dùng các hàm t ng quát h n Ví d

ta mu n t o ra hàm sinc = sin(x)/x ta s vi t m t M file (sinc.m) có n i dung

g = sin(at+b)

g’ = acos(at+b)

g = sin(a*t+b)diff(g) hay diff(g,t)

h = Jv(z)

h’ = Jv(z)(v/z)

Jv+1(z)

h = besselj(nu,z)diff(h) hay diff(h,z)

Đ tính đ o hàm b c 2 c a f theo x và a ta vi t:

diff(f,2)

ans =

sin(a*x)*a^2 diff(f,x,2)

)z,y,x(

J

ϕλ

[ cos(l)*cos(f), –r*sin(l)*cos(f), –r*cos(l)*sin(f) ]

[ cos(l)*sin(f), –r*sin(l)*sin(f), r*cos(l)*cos(f)]

B ng sau t ng h p hàmdiff và hàm jacobian

Toán t toán h c L nh MATLAB

fd

v,u(

),r(J

x

(

f

0 h

−+

=

′

→

Symbolic Math Toolbox cho phép gi i h n c a m t hàm m t cách tr c ti p

minh ho 2 trong s các gi i h n quan tr ng c a toán h c:đ o hàm(trong

)x(lim

1lim,x

1

lim

0 x 0 x 0

Hàm toán h c L nh MATLAB

)x(lim

0

)x(lim

a

limit(f,a))

x(lim

a

)x(lim

a

3 Tích phân:

a Các v n đ chung: N u f là m t bi u th c ch thì int(f) tìm m t bi u

sau:

1n

x

dx

x

1 n n

)z(Jdz

Khi MATLAB không tìmđ c tích phân nó vi t l i l nh đã nh p vào

b Tích phân v i h ng s th c: M t trong các v n đ khi tính tích phân làgiá tr c a các thông s Ta xét hàm Hàm này rõ ràng là có giá tr d ng

v i m i k và x và có d ng hình chuông Giá tr c a hàm ti n đ n 0 khi x→±∞

v i m i s th c k Ta l y ví d

2 ) kx (

Tuy nhiên nhân Maple không coi k2và x2 là nh ng s d ng mà ch là các bi nhình th c, không có thu c tính toán h c Do v y khi tính b ng các

Need to know the sign of > k^2

Will now try indefinite integration and then take limits.

Warning: Explicit integral could not be found.

ans =

int(exp(–k^2*x^2),x= –inf inf)

Trong ph n sau chúng ta s xét cách làm cho MATLAB hi u r ng k là s th c

và dođó coi k2là s d ng

c Các bi n th c theo sym: Chú ý là Maple không th xác đ nh đ c d u

c a k2 V y chúng ta gi i quy t khó khăn này nh th nào? Câu tr l i là làmcho k tr thành s th c b ng dùng l nh sym M t đ c đi m có ích c a sym g i

là tu ch n real cho phép ta khai báo k là bi n th c Do v y tích phân trên

hoàn toàn tính đ c trong toolbox nh các l nh:

Chú ý là k bây gi là đ i t ng ch trong vùng làm vi c c a MATLAB và là

bi n th c trong vùng làm vi c c a Maple Khi nh p l nh:

Hàm toán h c L nh MATLAB

kx

e)x

int(f,x,0,1)

2 ) kx (

e)x(

int(g,x, inf,inf)

4 Tính t ng: Ta có th tính t ng bi u th c ch khi chúng t n t i b ng cáchdùng l nh symcum.V í d chu i :

⋅

⋅+++ 2 2

3

12

t = taylor(g,12,2)

t o ra khai tri n Taylor c a f(x) t i x = 2 và ch a đ n 12 s h ng khác 0 Ta vcác hàm này lên cùng m t đ th đ th y đ c kh năng x p x c a chu iTaylor v i hàm th c g (l u trongct5_8.m):

title( Xap xi Taylor );

legend( Ham , Taylor )

