Chương 1: ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM 1.1 Các khái niệm cơ bản - Chất điểm là 1 vật có khối lượng, có kích thước rất nhỏ so với khoảng cách và kích thước của vật khác.. - Hệ chất điểm: là tập hợ
Trang 1Chương 1: ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM
1.1 Các khái niệm cơ bản
- Chất điểm là 1 vật có khối lượng, có kích thước rất nhỏ so với khoảng cách và kích thước của vật khác
- Hệ chất điểm: là tập hợp nhiều chất điểm rời rạc
- Vật rắn: là tập hợp nhiều chất điểm phân bố liên tục và có mối liên kết rắn (khoảng cách giữa các chất điểm là không thay đổi)
Vd: Đống cát không phải là vật rắn do khoảng cách thay đổi
Cục gạch: vật rắn
- Chuyển động: là sự thay đổi vị trí của chất điểm trong suốt quá trình chuyển động
- Hệ quy chiếu: là hệ vật quy ước đứng yên để khảo sát các vật khác chuyển động đối với nó Thường người ta gắn hệ trục tọa độ vào hệ quy chiếu
1.2 Phương trình chuyển động của chất điểm
- Vectơ vị trí của chất điểm:
r k z j y i x M
O r = r + r + r = r
x, y, z là hàm theo thời gian
Tọa độ điểm M:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧ z y x
- Phương trình chuyển động của chất điểm M:
o Vectơ vị trí
o Tọa độ điểm M
- Quỹ đạo của chất điểm M: f (x,y,z) = 0: là tập hợp các vị trí của chất điểm trong suốt quá trình chuyển động
- Muốn tìm phương trình quỹ đạo của chất điểm, ta khử tham số t ở phương trình chuyển động chất điểm Có 2 dạng:
o Dạng 1: phương trình có chứa tham số t, dùng phương pháp thế để khử t
o Dạng 2: phương trình có chứa sin & cos theo t: áp dụng sin2t + cos2t = 1
VD1 : rr t ir (t )rj
2 2
2 + +
( ) 2
4
2 2
0 2 2
2
2
2 2
+
=
⇒
⎩
⎨
⎧
+
=
≥
=
⇒
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
+
=
=
x y
x y
x t t
y
t x
M
Giới hạn quỹ đạo: t ≥ 0 → 2x ≥ 0 → x ≥ 0
2
4 2 +
= x y
y
x O
Trang 2VD2:
1 1
cos
sin
sin
cos sin
cos
sin cos
2
2 2
2 2
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=
=
⇔
⎩
⎨
⎧
=
=
⇒
+
=
A
x A
y t
t
A
y t A
x t
t A
y
t A
x
M
j t A
i t A
r
ω ω
ω
ω ω
ω
ω
r
Quỹ đạo là đường tròn tâm O, bán kính A
Trường hợp này không còn giới hạn quỹ đạo
1.3 Vectơ vận tốc
1.3.1 Vectơ vận tốc trung bình: ϑr
t
r t t
r r
r M
t
r M
t
Δ
Δ
=
−
−
=
→
→
→
→
r r r
r
r r
1 2
1 2
2 2 2
1 1 1
ϑ
1.3.2 Vectơ vận tốc tức thời: ϑr
2 2
2
0 lim
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
+ +
=
=
+ +
=
=
Δ
Δ
=
→ Δ
dt
dz dt
dy dt
dx
k dt
dz j dt
dy i dt
dx dt
r d
k z j y i
x
r
dt
r d
t
r
t
ϑ
ϑ
ϑ
ϑ
r
r r
r r
r
r r r r
r r
r r
Vd:
2
2
4 1 2 1
t
j i
j t i t r
+
=
⇒
+
=
+ +
=
ϑ
ϑ
r
r r
r
r r
r
1.4 Vectơ gia tốc:
1.4.1 Vectơ gia tốc trung bình: ar
t t
t
a
Δ
Δ
=
−
−
=ϑr ϑr ϑr
r
1 2
1 2
t
v t
t
v v
a
v M
t
v M
t
Δ
Δ
=
−
−
=
→
→
→
→
r r r
r
r r
1 2
1 2
2 2 2
1 1 1
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧ Điểm đặt: điểm đang xét Phương: tiếp tuyến với quỹ đạo tại M Chiều: cùng chiều chuyển động
z
2 y
2
x +ϑ +ϑ ϑ
= ϑ
=
ϑr
y
x O
1
2
2 2
2
=
+
A
x A
y
Trang 32 2
2
