Sự không tồn tại nghiệm của phương trình elliptic nửa tuyến tính suy biến

Trong bài báo này, bằng cách thiết lập các đồng nhất thức tích phân kiểu Pohozaev suy rộng, chúng tôi nghiên cứu sự không tồn tại nghiệm dương của phương trình elliptic chứa toán tử suy biến kiểu Grushin trong miền tổng quát (miền có thể không thỏa mãn điều kiện kiểu hình sao). Kết quả của bài báo là sự mở rộng các kết quả tương ứng cho toán tử không suy biến và toán tử suy biến.

SỐ 1 (72) 2021 TẠP CHÍ NGHIÊN CỨU KHOA HỌC ISSN 1859-4190

5 6.

LIÊN NGÀNH ĐIỆN - ĐIỆN TỬ - TỰ ĐỘNG HÓA

Tạp chí Nghiên cứu khoa học, Trường Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190, Số 1 (72) 2021

LIÊN NGÀNH ĐIỆN - ĐIỆN TỬ - TỰ ĐỘNG HÓA

Dự báo mực nước sông cao nhất, thấp nhất trong ngày

sử dụng mô hình hỗn hợp Đỗ Văn ĐỉnhNguyễn Trọng Quỳnh

Vũ Văn Cảnh Phạm Văn Nam Thiết kế bộ điều khiển mờ cho hệ thống điều khiển vô

hướng động cơ điện không đồng bộ ba pha rôto lồng sóc

có tham số mômen quán tính J biến đổi

Lê Ngọc Hòa

Vũ Hồng Phong

Đánh giá hiệu năng chống nhiễu của bộ thu GPS sử dụng

kiến trúc bộ lọc hạt điểm Phạm Việt HưngLê Thị Mai

Nguyễn Trọng Các Lựa chọn sơ đồ cấp điện và luật điều khiển công suất

đầu ra cho máy điện từ kháng Phạm Công Tảo

TẠP CHÍ

NGHIÊN CỨU KHOA HỌC

ĐẠI HỌC SAO ĐỎ

TRONG SỐ NÀY

Số 1(72) 2021

LIÊN NGÀNH CƠ KHÍ - ĐỘNG LỰC

Tối ưu hóa chế độ cắt và độ nhám bề mặt khuôn dập khi

gia công vật liệu composite nền nhựa, cốt hạt Ngô Hữu MạnhMạc Thị Nguyên

Lê Hoàng Anh Châu Vĩnh Tiến Phân tích cấu trúc và tiềm năng của hệ truyền động thủy

tĩnh ng dụng trên máy k o lâm nghiệp Vũ Hoa KỳTrần Hải Đăng

Nguyễn Long Lâm

Nghiên c u ảnh hưởng chiều cao, độ vi sai của thanh

răng đến độ giãn đường may 516 trên vải denim co giãn Nguyễn Thị HiềnĐỗ Thị Làn

Phạm Thị Kim Phúc Nghiên c u sự ảnh hưởng của phương pháp lấy mẫu

đến chất lượng của phương pháp 3olynomial Chaos áp

dụng cho hệ thống treo trên ô tô

Đào Đ c Thụ Lương Quý Hiệp Phạm Văn Trọng Nghiên c u ảnh hưởng của chi số chỉ và mật độ mũi may

