Nghiên cứu một số bài toán biên cho phương trình nhiệt phi tuyến tt

Cấu trúc của luận án gồm phần giới thiệu, ba chương chính, kết luận,phần phụ lục, danh mục các công trình của tác giả và cuối cùng là phần tài liệu tham khảo.Các nội dung chính của luận

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Công trình được hoàn thành tại:

Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh

Người hướng dẫn khoa học

TS TRẦN MINH THUYẾT

Trường Đại học Kinh tế TP HCM

TS NGUYỄN THÀNH LONG

Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - ĐHQG TP HCM

Phản biện 1: PGS TS Nguyễn Bích Huy

Phản biện 2: PGS TS Nguyễn Hội Nghĩa

Phản biện độc lập 1: PGS TS Nguyễn Hội Nghĩa

Phản biện độc lập 2: TS Nguyễn Thành Nhân

Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng cấp cơ sở đào tạo họp tại

Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh

vào lúc 9 giờ ngày 16 tháng 12 năm 2017

Có thể tìm luận án trên tại các thư viện:

Thư viện Khoa học Tổng hợp Thành phố Hồ Chí Minh

Thư viện Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh

Mở đầu

Lý thuyết các bài toán biên cho phương trình đạo hàm riêng là một trong những lĩnh vựcquan trọng của toán học lý thuyết và áp dụng Các bài toán này xuất hiện rất nhiều trong khoahọc kỹ thuật, vật lý, hóa học, sinh học, , và đã được nghiên cứu rộng rãi bởi nhiều nhà toánhọc Quá trình tìm kiếm nghiệm cho các bài toán biên đã góp phần rất lớn vào sự phát triểncủa giải tích hàm phi tuyến về mặt lý thuyết, chẳng hạn như lý thuyết không gian Sobolev,

lý thuyết điểm bất động, lý thuyết nửa nhóm, , cũng như về mặt phương pháp nghiên cứunhư phương pháp xấp xỉ, phương pháp nghiệm trên-nghiệm dưới, v.v

Hiện nay, có rất nhiều phương pháp khác nhau để nghiên cứu các phương trình đạo hàmriêng, đặc biệt là phương trình nhiệt phi tuyến với các điều kiện biên khác nhau như phươngpháp biến phân, phương pháp đơn điệu, phương pháp nghiệm trên - nghiệm dưới, Tuynhiên, nói chung, chúng ta không có một phương pháp tổng quát cho phép nghiên cứu cáckhía cạnh khác nhau của các bài toán biên khác nhau vốn dĩ phong phú và đa dạng Vì vậykhi xét đến các bài toán cụ thể thì còn nhiều dạng bài toán vẫn là "bài toán mở" - cần tiếptục khảo sát Bằng cách lựa chọn các công cụ toán học thích hợp và mang tính đặc thù, chúng

ta cố gắng tìm kiếm các thông tin về nghiệm càng nhiều càng tốt Thông thường ta xem xéttính giải được của bài toán và các tính chất có thể có của nghiệm của bài toán như tính duynhất, tính trơn, tính ổn định, tính tuần hoàn, tính bị chặn, tính bùng nổ, tính tắt dần, dángđiệu tiệm cận của nghiệm, Chính vì thế, việc khảo sát các bài toán giá trị biên và ban đầucho phương trình nhiệt phi tuyến là cần thiết và có ý nghĩa thực tiễn

Luận án này trình bày những kết quả nghiên cứu cho ba bài toán biên cụ thể cho ba dạngphương trình nhiệt phi tuyến một chiều có hoặc không có số hạng đàn hồi nhớt liên kết vớiđiều kiện biên Robin Cấu trúc của luận án gồm phần giới thiệu, ba chương chính, kết luận,phần phụ lục, danh mục các công trình của tác giả và cuối cùng là phần tài liệu tham khảo.Các nội dung chính của luận án có thể tóm tắt như sau:

Nội dung thứ nhất, được trình bày ở Chương 1, liên quan đến bài toán cho phương trình

nhiệt phi tuyến

∂x[µ(x, t)ux] +f(u) = f1(x, t), (x, t) 2 (0, 1) (0, T), (1)liên kết với điều kiện biên Robin không thuần nhất

Anal Comput.4 (3) (2014)], Marras [Numer Funct Anal Optim 30 (1–2) (2009), Z Angew.

Math Phys.59 (2008)], Ozturk [Nonlinear Anal 108 (2014), Ukrainian Math J 68 (3) (2016)],

Levine [Arch Ration Mech Anal.51 (1973)], Zhang [Nonlinear Anal 69 (2008)], Alexandre

[Nonlinear Anal Appl Vol.1, 2 (2003) và Appl Math Comput 199 (2008)], Long [J Comput.

