ĐỀ CƯƠNG ôn tập LƯỢNG GIÁC

Phương trình lượng giác cơ bản, phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác Bài 5.. Phương trình bậc hai, bậc ba đối với một hàm số lượng giác Bài 10.. Phương trình bậc nhất đối

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP

LƯỢNG GIÁC

CÓ ĐÁP ÁN

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Bài 1 Tìm tập xác định của các hàm số sau:

2

3cos

1

x y

Bài 2 Các hàm số sau chẵn hay lẻ, vì sao?

sin

x x y

4 6

2 cos

x y

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Dạng 1 Phương trình lượng giác cơ bản, phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác Bài 5 Giải các phương trình sau

tan x30 cos 2o x150 0 f) cot 2 cot 3x x1

Bài 9 Giải các phương trình sau:

a) 8cos 2 sin 2 cos 4x x x 2 b) cot 2 cot 3x x1

c) sin 2x2cosx0 d) cos3xcos 4xcos5x0

Dạng 2 Phương trình bậc hai, bậc ba đối với một hàm số lượng giác

Bài 10 Giải các phương trình sau:

sin x  x f) tan 2x2 tanx0

Bài 11 Giải các phương trình sau

a) cos3xcos 2xcosx 1 0 b) 2 2

cos 3 cos 2x xcos x0 f) 4 4 1

cos sin sin 2

2

x x x

Dạng 3 Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

Bài 12 Giải các phương trình sau:

a) 3 sinxcosx2 b) 2sinx3cosx3

c) 2sinx3cosx 13 sin 2x

Bài 13 Giải các phương trình sau:

a) cos 7 cos 5x x 3 sin 2x 1 sin 7 sin 5x x b) 3

3sinx 1 4sin x 3 cos 3x

4 sin xcos x  3 sin 4x2 d) 2sin17x 3 sin 5xcos 5x0

e) cos 7xsin 5x 3 cos 5 xsin 7x f)   2

6 sin 2 cos 2x x 1 10 cos 2x5

Dạng 4 Phương trình đẳng cấp đối với sin x và cos x (bậc 2, bậc 3, bậc 4, )

Bài 14 Giải các phương trình sau:

a) sin2x3sin cosx x2 cos2x0 b) 2sin2x5sin cosx x8cos2 x 2

c) 4cos2x3sin2 x3sin cosx x2 d) 4sin3x3cos3x3sinxsin2xcosx0e) 6sinx2cos3x5sin 2 cosx x f) sin sin 2x xsin 3x6cos3x

Dạng 5 Phương trình giải bằng phương pháp phân tích thành nhân tử

Bài 15 Giải các phương trình sau:

a) sin 7xsin 3xcos 5x b) cos2 xsin2xsin 3xcos 4x

c) cos 2 cos 2sin23

2

x

Bài 16 Giải các phương trình sau:

a) sinx4cosx 2 sin 2x b) 3 sin 2xcos 2x2 cosx1

c) sin 3xcos3xsinxcosx 2 cos 2x d) sin 2 cosx xsin cosx xcos 2xsinxcosx

Bài 17 Giải các phương trình sau:

a) 1 sin 2 xsinxcosxcos 2x b) cos2xcos 22 xcos 32 xcos 42 x2

c) 1 cos xcos 2xcos3x0 d) sin 2xsin 3xsin 4x0

2sinx1 2sin 2x  1 3 4 cos x f) 1 sin xcosxsin 2xcos 2x0

g) 2sin 2xcos 2x7sinx2cosx4 h) 9sinx6cosxcos 2x3sin 2x8

Bài 18 Giải các phương trình sau:

Dạng 6 Phương trình giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Bài 19 Giải các phương trình sau:

1 sin cos sin cos

2

c) sin3xcos3x 2 sin cosx x d) 1 tan x2 2 sinx

e) cos3 sin3 1 3sin 2 0

tanxtan xtan xcotxcot xcot x6

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM THAM KHẢO

Nghiệm của phương trình 2sinx 1 0 được biểu diễn trên đường tròn lượng giác ở hình bên là những điểm nào?

