Phương trình Schrödinger phi tuyến rời rạc

Bài viết trình bày một trong những cách đơn giản nhất để dẫn ra phương trình Schrödinger phi tuyến rời rạc – phương trình mô tả gần đúng nhiều quá trình vật lý diễn ra trong tự nhiên. Bên cạnh đó, hai trường hợp giới hạn quan trọng của phương trình, nó liên quan trực tiếp đến các hệ vật lý cũng được cho thấy.

PHƯƠNG TRÌNH SCHRÖDINGER PHI TUYẾN RỜI RẠC

TS Nguyễn Bá Phi

Khoa Khoa học cơ bản, Trường Đại học xây dựng Miền Trung

Tóm tắt: Bài viết trình bày một trong những cách đơn giản nhất để d n ra phương

trình Schrödinger phi tuyến rời rạc – phương trình mô tả gần đúng nhiều quá trình

vật lý diễn ra trong tự nhiên Bên cạnh đó, hai trường hợp giới hạn quan trọng của

phương trình, nó liên quan trực tiếp đến các hệ vật lý cũng được cho thấy

Từ khóa: Phương trình phi tuyến tính Schrödinger, hiện tượng định sứ Anderson,

phi tuyến quang học, sự tự bẫy

1 Đặt vấn đề

Sự mất trật tự và tính chất phi tuyến là hai đặc trưng quan trọng, xuất hiện hầu hết trong các loại vật liệu cũng như trong các hệ vật lý Trong những năm gần đây, việc nghiên cứu sự lan truyền của sóng trong môi trường mất trật tự phi tuyến đã trở thành một trong mảng nghiên cứu rất được các nhà khoa học quan tâm, cả về phương diện lý thuyết lẫn thực nghiệm Tuy nhiên, cho đến nay, sự hiểu biết của chúng ta về chủ đề mang tính thách thức này vẫn còn mang tính chấp vá, chưa thật sự đầy đủ

Để giải quyết những bài toán liên quan đến ảnh hưởng đồng thời của tính mất trật

tự và tính phi tuyến lên quá trình lan truyền của sóng trong một môi trường nào đó, phương trình Schrödinger phi tuyến rời rạc – là một trong những phương trình mô hình động học mạng phi tuyến cơ bản nhất, được cho thấy là một công cụ rất hữu ích Phương trình này thu hút nhiều sự chú ý của các nhà nghiên cứu do tính ứng dụng rỗng rãi của nó trong nhiều lĩnh vực khác nhau Ví dụ, nó là phương trình mô hình đường bao tán sắc thích hợp đối với việc mô tả điện trường trong các ống dẫn sóng [1, 2], sự tự hội

tụ (self-focusing) và suy yếu của sóng Langmuir trong vật lý plasma [3], hay đối với việc mô tả sóng nước trong các đại dương [4]

Về mặt lịch sử, việc nghiên cứu phương trình Schrödinger phi tuyến rời rạc đã có

từ những năm 50 của thế kỷ trước với mô hình Holstein đối với việc hình thành polaron (một giả hạt – liên quan đến tương tác giữa điện tử và nguyên tử trong chất rắn) trong các tinh thể phân tử [5, 6] Những ví dụ quan trọng khác phải kể đến là mô hình Davydov đối với sự vận chuyển năng lượng dọc theo các phân tử protein [7] và mô hình các ống dẫn sóng phi tuyến liên kết [8-10] Bên cạnh đó, phương trình Schrödinger phi tuyến rời rạc còn đóng vai trò trung tâm trong việc phát triển lý thuyết tổng quát đối với các kiểu định xứ có bản chất nội tại được gọi là các “discrete breather”, xảy ra trong các

hệ dao động phi điều hòa liên kết [11] Gần đây, sự quan tâm dành cho phương trình Schrödinger phi tuyến rời rạc được đẩy lên cao hơn nữa do việc quan sát được bằng thực nghiệm hiện tượng định xứ Anderson của ánh sáng trong các mạng quang tử mất trật tự [12-14], nơi mà phương trình Schrödinger phi tuyến rời rạc mô tả sự lan truyền của ánh sáng trong gần đúng gần trục quang học; của các nguyên tử lạnh trong các

mạng quang học mất trật tự [15, 16], nơi mà phương trình Schrödinger phi tuyến rời rạc được xem là một mô tả gần đúng trường trung bình