Appl Math.196 (2006)]).

Điều kiện (2) gọi là điều kiện Dirichlet-Robin (hay còn gọi là điều kiện Robin) Chúng kếtnối điều kiện Dirichlet và điều kiện Neumann Các điều kiện này xuất hiện từ các hiệu ứng điệngiải của hệ điện hóa nhiễu (xem Choi [Nonlinear Anal TMA 18 (4) (1992) 317- 331], Bard

[Electrochemical Methods, Wiley, New York 1980], Newman [Ind Engng Chem Fundam.60

(4) (1968) 2–27]) Trong điện hóa, các phản ứng oxi-hóa khử sinh ra dòng điện được mô hìnhbởi bài toán giá trị biên elliptic phi tuyến mà sự tuyến tính hóa của nó dẫn đến điều kiệnDirichlet – Robin (xem Bhat [J Compu Math 25 (6) (2007)])

Phương trình (1) được viết lại dưới dạng

trong đó Au= ∂

∂x[µ(x, t)ux], F(x, t, u) = f(u) +f1(x, t), liên kết với các điều kiện biênkhác với điều kiện biên Dirichlet mà theo sự hiểu biết của chúng tôi, thì bài toán tổng quát(4), (2) – (3) cho đến nay cũng chưa được nghiên cứu một cách đầy đủ Các kết quả thu đượckhông nhiều và chỉ giải quyết được trên một số dạng cụ thể bài toán của bài toán này, chẳnghạn như:

Trường hợp Au= ∆u, f(u) có dạng đa thức ajujp 2u hoặc tổng quát ở một mức độnào đó, bài toán (4), (2) – (3) đã được đề cập trong các công trình của nhiều tác giả,

ví dụ như Du [Siam J Math Anal.31 (1) (1999)], Duzgun [J Appl Anal Comput 4

(3) (2014)], Levine [Arch Ration Mech Anal.51 (1973)], Marras [Numer Funct Anal.

Optim 30 (1–2) (2009), Z Angew Math Phys 59 (2008)], Ozturk [Nonlinear Anal.

108 (2014), Ukrainian Math J 68 (3) (2016)], Payne [Appl Anal 91 (12) (2012), Appl.

Anal 87 (2008)], Sun [J Differential Equations, 248 (2010)], Xie [Nonlinear Anal 85

Comput Appl Math.196 (2006)].

Các tác giả nêu trên đã thu được các kết quả về sự tồn tại nghiệm cùng các vấn đề liênquan như tính ổn định, tính bị chặn hoặc không bị chặn, dáng điệu tiệm cận của nghiệmkhit! +∞,

Ở đây chúng tôi thu được các kết quả về sự tồn tại, duy nhất nghiệm và các tính chất củanghiệm như tính bị chặn của nghiệm, dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi t ! +∞ của bàitoán (1) – (3) Kết quả trên đây được công bố trong [Y1]

Nội dung thứ hai, được trình bày ở Chương 2, liên quan đến bài toán cho phương trình

nhiệt phi tuyến có chứa số hạng đàn hồi nhớt dạng

µ(0, t)ux(0, t) h0u(0, t) =g0(t), µ(1, t)ux(1, t) +h1u(1, t) = g1(t), (6)

và điều kiện đầu

trong đóh0, h1 0 là các hằng số, u0, µ, g, f , f1, g0, g1 là các hàm số cho trước

Trong điều kiện biên (6), do có sự xuất hiện các số hạng µ(0, t)và µ(1, t) của hàm µ xuất

hiện trong phương trình (5) nên chúng tôi gọi điều kiện này là điều kiện phụ thuộc với ý nghĩachỉ sự liên quan giữa điều kiện này với phương trình đang xét

Phương trình (5) xuất hiện một cách tự nhiên từ nhiều mô hình toán học trong khoa học

kỹ thuật và vật lí Chẳng hạn như trong nghiên cứu sự dẫn nhiệt trong vật liệu có độ đàn hồi,

từ phương trình cân bằng nhiệt, nhiệt độu(x, t)sẽ thỏa phương trình (5)

Các bài toán liên quan đến phương trình (5) đã thu hút rất nhiều sự chú ý trong vài thập

kỷ qua (xem Messaoudi [Abstr Appl Anal 2005 (2) (2005), Progr Nonlinear Differential

Equations Appl.64 (2005)], Messaoudi [Appl Math Lett 25 (2012)], Liu [Math Meth Appl.

