Xử lý các quá trình ngẫu nhiên

Ta gọi biến đổi Fourier của hàm tự tương quan chéo của hai quá trình dừng đồng thời là mật độ phổ công suất chéo gọi tắt: phổ công suất chéo của chúng: Như vậy, phổ công suất chéo là bi

Chương 6

XỬ LÝ CÁC QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN

§6.1 MẬT ĐỘ PHỔ CÔNG SUẤT

6.1.1 Vấn đề nghiên cứu quá trình ngẫu nhiên trong miền tần số ( ☼)

Trong trường hợp tất định, biến đổi Fourier của tín hiệu cho ta biết tần số

có mặt trong tín hiệu Ví dụ, với các tín hiệu

Hình 6.1 Tần số của hai tín hiệu

Với trường hợp thứ nhất, tín hiệu có một tần số ω , với trường hợp thứ hai, 0tín hiệu có vô hạn tần số

Bên cạnh việc nghiên cứu tín hiệu trong miền thời gian (theo biến t), việc nghiên cứu tín hiệu trong miền tần số - tức là nghiên cứu phổ của tín hiệu - là mảng nghiên cứu hết sức hiệu quả để xử lý tín hiệu tất định Về vấn đề phổ (biến đổi Fuorier của tín hiệu tất định), chúng ta có thể tham khảo ở [5], [9], [7] Khi tín hiệu là ngẫu nhiên, từ chỗ mỗi quỹ đạo X t,( )ζ ζ∈ cố định) của một ( SQTNN là một tín hiệu tất định, một nghiên cứu hứa hẹn là biểu diễn các quỹ đạo này trên miền tần số Như vậy, một cách tự nhiên, chúng ta xét biến đổi Fourier của quỹ đạo X(t, )ζ

ω

1 π

( ) ( ) j t

X , ∞ X t, e− ωdt

−∞

ω ζ = ∫ ζ (6.1.1) Hàm phổ tính theo (6.1.1) xác định với từng quỹ đạo của quá trình, nó được gọi là phổ biên độ Thường thì X(t) là điện áp của một đoạn mạch nào đó với kháng 1 Ω nên nó cũng được gọi là phổ điện áp

Tuy nhiên, hai nguyên nhân sau là những cản trở nặng nề mà hầu như chúng ta không thể vượt qua:

Thứ nhất, đối với hầu hết các QTNN, với xác suất dương hoặc thậm chí bằng 1, điều kiện hội tụ tuyệt đối của tích phân

Một trong những hướng xử lý vấn đề là nghiên cứu tích phân (6.1.1) như là giới hạn theo bình phương trung bình giá trị chính của tích phân, đó là

, trong đó tích phân trên đoạn [-T;T] hiểu theo nghĩa bình phương trung bình

Đối với một quỹ đạo bất kỳ {X t, , t( )ζ ∈ ¡ , xét quỹ đạo chặt cụt }

Với Sζ∈ , năng lượng của quỹ đạo tất định {X t,ζ trên đoạn thời gian ( ) }

là công suất trung bình của tín hiệu {X t,ζ trên đoạn ( ) } [−T;T] trong dải tần

; nói cách khác, đó là hàm mật độ phổ vì khi lấy tích phân trên

Lấy kì vọng hai vế (6.1.2), bằng tính toán giống như ở Định lý 5.8 ta đi đến

Khi T→∞, với những điều kiện nhất định, ví dụ RX( )τ khả tích tuyệt đối trên

là biến đổi Fourier của hàm tự tương quan RX( )τ

Đó là nội dung của định lý Khinchine - Wiener đưa ra vào năm 1930 (trước

đó - vào năm 1990 - định lý được chứng minh bởi Al Einstein) Chúng ta có thể

tham khảo chứng minh trong [15], tr101

Từ những phân tích trên, đối với những người quan tâm đến ứng dụng,

người ta đưa ra định nghĩa về hàm mật độ phổ công suất trình bày ở mục 6.1.2

dưới đây, gọi là định nghĩa theo phương pháp tương quan. (☼)

là hàm mật độ phổ công suất của QT này

Theo tính chất của phép biến đổi Fourier, RX( )τ là biến đổi Fourier ngược

Như vậy, RX( )τ và SX( )ω là cặp biến đổi Fourier: RX( )τ ↔SX( )ω

Có nhiều tên gọi để chỉ hàm mật độ phổ công suất: mật độ phổ công suất,

mật độ phổ, phổ và có lẽ thông dụng và đơn giản nhất là phổ công suất, dù rằng

từ này không chính xác vì không liên quan đến đơn vị Nếu đơn vị của X(t) là

Vol (trên đoạn 1 Ω) thì đơn vị của phổ công suất là Wat - giây (W - s) hay

Wat/Hz (W/Hz) Tuy nhiên, nếu quá trình có ý nghĩa thực tế khác thì thuật ngữ

và các đơn vị đưa ra có thể không còn phù hợp, cần thay đổi Dù sao, trong các

đoạn sau, chúng ta vẫn giữ các thuật ngữ này

Lưu ý: Tần số ω nói đến ở (6.1.4), (6.1.5) là tần số góc (đơn vị là Rad/s)

Nhiều tài liệu lại dùng tần số vòng f (đơn vị là Hz) để xác định mật độ phổ:

SX( )ω =SX( )f Tính chất của phổ công suất thể hiện ở định lý sau

Định lý 6.1 Phổ công suất SX( )ω của QTNN thực, dừng {X t , t∈ ¡ có ( ) }

(ii) Khẳng định suy ra từ tính chẵn của SX( )ω và tính chất của phép biến đổi Fourier: RX( )τ là biến đổi Fourier ngược của SX( )ω

