Hàm số đa thức

BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN VỚI HÀM ĐA THỨC Các kiến thức cơ bản sau đây luôn luôn được sử dụng đến trong quá trình giải toán.. Hai đường tiếp xúc với nhau tại điểm M có hoành độ xẹ nêu như hệ

Bài giảng số 16

HAM SO 8A THUC

Ham số là một trong những nội dung chủ yếu của môn Toán được giảng dạy

trong nhà trường phổ thông, chủ để hàm số luôn luôn là câu số I trong moi dé thi

về môn Toán vào các trường Đại học và Cao đẳng

Hàm số đa thức và hàm số phân thức là hai câu thành chính của chuyên mục hàm

SỐ Bài giảng này đề cập đến các bài toán liền quan đến hàm số đa thức, trong bài giảng

số l7 sẽ trình bày các bài toán tương tự nhưng đối với lớp hàm số phân thức

§1 BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN VỚI HÀM ĐA THỨC

Các kiến thức cơ bản sau đây luôn luôn

được sử dụng đến trong quá trình giải toán

Cho đường cong y = f(x) va điểm M

a, là hệ số góc của tiếp tuyến với đường ⁄ |

cong tại M Khi đó ta có:

2/ Phuong trình tiếp tuyến với đường / 0 / Xo

cong tai M là y — yo =-y’(Xo).(x.— Xo) (1) í

Chú ý răng (l) mn phương trình tiếp

tuyến với đường cong y = f(x) tại điểm M

cho trước trên đường cong, còn các trường

hợp khác dé giải các bài toán về tiếp tuyến người ta sử dụng kết quả sau:

Cho hai duong y = f(x) và y = g(x) Hai đường tiếp xúc với nhau tại điểm M

có hoành độ xẹ nêu như hệ sau đây thỏa mãn:

f(xo) = g(xo)

f'{xạ)=E (xo)

Loại 1: Tiếp tuyến với đường cong tại một điểm cho trước trên đường cong

Để giải các bài toán loại này nhất thiết phải tìm được tiếp điểm của tiếp tuyến

với đường cong, sau đó sẽ sử dụng công thức (1) nói trong phân mở đầu

Xét các thí dụ sau:

Thi du 1: (Đề thủ tuyển sinh Dai hoc khéi A -2009)

Cho đường cong: y = ae :

Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết rằng tiếp tuyến cắt trục hoành tại A,

trục tung tại B sao cho OAB là tam giác vuông cân tại Ò, ở đây Ò là gốc tọa độ

286

owe

goss

=

ò N

Sood Nas

® goes NỀN xà»

EK

Và

=e Sees Seance

Ñ⁄»

Giải

Ta có: y` = ——-y - Vì tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác

(2x + 3)

vuông cân nên hệ số góc của tiếp tuyến 1a + 1

Khi dé ay = 4 1 <> ————-~ = +1 ©

(2x9 + 3)

Khi Xo = —2, thi yo = 4, Ihc dé tiếp tuyến có dạng y=—x~— 2,

Khi Xo = —1, thi yo = 1, luc do tiép tuyến có dạng y = -x (trường hợp này loại

vì y=~x đi qua gốc tọa độ, nên không tạo thành tam giác OAB)

Vậy có duy nhất y = ~ x — 2 là tiếp tuyến cần tìm

Thí dụ 2: (Đề thủ tuyển sinh Đại học khối B - 2004)

Cho hàm số y = 5x 2x’ + 3x (C) Viét phương trình tiếp tuyến A của (C) tại

điểm uốn và chứng mình A là tiếp tuyên của (C) có hệ sô góc nhỏ nhất

Giải

Ta co y’= x°— 4x +3 vay” = 2x T— 4 Từ đó suy rà M [2 2] là điểm uốn của

(C) Tiếp tuyến với (C) tại M có dạng: y 5 = -(x - 2) =y=—X +

Tiếp tuyến này có hệ số góc a = —1 Mặt khác tiếp tuyến với (C) tại điểm bất

kì trên (C) có hoành độ x có:

a¿=XÌ~4x+3=(x—2}—l> -l =a= đpcm

Nhận xét:

Dễ thấy ta có kết quả tổng g quát như sau (với chứng mình hoàn toàn tương tự):

Với đường cong y = ax” + bx”+ ex + d voi a> thi tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số

góc bé nhật; (còn khi a < 0 thi hệ số góc lại lớn nhât)

