CƠ SỞ LÝ THUYẾT CÁC QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN pot

1 ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN Đại lượng ngẫu nhiên, ví dụ độ dâng mặt sóng biển, xuất hiện trong tự nhiên, tại một vị trí nhất định, có thể mang giá trị lớn hay nhỏ, trên mặt trung bình dương

Chương 1

CƠ SỞ LÝ THUYẾT CÁC QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN

Trong phần này của tài liệu bạn đọc làm quen hoặc nhớ lại những điểm chính của quá trình ngẫu nhiên Các công thức trình bày tại chương này sẽ được dùng tại phần bàn về sóng biển, gió trên biển, chòng chành tàu, momen uốn, lực cắt tàu, công trình nổi trên sóng

1 ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN

Đại lượng ngẫu nhiên, ví dụ độ dâng mặt sóng biển, xuất hiện trong tự nhiên, tại một vị trí nhất định, có thể mang giá trị lớn hay nhỏ, trên mặt trung bình (dương) hay dưới mực trung bình (âm) và có thể nói không sai, khó xác định trước Tập họp các đại lượng ngẫu nhiên theo diễn tiến thời gian đưa đến hình ảnh của một biểu đồ diễn tiến sự kiện, ví dụ diễn tiến của độ dâng sóng tại vị trí đo

Với sóng biển, độ dâng mặt sóng tại mỗi vị trí được xét như quá trình ngẫu nhiên, có thể diễn đạt bằng hàm ζ = f(t), và hàm này trong thực tế là hàm liên tục Từ băng ghi liên tục đo trong thời gian τ

= t – t 0, nếu chúng ta chỉ ghi nhận những kết quả đo sau mỗi khoảng thời gian vô cùng ngắn, ví dụ Δt = ( t – t 0 )/ N, với N số khoảng thời gian được chọn trước, sẽ thu được kết quả không phải dạng hàm liên

tục như vừa tả, mà ở dạng hàm rời rạc theo khoảnh khắc thời gian ζi = ζ(iΔt)

Bảng 1.1

Từ kết quả quan sát và đo đạc có thể thu nhận hàng ngàn, nhiều ngàn giá trị ζi, i=1,2,… Dữ liệu

vừa thu nhận, ngoài cách sắp xếp theo thời gian t vừa đề cập, còn có thể tập họp dưới dạng hàm phân

bố theo tần suất xuất hiện của đại lượng ngẫu nhiên Một trong các cách làm là sắp xếp các dữ liệu theo tần suất xuất hiện độ lớn Giả sử độ dâng mặt sóng đo được từ thực tế mang giá trị nhỏ nhất ζ = –ζA đến giá trị lớn nhất ζ = +ζB Nếu chia đều đoạn từ –ζA đến +ζB ra một số phân đoạn, ví dụ m phân đoạn, trong mỗi phân đoạn có thể xác định tổng số lần xuất hiện của ζ

Bảng 1.2 -ζA<ζ< Z0 Z0<ζ<Z1 Z1<ζ<Z2 … Zn-1<ζ<Zn Zn<ζ<+ζB …

p 0 =n 0 /N P 1 =n 1 /N P 2 =n 2 /N … P n =n n /N … …

Trường hợp chung nhất có thể diễn đạt cách làm trên bằng cách sau Giả sử rằng trong quá trình thực hiện sự kiện trong toàn miền đã thu nhận được N giá trị mang tính ngẫu nhiên Các giá trị đó trải dài trên toàn bộ miền, ví dụ (-ζA, ζB) Sau khi chia toàn bộ miền giá trị (-ζA, ζB) thành các phân đoạn, tiến hành tính kiểm lượng giá trị mi trong phạm vi mỗi phân đoạn

Tỷ lệ giữa mi/N, ký hiệu bằng pi được gọi là tần suất Biểu đồ tần suất sắp xếp trên suốt chiều dài của miền đang xét gọi là biểu đồ chuỗi thống kê Cách lập biểu đồ tiến hành theo bảng 1.3

Ví dụ 1: Kết quả đo độ lắc của vật thể nằm trên sóng, sau 500 lần ghi nhận, được tập họp lại dưới dạng

bảng dưới đây Trong bảng, dòng đầu trình bày các khoảng biên độ, tính theo đơn vị 10°, dòng thứ hai

số lần mà góc lắc đạt giá trị ghi trong phân đoạn, dòng cuối là tần suất p i = m i /500

Hàm phân bố tích lũy tính từ ví dụ trên đây có dạng như hình 1.1 phía dưới:

2 MẬT ĐỘ CỦA ĐAI LƯỢNG NGẪU NHIÊN

Từ ví dụ trên có thể tổng quát hóa cách tính các giá trị đặc trưng liên quan xác suất xuất hiện giá trị ngẫu nhiên như sau Nếu tiến hành xác định tần suất cho đại lượng ngẫu nhiên trong trường hợp

khoảng cách phân đoạn tiến đến gía trị vô cùng nhỏ chúng ta nhận được mật độ xác suất Định nghĩa

mật độ xác suất được hiểu theo giới hạn của quan hệ xác suất:

p(x) =

x

x x x

ob

Δ+

≤

≤

→ Δ

)(

Prlim

( dx x p

Quan hệ giữa hàm Prob(.) và p(.) thường gặp khi tính xác suất xuất hiện đại lượng ngẫu nhiên trong

phạm vi nhất định, ví dụ trong miền hạn chế [a, b):

b a

b a

dx x p dx

x

p( ) lim ( )

0 0

0

(1.2) Hàm phân bố quan hệ với mật độ như sau

2 /

12cos

π

π

a xdx a

P )( sẽ mang dạng:

F(x) = 0 tại x < -π/2

F(x) = ½(sinx + 1) tại -π/2 ≤ x ≤ π/2

F(x) = 1 tại x > π/2

Xác suất xuất hiện đại lượng ngẫu nhiên trong đoạn từ 0 đến π/4 tính theo công thức:

Prob( 0 < ζ < π/4) = ½(sin π/4 + 1) – ½(sin 0 + 1) = √2 /4

Biết hàm phân bố, từ các quan hệ vừa nêu có thể xác định xác suất xuất hiện đại lượng ngẫu nhiên trong miền [a,b):

Prob( a ≤ ζ < b ) = F(b) - F(a) (1.10)

Thay giá trị b trong công thức cuối b = a + ε, ε > 0 và ε → 0, công thức này trở thành:

3 GIÁ TRỊ ĐẶC TRƯNG CỦA CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN

Trước tiên chúng ta xét quá trình ngẫu nhiên bố trí dưới dạng hàm rời rạc Với ví dụ độ dâng mặt sóng, từ dữ liệu đo đạc chúng ta có thể xác lập mật độ phân bố của sóng dưới dạng hàm:

ζ1 ζ2 ζ3 ζ4 ζ5

p1 p2 p3 p4 p5

Từ bảng tổng hợp này có thể xác định giá trị trung bình của đại lượng ngẫu nhiên, hay trong bộ

môn toán xác suất người ta gọi nó là kỳ vọng toán

++

+++

i i

n i i i n

n n x

p

p x p

p p

p x p

x p x m

1

1 2

1

2 2 1 1

x2 ( ) khi xử lý đại lượng ngẫu nhiên dạng hàm liên tục

Phương sai của X, ký hiệu σ2, tính theo biểu thức:

i x n

Ý nghĩa cơ học của đại lượng này gần giống như momen quán tính của khối lượng phân bố so

với trọng tâm, với nghĩa trọng tâm ở đây do kỳ vọng toán m thủ vai

2 2

2 =E(X )−m x

σ

Thứ nguyên của phương sai là bình phương của thứ nguyên đại lượng ngẫu nhiên Trong khi dùng thỉnh thoảng người ta sử dụng đến đại lượng xuất xứ từ phương sai song mang thứ nguyên của đại lượng ngẫu nhiên Đại lượng này bằng khai căn bậc hai của phương sai và mang tên gọi không chính

thức, “độ lệch bình phương trung bình hay độ lệch chuẩn”, tính theo công thức:

∞

−

dx xe dx

x xp

∞

−

dx x P e x dx

x P m

Mật độ phân bố đều trong đoạn từ a đến b

Giả sử giá trị của mật độ c, có dạng sau:

f(x) = c trong miền a < x < b (1.20) f(x) =0 với x < a; x > b (1.21)

Diện tích hình chữ nhật ( b-a) c tính như sau:

c( b – a ) = 1, theo định nghĩa, c = 1/ (b – a)

Từ đó có thể viết:

a b x f

−

= 1)

f(x) = 0 khi x < a hoặc x > b (1.23) Hàm phân bố xác suất F(.) có dạng:

b x a khi b x khi a b

a x

a x khi x

;0)

b a dx a b

x

12

)(2

dx b a x a b b

Luật phân bố tự nhiên

Luật phân bố tự nhiên còn có tên gọi luật phân bố Gauss, có mật độ:

1)(

σπ

σ

m x x

Hình 1.3 Phân bố tự nhiên Hàm f(x) đối xứng qua trục đứng đi qua m Điểm cực đại của f(x) nằm tại trục đối xứng với

chiều cao

π

σ 2

1 Hai đại lượng m và σ trong công thức cũng chính là kỳ vọng toán và khai căn phương sai của chính nó, được giải thích sau đây