(iii) Thay τ = 0 vào (6.1.8) ta nhận được (6.1.9)

Ví dụ 6.1 Sóng sin ngẫu nhiên Xét QTNN

2

A2π

Hình 6.2 Phổ công suất của sóng sin ngẫu nhiên

Ví dụ 6.2 Tín hiệu điện báo ngẫu nhiên Đó là QTNN

Z(t) = AY(t) trong đó {Y t là QT điện báo nửa ngẫu nhiên xét đến ở Ví dụ 5.18, còn A là ( ) }

BNN nhận giá trị ± 1 với xác suất 1/2 và độc lập với Y(t)

Chúng ta sẽ chứng tỏ { }Z t là QT dừng và tìm phổ công suất của nó ( )

Trước hết ta có:

E Z t⎡⎣ ( )⎤ =⎦ E[A]E T t⎡⎣ ( )⎤ =⎦ 0

Bởi vì E[A] 0 ; E[A ] 1= 2 = , sử dụng kết quả ở Ví dụ 5.18 suy ra:

( ) ( )

2 Z

Vậy { }Z t là QT dừng Tính trực tiếp hoặc sử dụng bảng B-2 các phép ( )

biến đổi Fourier ở Phụ lục B ta được

hợp thời gian liên tục

Định lý 6.2 Hàm S( )ω ω∈¡ là phổ công suất của một QT dừng, nhận giá ,trị thực với công suất hữu hạn nào đó khi và chỉ khi S( )ω là hàm chẵn, thực, không âm, khả tích trên ¡

Chứng minh Điều kiện cần suy từ tính chất phổ công suất (Định lý 6.1) Để

chứng minh điều kiện đủ, xét QTNN {X t là dao động ngẫu nhiên ( ) }

X t =a cos Vt+Utrong đó a là hằng số chọn sau; U là V là hai BNN độc lập; U có phân bố đều trên [0;2π]; V có hàm mật độ fV(x) chọn sau

Trước hết thấy{X t là QT dừng Thực vậy, từ chỗ U và V độc lập ta có: ( ) }

ω

là dạng chuẩn hoá của phổ công suất S(ω) (để trở thành mật độ xác suất)

Lưu ý: Nếu bỏ tính chẵn của S( )ω , ta được phổ công suất của QT dừng, nói chung nhận giá trị phức (xem Định lý 6.2′)

6.1.3 Mật độ phổ công suất chéo

Giống như trên, ta dùng định nghĩa sau đây về mật độ phổ công suất chéo

Định nghĩa Ta gọi biến đổi Fourier của hàm tự tương quan chéo của hai

quá trình dừng đồng thời là mật độ phổ công suất chéo (gọi tắt: phổ công suất chéo) của chúng:

Như vậy, phổ công suất chéo là biến đổi Fourier của hàm tương quan chéo

Từ tính chất của phép biến đổi Fourier ta được:

SXY( )ω =SYX( )ω = πµ µ δ ω 2 X Y ( ) (6.1.13)

Định lý 6.4 (Phổ công suất của tổng hai quá trình)

Nếu {X(t)},{Y(t)} là hai quá trình thực, dừng đồng thời thì

Ví dụ 6.3 Dạng trễ của tín hiệu ngẫu nhiên

Cho QT dừng {X(t)} với phổ công suấtSX( )ω , {Y(t)} là dạng trễ của {X(t)} xác định bởi Y(t) = X(t - d), d là hằng số dương cho trước Khi đó

Như đã thấy (xem Ví dụ 5.10), mỗi QT {X t và ( ) } {Y t là dừng Chúng ( ) }

ta tính hàm tương quan chéo

Đây là hàm chỉ phụ thuộc τ, vậy {X t , Y t là dừng đồng thời Ta tính ( ) } { ( ) }

phổ công suất chéo

ω+ với − W < ω < W

( )

XY

S ω =

0 ngược lại trong đó a, b, W là các hằng số thực, W > 0 Tích phân từng phần ta được

6.1.4 Mật độ phổ công suất cho quá trình thực, không dừng

Người ta cũng nghiên cứu phổ công suất cho QT không dừng Chúng ta lướt qua một vài kết quả chính

Các hàm tự tương quan, tương quan chéo trong các công thức (6.1.4), (6.1.5), (6.1.10) cần phải thay bởi hàm tự tương quan thời gian, tương quan chéo thời gian:

Công thức (6.1.9) thể hiện công suất chung của QT trở thành

X

A R⎡⎣ t+ τ ⎤ ↔, t ⎦ SX ω (6.1.19) Hơn nữa, đối với phổ công suất chéo chúng ta cũng có

Ví dụ 6.6 Đáp ứng của bộ tích với tín hiệu ngẫu nhiên

Bộ tích là thiết bị điện thông dụng Ở đây, dạng sóng ngẫu nhiên {X(t)} được nhân với sóng mang cosin (có thể là sin) để tạo thành QT mới

có thể không dừng do phụ thuộc vào t Để đơn giản, bây giờ giả thiết{X(t) là dừng, thế thì } cos(2ω + ω τot o )

Biến đổi Fourier hai vế, sử dụng tính dịch chuyển tần số ở Bảng B-1, ta được

2 o

A4

= [S (X ω − ω +o) S (X ω + ωo)]

Đặc biệt, nếu {X(t) là QT thấp tần với độ rộng dải băng W/2 còn } đủ

ω

o

(ω >W/2) Y(t) là QT thông giải với độ rộng dải băng W (Hình 6.3) }

Hình 6.3 Phổ công suất của QT đầu vào bộ nhân (a) và của đầu ra (b)

