ÔN TOÁN CAO CẤP

12 ỨNG DỤNG TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ NHIỀU BIẾN ..... Hàm tổng doanh thu: TRQ AR.

Trang 1

Đáp án bài tập về nhà

HÀM SỐ _ GIỚI HẠN 2

ĐẠO HÀM-VI PHÂN 4

ỨNG DỤNG PHÂN TÍCH KINH TẾ (1 BIẾN) 9

HÀM NHIỀU BIẾN 12

ỨNG DỤNG TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ (NHIỀU BIẾN) 15

TÍCH PHÂN 19

Trang 2

HÀM SỐ _ GIỚI HẠN

    

 2

3 2

ln 1 cos3 1

arctan sin arctan sin

x x

L



 

arctan ~

sin ~

u

u u



 

2 0

2 sin 1

x

L

x





 

2

2 3

0

2

lim arctan

§Æt arctan ln 2 ln arctan

1 2

1 arctan

2 ln arctan lim ln lim 2 ln arctan lim 2 ln arctan lim lim

x x x

x x

x















0

2 2

0 lim ln

0 3

2 lim 0; 1 : 2 ~ 2 ; 0 2 :arctan ~ ; 0 1

1

x

x y

x









 

3

2

2 tan sin

2 tan 2 tan sin 3

24

30

L

x

0

60

x





 

*

2

0

5 1 tan 5 5

5 tan 5 5

L

x

L

x

u u u x



Trang 3

2

6

4 ln 3 6

4 ln 3

4 ln 3 4 2 3 ln 3 4 2 3 ln 3 4.3 ln 3 4.3 ln 3

x

y





2

*

ln 3 2 7

0

ln 3 ln 3 lim 3 ln 3 : §Æt 3 ln 3 ln

ln 1 3 ln 3 1

x

x x

y





5

8

5

2 ln sin 7

2 ln sin 7 2 5 7 cos 7 10 14 cos 7

Ta thÊy: lim 0; sin 7 1; cos 7 1 lim

x

y









10 8

10 0 sin 7 lim cos 7 0 lim ln 10

1 0 lim

x





 



9

6

*

lim cos 3 : §Æt cos 3 ln tan 3 ln cos 3

6

x

L

x





2 6

2 1 9

6

6 3sin 3

2 1

3 1 cot 3

x

x x









 

 

Bài 1 Tìm kđể hàm số liên tục

1) f 0 k

2 2

9 2

2 ln 1 sin lim lim 1 sin : ln

1 cos 3

2

* : ln 1 ~ ; 0

x

u u u







 

f x liên tục tại     49 49

0

x



Vậy

4 9

k e

Trang 4

f x f x

    nên lim2   0

  Lại có f 2 k

 

f x liên tục tại    

2

x



Bài 2 Xét tính liên tục của hàm số

1) Xét khi x2, f x  là hàm sơ cấp nên f x  liên tục tại mọi x2 (1)

Xét tại x2, ta có: f 2 0

3

2

x

 vì  4

3 2

2

 (theo quy tắc kẹp)

Do lim2    2 0

   nên f x  liên tục tại x2 (2)

Từ (1) và (2) ta thấy f x  liên tục trên

2) Xét khi x0, y là hàm sơ cấp nên y liên tục tại mọi x0 (1)

Tại x0, ta có:   2

0

2

1

2

*

0

tan ln

tan

3

1 tan lim 3

x

L

x

y

x x



1 3 0

1

3

lim

x





Do 13   2

0

     không liên tục tại x0 (2)

Từ (1) và (2) ta thấy y liên tục tại mọi x0

Bài 1

2

  

1

Bài 2

Trang 5

1) y lnx; y 1 ln2 x; y x 2x 42 lnx x 3 2 ln3 x

3

2

4

y

x



Bài 3

2

cos 2 tan 2



  2   2

4

2 ln tan 2 tan 2

sin 2

x

2

3cos

1 9

x





Bài 4

2

Bài 5

MXĐ: D

Xét x0 , ta có:

