Các dang bài tap HHKG

Phơng pháp: Sử dụng các tiên đề về xét vị trí tơng đối của các điểm, đờng thẳng, mặt phẳng và một số tính chất của các quan hệ song song, vuông góc.. Chứng minh đờng thẳng song song với

các dạng bài tập hình không gian và phơng pháp giải

A/ Chứng minh:

1 Điểm thuộc đờng thẳng, điểm thuộc mặt phẳng, đờng thẳng thuộc mặt phẳng,

đờng thẳng chéo nhau

Phơng pháp: Sử dụng các tiên đề về xét vị trí tơng đối của các điểm, đờng thẳng, mặt phẳng và một số tính chất của các quan hệ song song, vuông góc

Ví dụ: Chứng minh đờng thẳng a nằm trong mặt phẳng (P) thì ta có thể chứng minh bằng cách:

- Trên a có 2 điểm A, B ∈ (P) ⇒ a ⊂ (P)

- Hoặc a // (P) và có A ∈ a: A∈(P) ⇒ a ∈ (P)

VD1: Cho mặt phẳng (P) xác định bởi đờng thẳng a và một điểm A không thuộc

a Gọi a’ là đờng thẳng qua điểm A và song song với a Lấy một điểm M trên a và một điểm B nằm ngoài mặt phẳng (P)

a) Chứng minh điểm M thuộc mặt phẳng (P)

b) Chứng minh đờng thẳng a’ thuộc mặt phẳng (P)

c) Chứng minh a’ và MB chéo nhau

Giải:

a Điểm M ∈ a ⊂ (P) Vậy M ∈ (P)

b.a//a’ nên qua a và a’ xác định duy nhất 1 mặt phẳng.

Qua a và A cũng xác định duy nhất 1 mặt phẳng Hai mặt phẳng này trùng nhau và trùng với mặt phẳng (P).

c.Giả sử a’ và BM đồng phẳng Khi đó B ∈ mặt phẳng chứa a’ và M Vậy B

∈ (P) Điều này trái với giả thiết B ∉ (P).

Vậy a’ và BM chéo nhau.

2 Các điểm thẳng hàng, đờng thẳng đi qua điểm cố định, 3 đờng thẳng đồng quy

a Chứng minh 3 điểm thẳng hàng: Chứng minh 3 điểm đó cùng thuộc 2 mặt phẳng phân biệt Khi đó 3 điểm đã cho sẽ nằm trên giao tuyến của 2 mặt phẳng đó Vì vậy chúng thẳng hàng

VD2: Cho hình chóp S.ABC Một mặt phẳng (P) cắt các cạnh SA, SB, SC lần

l-ợt tại A’, B’, C’ sao cho B’C’ ∩ BC = D, C’A’ ∩ CA = E, A’B’ ∩ AB = F Chứng minh 3 điểm D, E, F thẳng hàng

Giải:

) ' ' ' (

) ( '

' '

C B A D

ABC D

C B D

BC D C

B BC







∈

∈







⇒

∈

∈

⇒

∩

∈

Tơng tự ta cũng có E, F ∈(ABC) ∩ (A’B’C’)

Vậy E, F, D cùng thuộc giao tuyến của 2 mặt phẳng (ABC) và (A’B’C’) Do đó D, E,

F thẳng hàng

b Chứng minh 3 đờng thẳng đồng quy: Ta chứng minh 2 trong 3

đờng thẳng đó cắt nhau và giao điểm của 2 đờng thẳng đó nằm trên đờng thẳng còn lại

VD3: Cho hình chóp S ABCD Gọi I, K là hai điểm cố định trên SA và SC với

SI = 2IA và SK = KC/3 Một mặt phẳng (P) quay quanh IK cắt SB tại M và SD tại N Gọi O là giao điểm của AC và BD Chứng minh rằng 3 đờng thẳng IK, MN, SO đồng quy

Giải:

Gọi L = IK ∩ MN ta có L ∈ IK ⊂ (SAC) và L ∈ MN ⊂ (SBD)

Vậy L ∈ (SAC)∩(SBD)