Chúng ta sẽ nhận được kết quả tương tự khi {X(t) là dừng, đầu ra bộ }

nhân dạngY(t) X(t)A cos(= o ω + Θot ), trong đó Θ phân bố đều trên [ ]và độc lập với X(t)

0;2π

6.1.5 Mật độ phổ công suất cho dãy ngẫu nhiên

Định nghĩa Chúng ta gọi biến đổi Fourier của dãy tự tương quan {RX( )n }

là phổ công suất của dãy đó

Theo tính chất của phép biến đổi Fourier, SX( )ω là biến đổi Fourier ngược của dãy tự tương quan {RX( )n : }

Định lý 6.6 Nếu {X n là dãy các BNN dừng, nhận giá trị thực thì: ( ) }

S ( ) A

S (0) 4

ω

ω

Tính chất (i) suy từ chỗ: Với mọi n, hàm e− ωj n tuần hoàn chu kỳ 2π Các tính chất còn lại được chứng minh tương tự như với trường hợp liên tục

Tính chất (i) nói rằng, phổ công suất là hàm tuần hoàn chu kỳ 2π, vì thế chỉ cần xét trong khoảng [-π ; π] hay [0 ;2π ] Tính chất (ii), (iii) nói rằng phổ công suất của dãy dừng thực là hàm thực, không âm và chẵn

(Tính chất thực, không âm của phổ công suất còn đúng cả cho dãy dừng nhận giá trị phức!)

Tính chất cuối cùng nghĩa là: Công suất trung bình của QT bằng 1

2π lần diện tích hình thang cong giới hạn bởi 1 chu kỳ đường cong phổ công suất với trục hoành; như vậy, bằng giá trị trung bình của phổ công suất trên 1 chu kỳ

Nhận xét Người ta còn dùng biến đổi Z của dãy tự tương quan {R (n)}X :

và đôi khi (một cách lạm dụng) cũng gọi là phổ công suất của X Nếu chuỗi hội

tụ trên vòng tròn đơn vị, quan hệ giữa 2 loại “phổ công suất” này là

S(e ) S ( )jω = X ω

Ví dụ 6.7 Trung bình trượt cấp một Giả sử {N n là dãy các BNN cùng ( ) }

phân bố, kỳ vọng không, không tương quan và phương sai chung hữu hạn:

trái lại

Ví dụ 6.8 Phổ công suất của quá trình lấy mẫu

Trong ứng dụng, nhiều QT số (digital process) - tức là dãy ngẫu nhiên - được tạo thành bằng cách lấy mẫu một quá trình tương tự (analog process) - tức

là QT với thời gian liên tục – nào đó Sau đây chúng ta trình bày mối liên hệ giữa các hàm tương quan cũng như mật độ phổ của hai QT này

Cho QT tương tự {X t , t∈R Quá trình số a( ) } {X n được tạo ra bằng d( ) }

Định nghĩa Ta gọi QTNN {N t , t∈R là nhiễu trắng nếu đó là QT dừng, ( ) }

qui tâm và phổ công suất bằng hằng số trên tất cả các tần số:

( ) 2 N

Dùng biến đổi Fourier ngược chúng ta nhận được hàm tự tương quan:

( ) 2 ( )

N

R τ =σ δ τ , τ∈R (6.1.23) Nếu thêm giả thiết rằng {N t là quá trình Gauss thì ta có nhiễu trắng ( ) }

Gauss Tuy nhiên mục này chúng ta chỉ đề cập đến nhiễu trắng thông thường Thuật ngữ nhiễu trắng xuất phát từ tên gọi tương tự với ánh sáng "trắng", gồm tất cả các tần số có thể trong phổ của nó

Phổ công suất và hàm tự tương quan của nhiễu trắng thể hiện ở Hình 6.4

N

S ( ) ω N

R ( )τ 2

(b) (a)

Hình 6.4 Hàm tự tương quan (a), và phổ công suất (b) của nhiễu trắng

Công suất của QT được tính như sau:

Như vậy, nhiễu trắng là QT lý tưởng hoá, không có trong thế giới thực Tuy nhiên, trong lý thuyết mạch, mạng thông tin,…, nhiễu trắng luôn là mô hình được nghiên cứu và ứng dụng rộng rãi nhất Hai trong những lý do quan trọng giải thích cho hiện tượng này là:

+ Mỗi quá trình dừng với phổ công suất không quá đặc biệt (QT chính quy) đều có thể được biểu diễn một cách thuận lợi khi coi nó là đầu ra của một hệ tuyến tính phù hợp với đầu vào là nhiễu trắng (xem [14])

+ Một dạng nhiễu tồn tại trong thế giới thực gần xấp xỉ với nhiễu trắng, đó

là nhiễu nhiệt

Sau đây chúng ta giới thiệu sơ bộ về nhiễu nhiệt

Nhiễu nhiệt sinh ra do dao động của điện tử trong bất kỳ một thiết bị điện

nào Nhiễu nhiệt có phổ công suất là hằng số đến một tần số rất cao rồi sau đó giảm dần

Một kháng tại nhiệt độ T (Kelvin) sinh ra một điện thế nhiễu tại đầu ra của một mạch mở với phổ công suất

/ TS

b) Nhiễu trắng dải tần hữu hạn (band - limited white noise)

Mở rộng khái niệm nhiễu trắng người ta đi đến khái niệm nhiễu trắng dải tần hữu hạn

