Chương 1: Động lực học chất điểm ppt

2 – Quĩ đạo, quãng đường và độ dời: Qũi đạo của chất điểm là tập hợp các vị trí của chất điểm trong quá trình chuyển động.. Khi vật chuyển động trên đường thẳng theo một chiều duy nhất

Chương 1

ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM

Động học là một phần của ngành Cơ học, nghiên cứu chuyển động của vật

thể (vĩ mô) mà không chú ý đến nguyên nhân của chuyển động đó Chương này nghiên cứu các tính chất tổng quát về chuyển động của chất điểm Vì thế khi nói

chuyển động của một vật hay vận tốc, gia tốc của vật, ta hiểu vật đó là chất điểm

§1.1 – CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ CHUYỂN ĐỘNG

1 – Chuyển động cơ học – Chất điểm:

Chuyển động cơ học (chuyển động cơ) là sự thay đổi vị trí của vật thể trong không gian theo thời gian Chuyển động của vật có tính tương đối Vì, vị trí

của vật có thể thay đổi đối với vật này, nhưng lại không thay đổi đối với vật khác Nghiã là vật có thể chuyển động so với vật này, nhưng lại là đứng yên so với vật khác Ví dụ: Người ngồi trên xe lửa, đối với nhà ga thì người đó đang chuyển động cùng với xe lửa, nhưng đối với hành khách bên cạnh, thì người đó lại không hề chuyển động

Khi ta nói “vật A đang chuyển động” mà không nói rõ chuyển động so với

vật nào thì ta ngầm hiểu là so với Trái Đất

Mọi vật đều có kích thước xác định Tuy nhiên, nếu kích thước của vật quá nhỏ bé so với những khoảng cách mà ta khảo sát thì vật được coi như một chất

điểm Vậy, chất điểm là một vật thể mà kích thước của nó có thể bỏ qua so với

những kích thước, những khoảng cách mà ta khảo sát Chất điểm là một khái niệm

trừu tượng, không có trong thực tế nhưng rất thuận tiện trong việc nghiên cứu

chuyển động của các vật Khái niệm chất điểm cũng mang tính tương đối Nghĩa là

trong điều kiện này vật được coi là chất điểm, nhưng trong điều kiện khác, nó lại không thể coi là chất điểm Ví dụ: Khi nghiên cứu chuyển động của Trái Đất quanh Mặt Trời, ta có thể coi Trái Đất là chất điểm, nhưng nghiên cứu chuyển động tự quay quanh trục của nó thì Trái Đất không thể coi là chất điểm

2 – Quĩ đạo, quãng đường và độ dời:

Qũi đạo của chất điểm là tập hợp các vị trí của chất điểm trong quá trình

chuyển động Nói một cách khác, khi chất điểm chuyển động, nó sẽ vạch ra trong

không gian một đường gọi là quĩ đạo Căn cứ vào hình dạng quĩ đạo, ta có thể phân chia chuyển động của chất điểm là thẳng, cong hoặc tròn

Xét một chất điểm M chuyển động trên quĩ đạo cong bất kì từ vị trí M1 qua điểm A đến vị trí M2 (hình 1.1) Ta gọi độ dài của cung M AM1 2 là quãng đường

vật đi từ M1 đến M2 và được kí hiệu là s Và ta gọi vectơ M M1 2

uuuuuur

là vectơ độ dời (hay độ dời) của chất điểm từ điểm M1 đến điểm M2

Như vậy quãng đường s là một đại

lượng vô hướng luôn dương; còn độ dời là

một vectơ Nếu vật chuyển động trên đường

cong kín hoặc đổi chiều chuyển động sao

cho vị trí đầu và cuối trùng nhau thì độ dời

sẽ triệt tiêu nhưng quãng đường là khác

không Khi vật chuyển động trên đường

thẳng theo một chiều duy nhất thì quãng

đường vật đi được bằng với độ lớn của

vectơ độ dời

3 – Hệ qui chiếu, phương trình chuyển

động – phương trình quĩ đạo:

Muốn xác định vị trí của

vật trong không gian, ta phải

chọn một vật làm mốc, gắn vào

đó một hệ tọa độ và một đồng hồ

để đo thời gian Hệ thống đó

được gọi là hệ qui chiếu Tại

mỗi thời điểm t, vị trí của chất

điểm M sẽ được xác định bởi

vectơ vị trí (hay vectơ tia, vectơ

bán kính):