Mà SO = (SAC)∩(SBD) nên L ∈ SO

Vậy IK, MN, SO đồng quy tại L

3 Đờng thẳng song song với đờng thẳng, đờng thẳng song song với mặt phẳng, 2 mặt phẳng song song, đờng thẳng vuông góc với đờng thẳng, đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng, mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng

a Chứng minh đờng thẳng song song với đờng thẳng: Để chứng minh hai đờng thẳng a và b song song ta có các cách sau:

- Chứng minh a và b cùng nằm trên 1 mặt phẳng và chúng không có điểm chung

- áp dụng định lý về giao tuyến của 3 mặt phẳng

- Chứng minh a và b cùng song song với một đờng thẳng thứ ba

- Chứng minh a nằm trên 2 mặt phẳng phân biệt cùng song song với b

- Chứng minh a và b là 2 giao tuyến của 1 mặt phẳng cắt 2 mặt phẳng phân biệt song song với nhau

- Chứng minh 2 đờng thẳng cùng vuông góc với 1 mặt phẳng hoặc lần lợt vuông góc với 2 mặt phẳng song song

b Chứng minh đờng thẳng song song với mặt phẳng: để chứng minh đờng thẳng song song với mặt phẳng ta có các cách chứng minh sau đây:

- Chứng minh đờng thẳng và mặt phẳng không có điểm chung

- Chứng minh đờng thẳng đó song song với 1 đờng thẳng nằm trong mặt phẳng

- Chứng minh đờng thẳng nằm trong một mặt phẳng song song với mặt phẳng kia

- Chứng minh đờng thẳng và mặt phẳng cùng vuông góc với 1 đờng thẳng

c Chứng minh 2 mặt phẳng song song: Để chứng minh hai mặt phẳng song song ta có các cách sau:

- Chứng minh 2 mặt phẳng đó không có điểm chung

- Chứng minh 2 mặt phẳng cùng song song với 1 mặt phẳng thứ ba

- Chứng minh 1 mặt phẳng chứa 2 đờng thẳng cắt nhau cùng song song với mặt phẳng kia

- Chứng minh 2 mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với 1 đờng thẳng.

d Chứng minh 2 đờng thẳng vuông góc với nhau:

- Chứng minh góc giữa 2 đờng thẳng đó bằng 900

- Chứng minh đờng thẳng này nằm trong 1 mặt phẳng vuông góc với đ-ờng kia

- áp dụng định lý 3 đờng vuông góc

e Chứng minh đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng:

- Chứng minh đờng thẳng vuông góc với 2 đờng thẳng cắt nhau trong mặt phẳng đó

- Chứng minh đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho

- Chứng minh đờng thẳng song song với 1 đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng đã cho

- Chứng minh đờng thẳng nằm trong 1 mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đã cho và vuông góc với giao tuyến của 2 mặt phẳng đó

- Chứng minh đờng thẳng là giao tuyến của 2 mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng đã cho

f Chứng minh 2 mặt phẳng vuông góc:

- Chứng minh mặt phẳng này chứa 1 đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng kia

VD4: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O Gọi M, N,

P, Q, R lần lợt là trung điểm của SA, SD, AB, ON, SB

a) chứng minh: (OMN) // (SBC)

b) Chứng minh: PQ // (SBC)

c) Chứng minh: (MOR) // (SCD)

Giải:

a)OM là đờng trung bình của tam giác SAC nên OM //SC

ON là đờng trung bình của tam giác SBD nên ON // SB

Vậy (OMN) // (SBC)

b)Vì Q ∈ON ∈ (OMN) mà OP // MN nên P ∈ (OMN) Vậy MN ⊂ (OMN)

Mà (OMN) // (SBC) nên PQ // (SBC)

c)Ta có MR // AB nên MR //DC

Lại có OR // SD

Vậy (MOR) // (SCD)