Sci 37 (2014)]) Đã có nhiều kết quả về sự tồn tại, bùng nổ hoặc tắt dần của nghiệm Ví

dụ như trong Messaoudi [Progr Nonlinear Differential Equations Appl 64 (2005)], tác giả đãnghiên cứu phương trình

Trong Messaoudi [Abstr Appl Anal 2005 (2) (2005)], tác giả xét bài toán giá trị biên banđầu cho phương trình

Sci.37 (2014)] Trong Messaoudi [Appl Math Lett 25 (2012)], các tác giả đã xét hệ (10) với

a=0 và thiết lập kết quả tổng quát về sự tắt dần của năng lượng của nghiệm trong đó chứacác kết quả tắt dần mũ và đa thức như là các trường hợp riêng Trong Liu [Math Meth Appl.Sci 37 (2014)], các tác giả đã xét hệ (10) với a=1 và thu được kết quả tổng quát về sự tắtdần của năng lượng của nghiệm toàn cục và tính bùng nổ của nghiệm cho cả hai trường hợpnăng lượng ban đầu âm và dương

Mặt khác, phương trình (5) khi không có số hạng đàn hồi nhớt (tức g 0) có thể xem

là một trường hợp riêng của (1) Tuy nhiên, do nhưng tính chất đặc trưng của số hạng đànhồi nhớt

Z t

0 g(t s ∂

∂x[µ(x, s)ux(x, s)]ds nên nghiệm của phương trình (5) có những điểm khácbiệt so với (1), ta sẽ thấy điều này rõ hơn ở kết quả tồn tại cũng như tính chất của nghiệmcủa hai bài toán được trình bày chi tiết ở chương 1 và chương 2 khi so sánh với nhau.Tiếp nối các kết quả nêu trên, chúng tôi khảo sát bài toán (5)-(7) Mục đích của chúng tôi

là thiết lập sự tồn tại và duy nhất cũng như tính trơn của nghiệm Tiếp theo, tính bùng nổcủa nghiệm cũng thu được nhờ các giả thiết về điều kiện đầu và số hạng phi tuyến phù hợp.Cuối cùng, kết quả về sự tắt dần mũ của nghiệm cũng được thiết lập nhờ xây dựng phiếmhàm Lyaponov phù hợp Kết quả trên đây được công bố trong [Y2]

Nội dung cuối cùng, được trình bày ở Chương 3, chúng tôi xét một phương trình nhiệt phi

tuyến có chứa số hạng đàn hồi nhớt dạng

liên kết với điều kiện biên Robin dạng độc lập

ux(0, t) h0u(0, t) =g0(t), ux(1, t) +h1u(1, t) = g1(t), (12)

và điều kiện đầu

trong đóh0, h1 0 là các hằng số, u0, µ1, µ2, g, f , f1, g0, g1 là các hàm số cho trước

Cũng như đã trình bày ở phần nội dung thứ 2, điều kiện biên (12), so với điều kiện (6), ta

thấy không có sự xuất hiện của các số hạng µi(0, t), µi(1, t) (i=1, 2)nên chúng tôi gọi điềukiện này là điều kiện độc lập với ý nghĩa rằng điều kiện này độc lập với phương trình đangxét

Phương trình (11) với µ1 =µ2 µ và điều kiện biên dạng (6) cũng đã được xét trong

chương 2, và các kết quả về sự tồn tại duy nhất nghiệm yếu, tính bùng nổ và tắt dần mũ củanghiệm cũng được thiết lập

Liên quan đến mô hình dạng này với số hạng nhớ xuất hiện trên biên cũng được khảo sátbởi một số tác giả, chẳng hạn như Fang [Abstr Appl Anal.2013 (2013), Bound Value Probl.

2014 (197) 2014], Han [C R Acad Sci Paris, Ser I 353 (2015)] Trong Fang [Abstr Appl.