Định nghĩa Chúng ta gọi QTNN {N t là nhiễu trắng dải tần hữu hạn ( ) }

nếu đây là QT dừng, quy tâm, có mật độ phổ là hằng số khác không trong một dải tần hữu hạn quanh tần số gốc 0, bằng không ngoài dải đó:

c với ω ∈ −[ W;W ,]

SN( )ω =

0 với ω ∉ −[ W;W ]

W được gọi là độ rộng dải nhiễu

Công suất nhiễu được tính theo (6.1.9):

π với W < < W ,− ω

( )

N

S ω =

0 nếu ngược lại,

trong đó P là công suất nhiễu

Biến đổi Fourier ngược chúng ta nhận được hàm tự tương quan

N

R ( ) ω

Hình 6.5 Phổ công suất (a) và hàm tự tương quan

(b) của nhiễu trắng dải tần hữu hạn

c) Nhiễu trắng thông dải (bandpass white noise)

Tồn tại những bộ lọc có thể loại bỏ hết những tần số thấp, để nguyên lại những tần số cao hơn (gọi là bộ lọc thông dải) Qua bộ lọc này, nhiễu trắng dải tần hạn chế sẽ trở thành nhiễu trắng thông dải

Định nghĩa QTNN {N t dừng, kỳ vọng không với phổ công suất ( ) }

PW

π với 0 W < < 0 W

Đối với dãy các BNN chúng ta cũng có khái niệm nhiễu trắng

Định nghĩa Dãy ngẫu nhiên {X n được gọi là nhiễu trắng nếu nó là dãy ( ) }

dừng, quy tâm và hàm tự tương quan cho bởi:

( ) 2 ( )

N

R k =σ δ k , k∈Z

Như vậy, {N n là nhiễu trắng khi và chỉ khi ( ) } {N n là dãy BNN kỳ ( ) }

vọng không, cùng phương sai D[X(n)]= σ và không tương quan 2

Thực hiện phép biến đổi Fourier với dãy tự tương quan {RN( )n }

2

ta nhận được phổ công suất:

Giống như ánh sáng màu chỉ bao gồm một phần tần số có thể trong phổ của

nó, chúng ta định nghĩa nhiễu màu như sau

τ

N

S ( ) ω

2 / 5 π

ω

5 / π (a)

Định nghĩa Nhiễu không phải là nhiễu trắng gọi là nhiễu màu

Ví dụ 6.9 Xét nhiễu {N t là QT dừng, quy tâm với hàm tự tương quan ( ) }

6.1.7 Phổ công suất của QTNN phức

Chúng ta đã nghiên cứu hàm kỳ vọng và hàm tương quan QTNN phức ở

§5.6 Mục này dành cho phổ công suất của chúng Để đơn giản, phổ công suất được định nghĩa theo phương pháp tương quan

Định nghĩa phổ công suất, phổ công suất chéo vẫn giữ nguyên như trường hợp thực, chúng ta ghi lại ở đây

Định nghĩa Gải sử µZ( )t và RZ( )τ lần lượt là hàm kỳ vọng và hàm tự tương quan của QTNN phức dừng

( ) ( ) ( )

Z t =X t +jY t Phổ công suất của quá trình { }Z t xác định bởi ( )

Định lý 6.2 ’ Hàm S( )ω ω∈ ¡ là phổ công suất của một QT dừng (có thể ,thể nhận giá trị phức) với công suất hữu hạn khi và chỉ khi S( )ω là hàm thực, không âm, khả tích trên ¡

Đối với phổ công suất chéo vẫn xảy ra hiện tượng:

Hàm tương quan chéo và phổ công suất chéo là cặp phép biến đổi Fourier:

S ω =S∗ ω (6.1.28)

Ví dụ 6.10 Tổng hợp dao động điều hoà phức cùng tần số Trong Ví dụ

5.19 chúng ta đã xét tổng hợp dao động điều hoà phức cùng tần số

trong đó { }A và n { }Un là các BNN độc lập; Un có phân bố đều trên [0;2π]; còn

ω0 là hằng số thực Hàm tự tương quan của QT là ( ) j o N 2

Ví dụ 6.11 Phổ vạch Xét tổng hợp dao động điều hoà phức, cùng pha, tần

số hằng số, biên độ ngẫu nhiên

σ ) Vậy phổ thu được (bao gồm các vạch) là tổng đơn giản của các phổ công suất thành phần

Ví dụ 6.12( ☼) Hiệu ứng Đôpple (Doppler) Máy phát dao động điều hoà

đặt tại điểm chuyển động theo trục Ox với vận tốc V (Hình 6.6(a)) Giả

sử tín hiệu máy phát là e còn tín hiệu nhận được của máy thu đặt tại O là:

sóng điện từ…) và Vì máy phát có dao động riêng nên chúng ta giả

c (1 ) c

V ur

Hình 6.6 Hiệu ứng Doppler: Ngoài hiện tượng tăng (giảm) tần số

còn hiện tượng nới rộng phổ

Dễ thấy đây là QT dừng với hàm tự tương quan là

( ) 2 j o 1 Vc X

Trong trường hợp chuyển động tạo với trục Ox một góc α, chúng ta phải thay vận tốc V bởi hình chiếu Vx lên trục Ox và các bàn luận trên vẫn còn giá trị Xét trường hợp V = 0 Khi đó