đến độ giãn đ t, độ bền đường may 406 trên vải TC 56 Bùi Thị LoanNguyễn Thị Hồi

Đỗ Thị Tần

TẠP CHÍ

NGHIÊN CỨU KHOA HỌC

Số 1(72) 2021

LIÊN NGÀNH TRIẾT HỌC - XÃ HỘI HỌC - CHÍNH TRỊ HỌC

LIÊN NGÀNH HÓA HỌC - CÔNG NGHỆ THỰC PHẨM

NGÀNH NGÔN NGỮ HỌC

NGÀNH TOÁN HỌC

Sự không tồn tại nghiệm của phương trình elliptic nửa

tuyến tính suy biến Nguyễn Thị Diệp Huyền

Sử dụng Saccharomyces cerevisiae RV để lên men

rượu vang từ quả sim (Rhodomyrtus tomentosa) Bùi Văn TúNguyễn Ngọc Tú

Xóa đói, giảm nghèo ở Hải Dương trong thời kỳ đẩy mạnh

công nghiệp hóa, hiện đại hóa hiện nay Vũ Văn Đông

Vai trò của giáo dục và đào tạo đối với việc phát triển

nguồn nhân lực chất lượng cao ở Việt 1am hiện nay Phùng Thị Lý

NGÀNH KINH TẾ

Bảo hiểm thất nghiệp trong phát triển kinh tế ở Việt Nam 66 Nguyễn Minh Tuấn

Ứng dụng ma trận SWOT trong phát triển du lịch làng

nghề truyền thống trên địa bàn tỉnh Hải Dương Vũ Thị Hường

Giảm nghèo và phát triển bền vững ở Việt Nam Phạm Thị Hồng Hoa

Nghiên c u thực trạng kỹ năng nói tiếng Anh và đề xuất

một số giải pháp nhằm nâng cao kỹ năng nói tiếng Anh

của sinh viên không chuyên Trường Đại học Sao Đỏ

Đặng Thị Minh Phương Trần Hoàng Yến

Tăng Thị Hồng Minh

LIÊN NGÀNH ĐIỆN - ĐIỆN TỬ - TỰ ĐỘNG HÓA

Tạp chí Nghiên cứu khoa học, Trường Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190, Số 1 (72) 2021

SCIENTIFIC JOURNAL

TITLE FOR ELECTRICITY - ELECTRONICS - AUTOMATION

The daily highest and lowest river water levels are

forecasted using a hybrid model Do Van DinhNguyen Trong Quynh

Vu Van Canh Pham Van Nam Designing fuzzy controller for scalar control system of a

three-phase squirrel cage induction motor with variable J

môment of inertia

Le Ngoc Hoa

Vu Hong Phong

Performance assesment in interference supression of

GPS receiver based on particle lter Pham Viet HungLe Thi Mai

Nguyen Trong Cac Select power supply scheme and output power control

rule for the Switched Reluctance Machine Pham Cong Tao

Optimation on the CNC cutting parameters and surface

roughnessofthe mouldduringmillingprocesscomposite

material of plastic base and grain cores

Ngo Huu Manh Mac Thi Nguyen

Le Hoang Anh Chau Vinh Tien Analysis of structure and potential of application

hydrostatic transmission system on forestry machine Vu Hoa KyTran Hai Dang

Nguyen Long Lam

Research on effects height and differenctial feed of

the tooth bar on seam deformation 516 on stretch

denim fabric

Nguyen Thi Hien

Do Thi Lan Pham Thi Kim Phuc Study on the e ects of the ampling method on quality

of 3olynmial Chaos method applying to automotive

suspension system

Dao Duc Thu Luong Quy Hiep Pham Van Trong Study on the e ects of sewing thread count, density of

stitch on the breaking elongation and seam strength 406

on TC fabric

56 Bui Thi Loan Nguyen Thi Hoi

Do Thi Tan

TITLE FOR MECHANICAL AND DRIVING POWER ENGINEERING

SCIENTIFIC JOURNAL

TITLE FOR PHILOSOPHY - SOCIOLOGY - POLITICAL SCIENCE

TITLE FOR CHEMISTRY AND FOOD TECHNOLOGY

TITLE FOR MATHEMATICS

Non-existence of solution of degenerative semilinear

elliptic equations

62 Nguyen Thi Diep Huyen

Application of Saccharomyces cerevisiae RV in wine

fermentation from Sim fruit (Rhodomyrtus tomentosa) Bui Van TuNguyen Ngoc Tu

Hunger eradication and poverty reduction in Hai Duong

in the period of accelerating industrialization and

modernization nowadays

Vu Van Dong

The role of education and training with the development

of high-quality human resources in Vietnam today Phung Thi Ly

Unemployment insurance for economic development in

Vietnam 66 Nguyen Minh Tuan

Application of SWOT masterbon in traditional villa

tourism in Hai Duong province Vu Thi Huong

Poverty reduction and sustainable development in

A study on the current situation of English speaking skills

and some proposals to improve English speaking skills

of non-English major students at Sao Do University

Dang Thi Minh Phuong Tran Hoang Yen

Tang Thi Hong Minh

NGHIÊN CỨU KHOA HỌC

Tạp chí Nghiên cứu khoa học, Trường Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190, Số 1 (72) 2021

Sự không tồn tại nghiệm của phương trình elliptic

nửa tuyến tính suy biến Non-existence of solu on of degenera ve semilinear ellip c equa ons

Nguyễn Thị Diệp Huyền diephuyendhsaodo@gmail.com

Trường Đại học Sao Đỏ Ngày nhận bài: 15/02/2021 Ngày nhận bài sửa sau phản biện: 28/3/2021