Anal.2013 (2013) và Bound Value Probl 2014 (197) 2014], với giả thiết rằng nhân g khả vi

và tắt dần mũ, bằng cách xây dựng một phiếm hàm Lyapunov phù hợp và sử dụng phươngpháp nhiễu năng lượng, các tác giả đã thu được kết quả về tính tắt dần mũ và đa thức củanghiệm toàn cục cho phương trình

ut ∆u+

Zt

0 g(t s div[a(x)ru(x, s)]ds=0, x2Ω, t>0 (14)Trong Han [C R Acad Sci Paris, Ser I353 (2015)], các tác giả đã xét phương trình

nổ và tắt dần mũ của nghiệm chúng tôi xét bài toán với µ1 là hàm của hai biếnx, t còn µ2 làhàm chỉ của biếnx, trong khi ở chương 2 chúng tôi chỉ mới xét được với µ là hàm số của biến

x Hơn nữa, ở kết quả tắt dần mũ của nghiệm chúng tôi xét bài toán với điều kiện của nguồnphi tuyến f(u)dành cho một lớp hàm rộng hơn so với điều kiện của f(u)ở chương 2 Kết quảtrên đây được công bố trong [Y3]

Toàn bộ các kết quả trình bày trong luận án này đã được công bố trong [Y1, Y2, Y3] Mộtphần trong số các kết quả này đã được báo cáo tại "Hội nghị khoa học Miền Trung và TâyNguyên", Qui Nhơn 08/2015, Hội thảo khoa học "Toán học Giải tích và Ứng dụng", Đại họcHồng Đức-Thanh Hóa 26-28/05/2016, "Hội nghị Khoa học Trường ĐHKHTN TP HCM lầnthứ 10, 11/11/2016" và một số hội nghị khác

Chương 1

Phương trình nhiệt phi tuyến không chứa số hạng đàn hồi nhớt

Nội dung chính của chương này là khảo sát bài toán Robin cho phương trình nhiệt phi

bố trong [Y1].

1.1 Sự tồn tại duy nhất của nghiệm yếu

Ta thành lập các giả thiết sau:

Định nghĩa 1.1.1 Ta gọi một hàm u2L∞(0, T; L2) \L2(0, T; H1)thỏa điều kiện tu2L∞(0, T; H1),

tut2L2(0, T; L2)là nghiệm yếu bài toán (1.0.1)-(1.0.3) nếu

Định lý 1.1.2 Giả sử(H1) (H6)thỏa Khi đó, với mỗi T>0, bài toán (1.0.1)-(1.0.3) có một nghiệm

yếu u Hơn nữa, nếu f thỏa thêm điều kiện

(H7) (y z)(f(y) f(z)) δjy zj2, với mọi y, z2 R, với δ>0,

thì nghiệm yếu trên là duy nhất.

Trong chứng minh Định lý 1.1.2, chúng tôi đã sử dụng các bổ đề sau

1.3 Dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi t! +∞.

Trong mục này, giả sử T >0, các giả thiết(H1) (H7) đúng Khi đó, tồn tại duy nhấtmột nghiệm yếuu của bài toán (1.0.1)-(1.0.3) sao cho

(

u2L∞(0, T; L2) \L2(0, T; H1) \Lp(QT),

tu2L∞(0, T; H1), tut2L2(QT)

Để xét dáng điệu tiệm cận của nghiệmu(t)khit! +∞, ta cần bổ sung thêm các giả thiết

trên các hàm µ(x, t), f1(x, t), g1(t), g2(t)như sau:

Định lý 1.3.2 Giả sử(H6),(H300) (H600)thỏa mãn Khi đó, bài toán (1.3.1) có nghiệm yếu u∞ Hơn

nữa, nếu f thỏa thêm giả thiết

(H700) f(u) +δu là hàm không giảm theo biến u , với 0<δ<a0,

thì nghiệm trên là duy nhất.

Liên quan đến dáng điệu tiệm cận của nghiệmu(t) khit! +∞ Ta có định lý sau đây

Định lý 1.3.3 Dưới các giả thiết(H1),(H2),(H6),(H300) (H600),(H700) Khi đó ta có

µ(0, t)ux(0, t) =h0u(0, t) +g0(t), µ(1, t)ux(1, t) =h1u(1, t) +g1(t), (2.0.2)

và điều kiện đầu

trong đóh0 0, h1 0 là các hằng số thỏa h0+h1>0, còn µ, g, f , f1, u0, g0, g1 là các hàmcho trước thỏa các điều kiện mà ta sẽ chỉ ra sau

Các kết quả chính liên quan đến bài toán này được trình bày trong ba mục, từ mục 2.1 đếnmục 2.3 Trong mục 2.1, bằng phương pháp xấp xỉ Feado-Galerkin và phương pháp compact,chúng tôi thiết lập kết quả về sự tồn tại và duy nhất của nghiệm yếu với dữ kiện thỏa những

điều kiện "yếu" và "mạnh" Trong mục 2.2 và 2.3, chúng tôi xét bài toán với µ=µ(x) độclập vớit: Mục 2.2, chúng tôi thu được kết quả về sự bùng nổ của nghiệm ở thời gian hữu hạn.Mục 2.3, bằng cách xây dựng phiếm hàm Lyapunov phù hợp tính tắt dần mũ của nghiệm cũngđược thiết lập