VD5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và SA vuông

góc với (ABCD) Gọi H, I, K lần lợt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên SB, SC, SC

a) Chứng minh: CB⊥ (SAB),CD⊥ (SAD),BD⊥ (SAC)

b) Chứng minh: (AHK) ⊥SC, AI ⊂ (AHK)

c) Chứng minh: (SAC) ⊥HKtừ đó suy ra HK ⊥ AI

Giải:

a) Vì ABCD là hình vuông nên BC⊥ AB

Mà (ABCD) ⊥SA⇒SA⊥BC

Vậy (SAB) ⊥BC

Chứng minh tơng tự ta cũng có CD⊥ (SAD),BD⊥ (SAC)

b) Ta có CB⊥ (SAB),AH ⊂ (SAB) ⇒BC⊥AH

Lại có SB⊥ AH ⇒AH ⊥(SBC)mà SC⊂ (SBC) ⇒SC ⊥AH

Lập luận tơng tự ta chứng minh đợc SC⊥ AK

Hai đờng thẳng AH, AK cắt nhau và cùng vuông góc với SC nên chúng nằm trong mặt phẳng qua A và vuông góc với SC Vậy (AHK) ⊥SC

Rõ ràng AI ⊂ (AHK)

AD SA

AB SA SA







⊥

⊥

⇒

) (

Vậy HK // BD Vì BD⊥(SAC)nên HK ⊥(SAC)

Mà AI ⊂ (AHK) nên HK ⊥ AI

VD6: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O Biết rằng SA =

SC, SB = SD Chứng minh SO ⊥ mp (ABCD)

Giải:

Có O là trung điểm của AC và BD

SA = SC ⇒∆SAC cân tại O

⇒ SO ⊥ AC (1)

Tơng tự ta có SO ⊥ BD (2)

Từ (1), (2) ⇒ SO ⊥ (ABCD)

Vậy bài toán đã đợc chứng minh

VD7: Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình bình hành M, N trung điểm SA,

SB, K ∈ SC

a) Tìm giao tuyến của (SAB) và (SCD), (SAC) và (SBD)

b) MN song song với những mặt phẳng nào ?

c) Tìm giao điểm của (MNK) và SD?

d) Nếu K là trung điểm SC thì (MNK) song song với mặt phẳng nào?

C D

O S

a)* AB ⊂ (SAB)

CD ⊂ (SCD) ⇒ Sx là giao tuyến của (SAB) và (SCD)

AB // CD (tính chất hbh) với Sx // AB // CD

S ∈ (SAB) ∩ (SCD)

* AC ∩ BD = 0

O ∈ AC ⊂ (SAC) ⇒ O ∈ (SAC) ∩ (SBD) vì S ∈ (SAC) ∩ (SBD)

O ∈ BD ⊂ (SBD)

Vậy SO = (SAC) ∩ (SBD)

b) * ∆ SAB: M là trung điểm SA và N là trung điểm SB ⇒ MN là đờng trung bình của ∆ SAB ⇒ MN // AB vì AB // CD ⇒ MN // CD

* MN // AB (CMT) và AB ⊂ (ABCD) ⇒ MN // (ABCD)

* MN // CD (CMT) và CD ⊂ (SCD) ⇒ MN // (SCD)

c) * Trong (SAC): SO ∩ MK = I

* Trong (SBD): NI ∩ SD = Q

* SD ⊂ (SBD)

(SBD) ∩ (MNK) = NI ⇒ Q = (MNK) ∩ SD

mà NI ∩ SD = Q d) Nếu K là trung điểm SD, mà N là trung điểm SB ⇒ KN là đờng trung bình ∆ SBC ⇒ KN // BC

* KN ∩ MN = N

KN, MN ⊂ (MNK) ⇒ (MNK) // (ABCD)

KN // BC, BC ⊂ (ABCD) ⇒ KN // (SABCD)

Mà MN // (ABCD)

4 Các tính chất đặc biệt khác: mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp, mặt phẳng trung trực

A

D

M N

Q

K

I

O S

x

a Để chứng minh một hình chóp nội tiếp đợc trong một mặt cầu

ta chứng minh hình chóp đó có đáy nội tiếp đợc trong một đ-ờng tròn

VD8: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a Chứng

minh rằng hình chóp đó có mặt cầu ngoại tiếp

Giải:

Theo giả thiết hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng nhau nên đó là hình chóp đều Vậy đáy ABCD là hình vuông nội tiếp đợc trong một đờng tròn Do đó hình chóp S.ABCD có mặt cầu ngoại tiếp

b Để chứng minh một hình lăng trụ nội tiếp đợc trong một mặt cầu ta chứng minh lăng trụ đó là lăng trụ đứng và đáy của lăng trụ nội tiếp đợc trong một đờng tròn

c Để chứng minh một hình chóp có hình cầu nội tiếp ta chứng minh trên mặt đáy có một điểm M cách đều tất cả các mặt bên của hình chóp Khi đó tâm cầu nội tiếp nằm trên đoạn nối đỉnh hình chóp và điểm M

VD9: Trong mặt phẳng (P) cho hình thang cân ABCD có đáy là AB và CD

trong đó CD = 4AB và ngoại tiếp đờng tròn tâm O bán kính R Trên đờng thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) tại O ta lấy điểm S sao cho OS = 2R Chứng minh điểm O cách đều bốn mặt bên của hình chóp Từ đó suy ra hình chóp có mặt cầu nội tiếp

Giải:

Khoảng cách từ O đến bốn mặt bên chính là độ dài của bốn đờng cao xuất phát

từ O của bốn tam giác vuông bằng nhau là SOM, SON, SOP, SOQ Từ đó ta có

O cách đều bốn mặt bên của hình chóp Do đó hình chóp đã cho có mặt cầu nội tiếp

d Để chứng minh họ các điểm nào đó cùng thuộc một mặt cầu ta chứng minh khoảng cách từ các điểm đó đến 1 điểm cố định là bằng nhau Hoặc chứng minh các điểm đó cùng nhìn đoạn AB dới 1 góc 900

VD10: Trong mặt phẳng (P) cho hình vuông ABCD tâm O có cạnh bằng a

Trên đờng thẳng Ax vuông góc với (P) ta lấy điểm S tuỳ ý và dựng mặt phẳng (Q) đi qua A và vuông góc với SC Mặt phẳng (Q) cắt SB, SC, SD lần lợt tại B’, C’, D’ Chứng minh khi S di động trên Ax bảy điểm A, B, C, D, B’, C’, D’ luôn luôn thuộc mặt cầu cố định Xác định tâm và bán kính mặt cầu đó

Giải:

Ta có: BC (SAB) BC AB'

AS BC

AB BC

⊥

⇒

⊥

⇒







⊥

⊥

Ta lại có AB' ⊥SCvì AB’ ⊂ (Q) mà (Q) ⊥SC

Do đó AB' ⊥ (SBC) ⇒AB' ⊥B'C

Tơng tự chứng minh đợc AD' ⊥D'C

Vậy ta có: ∠ABC = ∠AB'C = ∠AC'C = ∠ADC = 90 0

Vậy bảy điểm A, B, C, D, B’, C’, D’ luôn luôn thuộc mặt cầu đờng kính AC Tâm cầu là trung điểm AC, bán kính là

2

2

a B/ Dựng hình:

1 Tìm giao điểm của 2 đờng thằng, giao điểm của 2 mặt phẳng, giao điểm của đ-ờng thẳng và mặt phẳng, giao tuyến của 2 mặt phẳng

a Tìm giao điểm của 2 đờng thẳng: Tìm một mặt phẳng chứa cả hai đờng thẳng đó rồi tìm giao điểm của 2 đờng thẳng trong mặt phẳng đó

b Tìm giao điểm của 2 mặt phẳng: Tìm 2 đờng thẳng đồng phẳng lần lợt nằm trong 2 mặt phẳng đã cho Giao điểm của 2 đờng thẳng đó chính là giao điểm của 2 mặt phẳng

c Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng: có 2 cách sau đây:

- Tìm 2 điểm chung phân biệt của 2 mặt phẳng đã cho

- Tìm 1 điểm chung của 2 mặt phẳng đã cho và xác định phơng của giao tuyến

VD11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Tìm giao

tuyến của các cặp mặt phẳng sau đây:

a, (SAC) và (SBD)

b, (SAB) và (SCD)

Giải:

a, Giao tuyến của (SAC) và (SBD):

- Trong mặt phẳng (ABCD) gọi O = AC ∩ BD

- Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) có S và O là 2 điểm chung nên giao tuyến của 2 mặt phẳng này là đờng thẳng SO

b, Giao tuyến của (SAB) và (SCD):

