Olympic sinh viên Spho 2011

Đề & đáp án Olympic sinh viên Spho 2011

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO OLYMPIC VẬT LÝ SINH VIÊN TOAN QUOC — AN GIANG 2! HOI VAT LY VIET NAM

ĐÁP ÁN GIẢI BÀI TẬP CÂU I1

Trên hình 1 là giản đồ hoạt động lý thuyết của động cơ 4 kỳ Động cơ hoạt động như sau: hỗn hợp không khí và nhiên liệu được đốt nóng lên nhiệt độ cao bởi quá trình nén đoạn nhiệt (1-2), dãn nở trong thời gian rất ngắn khi bị đốt cháy đăng áp (2-3), sau đó khí tiếp tục dẫn nở đoạn nhiệt (3-4), cuối cùng thoát ra ngoài không gian làm việc và được thay bởi hỗn hợp nhiên liệu mới Giai đoạn cuối của chu trình làm việc tương đương với quá trình đăng tích (4-1) Thuong

số e=V/V; được gọi là hệ số nén, còn thương số @=V;/V; là hệ số lắp đây của động cơ

Giả thiết có thể xem không khí và các sản phẩm cháy là khí lý tưởng hai nguyên

tử Nhiệt dung riêng đẳng tích của khí này là cy=2, 5 R/M, trong đó R là hằng số khí, còn M là khối lượng mol của chất khí Đối với quá trình đoạn nhiệt ta có định luật Poisson pV” = const, y =c„/cy là hằng số Poisson

a Hãy xác định các đại lượng p, T ở các điểm 2, 3 và 4 trên giản đồ hoạt

động nếu cho biết các giá trị pị, Tì tại điểm 1 và hệ số nén e, hệ số lấp đầy (ọ của động cơ

b Xác định nhiệt lượng nhận và tỏa ra bởi tác nhân trong một chu trình và hiệu suất lý thuyết tương ứng của động cơ

c Chứng minh rằng đối với hiệu suất lý thuyết ta có hệ thức

l 1 ø'-l

ø—l

Trước hết, hãy giải câu hỏi a và b một cách tổng quát, sau đó tính số với các số liệu sau: p; = 0,10 MPa; V; = 2,00 10° m*; T, = 300 K; y = 1,40 ; e = 20,0 ; ọ = 1,80

Hình 1

Bài giải

a Đối với quá trình đoạn nhiệt 1-2 ta có

rÌ

“——= T, T, s Py = P22 = 3 —= T, \V, =€

Do đó,

T, =Te”" , P, = pe’

Đối với quá trình đẳng áp 2-3 ta có

T1 TÔ =0,

do đó

T,=T¿p=T£”`0p , P=P:= Đế”

Đối với quá trình đoạn nhiệt 3-4, ta có

=I

T, (V;)

VI =pV/, có vị sẽ =a’ :

P3"3 = Pals T, (2 ợ a suy ra

T,=T,p’'s"? =T9"

Ta cũng có

Ự ry

Py= TH = pe’

1

Kết quả tính số: (chứ ý số chữ số có nghĩa trong kết quả)

T;=300 K , 7,=994K , T;=1790K , T;=683K

p:=0,10 MPa, p2=6,63 MPa , p:=6,63 MPa, ps=0,23 MPa

b Ta có thể biểu diễn khối lượng không khí đi qua thể tích làm việc trong một

chu trình là

„ 1M

RT,

Do đó

mey =25P% ;

T

Trong quá trình đốt cháy nhiên liệu 2-3, tác nhân nhận một lượng nhiệt là

V,

Ó, =me,(, ~T,)=myey(, ~T,)=25y “E!Œ, ~T,)

l

Trong quá trình đẳng tích 4-1, tác nhân tỏa ra một lượng nhiệt là

C

O; = mey(T, ~T,)=2,5 'Œ, ~T,)

1

Các giai đoạn khác của chu trình là quá trình đoạn nhiệt nên không có sự trao đôi nhiệt Vì vậy, hiệu suất lý thuyết của động cơ là

ẮẲ9-Ó, _¡ Ó)› 1 7, =1;

Két qua tinh sé:

Ty

TT

CÂU 2

Xét sự va chạm của hạt pion Zˆ với proton p đứng yên trong hệ quy chiếu

phòng thí nghiệm, sinh ra hai hạt K° và A° Phản ứng được việt dưới dang

7 "+p—>K°+A'

1 Hãy tính động năng ngưỡng của pion để phản ứng trên xảy ra

2 Trong một thí nghiệm, các pion có động lượng 2,50.10° MeV/c Nguéi ta

quan sát thay cdc hat A° cé déng lugng 0,60.10° MeV/c và hướng chuyên

động của chúng lập góc 45” so với hướng chuyên động của các pion

a Hãy tính tốc độ của hệ quy chiếu khối tâm đối với hệ quy chiếu phòng

thí nghiệm

b Hãy tính động lượng của các hạt K” trong hệ quy chiêu phòng thi

nghiệm và trong hệ quy chiếu khối tâm

Cho biết m_=140 MeV/c” , m)=938 MeV/c? , m,, =498 MeV/c’, m,, =1116

MeV/c’

