ĐỀ TEST VD VDC lần 4 lời GIẢI

đường thẳng y =2m và hai đồ thị trên có đúng 3 điểm chung phân biệt... Vậy tổng các giá trị của m bằng 27.

1 NHÓM PI – GROUP LUYỆN ĐỀ ĐỀ TEST VD – VDC LẦN 4

THI THỬ NÂNG CAO Sưu tầm và biên soạn: Ban AD nhóm Pi

NỘI DUNG ĐỀ

Câu 1: Tổng tất cả các giá trị của tham số m để phương trình

2

2 2

x m

− +

Có đúng 3 nghiệm phân biệt là:

Lời giải

Điều kiện:

2

0 1

x R

x m

− +   

2 2

x m

2

2 2

1

x m

− +

− +

log (2 x 4 x 6) (2 x 4 x 6) log ( x m 1) 2 4 x m 4

log (2 x 4 x 6) (2 x 4 x 6) log 4 x m 4 4 x m 4

Xét hàm f t ( ) log ( ) = 2 t + t trên khoảng (0; ) + có 1

ln 2

t

= +    suy ra ( )

đồng biến trên khoảng (0; ) +

2 Khi đó

2

2

2

 

x − x + = x −    x R)

2

2

 = − + −

 

= +

Vẽ đồ thị hai hàm số g x ( ) = − + x2 4 x − 1 và h x ( ) = x2 + 1 trên cùng một hệ trục toạ độ Oxy (bạn đọc tự vẽ hình)

( Chú ý: Hai đồ thị hàm số y g x = ( ) và y h x = ( ) tiếp xúc với nhau tại điểm A( )1;2 )

Để phương trình (*) có đúng 3 nghiệm phân biệt thì (2) phải có đúng 3 nghiệm phân biệt

đường thẳng y =2m và hai đồ thị trên có đúng 3 điểm chung phân biệt

1

2

m m

m

m



=

  =   =



Vậy tổng các giá trị của m bằng 3

Câu 2: Tìm tham số m để tổng các nghiệm của phương trình sau đạt giá trị nhỏ nhất:

1 +  2 x − m m + 1 x − 2 2  +mx x− = ( x − mx − 1).2mx −m + x − m x

2

− D 1

2

Lời giải

1 +  2 x − m m + 1 x − 2 2  +mx x− = ( x − mx − 1).2mx −m + x − m x

2

1

x mx

x m x x mx

− − −

− − − − −

3 Đặt a = ( x2 − mx − 1), b = ( x2 − m x2 − 1 ) thì phương trình trên trở thành

( ) a b + 2−a = a 2b a− +  + = b a b a 2b + b 2a  a ( ) ( ) 2b − + 1 b 2a − = 1 0 (*)

Nếu a = 0 hoặc b = 0 thì phương trình (*) thoả mãn

Nếu a  0 và b  0 thì phương trình 2 1 2 1

Ta để ý rằng:

Với a  0 thì 2 1

a

a

−

a

a

a

−

2 1

0, 0

a

a a

−

    Tương tự ta cũng có:

x

−     − + −     

phương trình (**) vô nghiệm

Do đó

2

2 2

(*)



Hai phương trình x2 −mx − = 1 0 và x2 −m x2 − = 1 0 có ít nhất 1 nghiệm trùng nhau khi

0

m = hoặc m = 1

Nếu m = 0 thì hai phương trình đều là x2 − = 1 0 nên phương trình đã cho có 2 nghiệm và tổng hai nghiệm đó là T1 = 0

Nếu m = 1 thì hai phương trình đều là x2 − −x 1 nên phương trình đã cho có 2 nghiệm và tổng hai nghiệm đó là T2 = 1

Khi m  0 và m  1 thì hai phương trình x2 −mx − 1 và x2 −m x2 − = 1 0 không có nghiệm nào trùng nhau

Phương trình bậc hai x2 −mx − = 1 0 có ac  0 nên có 2 nghiệm phân biệt và tổng hai

nghiệm đó là x1 + x2 = m

Phương trình bậc hai x2 −m x2 − = 1 0 có ac  0 nên có 2 nghiệm phân biệt và tổng hai nghiệm đó là x3 +x4 =m2

4

 Phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt và tổng của chúng là

2 2

= + + + = + =  +  −  −

3

T = − m = − nên 3 1

min

4

T = −

So sánh T T1, 2 và minT3 thì được giá trị nhỏ nhất của tổng các nghiệm của phương trình đã

cho là 1

4

− khi 1

2

m = −

Câu 3: Cho phương trình mln2(x +1) (− x + −2 m) (ln x +1)− − =x 2 0 (1) Tập hợp tất cả các

giá trị của tham số m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thoả mãn 0  x1    2 4 x2

là khoảng ( ; a + ) Khi đó a thuộc khoảng:

(3,8;3,9) B (3, 6; 3, 7) C (3, 7; 3, 8) D (3, 5; 3, 6)

Lời giải

Điều kiện: x  − 1

Vì x = 0 không thoả mãn phương trình nên ta có

( )

2 (2)

ln 1 1

1

x x

m

x x

e

  + − −   + +  = 

+ = −



=







= −





Do nghiệm 1

1 0

x e

= −  nên phương trình (1) có 2 nghiệm thoả mãn 0  x1    2 4 x2

khi và chỉ khi phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt sao cho 0  x1    2 4 x2 Xét hàm

số

( )

ln 1

x

f x

x

+

=

+ trên khoảng (0;+) ta có

2

2

1

1

ln ( 1)

x

x

x x

+

+

+

5 Xét hàm số ( ) 2

( ) ln 1

1

x

x

+

+ + nên h x ( )

đồng biến trên khoảng (0; +), do đó phương trình f x '( ) 0 = có không quá 1 nghiệm

Mà f '(2) '(4) 0 f  và f x '( ) là hàm liên tục trên 2; 4  Phương trình (3) có duy nhất 1

nghiệm x0 ( )2; 4 Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thoả mãn

ln 5 ln 5

3, 7; 3, 8

ln 5

Câu 4: Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt là:

3

3x− + m− x +(x −9x +24x +m).3x− = 3x +1

Lời giải

Phương trình tương đương với:

( )

3 m− x + ( x − 9 x + 24 x m + ) 27 3 = + −x  3 m− x + m − 3 x = 3 −x + 3 − x

Xét hàm đặc trưngf t ( ) 3 = t +  t3 f t '( ) 3 ln 3 3 = t + x2    0, t R

3 m− x + m − 3 x = 3 −x + 3 − x  m − 3 x = −  3 x m = 3 − x + 3 x  m = − + x 9 x − 24 x + 27

6

4

x

x

 =

=



Ta có bảng biến thiên:

Để phương trình có 3 nghiệm phân biệt thì 7 m11m8;9;10

Vậy tổng các giá trị của m bằng 27

Câu 5: Cho phương trình ( )12 2

2x− log (x −2x +3)= 4x m− log (2x m− + với 2) m là tham số thực

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m trên đoạn −2019;2019 để phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt

A 4036 B 4034 C 4038 D 4040

Lời giải

Điều kiện x  R

2x− log x −2x +3 = 4x m− log 2x −m +2

2x− log  x 1 2  2 x m− log 2 x m 2

Xét hàm số y =2 log (t 2 t +2) với t  0

Hàm số y =2 log (t 2 t +2) xác định và liên tục trên  +0; )

( 2) ln 2

t t

t

+ Hàm số y =2 log (t 2 t +2) đồng biến trên  +0; )

7

( )

2

2





2

2

(*)

 = − + −

 

= +

Xét phương trình 2

2m = −x + 4x − 1 Ta có bảng biến thiên của hàm số 2

g x = − + x x −

Phương trình 2m =x2 + 1 có 2 nghiệm phân biệt khi 1

2 1

2

m   m 

Phương trình 2m =x2 + 1 có 1 nghiệm khi 1

2 1

2

m =  m =

Phương trình 2m =x2 + 1 vô nghiệm khi 1

2 1

2

m  m 

Khi 3

2

m = , phương trình 2m = −x2 + 4x − 1 có nghiệm x = 2, phương trình 2m =x2 + 1 có

2 nghiệm phân biệt x =  2  (*) có 3 nghiệm phân biệt (Loại)

Khi 1

2

m = , phương trình 2m = −x2 + 4x − 1 có 2 nghiệm phân biệt x =  2 2, phương trình 2m =x2 + 1 có nghiệm x =  0 (*) có 3 nghiệm phân biệt (Loại)

Xét phương trình − + − = +  − x2 4 x 1 x2 1 2 x2 + − =  =  4 x 2 0 x 1 không tồn tại

m để phương trình (1) và (2) có cùng tập nghiệm gồm 2 phần tử Vậy không tồn tại m để (*)

có 2 nghiệm phân biệt

Yêu cầu bài toán  (*) có 2 nghiệm phân biệt

8

TH1: (1) có 2 nghiệm phân biệt và (2) vô nghiệm

3

1 2

2

m

m m







 



TH2: (2) có 2 nghiệm phân biệt và (1) vô nghiệm

1

3 2

2

m

m m







 



TH3: (1) có nghiệm x = 2 và (2) có nghiệm x = 0

1 2 3 2

m

m m



=



 =



2019;2019 2019; ;2019

Do m  nên ta có 4038 giá trị m thoả mãn đề bài

Câu 6: Có bao nhiêu số nguyên a −( 2019;2019) để phương trình

− +

có 2 nghiệm phân biệt?