Ngày chấp nhận đăng: 31/3/2021

Tóm tắt

Trong bài báo này, bằng cách thiết lập các đồng nhất thức ch phân kiểu Pohozaev suy rộng, chúng tôi nghiên cứu

sự không tồn tại nghiệm dương của phương trình ellip c chứa toán tử suy biến kiểu Grushin trong miền tổng quát (miền có thể không thỏa mãn điều kiện kiểu hình sao) Kết quả của bài báo là sự mở rộng các kết quả tương ứng cho toán tử không suy biến và toán tử suy biến [1, 2, 4]

Từ khóa Đồng nhất thức kiểu Pohozaev suy rộng; sự không tồn tại nghiệm; toán tử Grushin; phương trình elliptic suy biến

Abstracts

In this paper, we study the non-existence of solu ons to a semilinear degenerate ellip c equa on in a class of domains that are more general than star-shaped ones Our result extends the corresponding results in [1, 2, 4]

: Generalized Pohoaev iden ty; non-existence solu ons; Grushin operator; degenerate ellip c equa ons

1 ĐẶT VẤN ĐỀ

Cho Ω là một miền trơn trong Xét bài toán:

(1)

rong đó:

: Các số thực và là toán tử Grushin có dạng:

Với tương ứng là toán tử Laplace theo biến

và

Ta biết rằng khi là miền bị chặn và

thì bài toán (1) có nghiệm yếu không tầm thường (xem bài báo

tổng quan [6]) Tuy nhiên, khi Ω là miền bị chặn kiểu

hình sao (xem định nghĩa bên dưới) thì nhờ thiết lập các

đẳng thức ch phân kiểu Pohozaev và khai thác cấu

trúc hình học của miền, ta có thể chứng tỏ được bài toán (1) không có nghiệm cổ điển dương (xem [2] và các bài báo [3, 4] về các kết quả liên quan) Trong thực

tế ta thấy rằng, điều kiện kiểu miền thỏa mãn kiểu hình sao là tương đối chặt chẽ, gần đây, một số tác giả đã cố gắng mở rộng/thay thế điều kiện này bằng một số điều kiện tổng quát hơn (xem Định nghĩa 1.4 Mục 2 dưới đây) Khi đó, khi thì là toán tử Laplace, khi đó các tác giả trong [1] đã chứng minh được bài toán (1) không có nghiệm cổ điển không âm trong miền

Ω tổng quát hơn miền kiểu hình sao Phương pháp chính để chứng minh sự không tồn tại nghiệm cổ điển dương là thiết lập các đồng nhất thức ch phân kiểu Pohozaev suy rộng phù hợp với bài toán và khai thác cấu trúc đặc biệt của miền đang xét (xem bài báo [5], [7] cho các kết quả liên quan)

Trong bài báo này, chúng tôi mở rộng các kết quả của bài báo [1] cho trường hợp toán tử suy biến kiểu Grushin,

ý tưởng chính là thiết lập các đồng nhất thức ch phân kiểu Pohozaev phù hợp với phương trình, tuy nhiên, có một số khó khăn do nh suy biến của toán tử Grushin, ở

đó chúng tôi không thể áp dụng trực ếp các nh toán như trong [1] (xem thêm [2, 4]) Để vượt qua các khó khăn này, chúng tôi đưa ra định nghĩa miền tổng quát Người phản biện: 1 PGS.TS Nguyễn Văn Tuyên

2 TS Nguyễn Viết Tuân

với bài toán và nhờ các nh toán để thiết lập được các

đẳng thức ch phân phù hợp

Kết quả chính của bài báo là định lí sau

Định lí 1.1

Giả sửΩ ⊂ !N( N ≥ 3 ) thỏa mãn trong miền (Ωs) Khi

đó bài toán (1) không có nghiệm cổ điển không âm nếu

λ ≤ 0 vàα ≥ Ns*+1với Ns*= 2Ns

Chú ý 1.1

i) Trong trường hợp s = 0ta thu được các kết quả

tương ứng như đối với toán tử Laplace trong [1, 5];

ii) Kết quả của Định lí 1.1 có thể được mở rộng cho

trường hợp phương trình hoặc hệ phương trình ellip c

suy biến với số hạng phi tuyến và toán tử suy biến tổng

quát hơn dưới một số điều kiện phù hợp (xem thêm các

kết quả trong [2, 3])

2 CHỨNG MINH KẾT QUẢ CHÍNH

2.1 Một số bổ đề kĩ thuật

Trước hết chúng ta xét nghiệm của bài toán trên biên

của ellip c

Gsu = f u( ) trong Ω,

u= 0 trên ∂Ω, (2)

Ở đây:

trơn ∂Ω.