Ti pđó ta dùng l nh:

1 2 3 4 5 6

x

Xap xi Taylor

Ham Taylor

pretty(T)

đ in k t qu d i d ng các bi u th c toán h c d đ c

6 Tính toán m r ng: Ta xét hàm:

xcos45

1)

(ezplot và ezplot3) và m t d i d ng thông s (ezsurf) Trong ph n này chúng

ta xem cách dùng hàmezplot v đ th hàm f(x) Đ th c a hàm nh sau:

4

3

))xcos(

45(

)xsin(

4))xcos(

45(

)xcos(

)xsin(

96))

xcos(

45

(

)xsin(

384

+

−+

++

))xcos(

45(

)25)xcos(

80)xcos(

80)xsin(

96)(

xsin(

4

+

−+

+

Bây gi ta tìm các giá tr zero cu f3 b ng l nh:

z = solve(f3)

k t qu cho ta ma tr n:

plot( pi,m1, go ,pi,m2, go )

text( 1, 4, Global minima )

[m1 m2]

ans =

Các phân tích trên cho th y là ph m vi giá tr c a f”(x) là t [ 4 ,1] Ta ti p t c

M1 = double(subs(f2,x,s));

plot(sd,M1, ko )

text( 1,1, Global maximum )

đ th y đ c là s là đi m max Giá tr max này là M1 = 1.0051

Bây gi ta tích phân f”(x) hai l n b ng l nh:

2

)x2/1tan(

9

8)

xcos(

45

1

+

++

ezplot(F)

§4 RÚT G N VÀ THAY S

1 Rút g n bi u th c: Ta xét 3 bi u th c khác nhau (l u trongct5_10.m):

C 3 bi u th c này là các d ng bi u di n toán h c khác nhau c a cùng m t

đ tính tr s c a đa th c t i m t giá tr nào đó c a x

exp(x) * exp(y) exp(x+y)

L nh pretty th a k khái ni m %n(n là m t s nguyên) t Mapleđ đ nh nghĩa

l u các bi u th c con này cũng nh các đ i t ng ch đ c vi t trong bi u

b subs: Ta tìm giá tr riêng và vec t riêng c a ma tr n vòng A(l u trong

b*a c*b c*a+a^2+c^2)^(1/2) b)/(a c)]

c a nhi u bi n trong m t bi u th c Ta xem S Gi s ngoài vi c thay a =10 tacũng mu n thay giá tr b = 2 và c = 10 vào bi u th c Cách đ n gi n nh t là đ t

hold on;

ezplot(P)

[ 1/12*(28+84*i*3^(1/2))^(1/3) 7/3/(28+84*i*3^(1/2))^(1/3) +2/3 1/2*i*3^(1/2)*(1/6*(28+84*i*3^(1/2))^(1/3)

1.89793604072796 2.07662070137841 2.07662070137841

yx

0y

x2 2

và ta c n tìm x và y Tr c h t ta t o ra cácđ i t ng c n thi t:

syms x y alpha

Có nhi u cách đ bi u di n nghi m M t trong các cách đó là vi t:

[x,y] = solve(x^2*y^2, x–(y/2)–alpha)

3a2a

1vu

avu

2

2 2 2

tr ng và ch s đ truy c p đ n các ph n riêng bi t c a nghi m Ví d n u ta

mu n ki m tra nghi m th 2, ta có th dùng phát bi u sau:

s2 = [S.a(2), S.u(2), S.v(2)]

đ trích thành ph n t 2 c a m i tr ng

s2 =

[ 3, 5, 4]

Nh v y ta có cùng m t nghi m cho dù ph ng pháp gi i khác nhau.