0

ln 2017 0

0

0 0

2017 2017 1

ln 2017

2017 lim 1 ~ 2017 lim ln 2017 2017 ln 2017

x x

x

u

f x

x x



Vậy f x 2017x2017 ln 2017x

Bài 6

Khi x5,    8

5

x





Trang 6

2

2 2

8 7

7

2 2

5 8

1

5 5

8

x

x xarc







Khi x5, xét:

8 7

7

8 7

7

5 arccot

x

x arc

x

x arc







5

x

f

x





8 7

7

2 2

5 8

0 ; 5

x

khi x









Bài 7

1) Xét    3

5

1

2

x

2

 , lại có f  2 0

2



     liên tục tại x 2

 

3 5

2

1

x

Thật vật, chọn 2 dãy điểm 1 2 1

2

k x

2 2

k x

k

  



cùng tiến tới2 khi k   , ta có:

1

5 2

2 5

1 1

2 2

k

k k

x x



2

2 5

2 2

2

k

k k

x x

Do

f

2) Dễ thấy f x  là hàm sơ cấp xác định trên , nên f x  liên tục trên

3

x

Trang 7

Vậy,      

2

x

f

x





3)  





Xét sự liên tục của f x  tại x 3, ta có:

 3 0

3

x







Nên f x  liên tục tại x 3

Xét sự khả vi của f x  tại x 3, ta có:

   

3 tan 9 0 3

f x f

x

f x f

x

 

Bài 8

ln

1

3

x



ln 3 1 ln 3

2)   2

3 2

x

f x e x

 

2 2

2

0 2;

x x

f

f x e

x x









 2    2    3

Trang 8

3) Trước hết ta khai triển Mac Laurin hàm số f x sin 2x với phần dư Peano:

     2 3 2 5    12 2 1  2 1

n



Nhân cả 2 vế với x , rồi cộng tiếp với 2, ta được khai triển cần viết là: 2

1

n



4) Trước hết ta khai triển Mac Laurin hàm số g x arcsinxđến cấp 2, phần dư Peano:

3

1

x

g x x o x

Nhân cả 2 vế của khai triển này với x3, ta được khai triển cần viết là:   4  5

f x x o x

Bài 9

1) MXĐ: D

5

10 5 4 2 5

5 5

f x

x



 

2

30

x x

x



 





=>điểm tới hạn: 5; 25 865; 2; 25 865; 2

Bảng biến thiên:

30

5

30

y

C§1

y

CT

y

2

C§

Kết luận: (tự làm)

2) MXĐ: D  1;1

x





2

1

x

Trang 9

arcsin

f x

Bảng biến thiên:

x

1

2

1

CT

y

Kết luận: (tự làm)

Bài 10

1) D

f x  x  x  x     =>x f x  đơn điệu tăng trên =>f x có hàm ngược 1 

f x

a f  f a  a  a  a  a  a  a   a a  a  

Vậy 1 

2) MXĐ: D0;

x

       đơn điệu tăng trên =>f x  có hàm ngược 1 

 1   1  1 

2

2 lim

2

x

f

x







a f  f a   a  a   a f 

t f x  x f t  t  t  x f x  f  t

2

1

4

L

t f

t t





Bài 11

1) 38,1 38 0,1

Xét 3

y x , ta có: 3 2  0   0  0  0

1

; 3

x

3 8

4 2

df x f x dx dx df f dx dx

x

4

Bài 1

40 0,03 40 0,03

TRPQ  Q Q Q Q

Trang 10

Hàm lợi nhuận:  TR TC  0,03Q230Q120

Điều kiện cần:   0,06Q30  0 Q 500 Điều kiện đủ  0,06 0   Q 0  500 0

Vậy Q500 là mức sản lượng cần tìm

Bài 2

a) Hàm tổng chi phí TCQ ATC 12 0,5 Q20,25Q310Q

Hàm chi phí cận biên MCTC0,75Q2   Q 10

b) Hàm tổng doanh thu TRPQ106Q

Hàm lợi nhuận  TR TC  0,25Q30,5Q296Q 12

Điều kiện cần: 2

12 0

0 3

Q



 