1)

()

(

σπ

Thay biến

2σ

m

x− = t có thể viết:

dt t

m dt t t

dt t m

t X

E( )= 1 ∫( 2 + )exp(− 2) = 2 ∫ exp(− 2) + +∞∫ exp(− 2)

Hình 1.2 Phân bố đều

Có thể nhận ngay rằng, biểu thức thứ nhất thuộc vế phải của phương trình bằng 0, còn biểu thức thứ hai chính là tích phân Euler-Poisson, theo đó tích phân vô hạn này bằng căn bậc hai của π Kết quả

chỉ lưu lại m sau khi tính

Momen thứ k của phân bố tự nhiên được định nghĩa như sau

2 2

2

)(exp)(2

1)

()(

σπ

Sau khi thay biến

2σ

m

x−

= t có thể viết biểu thức tính momen bậc 2 hay là phương sai:

dt t t

∞

−

− +∞

∞

−

dt t te

dt t t t

σ

(1.33)

Biểu thức đầu vế phải tiến đến 0, còn biểu thức thứ hai bằng √π như đã trình bày, do vậy:

m2 = σ 2Hàm F (x) theo cách diễn đạt [ ] ∫

f x F

1)

()

(

σπ

σξξ

dt t x

F

m x

2/2)exp(

1)

Tích phân này chứa trong lòng nó tích phân dạng có exp( -t2) hoặc exp(-t2/2) Các tích phân vừa nêu gọi là tích phân xác suất hoặc còn gọi hàm sai số, dễ dàng lập thành bảng trợ giúp tính toán hoặc tích phân số Có thể chọn hàm sai số sau làm hàm phụ trợ:

2

exp2

1)(

2

Đặc tính của hàm được chọn là, bản thân nó cũng chính là hàm F(x) với tham số m = 0 và σ = 1

Hàm F(x) giờ có thể thay bằng hàm mới, theo quan hệ:

Những đặc tính chính của hàm F( )x :

;0)(−∞ = F +∞ =

F

Với trường hợp m = 0; σ = 1: F(−x)=1−F(x)

Xác suất xuất hiện đại lượng ngẫu nhiên phục tùng luật phân bố tự nhiên

Ứng dụng phổ biến của luật phân bố tự nhiên là xác định xác suất xuất hiện giá trị ngẫu nhiên

trong giới hạn cho trước Giả sử luật phân bố tự nhiên với các tham số m, σ2 đã xác định, xác suất xuất hiện đại lượng ngẫu nhiên ζ trong phạm vi giới hạn từ a đến b tính theo công thức:

m a F m b

1

σπ

σ

m x

từ kết quả đo trong ví dụ nêu trên

Các tham số m và σ2 trong công thức tính theo (1.28 ) và (1.33 )

m = -3,5.0,012 – 2,5.0,05 –1,5.0,144 – 0,5 0,266 +0,5 0,24 +

+ 1,5.0,176 +2,5 0,092 + 3,5 0,02 = 0,168

i i

i m p x

)168,0(exp2448,1

1)

f

πMột số giá trị đặc trưng được trình bày tại bảng 1.5

x m

x x

2

2exp]

2/exp[

)(

m

x m

x dx

x f

x x

(1.40)

Trong phần nghiên cứu sóng biển như quá trình ngẫu nhiên chúng ta thường gặp khái niệm chiều cao của 1/n sóng cao nhất Trong chương bàn về sóng biển sẽ đề cập chi tiết sóng này Tại đây chúng ta tìm hiểu cách xác định bằng toán Giả sử chiều cao sóng chọn bằng giá trị trung bình từ n sóng cao nhất ký hiệu ζ1/n, công thức xác định sóng này xuất phát từ luật phân bố Rayleight có dạng:

d m m

n d f

/ 1 /

2

1)(

ς ς

ξξξ

ξ

Hình 1.5 Chiều cao sóng phục tùng phân bố Rayleigh

Từ đó có thể viết ζ1/n 2 = 2m 0 log e n Giá trị trung bình của 1/n sóng cao nhất sẽ là:

0

2

0

2 /

1

)log2(5,0log

12

2exp)

(

~

/ 1 /

1

n erf

n n

m n

d m m

n d f n

e e

n

n n

π

ξξξ

ξξξς

1)

2cos

cossin

sin

2 /

2 /

T dt t t

dt t t

T T

k i

2 /

2 /

2 /

;sin)(2

;cos)(2

T T

i i

T

T

i i

tdt t

w T

b

tdt t

w T

T T

dt t w T

)