A Điểm E, điểm D B Điểm C, điểm F C Điểm D, điểm C D Điểm E, điểm F

Khẳng định nào dưới đây là sai?

C D

F

Cho phương trình: 3cosxcos 2xcos3x 1 2sin sin 2x x Gọi  là nghiệm lớn nhất thuộc khoảng

0; 2 của phương trình, tính sin

Câu 9 Trong các phương trình sau phương trình nào vô nghiệm ?

A tanx2017 B sinx  C cosx 2017

Câu 13 Nghiệm của phương trình lượng giác: 2x x

cos cos 0 thỏa mãn điều kiện 0  x là:

Câu 14 Tìm m để phương trình 2 sin2 xmsin 2x2mvô nghiệm

Câu 16 Cho phương trình  x  x m x m 2x

sin 1 sin 2  sin  cos Tìm tập S tất cả các giá trị thực của

tham số m để phương trình có nghiệm trên khoảng 0;

A sin sin 2 sin 5x x x0 B sin sin 2 sin 4x x x0

C cos cos 2 cos 5x x x0 D cos cos 2 cos 4x x x0

Câu 18 Gọi m là GTNN và M là GTLN của hàm số y x x

sin 2 cos 1sin cos 2

Câu 21 Hằng ngày, mực nước của con kênh lên xuống theo thủy triều Độ sâu h m của mực nước con

kênh tính theo thời gian t h  được cho bởi công thức h 3cos t 12

  Hỏi lần đầu tiên con

kênh đạt mực nước cao nhất sau khoảng thời gian t là bao nhiêu giờ ?

A t22 h B t15 h C t14 h D t10 h

Câu 22 Tính tổng các nghiệm của phương trình sin 2x4 sinx2 cosx 4 0trong đoạn 0;100của phương trình ?

A 25 B 100 C 2475 D 2476

Câu 23 Số nghiệm nằm trong đoạn ;

Câu 25 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn 2018;2018, để phương trình

m1 sin 2 xcos 2x0có nghiệm ?

1

x y

c) Hàm số xác định khi: 2 2sin x 0 sinx1: luôn đúng    x D

d) Hàm số xác định khi: sinx1 1 Mặt khác : sinx1 x   2

Từ  1 và  2 suy ra: sin 1 2

Bài 2. Các hàm số sau chẵn hay lẻ, vì sao?

sin

x x y

x

 

4 6

sin 1

2 cos

x y

d) ysin2x2sin cosx xcos2x5

e) y4cos2x4cosx3 với ;5





PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Dạng 1: Phương trình lượng giác cơ bản,phương trình bậc nhất đối với 1 hàm số lượng giác

Bài 5. Giải các phương trình sau:

k k

Các điểm biểu diễn họ nghiệm ,

6

x   k k

trên đường tròn lượng giác là A, B

Các điểm biểu diễn họ nghiệm ,

Các điểm biểu diễn họ nghiệm 5 2 ,

3

x   k  k

trên đường tròn lượng giác là A

Suy ra họ nghiệm của phương trình là 2 ,

e) tanx 30 cos 2  x150  0 f) cot 2 cot 3x x1

15

k x

Trường hợp 1: sin 2xsin 3x 2x3x k 2   x k2 k 

Trường hợp 2: sin 2x sin 3x 2x  3x m2 2

Ta có: sin 1

sin 2 1

x x

Điều kiện sinx  0 x k

Điều kiện cosx        30  0 x 30 90 k180  x 120 k180

tanx 30 cos 2  x150  0 sinx 30 cos 2  x    60 90  0

k x k x

Bài 9 Giải các phương trình sau

a) 8cos 2 sin 2 cos 4x x x 2 b) cot 2xcot 3x1

c) sin 2x2cosx0 d) cos3xcos 4xcos5x0

Lời giải

a) 8cos 2 sin 2 cos 4x x x 2 (1) D

 1 4.(2cos 2 sin 2 ).cos 4 2

PT  x x x 4.sin 4 cos 4x x 22.sin8x 2

k k

cos 2 cos 3 sin 2 sin 3 0

, ( )2

cos 3 cos 4 cos 5 0

PT cos 4 cos 5 cos 3

cos 4 2 cos 4 cos

Dạng 2: Phương trình bậc 2, bậc 3 đối với 1 hàm số lượng giác

Bài 10. Giải các phương trình sau:

a) 2

2sin x7 sinx 4 0

b) sin 3xcos 2xsinx0

cos 2xsin x2 cosx 1 0

d) sin 3xcos 2x 1 2sin cos 2x x

2

726

k x

cosx 1

 2

x  k  k

d) sin 3xcos 2x 1 2sin cos 2x x

Ta có:

sin 3xcos 2x 1 2sin cos 2x x 2

sin 3x 1 2sin x 1 2sin cos 2x x

2sin 3x 2sin x 2sin cos 2x x 0

(Thỏa mãn điều kiện)

x  k x  k k

f) tan 2x2 tanx0

Điều kiện: cosx0;cos 2x0

Ta có:

1 tan

x x

   (Thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình có nghiệm xkk 

Bài 11. Giải các phương trình sau

a) cos3xcos 2xcosx 1 0

cos 3 cos 2x xcos x0

f) cos4 sin4 sin 2 1

2

x x x

Lời giải

a) cos3xcos 2xcosx 1 0

cos3x cosx 1 cos 2x

22sin 2 sinx x 2sin x

2cos 4x 2 cos 4x 1 2 0

Dạng 3: Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

Bài 12. Giải các phương trình sau

Bài 13. Giải các phương trình sau

a) cos 7 cos 5x x 3 sin 2x 1 sin 7 sin 5x x

b) 3sinx 1 4sin3x 3 cos 3x

c)  4 4 

4 sin xcos x  3 sin 4x2

d) 2sin17x 3 sin 5xcos 5x0

e) cos 7xsin 5x 3 cos 5 xsin 7x

b) 3sinx 1 4sin3x 3 cos 3x 3

3sinx 4sin x 3 cos 3x 1

k k x

4 sin x cos x 2sin x.cos x 2sin x.cos x 3 sin 4x 2

k k x

72 6

k x

k k x

Dạng 4: Phương trình đẳng cấp đối với sinx và cosx (bậc 2, bậc 3, bậc 4,…)

Bài 14 Giải các phương trình sau

d) 4sin3x3cos3x3sinxsin2xcosx0

e) 6sinx2cos3x5sin 2 cosx x

f) sin sin 2x xs in3x6cos3x

Lời giải

3sin cos 2sin x x x cos x0 sinx2 cosx sinxcosx 0

Thay cosx0 vào (*) ta được sinx0 điều này trái với tính chất 2 2

sin xcos x1nên cosx0

Vậy  * tan 2

x x

4 cos x3sin x3sin cosx x2 3*

Nhận xét cosx0 không thỏa mãn phương trình (3*), nên chia cả hai vế của phương trình (3*) cho 2

Nếu sinx 1: Thay sinx 1, cosx0 vào phương trình  1 , ta được: 1 0  (vô lý)

Chia hai vế của phương trình  1 cho 3

4 tan 3 3 tan tan 1 tan 0tan tan 3 tan 3 0

(thoả mãn điều kiện  2 )

Vậy nghiệm của phương trình là

4

,3

Nếu sinx 1: Thay sinx 1, cosx0 vào phương trình  1 , ta được: 6 0  (vô lý)

6sin 2 cos 10sin cos

6 tan tan 1 2 10 tan

Vậy nghiệm của phương trình là ,

Nếu sinx 1: Thay sinx 1, cosx0 vào phương trình  1 , ta được: 1 0 (vô lý)