Chú thích:

e a” là hạt z-meson (gọi là pion) mang điện tích âm, K” là hạt K-meson (gọi là kaon) không mang điện tích, hạt A” (gọi là hạt lambda) không

mang điện tích

e Theo thuyết tương đối hẹp, khi chuyển từ hệ quy chiếu quán tính này sang

hệ quy chiếu quán tính khác, các đại lượng & ?) biến đổi giống như

c

các đại lugng (ct,7)

L - Bài giải

1 Ký hiệu p, E và p', E` ja động lượng, năng lượng tông cộng của hệ trước phản ứng xét trong hệ quy chiếu phòng thí nghiệm Š và hệ quy chiêu khối tâm S", v là tốc độ của S* so với S Từ phép biến đôi Lorentz đối với tọa độ và thời gian suy

ra phép biến đổi của động lượng và năng lượng

Ta có

p’=0, sak ’ te s5 EP ’ (2)

trong dé y*=1- vic

Từ (2) rút ra

E'= VE” ~(pe)'

= \(m) +mỶ)c'+2m ,e°2/(m, ce’)? +(pe)’

Khi hat dã có năng lượng ngưỡng, các hạt sau phản ứng đứng yên trong hệ quy

chiếu khối tâm Tại ngưỡng, năng lượng tông cộng của hệ hạt sau phản ứng

trong hệ §” là (m,, +m , }%eˆ Theo định luật bảo toàn năng lượng ta có

Do đó,

mc! + (pe) S |tmự +M yo i + m?)|c? (5)

P

Động năng ngưỡng của hat z là

Pp

= 769 MeV

2.a Theo (2), ta có

p=2,50.100MeVíc , E =vjm‡c“+(pc)” +m,c? =3,44.10Ì MeV

2.b Chon hướng chuyên động của các pion làm trục x (véc tơ don vj i), truc y (véc tơ đơn vị j) nằm trong mặt phẳng chứa quỹ đạo của pion và hạt K-meson Trong hệ quy chiếu S, góc giữa P„ và Є là , giữa Є và Đ„ là @ Trong hệ Š`, các góc tương ứng là 9° và @`

Theo định luật bảo toàn động lượng, ta có

P = P„- ~ Ö„y = 2,5ï~ 0,6(cosØ ï + sin9 j)

4

Vậy ta nhận được vu

|B yo|=2,12.10° MeV/c

Năng lượng của hạt K-meson là

E„a =A|m2sc° +(p,ae)? = 2,18.10° MeV (9)

Năng lượng và động lượng của hạt K-meson trong hệ quy chiếu khối tâm liên hệ với năng lượng và động lượng của nó trong hệ quy chiều phòng thí nghiệm bởi biến ` Lorentz

=y[px-(/e)(E©)]} , E⁄c=y[BE/c-(v/c)pj] ,

Do đó,

px =0,72.10MeVíc , p'y=-0,42.10° MeV/c

Vậy

CÂU 3

Cho mạch điện hình ,vuông, chiều dài mỗi cạnh là d=5 cm, gồm hai khóa S; va S>, nguồn điện có suất điện dong U=6 V, va điện trở R=1 0 Q Doan day dan CD phía dưới được bọc cách điện bởi vật liệu điện môi có khối lugng M=0,1 kg va tích điện Q=10 mC Khối lượng và điện trở của day | dẫn và các thành phần khác nhỏ, có thê bỏ qua Đoạn dây dẫn ở giữa (có chuyển mạch S;) nằm cách đoạn dây dẫn phía dưới một khoảng d/2 Mạch điện được treo sao cho có thể quay không ma sát quanh trục OO’ nam ngang trùng với đoạn dây dẫn phía trên (có nguồn điện) Mạch điện không bị biên dạng trong mọi trường hợp Mạch điện năm trong từ trường đều có cảm ứng từ B=10,0 T và điện trường đều có cường

độ điện trường E=1000 N/C Cả hai trường có hướng song song với nhau và vuông góc với mặt phẳng thắng đứng đi qua trục quay OO' (xem hình vẽ 2)

lị

Sk

Hinh 2

+++++++t+t+

¬Ă

a Cả hai khóa §¡ và S; mở Xác định góc Ô giữa mặt phăng mạch điện và đường thăng đứng

b Khóa S¡ đóng, khóa S¿ mở Xác định góc cân bằng 0

ce Khoa Si mở, khóa S; đóng, quay mạch điện từ vị trí thẳng đứng 0=0 lên

vị trí năm ngang Ô=z2 trong thời gian At=5 ms Hãy tính công thực hiện trong quá trình đó

d Mạch điện được thả từ vị trí nằm ngang với cả hai khóa md Hay mô tả chuyên động của mạch điện và tính những thông số cần thiết đối với chuyển động đó Nếu đóng khóa S; trong quá trình mạch điện chuyển động thì có hiệu ứng gì xảy ra?