   



Điều kiện đủ:  1,5Q 1  12   17 0 nên Q12 là cực đại duy nhất của hàm lợi nhuận

Vậy Q12 là mức sản lượng cần tìm

Bài 3

a Hàm tổng doanh thu: TRQ AR 240Q0,5Q2, hàm doanh thu cận biên MRTR240Q

b Hàm lợi nhuận:  TR TC , hàm lợi nhuận cận biên:

M   TRTCMR MC  Q   Q Q   Q  Q

Bài 4

Hệ số co dãn của cầu theo giá là   2

8 2

d d

p

3

p    , như vậy tại mức giá này, khi giá tăng 3% thì lượng cầu giảm xấp xỉ  2%

Bài 5

Hàm tổng doanh thu TRpQ4.100 L400 L Hàm tổng chi phí: TCC020L

Hàm lợi nhuận  TR TC 400 L C 0 20L

Điều kiện cần: 200 20 0 L 10 L 100

L

L L

      

Vậy L 100 là mức sử dụng lao động cần tìm

Bài 6

a) Hàm chi phí biến đổi: VCQ AVC Q312Q214Q Hàm tổng chi phíTCVC FC VCQ312Q214Q b) Hệ số co dãn của chi phí theo sản lượng là   2

2

Tại Q10 ta có:

2 2

3.10 24.10 14 37

10 12.10 14 3

  (Đề bài bị lỗi nên hệ số này âm)

Trang 11

Bài 7

Thị trường cân bằng

1

0

113

p

p p

p



 





8

7

p

p p





 



a Thặng dư tiêu dùng: *   7 

7

Q

2

Q

b Hệ số co dãn của cầu theo giá là: 1

226 2

2 113 113

q d



226 2.64 49

p      

 cho biết tại

*

64

p  , khi giá tăng 1% thì lượng cầu giảm xấp xỉ 32(%)

49

Hệ số co dãn của cung theo giá là : 1

s s

p

2.8 2 7

p    

 cho biết tại

*

64

p  khi giá tăng 1% thì lượng cung tăng xấp xỉ 4 

%

7

Bài 8

P  Q Q   p P  Q Q  p

1) Thị trường cân bằng Q d Q s  360 2 p  0,5p 15 360 2 p0,5p  15 p 150 Q 2 15

2) Hệ số co dãn của cầu theo giá là 1

360 2

360 2 360 2

d d



360 2.150 2

p        

*

150

p  , khi giá tăng 1% thì lượng cầu giảm xấp xỉ 2,5%

Hệ số co dãn của cung theo giá là: 0,5

2 60

2 0,5 15 0,5 15

s s



Tại * 150 150 5 0,625

2.150 60 8

 cho biết tại đây, nếu giá tăng 1% thì lượng cung tăng xấp xỉ 0,625% 3) Thặng dư tiêu dùng 2 15 

2 0

180 0,5 150.2 15 40 15

Thặng dư sản xuất: 2 15 

2 0

150.2 15 30 2 160 15

Bài 9

1) Thị trường cân bằng Q d Q s 0,7p1500,3M0,5p120 p 0,25M225

Trang 12

Vậy giá cân bằng p* 225 0,25 M và lượng cân bằng Q* 7,5 0,175 M

*

0,25 0

dp

dM   nên giá cân bằng tăng theo thu nhập (đồng biến theo thu nhập)

*

0,175 0

dQ

dM   nên lượng cân bằng cũng tăng theo thu nhập

2) Hê số co dãn của giá cân bằng theo thu nhập là

*

Tại MM0 ta có 0

0

900

M M

 