2 tan 3 tan tan 1 4 tan 6 0

tan 2 tan 3 tan 6 0

(thoả mãn điều kiện  2 )

Vậy nghiệm của phương trình là

arctan 2

,3

Dạng 5: Phương trình giải bằng phương pháp phân tích thành nhân tử

Bài 15. Giải phương trình sau

a) sin 7xsin 3xcos5x b) 2 2

cos xsin xsin 3xcos 4x

c) 2 3cos 2 - cos 2sin

126

cos sin sin 3 cos 4 cos 2 cos 4 sin 3

2 sin 3 sin(- ) sin 3 sin 3 (1 2 sin ) 0

3cos 2 cos 2 sin cos 2 cos 1 cos 3

2cos 3 cos 1 cos 2 2 sin 2 sin 2 sin

sin (sin sin 2 ) 0 sin (1 2 cos ) 0

sin 0

, ( )2

1

2cos

32

Bài 16 Giải các phương trình sau

a) sinx 4cosx 2 sin 2x

b) 3 sin 2x cos 2x 2 cosx 1

c) sin 3x cos3x sinx cosx 2 cos 2x

d) sin 2 cosx x sinxcosx=cos2x+sinx cosx

2 3 sin x cosx 2 cos x 1 2 cosx 1

2cos ( 3 sinxx cosx 1) 0 cos 0

c) sin 3x cos3x sinx cosx 2 cos 2x (sin 3x sin )x (cos3x cos )x 2 cos 2x 0

2cos 2 sinx 2cos 2 cosx x x 2 cos 2x 0

cos 2 (2sinx x 2cosx 2 ) 0

x

k x

2sin cosx x s inx.cosx s inx 2 cos x 1 cosx

Bài 17 Giải các phương trình sau:

a)1 sin 2 xsinxcosxcos 2x

b) cos2 cos 22 cos 32 cos 42 21

2

c) 1 cos xcos 2xcos3x0

d) sin 2xsin 3xsin 4x0

2sinx1 2sin 2x  1 3 4 cos x

f) 1 sin xcosxsin 2xcos 2x0

g) 2sin 2xcos 2x7sinx2cosx4

h) 9sinx6cosxcos 2x3sin 2x8

cos xcos 2xcos 3xcos 4x2

1 cos 2 1 cos 4 1 cos 6 1 cos8

222

22

cos

22

3

k

k x

26

sinx cosx1 2 cosx 0

1

22

cos

23

24sin cosx x 2sin x 1 7 sinx 2 cosx 4 0

26

Xét  2 : 2cosxsinx3, ta có 22  12 32 nên suy ra phương trình vô nghiệm

Vậy tập nghiệm của phương trình là: 2 ; 5 2

x  k  x  k 

h) 9sinx6cosxcos 2x3sin 2x8

29sinx 6 cosx 6sin cosx x 1 2sin x 8 0

Xét  2 : 7 6cos x2sinx 0 2sinx6cosx7 Ta có 226272 nên suy ra phương trình vô nghiệm

Vậy tập nghiệm của phương trình là 2

.7

26

6526

k k x

d) sinxsin 2xsin 3xcosxcos 2xcos3xsin 3xsinxsin 2xcos 3xcosxcos 2x

2sin 2 cosx x sin 2x 2cos 2 cosx x cos 2x

cos coscos

32

x x

Dạng 6: Phương trình giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Bài 19. Giải các phương trình sau

a) sin 2x12 sin xcosx120

2sin cos 1

Phương trình (1) vô nghiệm Xét phương trình (2)

sin xcos x 2 sin cosx x

sin cos 1 sin cos  2 sin cos

Đặt tsinxcos x  2 t 2 Suy ra

21sin cos

1 tan x2 2 sinxsinxcosx2 2 sin cosx x

2,

Với 0, sin cos 0 sin 0 ,

2(1 tan ) 2 cot 5 tan 5cot 4 0

2 tan 2 cot 5 tan 5cot 6 0

x x   x x  Phương trình vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là: ,