Với tầm quan trọng như vậy, tuy nhiên, những tài liệu bằng tiếng Việt liên quan đến phương trình Schrödinger phi tuyến rời rạc cũng như ứng dụng của phương trình này trong việc giải quyết một số bài toán vật lý hầu như chưa có theo sự hiểu biết của tác giả bài viết Nhằm mục đích giúp cho các bạn đọc quan tâm nói chung cũng như các nhà vật lý Việt Nam nói riêng có một tài liệu tiếng Việt liên quan đến vấn đề này để tham khảo, tác giả đã mạnh dạn viết bài viết này

Bố cục của bài viết như sau Trong mục 1, tác giả đã nêu lên tầm quan trọng của phương trình Schrödinger phi tuyến rời rạc cũng như sự cần thiết của bài viết Nội dung chính của bài viết là cách dẫn ra phương trình Schrödinger phi tuyến rời rạc, được trình bày trong mục 2 Tiếp theo, hai trường hợp giới hạn quan trọng và một vài ứng dụng phương trình này trong việc giải quyết các vấn đề vật lý đã được thực hiện bởi chính tác giả của bài viết, được đưa ra trong mục 3 Cuối cùng, một vài kết luận đối với bài viết được tóm tắt trong mục 4

2 Cách d n ra phương trình Schrödinger phi tuyến rời rạc

Việc dẫn ra phương trình Schrödinger phi tuyến rời rạc có thể dựa trên một số cách khác nhau Trong bài viết này, tác giả sẽ theo sát một cách làm có thể nói là đơn giản nhất (theo quan điểm của tác giả), nó được đưa ra bởi Alfimov [17] với điểm xuất

phát là phương trình Schrödinger phi tuyến liên tục có dạng tổng quát:

2

2 2

( ) ( , ) ( , ) ( , )

(1) Trong đó ( , ) x t là hàm sóng của hệ lượng tử; ( )V x là một hàm thế tuần hoàn với chu kỳ L , nghĩa là, ( V xL)V x( ) Phương này được cho thấy là rất thích hợp đối với việc mô tả quá trình tiến triển của chất cô đặc Bose-Einstein bị giam cầm trong sự có mặt của thế quang học Trong phạm vi này, dấu của  xác định bản chất tương tác giữa các nguyên tử Cụ thể, nếu tương tác là hút thì   1và tương ứng với cái gọi là tính phi tuyến hội tụ (focusing nonlinearity), ngược lại nếu tương tác là đẩy thì   1 và tương ứng với cái gọi là tính phi tuyến phân kỳ (defocusing nonlinearity) Những thuật ngữ này cũng được sử dụng trong lĩnh vực quang học và các lĩnh vực khác Để đơn giản, chúng ta giới hạn việc dẫn ra phương trình Schrödinger phi tuyến rời rạc chỉ đối với trường hợp một chiều Tuy nhiên, những khái niệm tương tự trong bài viết này cũng

có thể được tổng quát hóa đối với phương trình Schrödinger phi tuyến rời rạc có số chiều lớn hơn một

Trước hết, chúng ta đi khảo sát bài toán trị riêng tuyến tính tương ứng, nghĩa là số hạng cuối cùng bên vế phải của phương trình (1) được bỏ qua Khi đó, phương trình Schrödinger không phụ thuộc thời gian tương ứng có dạng:

2 ,

2

( )

dx





Trong phương trình (2), k, là các hàm Bloch, tức là thõa mãn k,(x) = e ikx u k, (x), trong đó u k, (x) là một hàm tuần hoàn với chu kỳ L và  là chỉ số ký hiệu các vùng năng lượng tương ứng E(k) Vì các vùng năng lượng này là những hàm tuần hoàn

E k   L E k [18] nên chúng có thể được biểu diễn dưới dạng chuỗi Fourier:

*

n

E k  e       (3) trong đó dấu “*” chỉ việc lấy liên hợp phức đối với số hạng chứa nó Các hệ số Fourier

,

ˆn

 trong phương trình (3) được xác định bỡi:

/L

,

/L

2

iknL n

L

E k e dk







Mặc dù các hàm Bloch vẫn tạo nên một hệ cơ sở trực giao nhưng để thuận lợi hơn đối với việc tính toán giải tích, Alfimov đã sử dụng hệ cơ sở tạo bởi các hàm Wannier thay vì sử dụng hệ cơ sở được tạo thành từ các hàm Bloch Chúng ta nhớ lại rằng, hàm

Wannier với tâm đặt tại vị trí nL ( n là số nguyên) và tương ứng với vùng năng lượng

 nào đó được định nghĩa:

/L

, /L

2

iknL k

L













Ngược lại, các hàm Bloch được cho bỡi:

2

iknL k

n

L









  (6) Tương tự như các hàm Bloch, các hàm Wannier cũng tạo nên một tập hợp các hàm trực giao và đầy đủ như sau:

*

*

,

n n n

w x w x dx



 



















Từ phương trình (4), nếu chúng ta chọn pha của các hàm Bloch một cách hợp lý

thì các hàm Wannier là thực và giảm theo hàm mũ khi n  [18] Nếu điều này được thực hiện, khi đó chúng ta có được: *

w  x w  x Cốt lõi của việc dẫn ra phương trình Schrödinger phi tuyến rời rạc nằm ở việc tách nghiệm của phương trình (1) trong

cơ sở các hàm Wannier

,

( , ) n ( ) n ( )

n

x t c  t w  x



Thay nghiệm (8) vào phương trình (1) và thực hiện các phép biến đổi đại số ta thu được phương trình

1 2 3

( )

dc t

dt



  

Trong đó: 1 2 3

nn n n





là các yếu tố ma trận xen phủ Chúng đối xứng theo tất cả các phép giao hoán đối với các nhóm chỉ số (, 1, 2, 3) và (n, n1, n2, n3) Phương trình (9) có thể được xem là dạng vectơ của phương trình Schrödinger phi tuyến rời rạc

Nếu các hệ số Fourier trong (4) giảm đủ nhanh khi n , nghĩa là |ˆ1, | |ˆn, |

với n1, khi đó các số hạng liên kết từ bậc hai trở đi trong phần tuyến tính của phương trình (9) có thể được bỏ qua Do vậy, mô hình động học chỉ kể đến một mình các tương tác lân cận gần nhất được đưa ra

Ngoài ra, vì các hàm Wannier với n, (x) là định xứ và có tâm đặt tại xnL nên chúng ta có thể giả thuyết rằng trong một số trường hợp nào đó, trong số tất cả các hệ số

1 2 3

1 2 3

nn n n

1 2 3

nn n n

W   với n n1 n2 n3 có ảnh hưởng trội hơn các hệ

số còn lại Do vậy, những hệ số 1 2 3

1 2 3

nn n n

Khi đó, phương trình (9) được viết lại:

1 2 3

, ,

( )

dc t

dt



  

Thêm vào đó, bằng cách giới hạn sự xem xét của chúng ta chỉ đối với một vùng năng lượng , phương trình (11) trở thành phương trình Schrödinger phi tuyến rời rạc liên kết chặt như sau:

2 ,

( )

dc t

dt



Một trong những điểm thuận lợi của cách dẫn ra phương trình Schrödinger phi tuyến rời rạc ở trên là nó cho thấy một cách trực tiếp làm thế nào để tổng quát hóa gần đúng một vùng cho các trường hợp phức tạp hơn Chẳng hạn, khi độ mạnh liên kết giữa các vùng năng lượng có thể so sánh được với độ mạnh liên kết trong cùng một vùng, khi

đó chúng ta cần phải cộng thêm một vài số hạng liên quan đến vùng năng lượng vào phương trình (12) Nếu các hệ số Fourier trong phương trình (4) giảm không đủ nhanh khi n  thì  ˆn,có giá trị đáng kể đối với n1 Khi đó, chúng ta phải kể thêm các

số hạng  ˆ2,,  ˆ3,, vào phương trình (12)

Tuy nhiên, vì một số lý do vật lý cụ thể, trong hầu hết các nghiên cứu từ trước cho đến nay, một dạng đơn giản hơn đối với phương trình (12) đã được sử dụng:

2

( )

n

dc t

trong đó n là năng lượng tại nút thứ n của mạng, J là tham số nhảy lân cận bậc nhất và

 là hệ số phi tuyến – đặc trưng cho độ mạnh của tính phi tuyến

3 Ứng dụng của phương trình Schrödinger phi tuyến rời rạc

Kích thích định xứ và kích thích lan truyền

Trong trường hợp năng lượng nút n có phân bố ngẫu nhiên trong một khoảng giá trị nào đó thì phương trình (13) thường được sử dụng để nghiên cứu ảnh hưởng của tính phi tuyến lên hiện tượng định xứ Anderson [19] đối với trường hợp kích thích định xứ

Về mặt thực nghiệm, điều này có thể được thực hiện trong nhiều hệ vật lý khác nhau, chẳng hạn như trong sợi quang học, mảng các ống dẫn sóng, tinh thể quang tử, chất cô đặc Bose-Einstein,… Mặc khác, nếu chúng ta tìm nghiệm dừng của phương trình (13) dưới dạng c n nexp(iEt), chúng ta sẽ rút ra được phương trình:

2

Phương trình này thường được sử dụng để nghiên cứu ảnh hưởng của tính phi tuyến lên hiện tượng định xứ Anderson nhưng trong trường hợp kích thích lan truyền Thật thứ vị để nhắc lại rằng nếu  = 0 thì phương trình (14) thu về phương trình mô hình Anderson một chiều chuẩn

Ảnh hưởng của tính phi tuyến

lên hiện tượng định xứ Anderson là

khác nhau một cách định lượng đối

với các kích thích hoặc là định xứ

hoặc là lan truyền Đối với trường hợp

trước, sự có mặt của tính phi tuyến

làm chậm quá trình bắt đầu định xứ

Ngược lại, đối với trường hợp sau,

tính phi tuyến tăng cường vai trò của

tính mất trật tự đối với hiện tượng

định xứ Anderson, nghĩa là độ giảm

theo hàm mũ của hệ số truyền qua

trong trường hợp này mạnh hơn trong

trường hợp định xứ Anderson thuần tý

(khi chưa kể đến tính phi tuyến), ít

nhất đối với những hệ có kích thước

không quá lớn [20-22]

Hiện tượng tự chặn

Phương trình (13) với n 0 đối với mọi n sẽ trở thành

2

( )

n

dc t

Phương trình này mô tả rất có hiệu quả ảnh hưởng của các dao động mạng lên động học của điện tử trong lĩnh vực vật lý chất rắn Trong phạm vi động học điện tử -

Hình 1 Hệ số truyền qua (được lấy trung bình theo các cấu

hình mất trật tự) là hàm của kích thước hệ được cho thấy đối với trường hợp kích thích lan truyền Kết quả số cho thấy rằng, hiện tượng định xứ Anderson được tăng cường trong sự có mặt của tính phi tuyến  [20]

dao động mạng, hiện tượng quan trọng

nhất gắn với phương trình (15) là hiện

tượng tự chặn – một bó sóng (hoặc một

hạt) ban đầu định xứ thì vẫn định xứ

trong một vùng hữu hạn quanh nút kích

thích ban đầu trong giới hạn thời gian dài

Hiện tượng này xảy ra khi độ mạnh của

tính phi tuyến vượt quá giá trị giới hạn

3.5

c

 [23, 24]

4 Kết luận

Bài viết đã trình bày một trong

những cách đơn giản nhất để dẫn ra

phương trình Schrödinger phi tuyến rời

rạc – phương trình mô tả gần đúng nhiều

quá trình vật lý diễn ra trong tự nhiên

cũng như trong các hệ vật lý do con

người tạo ra u điểm của cách dẫn ra

phương trình Schrödinger phi tuyến rời rạc trong bài viết này là khả năng tổng quát hóa cách làm này đối với những bài toán phức tạp hơn Bài viết cũng chứa đựng một vài kết quả được xem như là những ví dụ của việc sử dụng phương trình Schrödinger phi tuyến rời rạc trong việc nghiên cứu, giải quyết một số bài toán vật lý Điều này được thực hiện

bởi chính bản thân tác giả

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] R Morandotti, H S Eisenberg, Y Silberberg, M Sorel, and J S Aitchison 2001