3 Gi i ph ng trình vi phân: Hàm dsolve tính nghi m b ng ch c a ph ngtrình vi phân th ng Các ph ng trình đ c mô t b ng các bi u th c ch

b ng cách ch ra nó nh là thông s cu i cùng trong l nh dsolve.Đi u ki n đ u

có th mô t nh là m t ph ng trình ph N u đi u ki n đ u không có,

nghi m s ch a các h ng s tích phân C1,C2 v.v Cú pháp c a dsolveđ c mô

t trong b ng sau:

y = dsolve(‘Dyt = y0*y’) M t ph ng trình, m t nghi m

[u,v] = dsolve( Du = v , Dv = u ) Hai ph ng trình, hai nghi m

S = dsolve( Df=g , Dg=h , Dh=–f )

S.f, S.g, S.h

Ba ph ng trình, ra là c u trúcNghi m

Ví d 2: Các ph ng trình phi tuy n có th có nhi u nghi m, th m chí ngay ckhi đã cho đi u ki n đ u

(

u

udx

u = dsolve( D3u=u , u(0)=1 , Du(0)=–1 , D2u(0) = pi , x )

4 H ph ng trình vi phân: Hàm dsolve có th x lí h ph ng trình vi phân,

có hay không cóđi u ki n đ u Ví d ta có h ph ng trình:

Ph ng trình vi phân L nh MATLAB

1)

0

(

y

e)(y4dt

0

(

y

e)x(y4dx

1)3(y,0)

0

(

y

)x(xydx

y

d

3 1

v

(

Ta có th xem các bi nđ i Fourier trong b ng sau:

2 x

e)

e)x()

w](

f

F

f = exp( x^2)fourier(f) cho:

pi^(1/2)*exp( 1/4*w^2)

w

e)w

2dt

e)w(g)

|

xe)

i4dx

e)x()

u](

u

Bi n đ i Fourier ng c L nh MATLAB

2 2 a

w

e)

w

2 ) ax ( iwx

1

e

adwe

)w()

x](

g = exp( abs(x))ifourier(g) cho1/(1+t^2)/pi1

e2)

w

( = −|w|−

)1(

)t1)(

t2

dwe)w()](

f

F

2

iwt 1

+π

−πδ

(pi+pi*t^2)

2 Bi n đ i Laplace và Laplace ng c:

a Bi n đ i Laplace: Bi n đ i Laplace dùng bi n đ i ph ng trình viphân thành ph ng trìnhđ i s Cú pháp:

)w(F)

z

(

L

Bi n đ i Laplace L nh MATLAB

4

t)

[

L

f = t^4laplace(f) cho24/s^5

s

1)

g

[

L

g = 1/sqrt(s)laplace(g) cho1/(s^(1/2))*pi^(1/2)

at

e)

1dte)()x

](

f

L

f = exp( a*t)laplace(f) cho1/(x+a)

b Bi n đ i Laplace ng c: Khi có nh c a hàm,ta có th tìm l i hàm g c

st

dse)s(L)

sy

dse)y(L)

xy

dye)y(L)

st 1

tdse)s(i2

ax xt

i2

2 2

au

i c

ax xu

1

ae2

1ae

2

1du

e)u(gi2

n

( =

5

2 3

0 n

n

)1z(

)1z11z11z(zz

)n(]

[

Z

−

+++

z

a)

z

(

wa

ww

)z(g]

g

[

Z

0 z

ansin

)

n

2 0

n

n

wacosw21

asinww

)n(]

,

2,1ndzz)z(Fi2

1)

z2)

n 1

2ndzz)s(i2

1]

[

Z

f = 2*z/(z 2)^2iztrans(f) chon*2^n

1n2n

)1n(n)

n

(

++

+

=

k R

|

|

1 k 1

1dnn)n(gi2

1]

( 1)^k

az

z)

k 1

adzz)z(i2

1]

[

Z

f = z/(z a)iztrans(f) choa^k

z z 2

z

exe2x

)ex(x)

k 1

edxz)z,x(i2

1]

[

Z

f = x*(x exp(z))/(x^2 2*x*exp(z) +exp(2*z))

iztrans(f) choexp(z)^k