→

→

= OM )

quát của chất điểm

Trong hệ tọa độ Descartes, (1.1) có dạng:

= x i y j z k

Trong đó (x,y,z) là tọa độ của điểm M và i, j, k

là các vectơ đơn vị trên các trục

Ox, Oy, Oz Vì vị trí của chất điểm M thay đổi theo thời gian nên toạ độ của nó là hàm của thời gian: x = f(t); y = g(t); z = h(t) (1.3) (1.2), (1.3) là các phương trình chuyển động của chất điểm trong hệ toạ độ Oxyz Nếu khử tham số t trong các phương trình (1.3), ta được:

0 ) z , y , x ( F

(1.4) biểu diễn tất cả các vị trí mà chất điểm sẽ đi qua trong quá trình chuyển động nên được gọi là phương trình qũi đạo của chất điểm

Vậy, phương trình chuyển động cho phép ta xác định được vị trí của chất điểm ở

một thời điểm t bất kì; phương trình qũi đạo cho biết hình dạng qũi đạo của vật

Tùy theo việc chọn hệ qui chiếu và mốc thời gian, phương trình chuyển động và phương trình quĩ đạo của chất điểm sẽ có dạng tường minh khác nhau Trên thực tế, khi giải các bài toán về chuyển động, người ta thường chọn hệ qui chiếu và gốc thời gian sao cho phương trình chuyển động ở dạng đơn giản nhất

Trong trường hợp đã biết trước

qũi đạo của vật, ta có thể chọn điểm mốc

O là một điểm nào đó nằm ngay trên qũi

đạo, và vị trí của vật được xác định theo

hoành độ cong: s= s(t) = OM (1.5)

Phương trình (1.5) được gọi là phương

trình chuyển động của vật trên qũi đạo

=

ϕ + ω

=

) t

cos(

A y

) t

cos(

A x

2 2

1 1

Hãy xác định dạng qũi đạo khi:

; ax x A

A y A

y A

x

2 2

2

2 1

2

= + ⇒ Qũi đạo là Elíp

§1.2 – TỐC ĐỘ VÀ VẬN TỐC

1 – Tốc độ trung bình và vận tốc trung bình:

Xét chất điểm M chuyển động trên quĩ đạo cong bất kì Giả sử ở thời điểm

t1, chất điểm ở vị trí M1 được xác định bởi vectơ vị trí r1

Hình 1.3: Vị trí của chất điểm M được

xác định theo hoành độ cong s

= (1.6) Nếu quãng đường s gồm nhiều quãng

đường nhỏ s1, s2, …, sn và thời gian tương

ứng để vật đi hết các quãng đường đó là t1,

t2, …, tn thì (1.6) được viết dưới dạng:

điểm chuyển động trong khoảng thời gian từ t 1 đến t 2 là đại lượng đo bằng thương

số giữa vectơ độ dời và khoảng thời gian đó :

2 1 tb

2 1

r v

uur

(1.8)

Tốc độ trung bình là đại lượng vô hướng, không âm, đặc trưng cho mức độ nhanh, chậm của chuyển động trên một đoạn đường nhất định ; còn vận tốc trung bình là một đại lượng vectơ đặc trưng cho sự thay đổi của vectơ độ dời trong một khoảng thời gian nhất định Khi vật chuyển động liên tục trên đường thẳng theo một chiều duy nhất thì tốc độ trung bình bằng với độ lớn của vectơ vận tốc trung bình Trong hệ SI, đơn vị đo tốc độ trung bình và vận tốc trung bình là mét trên giây (m/s) ; trên thực tế, người ta thường dùng đơn vị kilômét trên giờ (km/h) Ta

2 1

x v

Cần nhấn mạnh sự khác biệt của các công thức định nghĩa (1.6) và (1.8) là: đối với tốc độ trung bình, ta quan tâm đến quãng đường s mà chất điểm đã đi và thời gian t mà chất điểm dùng để đi hết quãng đường đó, không quan tâm đến thời

s

2rur

O

gian nghỉ ; còn đối với vận tốc trung bình, ta quan tâm đến vị trí và thời điểm đầu

và cuối, không quan tâm đến quá trình diễn biến của chuyển động

Để phân biệt được hai khái niệm tốc độ trung bình và vận tốc trung bình,

chúng ta khảo sát các ví dụ sau đây :

Ví dụ 1.2: Một ôtô dự định đi từ A đến B với tốc độ 30km/h Nhưng sau khi đi

được 1/3 đoạn đường, ôtô bị chết máy Tài xế phải dừng 30 phút để sửa, sau đó đi tiếp với tốc độ 40km/h và đến B đúng giờ qui định Tính tốc độ trung bình của ôtô trên đoạn đường AB và thời gian dự định ban đầu Có thể tính được độ lớn của vectơ vận tốc trung bình trong khoảng thời gian từ A đến B hay không ?

