Gọi trung điểm của BH là P.. Trung điểm của AH là Q.. Một tiếp tuyến của đờng tròn cát các cạnh AB và AC theo thứ tự tại M và N... Bài 1: Giải các phơng trình sau; a.
Trang 1đề thi học sinh giỏi
môn thi : toán (Thời gian 150 phút )
Bài 1: (3 đ) Giải các phơng trình:
a. 4− +x x− =2 x2−6x+11
b (x-3)(x+3) -5 (x+3) x-3 4
x+3 = −
c 4 x+ +1 4 1− +x 4 1−x2 =3
Bài 2: (4 đ)
a Cho biểu thức: 2 2 4 4 2 2 4 4 2 1
b Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình:
x3y+xy3-3x2-3y2 =17
c Tìm mọi cặp số nguyên dơng (x; y) sao cho
1
2 2 4 +
+
y x
x
là số nguyên dơng
Bài 3: (3 đ)
a Với a > 0 ; b > 0 cho trớc và x,y > 0 thay đổi sao cho :
1
= +
y
b x
a
Tìm x,y để x + y đạt giá trị nhỏ nhất
b Cho x, y, z là các số dơng thoả mãn xyz =1
Tìm GTNN của biểu thức :
E =
) (
1 )
(
1 )
(
1
3 3
3
y x z x z y z y
Bài 4: (2 đ) Cho tam giác vuông ABC (Â= 900) có đờng cao AH Gọi trung điểm của BH là P Trung
điểm của AH là Q
Chứng minh : AP ⊥ CQ
Bài 5: (3 đ) Cho đờng tròn (o) nội tiếp tam giác đều ABC Một tiếp tuyến của đờng tròn cát các cạnh
AB và AC theo thứ tự tại M và N
a. Chứng minh rằng: MN2 =AM2+AN2−AM AN
b. Chứng minh rằng: NM AN 1
MB +NC =
Bài 6:(3 đ) Giải hệ phơng trình:
a
+
= +
= + +
y x y x
xy y x
3
1
3 3
2 2
=
− + + +
= +
− + +
−
0 4
0 2 5 2
2 2
2 2
y x y x
x y xy y x
Bài 7:(2 đ) Chứng minh bất đẳng thức sau:
xy 1
2 y
1
1 x 1
1
2
+ với x ≥ 1, y ≥ 1
Hết
-Đáp án:
Trang 2Bài 1: Giải các phơng trình sau;
a 4− +x x− =2 x2−6x+11
đặt A = 4− +x x−2 (A≥0)
Đặt B = x2−6x+ = −11 (x 3)2+ ≥2 2 (2)
Để A = B khi va chỉ khi : 4-x = x-2 ⇔ =x 3
Vậy nghiệm phơng trình x = 3
b (x-3)(x+3) -5 (x+3) x-3 4
x+3 = − (1) ĐK: x< −3 hoặc x≥3
đặt (x+3) x-3
x+3 =y (2) 2
( 3)( 3)
Từ (1) ta có: y2−5y+ =4 0 ⇔ y1 =1; y2 =4
Với y > 0 do đó x + 3 > 0 ⇔ x ≥3
Với y = 1 thay vòa (2) ta đợc: 2
x − = ⇔ =x
Do x > 3 nên x= 10
Với y = 4 thay vào (2) ta đợc: 2
x − = ⇔ x= ±
Do x≥3 nên x = 5
Vậy nghiệm phơng trình là: x= 10; x = 5
b. 4 x+ +1 4 1− +x 4 1−x2 =3 ; ĐK: − ≤ ≤1 x 1
Đặt 4 x+ =1 a (a≥0); 4 1− =x b (b≥0)
Ta có: 4 4 4
3
Phải sảy ra đẳng thức khi a= b = 1
Do đó : x = 0
Vậy nghiệm phơng trình x = 0