 , cho biết nếu lúc này thu nhập tăng 3% thì giá cân bằng sẽ tăng xấp xỉ 0  

0

3

% 900

M M

HÀM NHIỀU BIẾN

Bài 1

a) xy ; x ;

y

f x y  f x y 

Xét khi x2y2  : 0   8 32 42 3

f x y





2

;

x

f x y

x y x y y

x y





4

2

4

xy





Xét khi x y 0

f



5 4

0

xy

y

f



3

;

xy



 



Trang 13

2 3

4

0





 nên không tồn tại g y 0;0

3

4

0





Bài 2

a) Ta có    3   3

;2; 3 8 cos 6

w x z  zx  x  x

;2; 3 cos 6 ;2; 9 cos 6 54 sin 6 1;2;0 9cos6 54sin 6

w x z  x  x w x z  x  x  x  x w    b) Đặt v x; w tany x u x f v w y  ;



1

2

1

y



Bài 3

a) Đặt   2 3

F x y  x    y xy y

x y

f x

    

Theo bài ta có: y 1 1 nên   12.12   1

3 1 1 3

y f

y



2

12

1 1 6 13 1 13

 

b) Đặt   2 4

F x y  y y x

2

2 2

x y

y



2

y arc

Trang 14

Đặt   1  2 2

2

y

F x y x y arc

x

2 2

2

1 1 1

x y

y

x





Bài 4

a) dww dxx w dy w dz y  z

2

x



2

cos

y

3

2

y



 

1

w f u v u f v f





       



b) duu dx x u dy y

2

2 2

1

1 2 2

x x

y y

y

x y

xy

u

xy x y

x

x y

u

xy x y

  



Vậy

c) duu dx x u dy y

Trang 15

 2 2

2

x

y

x y



 

2 2

2 sinx y x cosx y sin x y



Vậy

2

2 2 2

2 sin cos sin



dy

Bài 5

2

2 xy

d zz dxz dy  z dxdy

F x y z  x y z  xy z

;

y x

F



2

2 2

1 3

x x

y y

x

z z

x

z









2

1 3

y

x y

z







Vậy :

Bài 1

a) Cần tìm K L;  để doanh nghiệp tối đa sản lượng trong điều kiện 2K3L960

Trang 16

Hàm Lagrange: 0,7 0,9  

Điều kiện cần

0,3 0,9

0,7 0,1

0

K L

















210;180

M

 với   0

1,3 0,9

0,7 1,1

0,3 0 0,1

3

L L

     nên M là cực đại của Q2K L0,7 0,9 Vậy K L;   210;180là mức sử dụng tư bản và lao động cần tìm

b) Hệ số co dãn của sản lượng cực đại Qmax theo ngân sách sản xuất  m là: max

Với m960 thì 1,2.210 1800,7 0,1; max 4.210 1800,7 0,9 1,2.210 1800,7 0,1 9600,7 0,9 8 1,6

4.210 180 5

Q

Lúc này, nếu thu nhập cho tiêu dùng tăng 1% thì sản lượng cực đại tăng xấp xỉ 1,6%

c) Với t1 ta có:      0,7 0,9 1,6 0,7 0,9 1,6    

Q tK tL  tK tL t K L t Q K L t Q K L

Vậy, doanh nghiệp có hiệu quả sản xuất tăng theo quy mô

d) Hệ số co dãn riêng của sản lượng theo lao động là: 3,6 0,7 0,1 0,7 0,9 0,9

4

K L

Ý nghĩa: nếu tăng sử dụng thêm 1% lao động, đồng thời giữ nguyên K, thì sản lượng đầu ra tăng xấp xỉ 0,9%