0 lim
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
+ +
=
=
+ +
=
= Δ
Δ
=
→ Δ
dt
dv dt
dv dt
dv a
k dt
dv j dt
dv i dt
dv dt
v d a
k v j v i v v dt
r d t
v a
z y
x
z y
x
z y x t
r
r r
r r
r
r r r r
r r
r r
ϑ
Vd:
2 2 0
2 0 2
2
2 + =
=
+
=
=
+
=
a
j i dt
d
a
j i
r
r r
r r
r r
r
ϑ
ϑ
gia tốc tiếp tuyến a r và vectơ gia tốc pháp tuyến t a r n
dt
d
ar =t ϑr
Vectơ gia tốc tiếp tuyến đặc trưng cho sự thay đổi về độ lớn của vectơ vận tốc Đặc trưng cho sự chuyểm động chậm dần, nhanh dần
n
ar
Vectơ gia tốc pháp tuyến đặc trưng cho sự thay đổi về phương của vectơ vận tốc
Do đó để tìm bán kính cong: phải có độ lớn ϑrvà a r n
n
ar nhỏ => R lớn
n
ar lớn => R nhỏ
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧ Điểm điểm: điểm đang xét Phương: đường thẳng đi qua M Chiều: hướng về bề lõm của quỹ đạo Độ lớn:
2 2 2
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
+ +
=
=
dt
d dt
d dt
d
a a a a a
z y
x
z y x
ϑ ϑ
ϑ
r
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎨
⎧ Điểm đặt: điểm đang xét Phương: tiếp tuyến với quỹ đạo tại M (cùng phương ϑr) Chiều: dv > 0 , ϑ2 >ϑ1: chuyển động nhanh dần =>ar ↑↑t ϑr
dv < 0 , ϑ2 <ϑ1: chuyển động chậm dần =>ar ↑↓t ϑr
Độ lớn:
dt
d a
=
= r
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧ Điểm đặt: điểm đang xét Phương: vuông góc với tiếp tuyến với quỹ đạo tại M Chiều: hướng vào tâm của vòng tròn quỹ đạo tại M Độ lớn:
R
a n
2
ϑ
= (R: bán kính quỹ đạo tại M)
Trang 4Vectơ gia tốc tức thời:
⎩
⎨
⎧
2 2
n t
n t
a a a
a a a
+
=
+
= r
r r r
ar đặc trưng cho sự thay đổi về độ lớn và phương của vectơ vận tốc
1.5 Chuyển động thẳng
Quỹ đạo là đường thẳng: ⇒R=∞⇒a n =0 (vì ; 0
2
=
→
∞
=
R
Nên đưa chuyển động thẳng về 1 trục -> chỉ cần 1 thành phần để biểu diễn
2
2
~
~
dt
x d dt
d a a i a
a
dt
dx i
x x
r
x x x
x x
i
=
=
→
=
=
→
=
→
=
ϑ
ϑ ϑ ϑ
ϑ
r r
r r
r
r
1.5.1 Chuyển động thẳng đều: (ϑr=const)
⇔
=
⇔
=
⇒
=
x
dt dx
dt dx const dt
dx
0 0
ϑ ϑ
1.5.2 Chuyển động thẳng thay đổi đều: (ar =const)
a
ar = 0⇒ r là ar t
(at )dt x x at t dx
dt
dx at
dt a d dt
d
a
t x
x
t
0
2 0
0
0
0 0
2
1
0
0
ϑ ϑ
ϑ ϑ
ϑ
ϑ
+
=
−
⇔ +
=
⇒
= +
=
⇒
=
→
=
∫
∫
∫
∫
Hay:
( 0)
2 0 2
0
2 0
0
2 2 1
x x a
t at x
x at
−
=
−
+
=
−
+
=
ϑ ϑ
ϑ
ϑ ϑ
ar cùng chiều ϑr→ chuyển động nhanh dần đều
ar ngược chiều ϑr→ chuyển động chậm dần đều
1.6 Chuyển động tròn: quỹ đạo là đường tròn -> R = const
1.6.1 Vectơ vận tốc góc ωr:
ωr
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧ Điểm đặt: ∀ điểm∈trục vòng tròn quỹ đạo (vectơ trục)
Phương: trục của vòng tròn quỹ đạo
Chiều: theo quy tắc vặn nút chai
Độ lớn:
R dt
dS R dt
R
S d dt
ω
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
=
r
Trang 51.6.2 Vectơ gia tốc góc:
βr
Liên hệ giữa art r Rr
,
β
= (ar cùng chiều ϑt r: nhanh dần)
2 4 2
2
2 2 2 2 2
β ω
ω ω
ϑ
β
+
= +
=
=
=
=
=
R a a
a
R R
R R
a
R a
n t n
t
1.6.3 Chuyển động tròn đều:
const
a a a
const a
const
R
const
n t
n
=
=
→
=
=
⇒
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