Bài giải

a Nếu cả hai khóa mở, trong mạch không có dòng điện Tác dung lén doan day dẫn CD chỉ có trọng lực F, va luc dién Fy Khi mach điện năm ở vị trí cân bằng,

ta có

"Fa

tan 0, =

b Nếu S; đóng, S; mở, dòng điện cường độ l = x đi qua dây dẫn CD Từ trường tác dụng lên đoạn dây dẫn CD lực E, Ở vị trí cân bằng, góc nghiêng Ô;

được xác định bởi phương trình

¬m^

3 IF, +P) Mg+Bld ’

c Khi khóa S; mở, §› đóng, mạch điện chuyển từ vị trí thăng đứng sang vị trí nằm ngang, trong mach gom day - CD, điện trở R và khóa S$, c6 dong dién cảm ứng cường độ trung bình l„ = R _

Theo định luật bảo toàn năng lượng, công W cần thiết để làm mạch điện thay đổi vị trí bằng tông của biến thiên thế năng của mạch điện và nhiệt lượng tỏa ra trên điện trở Ta có

Bd?

W = Med+I2.R At = Med + =0,08J

ere É°” 2RAI

d Khi hai khóa mở, vị trí cân bằng của mạch điện ứng với góc Ô;, Nếu mạch

điện ở vị trí với góc lệch œ so với vị trí cân bằng, lực kéo mạch điện trở về vị trí

cân bằng là

F =Mgsin(6; + ø) - QE cos(9, + œ)

= M(g cos@, + = sin@, ) sin a

= Mg, sina

Giống với trường hợp con lắc đơn, nếu góc lệch œ nhỏ, mạch điện sẽ thực hiện

dao động điều hòa với tần số góc œ = fie = 44,83 rad/s, chu ky T= 0,14 s

Néu đóng khóa S; trong qua trình mạch điện dao động, trong mạch điện chứa dây CD, điện trở R và khóa S; xuất hiện dòng điện cảm ứng có tác dụng chống lại sự dao động của mạch

Do đó, mạch điện sẽ dao động tắt dần, cuối cùng sẽ dừng lại ở vị trí cân bằng

với góc lệch Ô\ so với vị trí thăng đứng

CÂU 4

Chiết suất n của không khí ở nhiệt độ 300 K và độ cao ngang mực nước biển ứng với ánh sáng có bước sóng À nằm iữa vùng phô nhìn thây là 1,0003 Giả thiệt rằng khí quyền có nhiệt độ đồng đêu là 300 K va dai lượng (n-]) tỉ lệ với mật độ không khí Hỏi khí quyên của Quả đất phải đậm đặc hơn bao nhiêu lần

dé anh sang bude song A sé di vong quanh Quả đất ở độ cao ngang mực nước biển Biết răng lên cao 8700 m thì mật độ không khí giảm e lần Bán kính Quả đất là R = 6400 km

Bài giải Theo giả thiết khí quyền có nhiệt độ đồng đều, sự phụ thuộc của mật độ không

khí d(r) vào chiều cao r tuân theo phân bố Boltzmann

_ me(r~R)

trong đó r là độ cao tính từ tâm Quả đất Ta có biểu thức cho chiết suất của không khí phụ thuộc độ cao

ní)—l=pe * hay n()=l+pe "

với p là hệ số tỷ lệ liên quan đến mật độ không khí, h=§700 m Do đó

7

=-Te bh, (1)

2)

Giả sử khí quyền có mật độ đậm đặc đến mức ánh sáng truyền theo độ cong của

be mat Qua đất ở độ cao r, tức là truyền theo cung tròn bán kính r, từ điểm A đến điểm B Độ đài quang trình từ A đến B là

s =n(r) r 9

Ta biết đường truyền của ánh sáng thỏa mãn điều kiện độ dài quang trình là cực trị Do đó

Từ (1) và (2) ta có

r h Dat r = R, ta nhan duge

Trong thực tế, chiết suất ở độ cao ngang mực nước biên là nạ=1,0003, suy ra

hang s6 po = no-1 = 0,0003

Nhu vay, dé anh sang truyền theo độ cong của bè mặt quả đất ở độ cao ngang mực nước biển, khí quyển phải đậm đặc hơn khí quyền thật p/ pọ lần:

P _ 0,00136 = 4.53

Po ~ 09,0003 0003

HET