Hệ số co dãn riêng của sản lượng theo tư bản là: 2,8 0,3 0,9 0,7 0,9 0,7

4

K L

Ý nghĩa: nếu tăng sử dụng thêm 1% tư bản, đồng thời giữ nguyên K, thì sản lượng đầu ra tăng xấp xỉ 0,7%

Câu 2

a) Cần xác định  x y; để người tiêu dùng tối đa hóa U trong điều kiện 15x10y20000

Hàm Lagrange: 0,3 0,7  

Điều kiện cần:

 

0,3 0,3

0,7

15 10 20000

x y











 0,7

400;1400 víi =0,3 3,5

M





0 15 10

10

L L

     nên M là cực đại của U Vậy,   x y;  400;1400 là cơ cấu tiêu dùng cần tìm

Trang 17

b) Hệ số co dãn của lợi ích cực đại (Umax) theo thu nhập cho tiêu dùng  m là: max

20000

15 400 1400

U

Vậy, tại m20000nếu thu nhập cho tiêu dùng tăng 1% thì lợi ích cực đại tăng xấp xỉ 1%

c)

0,7 0,7 0,7

x



0,3 0,3 0,3

y



Tại trạng thái tiêu dùng tối ưu ta có:

 0,7

4,5 3,5

x

MU  : cho biết, lúc này nếu tiêu dùng thêm 1 đơn vị hàng hóa thứ nhất (tăng x lên 1 đơn vị), đồng thời giữ nguyên mức tiêu thụ hàng hóa thứ 2 (giữ nguyên y), thì lợi ích cực đại tăng xấp xỉ  0,7

4,5 3,5 đơn vị lợi ích

  0,3

10,3 3,5

y

MU   : cho biết tại đây nếu tiêu dùng thêm 1 đơn vị hàng hóa thứ 2 (tăng y thêm 1 đơn vị), đồng thời giữ nguyên mức tiêu dùng hàng hóa thứ nhất (giữ nguyên x), thì lợi ích cực đại tăng xấp xỉ  0,3

10,3 3,5  đơn vị lợi ích

Câu 3

a) Với t1 ta có:      0,5 0,3 0,8 0,5 0,3 0,8    

Q tK tL  tK tL t K L t Q K L tQ K L Vậy, doanh nghiệp có hiệu quả sản xuất giảm theo quy mô

b) Cần tìm K L;  để doanh nghiệp tối thiểu hóa chi phí sản xuất C5K6L trong điều kiện 50K L0,5 0,3450 Hàm Lagrange:  0,5 0,3

l K L  K L

Điều kiện cần:

 















5

0 0,5 0,3

5

0 0,5 0,3

0,5 0,3

9 2 2

1

2 9

0, 2

K L

 0 0

0

; víi =

M K L

 



Điều kiện đủ:

Tại M ta có: L11;L220;L12L21 nên:0

0

g g

g L L g g L g g L g L g L

g L L

Nên M là cực tiểu của chi phí sản xuất C Vậy K L;   K L0; 0 là kết hợp đầu vào cần tìm



Ý nghĩa: tại mức sử dụng đầu vàoK L0; 0, nếu tăng sử dụng thêm 1 đơn vị tự bản, đồng thời giữ nguyên lượng lao

động, thì sản lượng đầu ra tăng xấp xỉ   0,25

0,3

25.2 9 2  đơn vị sản lượng

Ý nghĩa: tại mức sử dụng đầu vàoK L0; 0, nếu tăng sử dụng thêm một đơn vị lao động, đồng thời giữ nguyên lượng

tư bản, thì sản lượng đầu ra tăng xấp xỉ   0,25

0,7

15.2 9 2



đơn vị sản lượng

Câu 4

Trang 18

a) Cần tìm x y; để người tiêu dùng tối thiểu chi phí tiêu dùng C6x9y trong điều kiện x4y216

Hàm Lagrange: L6x9y216x4y

Điều kiện cần:  