=
=
ω
ϑ
r
r r r
r
0
⇒
=
⇒
= ∫d ∫t dt
dt
d
0 0
ω θ
θ
θ
0
θ ω
1.6.4 Chuyển động tròn thay đổi đều:
const a
R a
const
R
const
t
⎭
⎬
⎫
=
=
βr
⇒
=
⇒
= ∫d ∫t dt
dt
d
0 0
β ω
ω
ω
0
ω β
ω= t+ Mà:
( + ) ⇒
=
⇒
dt
d
0
0 0
ω β θ
θ
θ
0 0
2
2
θ = t + t +
( 0)
2 0
2 ω 2β θ θ
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎨
⎧ Điểm đặt: điểm đang xét Phương: tiếp tuyến với quỹ đạo tại M (cùng phương ϑr) Chiều: dω > 0→βr cùng chiều ωr (chuyển động nhanh dần)
β ω
r
→
< 0
d ngược chiều ωr(chuyển động chậm dần)
Độ lớn:
R
a dt
d R dt R d dt
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
=
ϑ ω
β
Trang 61.7 Chuyển động trong gia tốc gr
:(chuyển động parabol)
dt j g j
g
dt j g d
dt j g d
dt
d
a
j g g
a
t
t
0 0
0 0
0
r r
r r
r
r
r
r r
r r
r
r r
r
r
−
=
−
⇒
−
=
⇔
−
=
⇔
−
=
⇒
=
−
=
=
∫
∫
ϑ ϑ ϑ
ϑ
ϑ ϑ
ϑ ϑ
ϑ
ϑ
Mà:
dt
r d j gt
i
j i
y
r r 4
4 3 4
4 2 1
r 43 42 1 r
r r
r
= +
− +
=
⇒
+
=
ϑ ϑ
α ϑ α
ϑ ϑ
α ϑ α ϑ
ϑ
sin cos
sin cos
0 0
0 0
0
( )i gt ( )t j r
r
j t j
gt i t r
r
dt j gt
i r
d
t r
r
r r
r r
r r
r r
r
r r
r
r
r
⎥⎦
⎤
⎢⎣
+
=
−
⇔
+
−
=
−
+
− +
=
α ϑ α
ϑ
α ϑ α
ϑ
α ϑ α
ϑ
sin 2
1 cos
sin 2
1 cos
sin cos
0
2 0
0
0
2 0
0
0
0 0
0
Mà:
( )i gt ( )t h j r
j
h
r
r r
r
r
r
⎥⎦
⎤
⎢⎣
+
=
⇒
=
α ϑ α
2
1
0 0
=> phương trình quỹ đạo:
M
α ϑ α
ϑ
α ϑ
cos sin
2 1 cos
0 0
2
0
x t
h t gt
y
t x
=
→
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
+ +
−
=
=
=>
Các vấn đề thường gặp:
• Ở độ cao cực đại: (B): tiếp tuyến nằm ngang →ϑy =0
B Bx
ϑ =0⇒ = 0cos = =>
Ta có:
R
a n
2
ϑ
= =>
y
ϑ
h x tg x
g
cos 2
2 2
0
α α
ϑ
(1)
(2)
g
t B ϑ0sinα
=
g a
R
n
B B
α ϑ
0
=
⇒
Trang 7h g
t g
g y
h t gt
y
⇒
+ +
−
=
⇒
α ϑ α ϑ α ϑ
α ϑ
sin sin
sin 2 1
sin 2
1
0 0
2 2 0
0 2
h g
g
0 sin 2 1
• Tầm xa (C):
g g
x C ϑ α 2ϑ sinα ϑ sin2α
cos
2 0 0
=
⇒
• Hỏi góc α ?
Vd: xC = 3hB
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
−
=
=
⇒
⎩
⎨
⎧
−
=
=
⇒
=
=
2 2
2 2
2
2 sin
sin
2 1 2
β π β
β α β π α
β α
α ϑ
β
o
C g x
• Bán kính cong của quỹ đạo tại C:
α
ϑ ϑ
cos
2 2
g a
n
C
1.8 Phép biến đổi vận tốc – gia tốc:
Xét 2 hệ O, O’ và O’ chuyển động tịnh tiến so với O Khi đó điểm M:
⎩
⎨
⎧ Để xC max α = 45o
C
x
,
0
ϑ cho trước
g
t C 2ϑ0sinα
=
Trang 8⎩
⎪
⎨
⎧
+
=
+
=
+
=
o o o
a a a
r r r
r r r
r r r
r r r
' '
'
ϑ ϑ
b n t b
ϑr = 'r +r
• Quan niệm cơ học cổ điển:
Thời gian có tính tuyệt đối, không phụ thuộc vào hệ quy chiếu Trong khi vị trí không gian có tính tương đối, phụ thuộc vào hệ quy chiếu
M O O O M O
k z j y i x r O
k z j y i x r O
r r r
r r r r
r r r r
' '
' ' ' ' :' :
+
=
⇒
+ +
=
+ +
=
hay:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
o o o
a a a
r r r
r r r
r r r
r r r
+
=
+
=
+
= ' '
'
ϑ ϑ ϑ
Vận tốc điểm M so với O Vận tốc điểm M so với O’
Vận tốc của O’ so với O Gia tốc điểm M so với O Gia tốc điểm M so với O’
Gia tốc của O’ so với O
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
: :' :
o
ϑ ϑ
ϑ
r r r
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧ : :' :
o
a a a
r r r