(

n

n n

T

t n b

T

t n a

a t

ττ

π

2 2 2

;0cos

2cos

2

le n n

chan n

ntdt t

dt t n t

A n

Từ đó:

,

2,1,0

;

)12(

)12(2cos

3

6cos1

2cos2

++

++

−

p T

t p T

t T

t T

T

t

ππ

ππ

Phân tích Fourier trên đây áp dụng cho hàm ngẫu nhiên không mang tính chu kỳ sẽ xét trong trường hợp T → ∞ Trường hợp nghiên cứu sóng, gió trên biển, lắc tàu, momen uốn tàu vv…, chúng ta

thường gặp trường hợp T vô cùng lớn, và theo cách vừa trình bày phân tích chuỗi Fourier có thể áp dụng vào đây Có thể nhận thấy rằng khi T tăng, ω giảm, các giá trị Ai, Bi sít vào nhau cho đến khi T→

∞ chúng tạo thành hàm liên tục Trong những trường hợp vậy có thể thay chuỗi Fourier như chúng ta vẫn quen dùng thành tích phân Fourier

Ví dụ: trong phạm vi từ –T đến T hàm w(t) được miêu tả dưới dạng:w(t) = 0 với -T ≤ t ≤ 0

1)(

1)(

1)(

+

=

dt t n T T dt t n t T dt t n t w T

dt t n t w T dt t n t w T dt t n t w T A

T

T

T T

T

T T

T T n

2

/

2 /

0 0

2

cos2

12

cos

12

cos)(1

2cos)(

12

cos)(

12

cos)(1

ππ

π

ππ

ππ

n n

T

A n

T T

n

n m

dt t n T

dt t n t

12sin

12

sin

12

sin

1

2 2

2 /

0

2 /

t

T

t T

t T

t T

t T

t

w

ππ

π

ππ

ππ

ππ

ππ

ππ

π

3sin18

323

cos9

1

2sin4

12cos2

1sin

2

2cos

116

3)

(

2 2

2 2

trong đó:

tdt t

w b

tdt t

w a

ωπ

ωπ

1

Công thức (1.54) có tên gọi tích phân Fourier Đây là hàm không chu kỳ chứa vô cùng nhiều

hàm thành viên mang tính chu kỳ Nếu bây giờ chúng ta xét hàm trên đây ở dạng hàm rời rạc của ω trong trường tần suất, tích phân Fourier được coi như tổng của vô vàn chuỗi không liên tục của tần suất

Thường gặp trong công việc phân tích hàm ngẫu nhiên, hàm w(t) và các đại lượng liên quan được viết dưới dạng số phức Từ định nghĩa các hàm phức thường gặp, rất quen với người đọc:

ezi = cos z + i sin z

e-iz = cos z – i.sin z

và

2sin

;2cos

zi zi zi

zi e e

z e

e z

;2cos

nzi nzi nzi

nzi e e

nz e

e nz

t in t in n

t in t in n

e e B e

e A

ω ω

n n n n n n

iB A C iB A

0 1

int int

0

1

int int int

int 0

22

2

22

2)(

n

n n

n

n n n

n

e C e C C

e iB A e iB A A

e e iB e

e A

A x f

Dưới dạng tích phân các hằng số Cn và C-n sẽ là:

dt e t f C

dt e t f

1

(1.59) Nếu thay f(t) bằng hàm w(t) chu kỳ T, chuỗi của w(t) có dạng:

exp)

còn hệ số Cn tính theo công thức:

dt T

t in t

w T

T

n = ∫− ⎢⎣⎡−2 π ⎥⎦⎤

exp)(2

1

(1.61)

Trong lĩnh vực xử lý tín hiệu biểu thức exp[ 2inπt/T ] có tên gọi harmonic còn bản thân αn =

2nπ/T gọi là số sóng (wave number)

Nếu tiến hành thay thế các biểu thức tính An, Bn vào công thức xác định w(τ), theo đó:

)

(

n

n n

T

n B

T

n A

A

dt T

t n t

w T B dt T

t n t

w T

A

T T n T

2 /

2 /

2sin)(

2

;

2cos)(

2 /

2 /

2 /

)(2cos)(

2)(

1)

(

n

T T

T T

dt T

t n t

w T

d w T

(1.64) Nếu sử dụng ký hiệu: ωn = 2nπ/ T và Δωn = 2π/ T, công thức cuối có thể viết:

=

1

2 /

2 /

2 /

2 /

)(cos)(

2)(

1)

T

dt t t

w d

w T

πττ

Khi T → ∞ phương trình cuối trở thành:

ωτ

ωπ

1)

Phương trình cuối nếu viết dưới dạng số phức sẽ có dạng:

ωτ

ωπ

)(2

1)

Hàm phức trên đây được gọi là tích phân Fourier trong dạng số phức Tiếp tục khai triển có thể viết tích phân Fourier theo cách thường dùng sau

ωωτω

πω

ωωτω

τ

d i w

S

d i S

w

)exp(

)(2

1)

(

;)exp(

)()

(

(1.69)

Cặp tích phân trên đây còn được viết dưới nhiều dạng khác nhau, một trong các cách viết đó là:

1)

(

;)exp(

)(2

1)

(

*

*

ωωω

π

ωπ

ω

d t i S

t

w

dt t i t

w S

Giá trị trung bình của w(t) tính theo cách đã trình bày trên:

∫+

−

= /2

2 /

)(

1 T

T

dt t w T

2 /

2

)]

([

1 T T

dt t w

n

n n

1

(1.74) trong đó |Cn|2 =|C-n|2 = ¼(An2 + Bn2), n =0,1,2,… (1.75)

Với các quá trình có tính chu kỳ, giả sử chu kỳ T, giá trị trung bình của w(t).w(t+ τ ), với τ bất

kỳ được gọi là hàm tự liên quan, phụ thuộc vào τ = t’ – t, trong đó t‘ thời điểm bất kỳ, bằng t hoặc khác

;)()(

1)(

T T

dt t w t w T

exp(

)(

1)

(

T T

n n

n in t dt C

t w T

2 /

n n

n w t in t dt

T t

in C

Hàm R(τ) cung cấp thông tin về giá trị tín hiệu tại thời điểm t + τ, khi đã rõ giá trị hàm tại t Có thể để ý rằng với τ = 0 giá trị hàm R(0) = σ2 Khi τ tăng hàm R(.) giảm

Ví dụ: Tính hàm tự liên quan của w(t) = asinωt, với T biến thiên từ 0 đến ∞

=+

=+

T T

T T

dt t t

t t t a

T

dt t

a t a T dt

t w t w T R

0

2 2

0 0

sin.cos]cos[sinsin

1

lim

)]

(sin[

.sin

1lim)

()(

1lim)

(

ωω

ωωω

τωω

ττ

t t

T T

t a

ωω

ω

ωω

2

2sin11cos2

2cos2

1sinlim 2

Kết quả cuối là:

ωτ

2)

=

n

s t x n T t n T

trong đó ΔT – khoảng cách rất nhỏ giữa hai thời điểm

Thay công thức cuối vào công thức tính phổ có thể viết:

S T

T

n

T s( )exp( 2 ))

2 /

n n

t in

n n

e S e

dt t w T S C

R

T

T n

n n

n 1 ( ))

0

(

2 /

2 /

2 2

2 /

1 )exp(

)(

1 T

T

d t in R

2)

(

cos)()

(

τωττ

πω

ωωτω

τ

d R

S

d S

R

Những dạng thức thường gặp của các quá trình trong tự nhiên được giới thiệu tại hình Ba trạng thái đặc trưng của hàm tự liên quan và của phổ gồm phổ của quá trình điều hòa, ví dụ input ghi nhận dưới dạng sóng hình sinus, hình phía trên, phổ băng hẹp, hình giữa, và phổ băng rộng, hình dưới

Xác định phổ theo cách làm này tiến hành theo các bước:

Xác định hàm R(τ) cho trường hợp t thay đổi từ 0 đến T Tiến hành chia đoạn 0 – T thành n khoảng thời gian bằng nhau Δt = T/ n, tham số τ trở thành τ = kΔt với k = 0, 1,2, …,

m

ik R

R

t

k k

i) 2 cos cos

1

ωi = iΔω = iπ/Δt.m (1.91)

Trong kỹ thuật chúng ta còn sử dụng đại lượng tiêu chuẩn hóa của hàm R(.), gọi là hàm quan

hệ tiêu chuẩn, ký hiệu như sau:

r(τ = t’ - t) =

)'()(

)'(

t t

t t R

σσ

τ = −

(1.92) trường hợp t = t’, có nghĩa τ = 0, hàm r(t’-t) tính bằng:

1)(

)()

(

)0()

t

t V t

R r

σσ

Phương sai được tính cho trường hợp các giá trị N(t) đã chuyển về trục tọa độ mới, qua m vừa tính

1045,0100

])([

σ

Hàm liên quan tính cho các trường hợp τ = 2, 4, 6, … Kết quả tính được vẽ thành đồ thị dạng R