Self-focusing and defocusing in waveguide arrays, Phys Rev Lett 86, 3296

[2] S Burger, F S Cataliotti, C Fort, P Maddaloni, F Minardi, and M Ingscio 2002

Quasi - 2D Bose - Einstein condensate in an optical lattice, Europhys Lett 57, 1

[3] V E Zakharov 1972 Collapse of Langmuir waves, Sov Phys JETP 35, 908

[4] M Onorato, A R Osborne, M Serio, and S Bertone 2001 Freak Waves in Random Oceanic Sea States, Phys Rev Lett, 86, 5831

[5] T Holstein 1959 Studies of polaron motion: Part I The molecular-crystal model,

Ann Phys 8, 325

[6] T Holstein 1959 Studies of polaron motion: Part II The “small” polaron, Ann

Phys 8, 343

[7] A Davydov 1977 Soliton and energy transfer along protein molecules, J Theor

Biol 66, 379

[8] D Hennig and G P Tsironis 1999 Wave transmission in nonlinear lattices, Phys

Rep 307, 333

Hình 2 Sự phụ thuộc của xác suất tìm thấy hạt (hoặc

bó sóng) R t o( ) tại vị trí kích thích ban đầu theo thời gian được cho thấy Giá trị giới hạn của tham số phi tuyến mà trên đó hiện tượng tự chặn xảy ra được xác định là c 3.5 [24]

[9] F Lederer, G I Stegeman, D N Christodoulides, G Assanto, M Segev, and Y

Silberberg 2008 Discrete soliton in optics, Phys Rep 463, 1

[10] D N Christodoulides, F Lederer, and Y Silberberg 2003 Discretizing light behavious in linear and nonlinear waveguide lattices, Nature 424, 817

[11] S Flach and C R Willis 1998 Discrete Breathers, Phys Rep 295, 181

[12] T Schwatz, G Bartal, S Fishman, and M Segev 2007 Transport and Anderson localization in disordered two-dimensional photonic lattices, Nature 446, 52

[13] Y Lahini, A Avidan, F Pozzi, M Sorel, R Morandotti, D N Christodoulides,

and Y Silberberg 2008 Anderson Localization and Nonlinearity in One-Dimensional Discreted Photonic Lattices, Phys Rev Lett 100, 013906

[14] Y Lahini, F Pozzi, M Sorel, R Morandotti, D N Christodoulides, and Y

Silberberg 2009 Direct Observation of a Localization Transition in Quasi-Periodic Photonic Lattices, Phys Rev Lett 103, 013901

[15] J Billy, V Josse, Z Zuo, A Bernard, B Hambrecht, P Lugan, D Clément, L

Sanchez-Palencia, P Bouyer, and A Aspect 2008 Direct observation of Anderson localization of matter-waves in a controlled disorder, Nature 453, 891

[16] G Roati, C D’Errio, L Fallani, M Fattori, C Fort, M Zaccanti, G Modugno, M

Modugno, and M Ingucio 2008 Anderson localization of a non-interacting Bose-Einstein condensate, Nature 453, 895

[17] G Alfimov, P G Kevrekidis, V V Konotop, and M Salerno 2002 Wannier function analysis of the nonlinear Schrodinger equation with a periodic potential, Phys

Rev E 66, 046608

[18] W Kohn 1959 Analytic Properties of Bloch Waves and Wannier Functions, Phys

Rev 115, 809

[19] P W Anderson 1958 Absence of Diffusion in Certain Random Lattices, Phys

Rev 109, 1492

[20] B P Nguyen, K Kim, F Rotermund, and H Lim 2011 Enhanced localization of waves in one-dimensional random media due to nonlinearity: Fixed input case, Physica

B 406, 4535

[21] B P Nguyen and K Kim 2011 Influence of weak nonlinearity on the 1D Anderson model with long-range correlated disorder, Eur Phys J B 84, 79

[22] B P Nguyen and K Kim 2012 Anomalously suppressed localization in the two-channel Anderson model, J Phys.: Condens Matter 24, 135303

[23] M Johannson, M Hornquist, and R Riklund 1995 Effects of nonlinearity on the time evolution of single-site localized states in periodic and aperiodic discrete systems,

Phys Rev B 52, 231

[24] B P Nguyen and K Kim 2013 Wave packet dynamics in one-dimensional nonlinear Schrödinger lattices: Local vs nonlocal nonlinear effects, J Kor Phys Soc

(accepted for publication)