- Ta có AB ⊂ (SAB) và DC ⊂ (SCD) mà AB // CD nên theo định

lý giao tuyến của 3 mặt phẳng thì giao tuyến của (SAB) và (SCD) là đờng thẳng d // AB // CD

- (SAB) và (SCD) có 1 điểm chung là S

- Vậy giao tuyến của (SAB) và (SCD) là đờng thẳng đi qua S và song song với AB

d Tìm giao điểm của đờng thẳng và mặt phẳng: Tìm một mặt phẳng chứa

đờng thẳng đã cho và có giao với mặt phẳng kia Sau đó tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng Giao điểm của đờng thẳng đã cho và giao tuyến chính

là giao điểm của đờng thẳng và mặt phẳng đã cho

VD12: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N lần lợt lấy trên các cạnh AC và BC sao

cho MN không song song với AB Gọi O là một điểm thuộc miền trong của tam giác ABD Tìm giao điểm của AB và AD với mặt phẳng (OMN)

Giải:

- Trong mặt phẳng (ABC), gọi I = MN ∩ AB Vậy I là giao điểm của AB

và (OMN)

- Đờng thẳng AD ⊂ (ABD)

- (ABD) ∩ (MNO) = IO

- Trong (ABD), gọi J = OI ∩ AD Vậy J là giao điểm của AD và (OMN)

e Xác định thiết diện của mặt phẳng và khối đa diện: Tìm các đoạn giao tuyến của mặt phẳng với các mặt của khối đa diện

VD13: Cho tứ diện ABCD Trên các đoạn CA, CB, BD cho lần lợt các điểm M, N, P

sao cho MN không song song với AB, NP không song song với CD Tìm thiết diện của mặt phẳng tạo bởi (MNP) và tứ diện ABCD

Giải:

Trong mặt phẳng (ABC) gọi I = MN ∩ AB Trong mặt phẳng (ABD) gọi Q

= IP ∩ AD Ta có MN =(MNP) ∩ (ABC)

PN =(MNP) ∩ (BCD), PQ =(MNP) ∩ (ABD), QM =(MNP) ∩ (ACD)

Ta đợc thiết diện là tứ giác MNPQ

2 Các bài toán dựng hình thể hiện sự tồn tại khái niệm:

a Dựng các khoảng cách từ 1 điểm đến một đờng thẳng, từ 1 điểm đến mặt phẳng, khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song, khoảng cách giữa một đờng thẳng và một mặt phẳng song song(SGK)

b Dựng đoạn vuông góc chung của 2 đờng thẳng chéo nhau:Có 2 cách:

- Dựng một mặt phẳng chứa đờng thẳng a và song song với đờng thẳng b Tìm hình chiếu b’ của đờng thẳng b lên mặt phẳng vừa tìm đợc Từ giao điểm M của b’ và a kẻ vuông góc với b’ cắt b’ tại N Đoạn MN chính là đoạn vuông góc chung

- Dựng một mặt phẳng chứa đờng thẳng a và song song với đờng thẳng b Lần lợt dựng 2 mặt phẳng đi qua a, b và vuông góc với mặt phẳng trên Giao tuyến của 2 mặt phẳng này cắt 2 đờng thẳng a, b ở M, N Ta có đoạn MN chính là đoạn vuông góc chung

c Dựng các góc giữa 2 đờng thẳng, góc giữa một đờng thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng(SGK)

d Dựng góc phẳng nhị diện: Để xác định góc phẳng nhị diện [α,a,β] ta dựng 1 mặt phẳng vuông góc với a Giao tuyến của mặt phẳng đó với 2 nửa mặt phẳng (α) và (β) là Ox và Oy Khi đó góc xOy chính là góc phẳng nhị diện [α,a,β]

3 Các bài toán dựng hình cơ bản khác: (SGK)

4 Các bài toán dựng hình khác:

Phơng pháp giải: Tuân thủ theo 4 bớc:

- Phân tích

- Dựng hình

- Chứng minh

- Biện luận

VD14: Cho mặt phẳng (P) và đờng thẳng d cắt (P) tại A; một điểm M nằm

ngoài (P), d Dựng đờng thẳng a qua M cắt d tại điểm I, cắt (P) tại J sao cho MI = MJ