Bài 2: a Rút gọn biểu thức 2 2 4 4 2 2 4 4 2 1
ĐK: x≥2
Ta bình phơng 2 vế ta đợc
2 2
2
1
x x
x x x
+ −
b phơng trình: x3y + xy3 - 3x2 - 3y2 = 17 ⇔ (x2 + y2)(xy - 3) = 17 = 17.1
Do x,y nguyên dơng nên x2 + y2>1
Trang 3-4y
-1x
hoặc
4y
1x
hoặc
1
4
1
4
4
5
4
5
y
x
y
x
xy
yx
xy
yx
Kết luận:
=
=
4 y
1
x
hoặc
−=
−=
1 y
4
x
hoặc
=
=
1 y
4
x
hoặc
−=
−=
4 y
1 x
c Đặt
1
2
2
4
+
+
y
x
x
= a Với a là số nguyên dơng thì x4 + 2 = a(x2y + 1) ⇔ x2(x2- ay) = a - 2 (1) Xét 3 trờng hợp sau :
TH1: Nếu a = 1 thì từ (1) ta có : x2(x2- y) = - 1 ⇒
−
=
−
=
1 1
1 2
y
x
⇔
=
=
2
1
y x
TH2: Nếu a = 2 thì từ (1) có x2(x2- 2y) = 0, suy ra x2 = 2y nên có nghiệm x = 2k, y = 2k2 với k là số nguyên dơng
TH3: Nếu a > 2 thì từ (1), có a – 2 > 0 và (a – 2) chia hết cho x2
nên a – 2 ≥ x2⇔ a ≥ x2 + 2 > x2
Từ đó ⇒ 0 < x2- ay < x2- x2y ≤ 0 Điều này không xảy ra
Vậy: Cặp số nguyên dơng (x; y) thoả mãn đề ra là :
(1; 2) và (2k; 2k2) với k là số nguyên dơng
Bài 3: a áp dụng BĐT Bu_ nhi_ a_ cốp_ xki ta có :
2
+
≥
+
+
=
+
y
b y x
a x y
b x
a y x
y
x
b a y
Trang 4I Q
B
A
r
K
E D
H
N M
C B
A o
Dấu “=” xảy ra khi :
y b y x a
x
=
b a
y x b
y a
+
+
=
=
Tức là : khi x= a( a + b) ; y= b( a + b)
Vậy min (x+y) = ( )2
b
a + khi : x= a( a + b)
y= b( a + b)
b Đặt a =
x
1
, b = 1y , c =
z
1 ⇒ abc = xyz1 = 1
⇒ x + y = c(a + b)
y + z = a(b + c)
x + z = b(c + a)
⇒ E =
c
b
a
+
2
+
a c
b
+
2
+
b a
c
+ 2
Dễ dàng chứng minh đợc
c b
a
b
c
2 3
Nhân hai vế với a + b + c > 0
⇒ a(a b++b c+c) +
a c
c b a b
+
+ + ) (
+
b a
c b a c
+
+ + ) (
≥
2
3
(a+b+c)
⇒
c
b
a
+
2
+
a c
b
+
2
+
b a
c
+
2
≥
2
c b
a+ + ≥
2
3⋅3 abc =
2 3
⇒ E ≥
2
3
Dấu "=" xảy ra ⇔ a = b = c = 1 Vậy min E =
2
3
khi a = b = c = 1
Bài 4:
Gọi I là giao điểm của CQ và AP
Ta có : CAH = ABH (1) ( 2 góc có cạnh tơng ứng vuông góc)
Hai tam giác vuông CAH và ABH có 1 góc nhọn bằng nhau
AH
BH CA
AB ABH
∆
⇒CA AB= AQ BP ⇒CA AB =AQ BP
2
2
(2)
Từ (1) và (2) ⇒ ∆ABP~ ∆CAQ (c.g.c)
⇒CQ AP= AQ BP mà AQ BP =QH PH ⇒CQ AP =QH PH
⇒ ∆HCQ~ ∆HAP(cạnh góc vuông và cạnh huyền tơng ứng tỉ lệ)
⇒ HAP = HCQ
Xét tam giác IQA và HQC có : Q1 = Q2 (đối đỉnh)
HAP = HCQ ( chứng minh trên)