Giải

Giả sử ôtô chết máy tại C Gọi

t1, t2 là thời gian ôtô chuyển

động trên các đoạn AC, CB

Tốc độ trung bình của ôtô trên

1

3 1

AB 5

, 0 v

AB v

AB

+ +

Vậy thời gian dự định ban đầu là: t =

1v

AB = 3 (giờ)

Với giả thiết của bài toán trên, ta không thể tính được độ lớn của vectơ vận tốc trung bình, vì không biết quĩ đạo từ A đến B là thẳng hay cong Nếu quĩ đạo là

; nếu quĩ đạo là đường cong thì chưa đủ dữ kiện để tính vận tốc trung bình

Ví dụ 1.3: Một ôtô đi từ A đến B với tốc độ v1 = 30km/h rồi quay về A với tốc độ

v2 = 50km/h Tính tốc độ trung bình và vận tốc trung bình trên lộ trình đi – về

2 – Tốc độ tức thời và vận tốc tức thời:

Tốc độ trung bình đặc trưng cho tính chất nhanh, chậm của chuyển động trên một đoạn đường s xác định Để đặc trưng cho tính chất nhanh, chậm của

chuyển động ở từng điểm trên quĩ đạo, ta dùng khái niệm tốc độ tức thời Tốc độ

tức thời (hay tốc độ) tại một điểm đã cho trên qũi đạo là đại lượng đo bằng thương

số giữa quãng đường đi rất nhỏ tính từ điểm đã cho và khoảng thời gian rất nhỏ để

vật đi hết quãng đường đó:

Kí hiệu: ds là vi phân của đường đi, dt là vi phân của thời gian và tỉ số ds/dt là đạo

hàm của quãng đường theo thời gian Vậy tốc độ tức thời bằng đạo hàm của quãng đường theo thời gian

Một cách tương tự, vectơ vận

tốc tức thời (hay vectơ vận tốc) là đạo

hàm của vectơ độ dời theo thời gian:

Để hiểu rõ ý nghĩa của vectơ

vận tốc tức thời, ta xét chuyển động của

một chất điểm trên một quĩ đạo cong (C)

bất kì (xem hình minh họa 1.5) Giả sử ở

thời điểm t, chất điểm ở vị trí M được

xác định bởi vectơ vị trí r

r

và ở thời điểm t + dt, chất điểm ở vị trí M’ được

xác định bởi vectơ vị trí r ' ur = + r r dr r

Theo định nghĩa (1.11), vectơ vận tốc luôn có hướng của độ dời dr

r, nghĩa

là có hướng của cát tuyến MM’ Khi thời gian dt rất nhỏ thì điểm M’ rất gần với điểm M Lúc đó giới hạn của cát tuyến MM’ chính là tiếp tuyến với quĩ đạo tại

điểm M Vậy vectơ vận tốc tức thời tại mỗi điểm có phương tiếp tuyến với quĩ đạo

tại điểm đó và có chiều là chiều chuyển động của chất điểm

Mặt khác, môdun của độ dời dr

rchính là độ dài dây cung MM’ và quãng đường ds chính là độ dài cung MM ' Khi M’ tiến đến M thì |dr

(1.12) Nghĩa là độ lớn của vận tốc tức thời chính bằng tốc độ tức thời

Vậy, vectơ vận tốc tức thời v

→

có đặc điểm:

- Phương: là tiếp tuyến với qũi đạo tại điểm khảo sát

- Chiều: là chiều chuyển động

- Độ lớn: bằng đạo hàm của quãng đường đối với thời gian

- Điểm đặt: tại điểm khảo sát

dr

rM

M’

Hình 1.5

rr

ds

r 'ur

O

v

→

(C)