Thi du 3: (Dé thi tuyén sink Dai hoc khéi D ~ 2005)

Gọi (C„) là đồ thị của hàm số y = x a + Gọi M là điểm thuộc (C„)

có hoành độ bằng —I Tìm m để tiếp tuyến với (Cụ) tại M song song với đường

thẳng 5x — y = 0

Giải Đường thẳng 5x ~ y= 0 có hệ số góc góc bằng 5, nên để tiếp tuyến tại M song

song với A trước het ta can có: yv(-l)=Š5 © m+†+lI=Š © m =4

Khi m = 4 thi tiếp tuyến có dạng: y — (-2) = 5(x + I) Sy = 5x +3 RO rang

duong nay song song voi A, vay m = 4 là giá trị duy nhất cần tìm

Thi du 4:

Cho y= x?+ 1 —m(x + 1) (Cy) Tim m dé tiếp tuyến với (Cm) tại giao điểm

của nó với trục tung, tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 8

Giai

Dễ thay M(0; 1 — m) la giao điểm của (Cm) với trục tung, nên cũng dễ thấy

y=-mx + l-m là tiếp tuyến với (Cm) tại M

287

owe Sees

Š

=

ò N

Sos

&

ee

x

gee

NỀN xà»

EK

Nà

goose Sees

`w Ñ⁄»

yp

es)

Gọi A, B tương ứng là giao điểm của tiếp tuyến này với trục hoành và trục

tung, ta có ngay: A-|[ Pa] và B=(0; I—m)

m (chú ý khi m = 0, thì tiếp tuyến song song với Ox nên loại khả năng này)

{m|

SOAB =8©-0AOB=8e©

° m=9+445

m=-7+4y3

Đó là 4 giá trị cần tìm của tham số m -

Thi da 5:

Cho đường cong (C): y = x` ~2x” + 8x + 5 Chứng minh không có bất kì hai

|I-m|=8©

tiếp tuyến nào của đường cong lại vuông góc với nhau

Giải Giả sử trái lại có hai đường tiếp tuyến của (C) vuông góc với nhau Gọi xị, X;

tương ứng là các hoành độ của hai tiếp điểm của hai tiếp tuyến ấy Gọi ay, a; lần

lượt là các hệ số góc của hai tiếp tuyến tại các điểm trên (C) có hoành độ xị xa

Khi đó từ a¡az=T—l — y°(xi).y)(¿) =—]

=> (3x)? — 2x, + 7)(3x2 — 2x + 7) =—1 (1)

Tam thirc f(t) = 3t?- 2t + 7 có A'<0 nền f{t) > 0 Vt e R Tir do va tir (1) suiy

ra mâu thuẫn Vậy giả thiết phản chứng là sai > dpem

x=2, vì thế (2) ©xÌ`~ 8~— 12x + 24 =0

Thí dụ 6:

Cho y = xÌ —3x+] (C)

1/ Viết phương ờ trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x = 2

2/ Tiếp tuyến ở câu 1/ cắt lại đường cong (C) tại điểm M' Tìm tọa độ của M`

Giải

1/ Tiếp tuyến tại M có phương trình:

y-3=9(x—-2) ©y=9x- 15

2/ Giả sử tiếp tuyến ở câu 1/ cắt (C) tại M'

Xét phương trình:

x~3x + l=0x— 15 ©x ~12x+16 (2)

Chú ý rằng (2) chắc chắn có nghiệm

©(x-2\xÌ+2x—§8) =0

Xx

(x-27(x+4)=00

X=-Ả4

Vậy M°(-4; —51) là giao điểm thứ hai của tiếp tuyến tại M với (C)

Thi du 7:

Cho duong cong y = x*— 3x? +1 (C)

Ching minh rang trén (C) tén tại vô số cặp điểm mà hai tiếp tuyến tại từng

cặp điểm song song với nhau

288

owe

goss

=

ò N

Sos

%

3

goes NỀN xà»

EK

Và

=e

~ `

gee See

Ñ⁄»

Giải

Ta co y’ = 3x — 6x Bài toán đã cho có dạng tương đương sau:

Chứng minh răng tốn tại vô số k sao cho các phương trình:

đều có hai nghiệm phân biệt

Nhận xét:

1/ Kết quả trên vẫn đúng cho mọi đường cong bậc ba tùy ý

2/ Các bạn hãy tự chứng minh nhận xét sau: Mọi đường thẳng nỗi từng cặp

trên luôn đi qua một điêm cô định (13-1) -

Loại 2: Phương trình tiếp tuyến với đường cong đi qua một điểm cho trước:

Lược đồ chung giải các bài toán này như sau:

— Hoặc là quy về bài toán loại ! (tức là quy về tìm tiếp điểm của tiếp tuyến

với đường cong đã cho)

— Hoặc là sử dụng mệnh đề vẻ điều kiện hai đường tiếp xúc với nhau đã trình

bày trong phần mở đầu

Phương pháp thứ hai là phương pháp hay được sử dụng hơn

Thí dụ 1: (Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khi B — 2008)

Cho đường cong y = 4x” — 6x” + 1 (C) Viết phương trình tiếp tuyến với (C)

biết rằng tiếp tuyến đi qua điểm M(—1; -9)

Giải

Đi qua điểm M(—1; -9) thi x = —I chặc chắn không phải là tiếp tuyến với (C)

nên mọi tiếp tuyến của (C) đi qua M phải có dạng: y = k(x + 1) -9

Goi xạ là hoành độ tiếp điểm, ta có hệ phương trình sau:

4x) =6x +I=k(xạ+l)~9 (1) 12xã ~l2xạ =k (2)

Thay (2) vao (1) rồi rút gọn ta có:

Xu

+ Khi xẹ= —I, thì k = 24 Lúc này tiếp tuyến là y = 24x + 15

+Khix= > thik = Ib Lúc này tiếp tuyến là y = 1 2, 4 4 y tiếp tuy y= 4 4

Nhận xét:

Trong thí dụ trên điểm M(-—1; -9) e (C) Vì thế nếu ta cho rằng M e (C), nén

tiếp tuyến có dạng:

y~(-9)=y(-l).(x+ l)=24(x+ l) y=24x+ l5

21

Giải như vậy sẽ thiểu đáp số: y = ox a

289

owe

goss

=

`

Sos

%

Nà

goes

về xà»

SA

eX _

eee

§

| See

Ñ⁄»

Ss

*

Sag

Se

ae Says

Ss

Sage

Ss

Từ đó ta có bài học sau: Phải phân biệt xem đầu bài yêu cầu viết phương trình

tiếp tuyến với (C) tại điểm M, hay qua M (điểm M nằm trên (C) hay không nằm

trên (C) không đóng vai trò gì ở đây cả)

Thí dụ 2:

Cho đường cong y = đạt: -3x”+— = (C) Viét phuong trinh tiếp tuyến với (C)

biết tiếp tuyến đi qua điểm M(0;Š 5 )

Lập luận như thí dụ 1 tiếp tuyến có dạng: y = kx tố

Gọi xạ là hoành độ tiếp điểm Khi đó có hệ phương trình sau:

2

2x) — 3X, =k (2)

—xi 3x2 +2 =kx y+ 2 0 0 2 0 (1)

Thay (2) vao (1) roi rit gon ta co: Xã (xj — 2) =00

Xo = +/2

Từ đó suy ra có ba tiếp tuyến: y =3 = -2V2x Hy = 22x +

Thi du 3:

ˆ_ Có bao nhiêu tiếp tuyến đi qua điểm MẸ ~2; 5) với đường cong

(3 y=x 3_ Ox? + 17x+2

Giai Moi tiép tuyén với (C) qua M có dạng: y = k(x + 2) + 5 Gọi xo là hoành độ

tiếp điểm Khi đó ta có hệ:

[xj~9x2+17x+2=k(xạ+2)+5 ()

Thay (2) vao (1) rồi rút gọn, ta cd: (Xo— 1)(2x0" — xo t 17) = 0 (3)

Đối với đường cong bậc ba số tiếp tuyến bằng số tiếp điểm (vì mỗi tiếp tuyến

với y= ax”+ bx”+ cx+ d=0,a #0, chỉ tiếp xúc với đường cong tại một tiệp điểm

duy nhất)

Vì thế số nghiệm của (3) bang số tiếp tuyến với (C) tại M

Do phương trình 2x9 — Xo— 37 =0 (an Xo) co hai nghiém phan biét khac 1, nén

(3) có ba.nghiệm phân biệt, vì thế qua điểm M vẽ được ba tiếp tuyến đến (C)

Thí dụ 4:

Cho đường cong y = x — 3x +2 (C) Tìm các điểm M e (C) sao cho qua M

chỉ có thể vẽ được duy nhất một tiếp tuyến đến (C)

Giải Giả sử M (œ; œ`-3œ+2) là điểm thuộc (©) cần tìm Tiếp tuyến qua M có dạng:

y=k(x— a)t+a° —3a+2

Gọi xọ là hoành độ tiếp điểm, ta có hệ:

290“

owe

goss

=

`

Sos

%

Nà

goes

về xà»

SA

eS SAS

eee

`

gee See

Ñ⁄»

Ss

nS

SN

Se

wT

Says

Ss

Sage

Ss

Xj =3xạ +2=k(xạ—œ)+dœ2~3œ+2 (1)

Thay (2) vào (1) rôi rút gọn, ta có:

Từ giả thiết suy ra (3) (Ân xạ) phải có nghiệm duy nhất Điều này xảy ra khi và

chỉ khi œ=~2 c>œ=0

Vậy M(0;2) là điểm duy nhất trên (C) cần tìm

Nhận xét:

Điểm M (0; 2) chính là điểm uốn của (C)

Ta có kết quả sau (chứng minh hoàn toàn tương tự và xin dành cho bạn đọc)

Kết quả của thí dụ trên hoàn toàn đúng với mọi đường bậc ba y = ax’ + bx?+ cx +d,

a#0

Thi du 5:

Tim cac điểm trên trục hoành sao cho từ đó vẽ được ba tiếp tuyến đến đồ thị

của (C): y= xÌ+ 3xỶ, trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau

Giải Gọi M(o;0) là điểm cần tìm Tiếp tuyên với (C) qua M có dạng:

y=k(x- g)

Gọi xọ là hoành độ tiếp điểm, thì ta có hệ:

Thay (2) vào (1) rồi rút gọn ta có kết qua:

f(xạ)=2x2+3(I—œ)xạ—6œ=0 (4)

Để (3) và (4) có ba nghiệm phân biệt thì (4) cần có hai nghiệm phân biệt khác 0

Tai diém M, co hoanh dé 0 thi theo (2) Suy ra tiếp tuyến với (C) tai M; song

song với Ôx Vì mọi đường thang song song voi Oy khéng phai la tiếp tuyến của

(C), nên để thỏa mãn điều kiện đầu bài thì các tiếp tuyến với (C) tại diém M,, M,

phải vuông góc với nhau Hoành d6 Mj, Mp tương ứng là các nghiệm tị, tạ của

phương trình:

Hé sé góc của tiếp tuyến, này theo (2) tương ứng là:

kị= 3ty + 6t); kyo = 3t +ỐPb

Từ đó kị.kạ= -l © ti + 6t) Bt, + 6t¿) = = —|

> (tt) + l8tib( + 2) + 36tifty= =-—Ì (6)

291

ees À»s

Ặ An)

Sos

%

Nà

Ra

về xà»

eS

=e

Seow

=

See

Ñ⁄»

Ss

`

Sy

Ss Sag

Ss

Sage

Ss

: 3(œ-—I

Áp Pp dụng định lí Viet ta có tịt _3(e-)) 8 112 2 112 tạ =-3œ nên từ (6) sau khi rút

l

gọn ta có: -27ơ + 1=0 > a= 7

Vay M55 ;0) là điểm duy nhat trén C can tim

§2 BÀI TOÁN VỀ CỰC TRI VOI HAM DA THUC

Ngoài việc sử dụng thành thạo các quy tắc 1, quy tắc 2 tìm cực đại và cực tiểu

của hàm số (đã trình bày trong sách giáo khoa), ta luôn dùng đến các kết quả sau:

~ Đường cong y=axÌ+ bx?+ cx+d=0(a #0) có cực đại, cực tiểu khi và chỉ

khi phương trình y” = = 3ax’ + 2bx + c= 0 có hai nghiệm phân biệt

~ Đường cong y= ax" + bx* + cx’ + dx + e= 0 (a # 0) có ba cực trị khi và chỉ

khí phương trình y” = = 4ax`+ 3bx”+ 2cx + d = 0 có ba nghiệm phân biệt

— Giả sử y = ax’ + bx? + cx + d đạt cực trị tại hai điểm có hoành độ x¡, x; Khi

do dé tinh giá trị cực trị ta còn có thể làm như sau:

Gọi y= Ax+Blà phần dư trong phép chia của f = ax’ + bx” + cx + d cho đạo

ham y’ = = 3ax?+ 2bx + c của nó Khi đó:

y(X1) = AX; + B; y(x:) =Ax2 + B

Khi sử dụng nhận xét này, phải chứng minh lại như sau:

Ta có: y=ax`+ bx”+cx + d= (3axỶ + 2bx + e)(Cx + D) + Ax + B, ở đây Cx

+D là thương trong phép chia nói trên Vì y*(x¡) = y’(x2) = 0 dpem

Các dạng toán cơ bản:

Loại 1: Các bài toán về sự tồn tại cực trị :

Lớp bài toán này thường có dạng sau: Tìm tham số để các hàm số có cực trị

và cực trị này thỏa mãn những điều kiện nào đó cho trước

Lược đỗ chung đề giải các bài toán này sẽ là sử dụng điều kiện tồn tại cực trị

với các đa thức bậc ba, bậc bốn, kết hợp với việc sử dụng các kết quả về đa thức

bậc hai, định lí Viet, lí thuyết về phương trình và bất phương trình

Thi dul: (Dé thi tuyên sinh Dai học khối B- 2007)

Cho hàm số y = -x' +3x”+ 3(mˆ— Ix - 3mˆ- l

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị cách đều gốc tọa độ

Giải Trước hết hàm số có cực trị khi phương trình y` =0 có hai nghiệm phân biệt

(1) có hai nghiệm phân biệt ©> A'=m >0 ©m#0 (2)

Khi thỏa mãn (2) hàm số có cực trị tại A(l-m; ~2-2m”) và B(l+m; -2+2m? )

Theo bai ra ta co:

OA = OB > (1 = my'+ (-2- 2m) =( + m}'+ (2 + 2m

292

owe

goss

=

ON

=

eX

Nos

gee

NỀN xà»

EK

Nà

goose Sees

`w Ñ⁄»

Rag

ot

v

y Say we RS

—

on

© 4m`= m © mˆ= : (do m #0) <> m= -

Vay m= tố là hai giá trị cần tìm của m

Thi du 2: (Dé thi tuyén sinh Dai hoc khối B-2/0/2) ‘

Cho đường cong y = mx* + (im? — 9)x?+ 10 (Cm) Tim m để đường cong (Cm)

có ba cực trị

Giải Đường cong (C„) có ba cực trị khi và chỉ khi phương trình y` =0 có ba

nghiệm phân biệt

2mx? =9-m? (3) Như vậy (1) có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (3) có hai nghiệm phân

biệt khác 0 tức là khi và chỉ khi 2—™ >0o| (4)

Vậy (4) là tập hợp tất cả các giá trị cần tìm của m

Cho hàm số y = xÌ+ 2(m — I)x”+ (mÌ~ 4m + 1)x — 2(m?+ 1) Tim m dé ham

sô đạt cực tri tai x}, Xx sao cho: — +— =5(%1 +X)

Xp XQ

Giai

Đường cong có cực trị khi phương trìnl trình y` = 0 có hai nghiệm phân biệt

Ta có y`=0 ©3x” + 4(m — 1)x + (m’- 4m + 1) = 0 (1)

(1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

m<-2-x3

m>-2+x/3

Khi thỏa mãn (2) đường cong đạt cực trị tại hai điểm phân biệt x = XỊ, XX¿

là hai nghiệm của (1) Theo định lí Viet, ta có:

Từ đó tạ có: —+-—= (xi +x;) có XLÊX LOK 4x5)

Đối chiếu với điều kiện (2) suy ra có hai giá trị cân tìm của m là m = | vam = 5

Nhận xé: Thí dụ trên là một minh họa cho tính cần thiết tìm điều kiện để cho

hàm số trước hết phải có cực trị

293

ees

`»

$

Ân

Sos

Ñ

tà

x gee

NỀN xà»

EK

Nà

goose Sees

`w Ñ⁄»

yp

es)

Thí dụ 4: Cho y =x? —mx? +

Tìm m để đường cong chỉ có cực tiêu mà không có cực đại

Giải Taco y’ = x*- 2mx = x(x’ — 2m)

Khi m < 0 thì x2— 2m > 0 Khi đó ta có bảng biến thiên sau:

Hàm số chỉ có cực tiêu mà không có cực đại

Khi m>0, ta có bảng biên thiên sau:

Từ đó suy ra loại trường hợp này vì hàm số có cực đại và cực tiểu

Vậy m < 0 là gia tri can tim

Thi du 5:

Cho hàm số y = 3X" +(m~2)8Ỷ + (Sm + 4)x + 3m + 1

Tìm m đề hàm số đạt cực trị tại xị, xạ sao cho xị < 2 < xạ

Giải

Vậy (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

A* =mˆ— 0m > 0 <>m < 0 hoặc m > 9 (2)

Khi thỏa mãn (2) đường cong đạt cuc tri tai x), x2 là hai nghiệm của (])

Để thỏa mãn điều kiện xị < 2 < xạ, ta cần có:

(x2 — 2)(2- xi)> 0 © 2(xị † X2) — 2x1xX2—- 4 > 0 (3)

Từ định lí Viet với (1), và (3) suy ra: 4(2 — m) — (5m + 4)-4 > 0 ©m <0 (4)

Từ (2) và (4) suy ra m<0 là các giá trị cần tìm của m

Loại 2: Các bài toán về đường thẳng nồi hai cực tri:

Giả sử cho đường cong bậc ba y =ax'+ bx? + cx + đ đạt cực trị tại 2 điểm

Mi(xi; yị), M¿(x¿; ya) Khí đó để viết phương trình đường thẳng đi qua Mq, M; có

hai cách như sau:

~ Sử dụng công thức quen biết của hình học giải tích viết phương trình đường

thẳng đi qua hai diém My, Mp

—Néu g gọi y=Ax+Blà phần dư trong phép chia của y= ax” + bx?- +cx+d

cho y°= 3ax”+ 2bx + c, thì y= Ax + B chính là đường thẳng cần tìm

Thi dul: (Dé thi tuyén sink Đại ¡ học khối A— 2002) |

Cho duong cong y = -x? + 3mx? + 3(1 — m?)x + m?— m? (C) Viét phuong

trình đường thắng di qua hai điểm cực trị của (C)

294

geen goss

¬

lò Ñ

`

KS

goes NỀN xà»

EK

Và

=e

~ `

gee See

Ñ⁄»

Giải

Ta có y°= -3x7 + 6mx +3(1-— m’) Vi thé y’ =0 €© x”—2mx + m?~ ] =0(])

Do A'=l>0 với mọi m, nên (1) luôn có hai nghiệm phân biệt, tức là đường

cong luôn có cực đại và cực tiểu với mọi m

Dễ thấy A = (m —Ï; =m? + 3m - 2) và B(m + 1; —m”+ 3m + 2) là hai điểm cực

trị của (C) Đường thẳng nối A, B có đạng:

Thí dụ 2:

Cho đường cong bậc ba y = 5x” + 7xˆ— 9x + 1 (C)

Viết phương trình đường thăng đi qua cực đại, cực tiểu của (C)

Do (1) chắc chăn có hai nghiệm phân biệt (do —= -=< 0), nên (C) có cực

a

đại, cực tiểu

Áp dụng phép chia đa thức y = 5xÌ+ 7xÌ— 9x + 1 cho y’= lãx?+ 14x— 9 ta có:

5x'+ 7x? — 9x +] = (15x? +14x — 9) BeosÍx +2) <cos3x,

3

Vay y= ee - be là đường thẳng cần tìm!

-7+/284

iS —

Viéc tim yi, y; là quá phức tạp, do đó phương pháp sử dụng công thức của

hình học giải tích để viết phương trình đường thắng qua A, B ở đây sẽ quá phức tạp

(về mặt tính toán)

Thí dụ 3:

Nhận xét: Trong thí dụ trên, (1) có hai nghiệm: x=

Cho hàm số y “3 x`~mx”—~x +m + (Cm) Tìm m đề khoảng cách giữa các

điểm cực trị của hàm số là nhỏ nhất

Từ (1) suy ra nó có hai nghiệm phân biệt với mọi m, tức là với mọi m thì (C„)

luôn có cực trị Thực hiện phép chia y cho y` ta có:

—x`-mxÏ— x+m + Ì = (x’—2mx - D[Sx-sm]~2(m +1)x+2m41

Vay y= -S(m? + 1)x tâm +] là đường thang nối hai cực trị A, B của (C,,),

ở đây:

295

geen goss

¬

lò Ñ

`

KS

goes NỀN xà»

EK

Và

=e

=

Seance

Ñ⁄»

yp

es)