⇒ ∆IQA ~∆HQC⇒ AIQ = CHQ = 900
hay : AI ⊥CQ (đpcm)
Bài 5:
a Đặt AB = AC = BC = a; AM = x; AN = y; MN = z
Hạ đờng cao NH ⊥AB ( H∈AB)
Trong tam giác vuông ANH∆ ( àH =900)
Có àA=600 ⇒ ãANH =300
2
y AH
2
y
NH = 2
y
HM = −x ; theo định lý Py-ta-go ta có:
Trang 52 2 2 2 3 2 2 2
y y
MN =HM +NH = −x + =x +y −xy
Hay MN2 = AM2+AN2−AM AN (đpcm)
b.Ta có: MD = MK; NE = NK (t/c tiếp tuyến)
AM AN MN AD AE a
Ta phải c/m: AM N 1
a x a y+ = ⇔ y z +x z =
⇔ x x z( + +) y y z( + = +) (x z y z)( + ) 2 2 2
x xz y yz xy xz zy z
x y z
⇔ + = ( c/m câu a)
Vậy AM N 1
BM +CN = (đpcm)
Bài 6:
Giải hệ phơng trình
Từ (1) ta có PT (2) có dạng :x3 +y3=(x+ 3y)(x2 +y2 +xy)
⇔ x3 + y3 =x3 +xy2 +x2y+ 3x2y + 3y3 + 3xy2
⇔ 4x2y + 4x y2 + 2y3 = 0
0 ) 2
2
(
⇔ y x xy y
2 2 + + 2 =
⇔ y x x y
= +
+
=
0 ) (
0
2 2
y x
x
y
⇔
−
=
=
=
x y x o y
0 ⇔
=
=
=
0
0
y x o y
+ Với y = 0 thay vào (1) ta đợc x2=1⇔x± 1
+ Với x = 0, y = 0 thay vào (1) không thỏa mãn ⇒ x= 0, y = 0 loại
Vậy hệ phơng trình có 2 nghiệm (x,y) là (1,0) và (-1,0)
b Giải hệ:
=
− + + +
=
− +
−
−
+
)2 ( 0
4
)1(
0 2 5
2
2 2
2 2
y x y x
y x y xy x
Từ (1) ⇔ 2x2 + (y - 5)x - y2 + y + 2 = 0
+
=
− +
−
=
−
=
−
−
−
=
⇒
−
= +
+
−
−
−
=
∆
2
1 4
) 1 (
3 5
2 4
) 1 (
3 5
) 1 (
9 ) 2 (
8 )
5
y y
y x
y y
y x
y y
y y
x
* Với: x = 2 - y, ta có hệ:
1 0
1 2 2
0 4 2
2
2 2
==
⇔
=+
−
−=
⇔
=−
++
+
−=
y
x y
y
y x
y x y x
y x
*Với
2
1
+
x , ta có hệ:
+
=
+
= +
+
) 2 ( 3
) 1 ( 1
3
3
2
2
y x
y
x
xy
y
x
Trang 6
−=
−=
==
⇒
=−
−
−
=
⇔
=−
++
+ +=
5 13 5 4 1
0 4 5
1 2
0 4 2 1
2
2 2
y x
y x
x x
x y
y x y x
y x
VËy hÖ cã 2 nghiÖm: (1;1) vµ
5
13
; 5 4
Bµi 7: Ta cã + + + − + = + − + + + −1 + xy
1 y 1
1 xy
1
1 x 1
1 xy 1
2 y 1
1 x 1
1
2 2
2 2
=
) xy 1 )(
y 1 (
y xy )
xy 1
)(
x
1
(
x
xy
2
2 2
2
+ +
− +
+
+
−
=
) xy 1 )(
y 1 )(
x
1
(
) x 1 )(
y x ( y ) y 1
)(
x
y
(
x
2 2
2 2
+ +
+
+
− + +
−
) xy 1 )(
y 1 )(
x 1 (
) yx y xy x )(
x y ( ) xy 1 )(
y 1
)(
x
1
(
) x 1 ( y ) y 1
(
x
)
x
y
(
2 2
2 2
2 2
2 2
+ +
+
−
− +
−
= +
+ +
+
− +
−
) xy 1 )(
y 1 )(
x 1 (
) 1 xy ( ) x y ( )
xy 1 )(
y 1
)(
x
1
(
) x y ( ) x y
(
xy
)
x
y
(
2 2
2 2
+ +
+
−
−
= +
+ +
−
−
−
−
(V× x ≥ 1, y ≥ 1)