Đặt F z ( ) = f s ( ) ds

0

z

∫ là nguyên hàm của hàm

Bổ đề 1.1

Giả sửV z ( ) = ( V1( ) z , ,VN( ) z )là một trường véctơ

thuộc lớp trong !N và u ∈C2( ) Ω ∩ C1( ) Ω là

nghiệm của (2) Khi đó ta có các đẳng thức ch phân sau:

(i)

(ii)

Ở đó

Và

Với

Chứng minh

công thức ch phân từng phần, ta có:

Từ đây ta thu được đẳng thức i)

Tương tự, ta có

Do đó, đẳng thức ii) được chứng minh

Bổ đề 1.2 Giả sử là một véctơ trên !N với

Nếu là nghiệm của (2), thì

(3)

Chứng minh Ta có:

NGHIÊN CỨU KHOA HỌC

Tạp chí Nghiên cứu khoa học, Trường Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190, Số 1 (72) 2021

Từ (1.2), nhân cả hai vế vớia uii , sau đó lấy tổng theo

từ 1 đến Nvà áp dụng công thức ch phân từng phần

ta có

Thay vào đẳng thức trên ta thu được

! ( ), ! ( )

"#

| ! | $ = 0 %%

&

%'(

!

#

) ;0 % ( )

& !

%'(

$

% ) <

&!

)'(

#

       2| | $! 8

) ;0 % ( )

& "

%'(

$

% ) <

& "

)'(

#

Hệ quả 1.1

Giả sử là một nghiệm của (2) .hi

đó, nếu K ta có đẳng thức:

Chứng minh Lấy áp dụng Bổ đề 1.2 ta được điều phải chứng minh

Định nghĩa 1.1

Trường véctơ V xác định trên được gọi là

với biên được gọi là miền kiểu s-dương tuyến tính nếu tồn tại một trường véctơ tuyến

Từ Bổ đề 1.2, ta có hệ quả sau

Hệ quả 1.2

là một nghiệm của (2), khi đó

(4)

2.2 Chứng minh Định lí 1.1 Giả sử là một nghiệm của (1) Khi

đó, từ đẳng thức (4) ta có:

Khi đó, với và chú ý rằng

ta có:

- Nếu I < 0 thì từ (5) ta có

- Nếu thì từ (5) ta có với Theo công thức Green, ta thu được:

! ! = '(

"+ | |#!

#

$%

%

= ' ! , !

$%

= 0

Mặt khác, từ phương trình (1.2) ta có:

Điều này là mâu thuẫn Định lí 1.1 được chứng minh

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] T An (2007), Non-existence of posi ve solu ons of

some ellip c equa ons in posi ve-type domains,

Appl Math Le 20, 681-685

[2] N.M Chuong and T.D Ke (2004), Existence of

solutions for a nonlinear degenerate elliptic

@ ; , Electron J Differential Equations, no

93, 15 pp

[3] A.E Kogoj and E (2012), Lanconelli, On semilinear

I- Laplace equa on, 75, no 12, 4637-4649

[4] T D Ke (2004), Existence of non-nega ve solu ons for

a semilinear degenerate ellip c system, Proceedings

of the interna onal conference on Abstract and Applied Analysis (edited by N.M Chuong, L Nirenberg, L H Son, W Tutschke), Hanoi Aug 2002 (World Scien c 2004)

[5] S Pohozaev (1965), Eigenfunc ons of the equa on

Δu + λu = 0 Soviet Math, Dokl 6, 1048-1411 [6] N.M Tri (1998), On Grushin’s equa on, Mat Zametki,

63, 95-105

[7] A Wagner (2002), Pohozaev iden ty from varia onal viewpoint, J Math Anal Appl 266, 149-159

THÔNGTIN VỀ TÁC GIẢ

Nguyễn Thị Diệp Huyền

- Tóm tắt quá trình đào tạo, nghiên cứu (thời điểm tốt nghiệp và chương trình đào tạo, nghiên cứu):

+ Năm 2002: Tốt nghiệp Đại học ngành Toán, Trường Đại học Sư phạm I Hà Nội;

+ Năm 2012: Tốt nghiệp Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải ch, Trường Đại học Sư phạm II

Hà Nội;

- Tóm tắt công việc hiện tại: Giảng viên khoa Khoa học cơ bản, Trường Đại học Sao Đỏ

- Lĩnh vực quan tâm: Toán giải ch;

- Email: diephuyendhsaodo@gmail.com;

- Điện thoại: 0988 101 489