Tốc độ tức thời là đại lượng vô hướng không âm, đặc trưng cho mức độ nhanh, chậm của chuyển động tại mỗi điểm trên quĩ đạo; còn vận tốc tức thời là đại lượng vectơ, đặc trưng cho cả phương, chiều và độ nhanh chậm của chuyển động tại mỗi điểm trên quĩ đạo Khi nói vật chuyển động với tốc độ không đổi, ta hiểu vật chuyển động đều trên quĩ đạo thẳng hoặc cong bất kì, trong đó vật đi được những quãng đường bằng nhau trong những khoảng thời gian bằng nhau bất kì ; nhưng khi nói vật chuyển động với vận tốc không đổi thì ta hiểu chuyển động của vật là thẳng đều

Qua các khái niệm trên ta thấy rằng, tốc độ trung bình có ý nghĩa vật lý cụ thể hơn vận tốc trung bình nhưng tốc độ tức thời lại không có ý nghĩa vật lý đầy đủ bằng vận tốc tức thời Do đó, khi nghiên cứu tính chất của chuyển động trên quãng đường dài, người ta thường sử dụng khái niệm tốc độ trung bình ; còn khi nghiên cứu tính chất của chuyển động tại từng vị trí trên quĩ đạo, ta sử dụng vận tốc tức thời

3 – Biểu thức giải tích của vectơ vận tốc:

Trong hệ toạ độ Descartes, ta có:

; ' y dt

dy v

; ' x dt

dx

Suy ra, độ lớn của vectơ vận tốc: v = →v = v2x + v2y + v2z (1.16)

4 – Quãng đường vật đã đi:

Từ (1.12), suy ra quãng đường

vật đi được trong thời gian ∆t = t – to là:

s =

o

t

tvdt

trong đó, v là độ lớn của vận tốc

Nếu trong khoảng thời gian ∆t, độ lớn

của vận tốc không đổi (vật chuyển động

đều) thì: s = v∆t = v(t – t0) (1.18)

Trong một số trường hợp, ta

có thể tính quãng đường dựa vào ý nghĩa hình học của tích phân (1.17):

quãng đường vật đi được bằng trị số diện tích hình thang cong giới hạn bởi

Ví dụ 1.4: Vật chuyển động trong mặt phẳng Oxy với phương trình:

) SI

15 ' x v

2 2

2

0 2 2

0

| 25 , 2 t t

| ln 2

25 , 2 25 , 2 t 2

t 10 dt 25 , 2 t 10

Thay số vào ta tính được quãng đường là:s = 37, 4(m)

Ví dụ 1.5: Vật chuyển động trên đường thẳng với vận tốc biến đổi theo qui luật

cho bởi đồ thị hình bên Tính quãng đường vật đã đi kể từ lúc t = 1s đến lúc t = 7,5s Suy ra tốc độ trung bình trên quãng đường này và độ lớn của vận tốc trung bình trong khoảng thời gian đó

Giải

Dựa vào ý nghĩa hình học của

tích phân (1.17), ta suy ra quãng

đường phải tìm là: s = trị số

(diện tích hình thang ABCD +

diện tích tam giác DEF)

20 1 2

1 30 ).

5 , 2 5 ,

| r |∆ = r trị số diện tích hình thang ABCD – diện tích tam giác DEF

v d t

v lim a

2 – Biểu thức giải tích của vectơ gia tốc:

Trong hệ tọa độ Descartes, tương tự như vectơ vận tốc, ta có:

z d dt

dv a

'' y dt

y d dt

dv a

'' x dt

x d dt dv

2

2 z z

2

2 y y

2

2 x

x

a

Suy ra, độ lớn của vectơ gia tốc : a = →a = a2x + a2y + a2z (1.23)

Ví dụ 1.5: Một chất điểm chuyển động trong mặt phẳng Oxy với phương trình:

) SI ( t

8

y

t 3

4 t

a) Xác định vectơ gia tốc tại thời điểm t = 3s

b) Có thời điểm nào gia tốc triệt tiêu hay không?

Giải

0 '' y a

t 8 6 '' x

y

2 x y

x

−

= +

b) a = 0 ⇔ 6 − 8 t = 0 ⇔ t = 0 , 75 s

Vậy lúc t = 0,75 giây thì gia tốc bằng không

3 – Gia tốc tiếp tuyến và gia tốc pháp tuyến:

Trong chuyển động cong, ngoài biểu thức giải tích của vectơ gia tốc, người

ta còn mô tả vectơ gia tốc theo thành phần tiếp tuyến và pháp tuyến với qũi đạo Ta biết vectơ vận tốc luôn nằm trên tiếp tuyến của qũi đạo, nên ta có thể viết:

2 τ τ =

→

→

dt d

an

→

(2.27)

nằm trên pháp tuyến qũi đạo nên được

gọi là gia tốc pháp tuyến

2

d 1 2

Hình 1.7: Biến thiên của vectơ đơn vị

trên tiếp tuyến qũi đạo

Suy ra:

R

v dt

ds R

1 dt

d

=

= τ

chính khúc của qũi đạo

Tóm lại: Trong chuyển động cong, vectơ

gia tốc

→

a được phân tích thành hai thành

phần vuông góc nhau: thành phần tiếp

a Vậy ta viết:

2

và độ lớn của vectơ gia tốc là: a = a2t + a2n (1.31)

Gia tốc tiếp tuyến đặc trưng cho sự biến đổi về độ lớn của vectơ vận tốc; gia tốc pháp tuyến đặc trưng cho sự biến đổi về phương của vectơ vận tốc Gia tốc tiếp tuyến luôn nằm trên tiếp tuyến qũi đạo và hướng theo chiều chuyển động, nếu chuyển động là nhanh dần và hướng ngược chiều chuyển động, nếu chuyển động là chậm dần; gia tốc pháp tuyến luôn nằm trên pháp tuyến của qũi đạo và hướng vào

bề lõm của qũi đạo

Trường hợp đặc biệt:

* an = 0 ; at = 0 : chuyển động thẳng đều

* an = 0 ; at = const : chuyển động thẳng biến đổi đều

* an = const ; at = 0 : chuyển động tròn đều

40

y

t 50

c) Xác định các thành phần và độ lớn của vectơ vận tốc, gia tốc tại thời điểm

t = 2s Tính gia tốc tiếp tuyến, gia tốc pháp tuyến và bán kính chính khúc của qũi đạo lúc đó

→

a

→ n

a

→ t

a

Hình 1.9: Vectơ gia tốc được phân

tích làm hai thành phần: tiếp tuyến

và pháp tuyến của qũi đạo

21 x

500

1 50

10 x 5 ) 10 x ( 5

− +

−

−

2 2

) t 10 40 ( 50

) t 10 40 ( 10

8 , 53 a

v R

có qũi đạo là một đường tròn Khi chất

điểm chuyển động tròn quanh tâm O, ta

còn nói: “chất điểm quay quanh điểm O”

1 – Tọa độ góc – góc quay:

Trong chuyển động tròn, vị trí của

chất điểm có thể xác định theo tọa độ góc:

ϕ = ( Ox , r )

→

→

= góc định hướng giữa trục gốc Ox với vectơ bán kính

→

→

= OM r

(xem hình 1.10) Nếu tại thời điểm t0 chất

điểm ở vị trí M0 có tọa độ góc ϕ0 và tại thời điểm t, chất điểm ở vị trí M có tọa độ góc ϕ thì góc mà chất điểm đã quay là: θ = ϕ – ϕ0 (1.32)

và quãng đường mà nó đã đi là: s = θ.R (1.33) với R là bán kính qũi đạo tròn

Để mô tả tính chất của chuyển động tròn, ta thường dùng các đại lượng:

vận tốc góc, gia tốc góc Do đó, vectơ vận tốc

→

v của chất điểm trong chuyển động

tròn còn được gọi là “vận tốc dài”, để phân biệt với vận tốc góc

OM sẽ quay theo và quét

được một góc ∆ϕ nào đó Đặc trưng cho sự

quét nhanh hay chậm của

→

OM, ta dùng khái

niệm vận tốc góc Vận tốc góc là đại lượng

đặc trưng cho sự quay nhanh hay chậm của

chất điểm, có giá trị bằng góc mà nó quay

được trong một đơn vị thời gian

d t

lim0 t

- Phương: vuông góc với mặt phẳng qũi đạo

- Chiều: tuân theo qui tắc đinh ốc: “ Đặt

cái đinh ốc vuông góc với mặt phẳng

qũi đạo, xoay cái đinh ốc theo chiều

chuyển động thì chiều tiến của đinh ốc

là chiều của

→

ω”

- Độ lớn: bằng đạo hàm của góc quay

theo thời gian

- Điểm đặt: tại tâm qũi đạo

Trong hệ SI, đơn vị đo góc là rad

(không thứ nguyên) Do đó, vận tốc góc có

đơn vị là rad/s hay s – 1

* Quan hệ giữa vận tốc dài và vận tốc góc:

Ta có: ds = Rdϕ suy ra

dt

d R dt