( ) 2 j 0X

S ω = πσ δ ω − ω 2

Rõ ràng phổ này trùng với phổ của tín hiệu phát

Bây giờ giả sử V c= 0 = constvà giả sử c0< (vận tốc chuyển động thấp chơn vận tốc truyền) Khi đó

c

ω − , thấp hơn tần số phát, phù hợp với hiện tượng nêu ở Vật lý đại cương

Trường hợp tổng quát, khi mật độ fV(x) của vận tốc V tập trung quanh c0

(ví dụ, khi Mod V = c0) thì phổ công suất tập trung quanh 0

0

c1c

§6.2 CĂN BẢN VỀ HỆ TUYẾN TÍNH

Phần lớn những công việc của chúng ta cho đến bây giờ là nhằm mô tả các hiện tượng ngẫu nhiên bằng cách mô hình hoá nó như là quỹ đạo của QTNN Chúng ta nhận ra rằng, phương pháp miền thời gian dựa vào hàm tương quan và

kỹ thuật miền tần số dựa vào phổ công suất lập nên những cách cực kỳ hiệu quả để xác định dáng điệu của tín hiệu ngẫu nhiên Tuy nhiên, chúng ta phải dừng lại ở đây, bởi vì khía cạnh quan trọng nhất của tín hiệu ngẫu nhiên là gắn kết chúng thế nào đó với hệ tuyến tính Trước hết ở mục này, chúng ta thảo luận những điều căn bản về hệ tuyến tính Chú ý của chúng ta tập trung vào hệ tất định, chỉ có một đầu vào, một đầu ra và là hệ liên tục (tức là tín hiệu đầu vào và đầu ra là những tín hiệu với thời gian liên tục) Ai đã thạo về hệ tuyến tính tất định có thể bỏ qua mục này, chuyển ngay đến mục §6.3 tiếp sau

( )

x t ∈D

Hệ tuyến tính Đầu ra y(t)

Đầu ra y(t) Đầu vào x(t)

Đầu vào x(t)

Hệ LTI

(a)

(b)

Hình 6.7 Hệ tuyến tính đơn giản (a) và hệ tuyến tính bất biến thời gian (b)

Hệ được gọi là tuyến tính nếu ánh xạ T là tuyến tính, tức là:

i) Tập các tín hiệu được phép D là tuyến tính;

ii) Ánh xạ T có hai tính chất sau:

trong đó x1(t), x2(t), x(t) là các tín hiệu được phép bất kỳ và α là hằng vô hướng bất kỳ

Hai đòi hỏi cộng tính và thuần nhất được gộp lại dưới dạng

T⎡α⎣ x t + α x t ⎤ = α ⎡⎦ T x t⎣ ⎤ + α ⎡⎦ T x t⎣ ⎤⎦ (6.2.2) với mọi tín hiệu được phép x1(t), x2(t) và mọi hằng số α α 1, 2

Người ta thường ký hiệu ánh xạ tuyến tính bằng chữ cái L

Từ định nghĩa và tính chất của hàm xung Dirac suy ra

x t( ) x s( ) (t s ds.)

∞

−∞

= ∫ δ − (6.2.3) Thay (6.2.3) vào (6.2.1) và lưu ý rằng ánh xạ L tác động trên miền thời gian, chúng ta nhận được

6.2.2 Hệ tuyến tính bất biến theo thời gian

Định nghĩa Hệ tuyến tính được gọi là bất biến theo thời gian (Linear Time -

Invariant), ký hiệu là LTI, nếu mỗi phép dịch chuyển thời gian ở tín hiệu đầu vào gây ra cùng một phép dịch chuyển thời gian ở tín hiệu đầu ra Cụ thể là: ∀ ∈ Rt0 ,

y t = ⎡L x t⎣ ⎤ ⇒⎦ y t t− =L x t t⎡⎣ − 0 ⎤⎦ (6.2.6)

Định lý 6.7 Cho hệ tuyến tính với đáp ứng xung h(t,s) Hệ là bất biến theo

thời gian khi và chỉ khi xảy ra một trong hai điều kiện sau:

i) h t,s( ) (=h t s − ) (6.2.7)

ii) y t( ) ∞ h t s x s ds.( ) ( ) (6.2.8)

−∞

Chứng minh Giả sử hệ là tuyến tính và bất biến theo thời gian, và giả sử với

kích thích δ( )t (tại t = 0) nhận được đáp ứng h(t) Khi đó với kích thích δ −(t t0)

(xung δ tại t = t0) sẽ nhận được đáp ứng h t t( − 0) Suy ra

h(t) L[ (t)]= δ (6.2.9) cũng được gọi là đáp ứng xung của hệ

Định lý 6.8 Đối với hệ LTI với đáp ứng xung h(t) khả tích tuyệt đối:

Lưu ý: Sử dụng ký hiệu tích phân chập ∗ cũng như tính chất giao hoán của

nó, chúng ta có thể viết lại (6.2.8) dưới dạng tiện lợi sau đây:

Định nghĩa Biến đổi Fourier của đáp ứng xung h(t) của hệ LTI, ký hiệu là

H(ω), được gọi là hàm truyền (transfer function) (tên khác: đáp ứng tần số, đặc trưng tần số, hàm hệ thống, hệ số truyền)

Công thức (6.2.14) cho một cách khác rất tiện lợi để tính hàm truyền Người

ta chứng minh được ej tω là họ hàm duy nhất thoả mãn tính chất (6.2.14) Theo

quan điểm của ánh xạ tuyến tính, các hàm {e , tj tω ∈R là hàm riêng của toán tử }

tuyến tính L, H(ω) là giá trị riêng tương ứng

Ví dụ 6.13 Tìm hàm truyền cho mạch điện chỉ ra trên Hình 6.8.(a)

(b) C

RĐầu vào x(t) Đầu ra y(t)

(a) R

LĐầu vào x(t) Đầu ra y(t)