Giải:

Phân tích:

+ Giả sử đã dựng đợc đờng thẳng

A thoả mãn điều kiện bài toán

+ Lấy N là trung điểm của AJ ⇒ MN // AI

⇒ N = d’∩ (P) với d’ là đờng thẳng qua M

song song với d

Cách dựng:

+ Qua M dựng đờng thẳng d’ // d;

+ d’ ∩ (P) = N

+ Lấy J ∈ (P) sao cho NA = NJ

+ Đờng thẳng JM là đờng thẳng cần tìm

Chứng minh:

+ MN // AI, N là trung điểm của AJ ⇒ M là trung điểm của IJ

⇒ MI = MJ

Biện luận: Bài toán luôn dựng đợc và có duy nhật 1 đờng thẳng a thoả mãn điều kiện bài toán

C/Tính toán:

1 Tính chu vi thiết diện, diện tích thiết diện

VD15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O và có AC = a, BD

= b Tam giác SBD là tam giác đều Một mặt phẳng (P) di động song song với mặt phẳng (SBD) và đi qua điểm I trên đoạn OC

a) Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P)

b) Tính diện tích thiết diện theo a, b và x = AI

Giải:

a)Thiết diện cắt bởi mặt phẳng (P) qua điểm I ∈ OC đợc xác định nh sau:

Do (P) // (SBD) nên từ I kẻ song song với BD cắt BC và DC tại M, N Vậy

(P)∩(ABCD)=MN

Từ M kẻ //SB, cắt SC tại K.Vậy (P)∩(SCB)=MK, (P) ∩ (SCD) = NK

Vậy thiết diện là tam giác MNK

b)Thiết diện tam giác MNK là tam giác đều

Ta có SSBD =

4

3 4

3 2

BD =

Vì I ∈ OC nên a  x a

2

P

J

d

I M

N A

d

( ) ( ) ( ) 2

2

2 2

2 2

2

2







 −

=













−

=

−

=













=













=

a

x a x

a

x a CO

AI AC CO

CI BD

MN

S

S

SBD

MNK

Vậy SMNK= ( ) 2

2







a

x a

4

3

2

b với a  x a

2 Tính khoảng cách, góc

VD16: Cho tứ diện OABC, trong đó OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA = OB

= OC = a Gọi I là trung điểm của BC Hãy xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của các cặp đờng thẳng OA và BC

Giải:

OC OA

OB OA

⊥

⇒

⊥

⇒







⊥

⊥

) (

Tam giác OBC cân và IB = IC nên OI ⊥BC

Vậy OI là đoạn vuông góc chung của OA và BC Ta có OI =

2

2

a

VD17: Cho hình hộp chữnhật ABCDA’B’C’D’ có AB = a, BC = b, CC’ = c.

Tính khoảng cách từ B tới (ACC’A’)

Giải:

- Kẻ BH ⊥ AC

Do A’A ⊥ (ABCD) ⇒ A’A ⊥ BH

Có BH ⊥ A’A; BH ⊥ AC

⇒ BH ⊥ (ACC’A’)

⇒ d (B, (ACC’A’)) = BH

Xét ∆ABC vuông tại B

BH = 2SABC / AC = (AB.BC) / (√AB2 + BC2) = (a.b) / (√a2 + b2)

⇒ d (B, (ACC’A’)) = (a.b) / (√a2 + b2)

VD18: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhât AB = a, AD = a

3 Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a Tính:

a) Góc giữa đờng thẳng SB và CD

b) Góc giữa đờng thẳng SD và (SAB)

c) Góc giữa mặt phẳng (SCD) và (ABCD)

Giải:

a) Ta có CD//AB, từ đó ∠ (SB,CD) = ∠ (SB,AB) = ∠SBA= α

Vì tam giác SAB vuông cân tại đỉnh A nên α = 450

Vậy góc giữa đờng thẳng SB và CD là 450

b) Ta có AD (SAB)

AB AD

SA AD

⊥

⇒







⊥

⊥

Từ đó SA là hình chiếu của SD lên (SAB)

Vậy ∠ (SD, (SAB)) = ∠ (SD,SA) = ∠DSA= β

A

B

C D

A’

B

’

C’

D’

H