4

2

3

1

2

x y









14;12 víi = 0,5



Điều kiện đủ: g1 y g; 2  x 4;L110;L22 0;L12 L21  

y x

x





tại M14;12với 0,5; nên M là cực tiểu của C Vậy   x y;  14;12 là kết hợp hàng hóa tiêu dùng cần tìm

b) Theo ý nghĩa của nhân tử Lagrange, với Cmin là chi phí tiêu dùng cực tiểu, ta có: min

0

C

Tại U0 216 ta có 0,5 cho biết: lúc này, nếu muốn nhận thêm 1 đơn vị lợi ích (U tăng 1 đơn vị) thì lượng chi 0

phí (cực tiểu) phải tăng thêm xấp xỉ bằng 0,5 ($)

c) MU x  y MU x14;1212 =>ý nghĩa: Tại mức tiêu dùng   x y;  14;12 nếu sử dụng thêm 1 đơn vị hàng hóa thứ nhất, đồng thời giữ nguyên mức tiêu thụ hàng hóa thứ 2, thì lợi ích tăng thêm xấp xỉ 12 đơn vị lợi ích

MU   x MU  =>ý nghĩa: tại mức tiêu dùng   x y;  14;12 nếu sử dụng thêm 1 đơn vị hàng hóa thứ 2, đồng thời giữ nguyên mức tiêu thụ hàng hóa thứ nhất, thì lợi ích tăng thêm xấp xỉ 18 đơn vị lợi ích

Câu 5

3,5 0,05 3,5 0,025 3,5 0,025

0

Q

VCMCdQ  Q dQ Q Q  Q Q

2

TCVCFC Q Q FCFC Q Q  Q Q

1 1 2 2 24 0,15 1 1 18 0,075 2 2 24 1 18 2 0,15 1 0,075 2

20,5 14,5 0,15 0,075 0,025

1 2

14,5 0,15 0,05 0

Q





1 2

11 0,35; 22 0,2; 12 21 Q Q 0,05

a    a    a a   

0,35 0,05

0,05 0,2

  =>M là cực đại của  ,

=>Q Q1; 2  50;60 là mức sản lượng cần tìm

Thay Q Q1; 2  50;60 vào các đường cầu tương ứng ta được các mức giá cần tìm làp p1; 2  16,5; 13,5

b) Hệ số co dãn của Q theo 2 p là: 2 2 2 2

0,075

18 0,075

 Tại 2

0,075.13,5

60

Trang 19

Như vậy, tại p2 13,5; nếu giá thị trường thứ 2 tăng lên 3% thì lượng cầu ở thị trường này giảm xấp xỉ

3.0,016875 % 0,050625 %

TICH PHÂ N

1



2

1

ln

d x

2

2 1

2

dt

d t

t



 

0

3 2

4

2 3

2 2

1 1

lim

3

0

2 2

0

2

x t

t

x x

t

I x e dx

du x dx

u x

t

v e

dv e dx

du xdx

u x

t

dv e dx





 





 





 

0

0 2

0

2

t

t e t e xe dx

du dx

t

dv e dx v e

t e t









4

2 3 6 1

t



 

2 2

4

L t

t t t e



   

Trang 20

2

2 1

3sin

3cos 9

: §Æt

2 2

x

t

 









2

csin 3

x C

I

x



2

6

0

lim sin 3

t

x

t









 

3 2 sin 3 3cos 3 3 2 sin 3 3cos 3

Ta thÊy: lim 0; sin 3 1; cos 3 1 lim lim

13

I t

t

I

 

0

7

1

6

7

lim

2 1 6 1 3

2 1 6

2 arctan 1 6 2 arctan 1 6

2 1 6 1 3 6 1 6 2 6

lim lim 2 arctan 1 6 2 arctan 0

dx I

dx











 



 

4

2

1

8

5

lim

1

t

dx

I

x x

d

I t

x x

x

t









 



2

d x



Định dạng
Số trang	20
Dung lượng	1,3 MB