Hình 6.8 Hệ tuyến tính bất biến thời gian a) R L b) RC

Giải Dòng điện i trong mạch vòng thoả mãn phương trình

dix(t) L y(t)

y(t) L[e ] H( )e= ω = ω ω Thay vào (*) ta được

6.2.3 Hệ nhân quả và hệ ổn định

a) Hệ nhân quả

Ta gọi hệ là nhân quả nếu đầu vào là nguyên nhân, đầu ra là kết quả, sự biến đổi tương lai đầu ra gây ra là do sự biến đổi hiện tại và quá khứ đầu vào; sự biến đổi tương lai đầu vào không gây ra sự biến đổi quá khứ đầu ra Về mặt toán học, điều này có nghĩa là: ∀ ∈Rt0 ,

x t =0 ∀ ≤t t ⇒ y t = ∀ ≤ (6.2.15) 0, t t

Hệ nhân quả còn gọi là hệ vật lý thực hay hệ khả thi

Đối với hệ LTI, (6.2.15) tương đương với

( )

h t =0 , ∀ ≤ t 0 (6.2.16) Như vậy, đối với hệ LTI nhân quả thì:

Do tính phức tạp của vấn đề, thường thì tính khả thi của hệ không quan trọng lắm và chưa được để ý đến khi phân tích Sau khi tìm được lời giải người ta mới tìm điều kiện để hệ là khả thi

Nếu x t( ) < M thì y t( ) < MI ,( t∀ ∈R )

trong đó M, I là hai hằng số nào đó

Từ (6.2.8), điều kiện đủ để hệ LTI ổn định là:

I h t dt( )

∞

−∞

Đòi hỏi hệ bất biến theo thời gian (hệ LTI) bây giờ trở thành: ∀ ∈ Zn0 ,

y n = ⎡L x n⎣ ⎤ ⇒⎦ y n n− =L x n n⎡⎣ − ⎤⎦ .Điều này tương đương với

Tổng chập Tương tự với khái niệm tích phân chập trong hệ liên tục, trong hệ

rời rạc người ta đưa ra khái niệm tổng chập

Tổng chập của hai tín hiệu u(n), v(n), ký hiệu là u(n)∗v(n), xác định bởi:

Chính vì thế có thể bỏ ngoặc, viết đơn giản thành u n( ) ( ) ( )∗v n ∗ω n

Với ký hiệu tổng chập và tính chất giao hoán của nó, ta có thể viết lại (6.2.20) dưới các dạng tiện lợi sau:

Định nghĩa Biến đổi Fourie và biến đổi Z của đáp ứng xung h(n) của hệ LTI

rời rạc, ký hiệu lần lượt là H( )ω và H(z), xác định bởi

Công thức (6.2.12) về mối liên hệ giữa biến đổi Fourier đầu vào - đầu ra của

hệ liên tục vẫn đúng cho hệ rời rạc:

Y( ) H( )X( )ω = ω ω

Y(z)= (z)H X(z) Nếu vòng tròn đơn vị {z : z = nằm trong miền hội tụ thì H1} Khi không sợ hiểu nhầm, người ta viết quan hệ này dưới dạng

j

(e ) H( )ω = ω

H(z) H( )= ωvới lưu ý rằng phải chọn z e= jω

Nếu hệ rời rạc là khả thi thì h(n) 0= ∀ ≤ − Khi đó, ngoài biến đổi Fourier n 1

và biến đổi Z của h(n) người ta còn xét biền đổi Laplace của nó:

H( )ω = H(e )jω =ℍ(j )ω Khi không sợ hiểu lầm, người ta viết quan hệ này dưới dạng

H( )ω = H (z) = H(s)với lưu ý rằng không có sự khác biệt về ký hiệu hàm (chữ cái H), và phải chọn

h(t)

Hình 6.9 Hệ LTI với đầu vào ngẫu nhiên

Với mỗi kết cục của thí nghiệm ngẫu nhiên ζ ∈S

chính là đầu ra của hệ tuyến tính

Về mặt toán học, câu hỏi tự nhiên sau đây đặt ra:

"Tập hợp {Y t , t∈ R có lập thành một QTNN hay không ?" ( ) }

Rõ ràng câu trả lời sẽ là phủ định Chúng ta hãy hình dung một hệ "bình thường", đầu vào lớn dần đến mức "khủng khiếp" thì đầu ra cũng sẽ như vậy và nó không còn là QTNN

Tuy nhiên, chúng ta đưa ra định lý (không chứng minh) sau đây (xem [14]) như là câu trả lời thoả đáng cho vấn đề nêu ra Chỉ với điều kiện khá nhẹ nhàng của hệ và của đầu vào, đầu ra {Y t sẽ là QTNN ( ) }

Định lý 6.10 Xét hệ LTI với đáp ứng xung h(t) bình phương khả tích trên

đoạn hữu hạn [a; b] bất kỳ, khả tích tuyệt đối trên Giả sử đầu vào của hệ là QTNN

Lưu ý Thực ra, điều kiện bình phương khả tích của h(t) có thể giảm nhẹ:

Chỉ cần Y(t) được biểu diễn theo (6.3.2), trong đó h(t) khả tích trên ¡ ,

{X t hay đơn giản là một bộ lọc Điều kiện để hệ là bộ lọc cho {X(t)} phát biểu }

khá đơn giản qua hàm truyền và phổ công suất QT đầu vào (xem [14] trang 280 )

Định lý 6.11 Để hệ với hàm truyền H( )ω là bộ lọc cho QT {X t , điều ( ) }

kiện cần và đủ là tích phân sau đây hội tụ:

2 X

Về nguyên tắc, họ phân bố hữu hạn chiều của QT đầu ra hoàn toàn xác định thông qua họ phân bố hữu hạn chiều của QT đầu vào và hàm đáp ứng xung h(t) Tuy nhiên, tính toán họ phân bố hữu hạn chiều của QT đầu ra như thế là hết sức phức tạp, chỉ có câu trả lời đầy đủ khi QT đầu vào là Gauss Trong trường hợp tổng quát, người ta chỉ có thể biết được những đặc trưng riêng rẽ về đầu ra Điều này hạn chế mọi hy vọng rằng sẽ có một đặc trưng xác suất đầy đủ về đầu ra

6.3.2 Các đặc trưng xác suất của QT đầu ra

a) Trường hợp tổng quát với QT thực

Định lý 6.12 Với các giả thiết ở Định lý 6.10 thì

Lưu ý:i) Công thức (6.3.3) khẳng định rằng:

Hàm kỳ vọng của QT đầu ra chính là đầu ra của hệ tuyến tính đã cho khi đầu vào là hàm kỳ vọng µX( )t của QT đầu vào (xem Hình 6.10 (a))

ii) Có thể tính toán hàm tự tương quan của đầu ra trực tiếp theo (6.3.5) Tuy vậy, vì chúng ta đã có sẵn hệ LTI nên về mặt hoạt động của hệ, người ta vẫn chuộng tính RY(t,s) theo (6.3.6) Theo phương pháp gián tiếp, trước hết ta đặt hàm

tự tương quan RX(t,s) vào đầu vào của hệ, hệ tác động lên biến thứ hai (biến s), ở đầu ra ta nhận được hàm tương quan chéo RXY(t,s) Lại đặt đầu ra này vào đầu vào của hệ đã cho, hệ tác động lên biến thứ nhất (biến t), ở đầu ra chúng ta nhận được

RY(t,s)

h(t) h(s)

XY (t,s) R

RX(t,s)

Hình 6.10 Hàm kỳ vọng (a) và tự tương quan (b) của QT đầu ra

b) Trường hợp đầu vào là QT dừng

Nếu đầu vào {X t là QT dừng thì theo (6.3.4) và (6.3.6), R( ) } XY(t,s) và

RY(t,s) chỉ phụ thuộc vào hiệu t – s nên {X t , Y t( ) } { ( ) } là hai quá trình dừng đồng thời Các công thức (6.3.3) – (6.3.6) được đơn giản đi rất nhiều

Định lý 6.13 Giả sử thoả mãn các giả thiết ở Định lý 6.10, ngoài ra QT đầu

vào {X t là dừng với hàm kỳ vọng ( ) } µX( )t và hàm tự tương quan RX(τ) Khi đó

Hệ quả (Phổ công suất QT đầu vào - đầu ra)

So sánh với (6.2.13) ta thấy có sự giống nhau nhất định Tuy nhiên cần lưu ý rằng, phổ công suất không là biến đổi Fourier của quá trình, mà là biến đổi Fourier của hàm tự tương quan của QT; sự khác biệt giữa hai công thức (6.2.13) và (6.3.11) là điều hiểu được

c) Trường hợp QT phức

Nếu đầu vào là tín hiệu ngẫu nhiên phức, đáp ứng xung là hàm phức thì các kết quả trên thay đổi một chút Vói các lý do như với trường hợp thực chúng ta nhận được các kết luận sau

−∞

Các công thức (6.3.3), (6.3.7), (6.3.10) - (6.3.12) vẫn còn đúng cho trường hợp phức

6.3.3 Đáp ứng hệ LTI rời rạc với đầu vào ngẫu nhiên

Chúng ta đã nghiên cứu hàm tương quan và phổ công suất của dãy ngẫu nhiên ở các mục 6.1.5 và 6.2.4 Bây giờ giả sử tại đầu vào của hệ LTI rời rạc cho tác động một dãy ngẫu nhiên {X n Theo (6.2.23) ta xác định được ( ) } {Y n ( ) }

m

Y(n) ∞ X(n m)h(m)

=−∞

= ∑ − , (6.3.15)

giới hạn theo bình phương trung bình

Giống như trường hợp liên tục, đối với hệ rời rạc, Y(n) theo (6.3.15) không phải luôn xác định, cũng như không hẳn có tính chất thống kê tốt

Mỗi đầu vào {X n sẽ có những hệ mà ở đầu ra của nó là dãy BNN được ( ) }

tính theo (6.3.15) là bình phương khả tích Hệ như vậy gọi là lọc phù hợp cho

Chúng ta chỉ xét những đầu vào và hệ thoả mãn các đòi hỏi này

Đối với QT phức và hệ phức, chúng ta phát biểu (không chứng minh) những tính chất tương tự với trường hợp hệ liên tục dưới dạng định lý sau

Định lý 6.14 Giả sử hệ LTI rời rạc với đáp ứng xung h(n) (phức) phù hợp

với dãy BNN (phức) đầu vào {X n , còn đầu ra là dãy BNN ( ) } {Y n Khi đó ( ) }

Hệ quả Nếu thêm giả thiết {X n là QT dừng thì ( ) } {X n , Y n là hai ( ) } { ( ) }

QT dừng đồng thời, hơn nữa:

Hệ quả (Phổ công suất của QT đầu vào - đầu ra)

Ví dụ 6.14 Hệ lý tưởng Để đơn giản phân tích nhiều hệ phức tạp, người ta

thường xấp xỉ hàm truyền H(ω) của hệ bằng một hàm truyền lý tưởng Hàm truyền lý tưởng hoá được mô tả trên Hình 6.11(a) đối với hệ thông thấp LP (lowpass system), (b) đối với hệ thông dải BP (bandpass system), (c) đối với hệ thông cao HP (highpass system)