A 0 B 2020 C 2014 D 2015

Lời giải

Đặt hàm số ( ) 1 1

x

+ − có tập xác định

( 5; 4) ( 4; 0) (0; )

Ta có:

( 5)ln ( 5) 3 1

x

x

−

( )

 nghịch biến trên từng khoảng của tập xác định

9 Các giới hạn: 5

lim ( ) 5 5 ; lim ( ) ; lim ( )

242

3 1

x

Ta có bảng biến thiên:

Phương trình f x ( ) = a có 2 nghiệm phân biệt 243

5 242

a

  −

Do

( 2019;2019) 4;2018

a a



 Vậy có 2018 4 1 2015 − + = giá trị của a

Câu 7: Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m sao cho phương trình sau có nghiệm:

2

2

x x

+ + + = − − +

− +

A Vô số B 4 C 6 D 5

Lời giải

Ta có:

2

− + =  −  +   

Điều kiện xác định của phương trình: 3x2 + 3x +m+  1 0 (1)

Phương trình đã cho tương đương với:

log (3x +3x m+ + −1) log (2x − +x 1)=x −5x m− +2

log (3x 3x m 1) 3x 3x m 1 log (2x x 1) 1 4x 2x 2

10

log (3x 3x m 1) 3x 3x m 1 log (4x 2x 2) 4x 2x 2

Xét hàm số f t ( ) log = 2t t + trên (0;+), ta có 1 ( )

'( ) 1 0, 0;

ln 2

t

= +    + , do đó

( ) đồng biến trên (0;+) nên

(2)  3 x + 3 x m + + = 1 4 x − 2 x +  2 m = x − 5 x + 1 (3)

Xét hàm số f x ( ) = x2 − 5 x + 1, ta có bảng biến thiên:

Vậy (3) có nghiệm 21

4

m

  − Khi đó

( )2

3 x + 3 x m + + = 1 3 x + 3 x x + − 5 x + + = 1 1 4 x − 2 x + = 2 3 x + x − 1 +  1 0

(1)

 đúng

Vậy 21

4

m  − , mà m là số nguyên âm nên m − − − − − 5; 4; 3; 2; 1

Câu 8: Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn−10;10 để bất phương trình

2

2

1

x x m

x x

+ + +  + + − + + có nghiệm Số phần tử thuộc S là:

Lời giải

Điều kiện;

2

2 2

1

x x m

x x m

x x

+ + +   + + + 

Khi đó

11

2

2

x x m

x x

+ + +

+ +

log (2x x m 1) log 3(x x 1) 2(2x x m 1) 6(x x 1)

log (2x x m 1) 2(2x x m 1) log 3(x x 1) 6(x x 1)

Xét hàm số f t ( ) log = 3t + 2 t với t  0 có 1

ln 3

t

= +   

( )

 đồng biến trên khoảng (0; ) + Do đó

(1)  f x (2 + + x m +  1) f 3 x + + x 1  2 x + + x m +  1 3( x + + x 1)(thoả mãn (*))

 + + 

BPT x2 + 2x +  2 m có nghiệm   m min ( ) g x với g x ( ) = x2 + 2 x + 2

Xét bảng biến thiên của hàm số ( ):

1

Từ bảng biến thiên  min ( ) 1 g x =   m 1

Do m  − 10;10 S có 10 phần tử

Câu 9: Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc khoảng (−2020;2020) của tham số m để bất phương trình

3 logx 2 log m x −x −(1−x) 1−x có nghiệm thực?

A 2018 B 2019 C 4036 D 2020

Lời giải

12

Điều kiện

2

1

0 (1 ) 0

(1 ) 1 0

x

x m

x

  

−

Bất phương trình đã cho tương đương:

log x  log m x x − − − (1 x ) 1 − x

2

1

m

x x

−

−

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:

1

1

−

Vậy m  x + 1 − x

Khảo sát hàm số f x( )= x + 1− trên x ( )0;1 ta được f x( ) 2 1, 414

Vậy có tất cả 2018 giá trị của tham số m thoả mãn

Câu 10: Cho các số thực x y , thoả mãn bất đẳng thức 2 2

4 9

log x + y (2x +3 )y 1 Giá trị lớn nhất của biểu thức P = +x 3y là:

A 3

2 10 4

+

C 5 10

4

+

D 3 10

4 +

Lời giải

Điều kiện: 4 x2 + 9 y2  1

Nếu 4 x2 + 9 y2  1

x

y

 





Nếu 4 x2 + 9 y2  1

13 Khi đó 2 2

4 9

+

+   +  +   −  + −  

Biểu thức P được viết thành: 1 1 1 3

= + =  −   + −  +

Áp dụng BĐT Cauchy ta được:

 =  −  + − + 

Dấu " = " xảy ra

3 10 3

30 4

y

+

