Tích phân đường theo tọa độ

Bài toán dẫn đến khái niệm tích phân đường loại 2: Công của 1 lực biến đổi.. Trong Vật lý phổ thông, ta đã biết công A của 1 lực tác dụng lên 1 chất điểm M chuyển động trên đoạn đường th

Tích phân đường theo tọa độ (Tp đường loại 2)

Để lại phản hồi Go to comments

I Bài toán dẫn đến khái niệm tích phân đường loại 2: Công của 1 lực biến đổi.

Trong Vật lý phổ thông, ta đã biết công A của 1 lực tác dụng lên 1 chất điểm M chuyển động trên đoạn đường thẳng từ B đến C được tính bởi công thức:

Bây giờ, bài toán đặt ra là cần tính công A của một lực tác dụng lên 1 chất

phần theo phương ngang (hình chiếu xuống trục Ox) là P(x,y) và thành phần theo phương đứng (hình chiếu xuống trục Oy) là Q(x,y) (chúng là những hàm

số liên tục trên cung BC) Ta có:

(1.2)

Chia cung BC 1 cách tùy ý thành n cung nhỏ bởi các điểm

điểm tùy ý trên cung thứ i Do đó, công của lực F tạo nên khi chất điểm M

(1.3)

tạo nên khi chất điểm chuyển động dọc theo cung phẳng từ B đến C được tính gần đúng bằng:

(1.4)

biệt giữa An và A càng bé Do đó, hiển nhiên công A do lực tạo ra được

Hay: (1.5)

II Tích phân đường loại 2:

1 Định nghĩa tích phân đường loại 2:

Từ biểu thức (1.5) nếu tổng An tiến đến 1 giới hạn xác định, không phụ thuộc

giới hạn đó được gọi là tích phân đường loại 2 (tích phân theo tọa độ) của hai hàm số P(x,y) và Q(x,y) dọc theo cung BC và được ký hiệu là:

2 Khái niệm cung trơn:

và không đồng thời bằng 0

Cung AB được gọi là trơn từng khúc nếu ta có thể chia thành hữu hạn các

cung trơn

3 Định lý tồn tại:

từng khúc thì tồn tại tích phân đường loại 2 của P(x,y) và Q(x,y) dọc theo cung AB

(ta công nhận kết quả này)

4 Tính chất:

1 Từ định nghĩa dễ thấy rằng: nếu ta đổi chiều trên cung từ C đến B thì các

đó:

P, Q cũng khả tích trên 2 cung đó và khi ấy ta có:

3 Tích phân đường có các tính chất như tích phân xác định

Chú ý:

Hướng dương trên miền đa liên

ta có 2 hướng đi dọc theo cung đường cong kín trên Khi đó, L là biên giới hạn của miền kín D, ta quy ước chọn chiều dương trên L là chiều sao cho 1 người đi dọc trên biên sẽ thấy miền giới hạn D nằm về phía tay trái Hướng ngược lại là hướng âm

Trong trường hợp miền D là miền đơn liên, thì chiều dương chính là chiều ngược chiều kim đồng hồ

Khi đó, ta thường ký hiệu tích phân đường dọc theo đường cong kín L theo chiều dương là:

- Trong vật lý, thường ta hay gọi tích phân đường loại 2 là tích phân

và

5 Cách tính (tính trực tiếp):

định (tích phân 1 biến)

các trường hợp sau:

Khi đó, ta có công thức sau:

Khi đó, ta có công thức sau:

Khi đó, ta có công thức sau:

Nhận xét: Từ 3 trường hợp trên, nếu cung AB không có cùng 1 phương trình

đường cong khi đi từ A đến B thì ta phải chia nhỏ cung AB thành các cung sao cho trên mỗi cung có cùng 1 pt đường cong

11 Lượt bình chọn

Trang: 1 2

Phản hồi (5) Trackbacks (0) Để lại phản hồi Trackback

1.

AnHa

01.08.2009 lúc 16:52 | #1

Trả lời | Trích dẫn

Nhờ Thầy hướng dẫn giúp em bài này:

với L: đi từ A (1;0) đ