1

1

(b) (a)

(c)

Hình 6.11 Hàm truyền của hệ lý tưởng

Trong mỗi trường hợp, hàm truyền có môđun bằng 1 trên giá của nó, bằng 0 ngoài giá còn pha θ ω là hàm tuyến tính của tần số ( ) ω

Khi dùng hệ lý tưởng để thay thế hệ thực, hệ lý tưởng phải được chọn lựa để trung điểm của giá xấp xỉ với giá trị trung tâm của tần số của hệ thực và hệ số góc của pha phải xấp xỉ hệ số góc pha của hệ thực Giá trị W - được gọi là độ rộng dải băng hệ lý tưởng - được chọn lựa theo một cơ sở hợp lý nào đó, ví dụ bằng độ rộng dải băng 3 - dB của hệ thực

Bây giờ xét bộ lọc lý tưởng thông dải không có độ lệch pha ( ( , ở đầu vào ta cho tác động QT dừng { QT đầu ra

Đối với QT thực thì S ( )X ω là chẵn và do đó

+W/2 o

W/2 o

α

= ℱ(e−α τ)ℱ(cos(ω τ o ))nên R ( )Y τ = A2

4

α(e−α τ) ∗(cos(ω τ o ))

Ví dụ 6.16 Trung bình trượt Xét hệ với đầu ra biểu diễn bởi

= ∫ , là giá trị trung bình của {X(t)} trên đoạn [t - T; t + T]

Rõ ràng đáp ứng xung h(t) của hệ là thực và là xung chữ nhật, còn

là xung tam giác (Hình 6.12)

(t) h(t) h( t)

Theo (6.3.11) ta tính được

T j T

h(t)

1 2T

1 2T

2T t -2T

t

T -T

t-T

t t-T

(c) (b)

Hình 6.12 Trung bình trượt (a), đáp ứng xung (b) và hàm (t) ρ của nó (c)

Như vậy, nhận những giá trị khác 0 có ý nghĩa chỉ trên một khoảng

quanh gốc toạ độ với độ rộng

sin(T )H( ) 1

T

ω

ω = −

ω Hàm truyền này gần bằng 0 tại một khoảng độ rộng cỡ O(1/T) quanh gốc toạ

độ, tiến đến 1 tại những lớn Như vậy, xem nó như lọc thông cao, làm teo đi

những tần số thấp đầu vào ω

Ví dụ 6.17 Phổ QT đạo hàm Phân tích phổ của QT đạo hàm giúp ích quan

trọng cho phân tích hệ thông tin xử lí tấn số FM QT đạo hàm của quá trình MS -

khả vi {X(t)} bất kì có thể xem là đầu ra của bộ lọc với hàm truyền H còn

đầu vào là QT {X(t)} Theo (6.3.10) và (6.3.11) thì

Tổng quát, đặt là đạo hàm cấp n của quá trình MS - khả vi n

lần {X(t)} Khi đó {Y(t)} là đầu ra của hệ với đầu vào {X(t)}, hàm truyền

(n)

Y(t) X= (t)

n

( j )ω Hơn nữa,

S ( )ω = ω S ( );ω R ( ) ( 1) Rτ = − ( ).τ (6.3.25)

§6.4 QUÁ TRÌNH TỰ HỒI QUY - TRUNG BÌNH ĐỘNG ( ☼)

Quá trình tự hồi quy – trung bình động ARMA xem như đầu ra của hệ LTI

đặc biệt với hàm truyền phân thức, đầu vào nhiễu trắng QT này biểu diễn lớp rất

rộng dãy các tín hiệu ngẫu nhiên và có nhiều áp dụng trong phân tích tín hiệu

Dạng đơn giản của nó là mô hình tự hồi quy AR và mô hình trung bình động MA

6.4.1.Quá trình tự hồi quy AR

a) Định nghĩa Giả sử {N(t)} là dãy nhiễu trắng với phương sai chung

Dãy các BNN {X(n)} được gọi là QT tự hồi quy cấp p, viết tắt là AR(p)

(autoregressive process), nếu nó thoả mãn phương trình

2

σ ≠

1 p

X(n)= −a X(n 1) a X(n p) N(n)− − − − + (6.4.1) trong đó , còn N(n) là BNN không tương quan với các “quá khứ” X

là dự báo của QT sau 1 bước tại thời điểm n - 1 và thêm vào 1 sai số Chính vì thế,

mô hình tự hồi quy AR còn được gọi là mô hình dự báo tuyến tính LP (linear prediction)

b) Điều kiện dừng - Điều kiện khả nghịch

Ta gọi QT {X(n)} là khả nghịch nếu tồn tại dãy số { }ck và dãy nhiễu trắng

{N(n)} sao cho k (MS - hội tụ), có thể là tổng hữu hạn

k 0

n, N(n) ∞ c X(k)

=

Rõ ràng quá trình AR là khả nghịch với giá trị tuỳ ý của các hệ số ai

Tuy nhiên, không phải mọi quá trình AR đều dừng Để xét tính dừng của nó, trước hết ta xét quá trình cấp 1

1

X(n)= −a X(n 1) N(n)− + (6.4.3) hay X(n) a X(n 1) N(n) (a+ 1 − = 1≠0) (6.4.3’) Gọi là nghiệm của phương trình θ z a+ 1= , thế thì 0 θ = − a1

vào biểu thức vừa thu được… ta đi đến

và có thể biểu diễn được dưới dạng tổng vô hạn