= f(τ ) Dùng phương pháp hàm hóa chuyển R(τ) về dạng hàm liên tục R’ = exp( -a⎢τ⎢)

Kết quả hàm hóa được trình bày tại bảng 1.7

Hệ số a được xác định trong trường hợp này a = 0,257

Hàm R(τ) của quá trình ngẫu nhiên N(t) được xác lập dưới dạng:

R(τ) = C.exp{ -a|τ| ] với a > 0, với C = const

Qua phép biến Fourier dạng số phức xác định hàm phổ S(ω)

( 2 2)

.1

12

22

)(

ωπ

ωω

π

ττ

π

τπ

a i a C

d e e d e e

C d e e

C

Với C = 1 và a = 0,257 phổ của quá trình N(t) có dạng:

)257

,0(

257,0)

ωπ

S(2 )exp(2 ) ( )exp(2 )

Hàm G(f) cũng gọi là phổ, xác định theo tích phân:

Phương pháp phân tích phổ Fourier

Từ các cơng thức nêu tại phần phân tích phổ cĩ thể thấy rằng quá trình vật lý trong tự nhiên cĩ thể miêu tả dưới dạng hàm thời gian, liên tục hoặc khơng liên tục (rời rạc), song cũng cĩ thể thể hiện dưới dạng hàm trong trường tần suất Trong rất nhiều trường hợp cần thiết phải xây dựng hàm thời gian nếu cĩ đủ cơ sở dữ liệu từ đo đạc hoặc từ thực nghiệm, từ hàm thời gian tiến hành xác định hàm theo tần suất Ngược lại khi đã xác định hàm liên quan tần suất, bằng phép tính ngược lại cĩ thể tái lập hàm thời gian Quan hệ qua lại giữa hai họ hàm trong hai trường khác nhau này như đã trình bày, được thể hiện trong phép biến chuyển Fourier, viết dưới dạng tổng quát

)/2exp(

)2exp(

)2exp(

)()

t jf h

dt t jf t

h f

k k k

n N

k k n

1

0

k n N

k k

1 1

0

N jkn H

N

k n

k = ∑− − π

=

(1.102)

1 Xem các tài liệu chuyên đề Brigham,E Oran “The Fast Fourier Transform”, Englewood Cliffs, Prentice Hall, 1974;

#define SWAP(a,b) tempr*(a);(a)=(b);(b)=tempr

void fourier(data, nn, isign)

float data[];

int nn, isign;

{

int n, mmax, m, j, istep,i;

double wtemp, wr, wpr, wpi, wi, theta;

float tempr, temp1;

tempr = wr*data[j] - wi*data[j+1];

temp1 = wr* data[j+1] + wi*data[j+1];

data[j] = data[i] -tempr;

data[j+1] = data[i+1] - temp1;

2 2

1

m m

m

−

=

Chiều rộng phổ ε miêu tả độ phân giải tần suất của quá trình đang xét Với quá trình có tính chu

kỳ chiều rộng phổ ε = 0, còn trường hợp “tiếng ồn trắng – white noise” ε = 1 Chiều rộng phổ sóng biển nằm trong giới hạn 0,2 < ε < 0,35

Các đại lượng liên quan chu kỳ, tần suất, chiều dài sóng được tính theo giá trị của momen mk Chu kỳ sóng tại mức 0:

π

Công thức xác định phổ được trình bày tại phần trên là cơ sở để thành lập phổ sóng biển Dữ liệu đo đạc thực tế từ các vùng của đại dương là tài liệu chính để tính các đại lượng của sóng biển như quá trình ngẫu nhiên Tuy nhiên công thức phổ ghi dưới dạng tích phân của tần suất chỉ hợp cho trường hợp đã có đủ dữ liệu đo tại một vùng xác định Trong công thức người dùng bị bắt buộc đưa hàm R(τ) vào tính toán mà hàm này không ở tư thế thuận lợi cho công việc tính nhanh chóng Trong hoàn cảnh như thế, các nhà hải dương học cố tìm các cách hàm hóa và chuẩn hóa phổ sóng biển, dựa vào kết quả quan trắc và sử dụng các kết quả tính toán sau khi xử lý các dữ liệu

Trong các phổ do các nhà hải dương đề nghị có hai nhóm phổ, tùy thuộc thành phần các tham số tham gia vào phổ Nhóm đầu trong phổ sóng biển bao gồm vận tốc sóng, chiều dài vùng sóng vv…, còn trong nhóm kia tham sốâ gồm chiều cao sóng, chu kỳ vv… Các phổ nhóm sau được dùng trong hầu hết các ngành kỹ thuật ứng dụng

Phổ sóng biển được hàm hóa về dạng chung:

Trong công thức k, n số số nguyên, đến nay người ta đang sử dụng k ≥ 5 và n ≥ 2 Các thông

số A, B phụ thuộc vào hòan cảnh cụ thể vùng biển và kết quả đo đạc thực tế

Với phổ dạng này công thức tính momen bậc s trở thành:

e B

A n

m s k n t k s n n

s

/ 1 (

0

/ 1 (

+

−

n

s k B

A n

n k

1 ( 1/

(1.115) Tính cụ thể cho trường hợp momen bậc s = 0, 2, 4 công thức tính ms có dạng:

−

n

k B

A n

n

k 1

−

n

k B

A n

n

k 3

−

n

k B

A n

n

k 5

k

m n k

n k

m n

A

/ 3 (

0

/ 1 (

2

13

2 /

Hàm gamma có thể chương trình hóa Một trong những giải pháp xác định hàm gamma bằng phương pháp số, viết bằng ngôn ngữ C có dạng dưới đây Thay vì xác định Γ(x), hàm gammln() tìm cách tính logarit của nó ln[ Γ(x) ]

Hai phương pháp xem xét sóng nước đang dùng thuộc hai lĩnh vực toán khác nhau song đều mang

lại hiệu quả Phương pháp tất định xem xét sóng trong không gian và thời gian xác định bằng các phép

tính giải tích hoặc phương pháp số Phương pháp dựa vào các cơ sở lý thuyết sóng biên độ thấp cổ điển hoặc sóng biên độ hữu hạn (sóng phi tuyến) để diển tả có tính định hình sóng có mặt trên các biển, đại

dương Phương pháp xác suất tìm hiểu qui luật phát triển sóng, truyền sóng vác tác động của sóng lên

công trình bằng phép tính xác suất - thống kê, từ dữ liệu thu thập trong thời gian đủ dài Với phép phân tích phổ chúng ta có thể xác định đặc trưng hình học, cơ học của sóng tại vùng quan tâm

Sóng biên độ thấp

Sóng nước biên độ thấp được tạo ra trong môi trường chịu ảnh hưởng trực tiếp của lực hút trái đất, được xét trong phạm vi lý thuyết sóng tuyến tính Lý thuyết sóng trọng trường được G.B.Airy phát triển từ giữa thế kỷ XIX Những giả thuyết của sóng Airy được tóm tắt như sau:

1 Nước có tỷ trọng phân bố đều, chiều sâu vùng nước không đổi,

2 Ảnh hưởng độ nhớt và lực căng mặt thoáng không đáng kể,

3 Biên độ sóng nhỏ,

4 Chuyển động của sóng được coi là không xoáy

Với sóng hai chiều (sóng phẳng), phải thỏa mãn điều kiện liên tục dạng phương trình Lapce:

)(2

t C p y y

Trong công thức này, p – áp lực, ρ - mật độ nước tính bằng công thức ρ = γ/g với γ - trọng lượng

riêng của nước, t – thời gian và g – gia ốc trường trái đất

Đưa hằng số C(t) và áp lực p thay bằng áp lực khí quyển tại đo mặt thoáng vào hàm φ, đồng thời để

ý rằng đại lượng này không phụ thuộc vào (x,y), có thể viết tích phân trên dưới dạng phương trình Bernoulli:

1

y x

t gy

2

1

y x

t g

D g

d u dt

d Dt

2

∂

∂+

Trong phạm vi lý thuyết tuyến tính, hàm φ được hiểu như hàm điều hòa, có thể viết dưới dạng:

) (

)(coshk y d i kx t

k

trong đó C là hằng số được xác định tiếp

Mặt đẳng áp của sóng xác định theo các điều kiện đã nêu, tại mặt y = 0 độ dâng mặt sóng tính theo công thức:

φ

hay là:

(exp[

.coshkd i i kx t gk

cosh

)(cosh

t kx i kd

d y k

t kx kd

d y k

),0,(1

t kx a t

t x

m

x= π +ω

(2.18) Công thức (2.18) nói lên rằng đỉnh sóng (hoặc đáy sóng) di chuyển theo hướng trục Ox với vận tốc đều:

k

c=ω

(2.19) Chiều dài sóng đo từ vị trí đỉnh (hoặc đáy) đến vị trí đỉnh (hoặc đáy) gần nhất, tính bằng phép trừ đơn giản:

Hai quan hệ (2.19) và (2.20) cho phép viết:

λ

ππ

g kd k

g

2tanh =

Công thức này cho phép nhận ra một điều rằng c khi áp dụng tại vùng nước cạn không phụ thuộc

vào chiều dài sóng, chỉ phụ thuộc vào chiều sâu vùng nước

Góc dốc của sóng tính bằng phép đạo hàm η theo x mang giá trị:

)sin(kx t ak

Tổng năng lượng của sóng trong trường lực hút trái đất tính theo công thức:

dxdydz gy

z y

2

2

Trong phạm vi một lần chiều dài sóng, nằm trong giải hẹp đơn vị chiều dầy theo z, công thức trên

đây được khai triển cụ thể:

+

+

−+

ρω

ωρ

0 0

2 2

2 2

0

0 2

2 2 2

)(

cos)(sinh

2

1

)(

sin)(cosh2

1sinh

ydxdy g

dxdy t kx d

y k

t kx d

y k kd

c k a

E

H

w

Trong công thức (2.26), thế năng tính theo biểu thức sau cùng bên vế phải, thực hiện trên mặt nước

ở trạng thái tĩnh, phẳng Tiến hành tích phân theo chiều sâu vùng nước và thay vào công thức tính năng lượng, biểu thức Ew trở thành:

dx g

dx t kx d

k

kd kd

c k a

E w

2

0

0 2

2 2 2

2

1)

(2

ηρω

ρ

λ λ

2

2 2 2

2

14

18

2sinh

kd kd

c k a

Trong công thức này có thể nhận thấy, tổng năng lượng bằng hai lần thế năng, hay nói cách khác thế năng của sóng bằng động năng

Sóng điều hoà

Sóng điều hòa được hiểu là sóng biên độ nhỏ, cụ thể là độ dâng mặt sóng nhỏ hơn nhiều lần so với

chiều dài sóng Sóng điều hòa biên độ nhỏ dựa vào các giả thiết Airy như đã nêu trong phần lý thuyết

sóng Có thể viết lại các công thức xác định đặc trưng sóng tiến dưới dạng thông dụng sau đây, phụ vụ công việc tính toán

Phương trình sóng điều hòa hay sóng hình sinus:

(kx t)

a

z= cos −ω

trong đó a - biên độ sóng

Hinh 2.1 Sóng điều hòa

Các đại lượng đặc trưng của sóng điều hòa

Chiều dài sóng, L hoặc λ, là chiều dài giữa hai đỉnh sóng hoặc giữa hai đáy sóng kề nhau

Chiều cao sóng, ký hiệu H w, h w , là chiều cao giữa đỉnh và đáy sóng, bằng hai lần biên độ sóng A

Tốc độ sóng c là tốc độ di chuyển của đỉnh sóng, c = λ/ T hay là λ

π

λ25,1

)sin(

cosh

)cosh(

)cos(

cosh

d y t

kx kd

gk z

dt

dz

d y t

kx kd

gk x

ςφ

ωω

ςφ

Nếu thay các biến x và y thuộc vế phải phương trình trên bằng các giá trị tương ứng của phần tử

nước ở trạng thái cân bằng, ví dụ x 0 , y 0 sau tích phân sẽ nhận được:

0 0

0 2

0 0

0 2

)sinh(

)cos(

cosh

)cosh(

)sin(

cosh

y d z t

kx kd

Agk

y

x d y t

kx kd

Agk

x

++

−

=

++

−

−

=

ωω

ω

Có thể xác định rằng với y = 0, quan hệ giữa ω và k có dạng ω2 = g.k.tanh(kd) Theo đó có thể

viết:

kd hd

gk

sinh

1cosh

Phương trình miêu tả quĩ đạo chuyển động các phần tử nước:

1sinh

)(

sinhsinh

)(

cosh

2

0 0 2

y y kd

d y k

A

x x

Phần tử nước chuyển động theo chiều quay kim đồng hồ, thời gian quay mỗi vòng đúng bằng chu

kỳ sóng Tại đỉnh sóng chiều chuyển động phần tử nước tại đỉnh sóng trùng với chiều di chuyển sóng, ngược lại tại đáy sóng chúng quay theo hướng ngược lại Theo kết quả này, quĩ đạo chuyển động phần tử nước khép kín Hình H 2.2 giới thiệu quĩ đạo phần tử nước trong chuyển động sóng

Trường hợp trên nước sâu d → ∞ có thể viết:

ky e t kx

Ag

)sin( ωω

Vận tốc thành phần của chuyển động các phần tử nước được xác định theo:

)cos(

A y

t kx e

A x

ky y

ky x

ωω

φ

ωω

động theo quĩ đạo hình tròn Còn ở vùng nước cạn d << λ, ngay gần mặt thoáng các phần tử nước chuyển động không theo quĩ đạo hình tròn mà là hình ellip như đã tả trên, hình 2.2