Một kết quả đặc sắc mà luận án thu được ở đây là trong phần tồn tại nghiệm yếu thì sốhạng phi tuyến f(u)cho bài toán chỉ cần giả thiết là f liên tục, bỏ qua điều kiện bị chặn bởimột hàm lũy thừa dương củajuj, mà điều kiện này cần phải có trong các bài toán trước đây

Để làm được điều này, chúng tôi đã phát hiện ra một tính chất cổ điển là: Mọi hàm f liên tụcthì bị chặn bởi một hàmΦ dương, không giảm và liên tục [xem Bổ đề 2.1.2] Theo hiểu biếtcủa chúng tôi, trước đây chúng tôi chỉ biết hàm này liên tục bên trái, nay chúng tôi đã kiểmtra được nó liên tục và đã áp dụng để chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán như đã nói

ở trên Các kết quả trong chương này được công bố trong [Y2]

2.1 Sự tồn tại duy nhất của nghiệm yếu

Ta thành lập các giả thiết sau:

Trước hết, để thiết lập định lý tồn tại và duy nhất nghiệm, ta cần hai bổ đề sau:

Bổ đề 2.1.2 [Y2] Với f 2C(R;R)nếu ta đặt

Trước hết, để thu được kết quả bùng nổ của nghiệm, ta thành lập các giả thiết sau:

Khi đó ta có kết quả sau

Định lý 2.1.2 Giả sử(H1), (H3),(H4), (H6) thỏa mãn Khi đó, với mọi u0 2H1 sao cho H(0) =

0 f(z)dz>0 và năng lượng ban đầu đủ nhỏ,

kf1(t)k đủ nhỏ, thì năng lượng của nghiệm tắt dần mũ khit ! +∞ Với mục đích này, ta

thành lập các giả thiết sau:

(H05) f12L2(R+; L2), và tồn tại hai hằng số dương C0, γ0 sao cho

kf1(t)k C0e γ0t,8t 0;

(H06) f 2C(R;R)sao cho tồn tại các hằng sốq p>2, d2>p, d0

2>0 thỏa(i) f(0) =0, y f(y) >0,8y2 R, y6=0,

(ii) y f(y) d2

Zy

0 f(z)dz,8y2 R,(iii)

trong đó

(p 2)L E(0) +

12

Định lý 2.3.6 Giả sử rằng(H1),(H3),(H40) (H06)thỏa mãn và u02H1 Giả sử I(0) >0 và năng

lượng ban đầu E(0)thỏa (2.3.5) Khi đó, tồn tại các hằng số dương C , γ sao cho

Nhận xét chương 2

1 Bổ đề 2.1.2 đóng vai trò quan trọng trong việc chứng minh sự tồn tại nghiệm Chính kếtquả này đã giúp cho chúng tôi làm nhẹ đi giả thiết cho hàm f(u)khá nhiều mà vẫn thu đượckết quả như mong muốn, điều này trong trường hợp nhiều chiều không thực hiện được (xemLiu [Acta Appl Math.103 (2008)]).

2 Bổ đề 2.1.3 cho phép ta chỉ ra hằng sốT trong đánh giá tiên nghiệm cho hai trường hợpvới ý nghĩa là sự tồn tại nghiệm là toàn cục và địa phương Trong khi nếu áp dụng bổ đềGronwall-Bellman-Bihari, ta chỉ thu được nghiệm địa phương mà đôi khi bỏ qua kết quả về

sự tồn tại của nghiệm toàn cục Hiển nhiên rằng nếu f(u)là hàm dưới tuyến tính thì nghiệmthu được là toàn cục

3 Các kết quả thu được trong chương này góp phần tổng quát một phần các kết quả trongFang [J KSIAM.16 (4) (2012)], Liu [Math Meth Appl Sci 37 (2014)], Messaoudi [Abstr.

Appl Anal.2005 (2) (2005)].

4 Trường hợp hàm µ(x, t) µ(x) là hàm phụ thuộc theo biến x đã được xét đến trong các

mục 2.2 và mục 2.3 Còn trường hợp µ(x, t) phụ thuộc cảx và t vẫn còn là vấn đề mở màchúng tôi đang tiếp tục nghiên cứu

Chương 3

Phương trình nhiệt phi tuyến chứa số hạng đàn hồi nhớt liên kết với điều kiện biên Robin độc lập