Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông.. Tính độ dài các cạnh của tam giác.. Giọi I là đờng tròn nội tiếp tam giác.. Đờng vuông góc với CI tại I cắt AC, AB theo thứ tự ở M, N chứ
Trang 1đề thi học sinh giỏi
môn thi : toán (Thời gian 150 phút )
Câu 1: (3đ) a Rút gọn biểu thức : A = 6 2 2 3 2 12 18 128
b Tìm GTNN của A = 2
2 2 2006
x
x
c Giả sử x, y là các số thực dơng thoả mãn : x + y = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A =
xy y x
1 1
3
Câu 2: (2đ) a c/m : Với số dơng a thì
2
2 2
b Tính S =
Câu 3: (3 đ)a) Tìm a , b , c biết a , b ,c là các số dơng và
1 1 2 1 8
1
2 2
32
b) Tìm a , b , c biết : a = 2
2
1
2
b
b
; b = 2
2
1
2
c
c
; c = 2
2
1
2
a
a
c Cho a3 + b3 + c3 = 3abc với a,b,c khác 0 và a + b+ c 0
Tính P = (2008+
b
a
)(2008 +
c
b
) ( 2008 +
a
c
)
Câu 4: (2 đ) Giải hệ phơng trình ((xx 2 y1)()(xyy 2-1)1 ) 3 10
Câu 5: (2đ)
Cho tam giác ABC, các đờng phân giác BD, CE cắt nhau tại I thỏa mãn
BD.CE = 2BI.CI Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông
Câu 6: (2đ)
Cho tam giác MNP có M N 2P, và độ dài ba cạnh là ba số tự nhiên liên tiếp Tính độ dài các cạnh của tam giác
Câu 7: (3đ)
Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c Giọi (I) là đờng tròn nội tiếp tam giác Đờng vuông góc với CI tại I cắt AC, AB theo thứ tự ở M, N chứng minh rằng: a AM.BN = IM2 = IN2 ;
b
1
IA IB IC
bc ca ab
Câu 8: (2đ) Giải các phơng trình sau
x
4 3
x 10(
x
48 3
x
2
2
; b) x 1 - 9 - 4 2
4
x2
-
Hết -Đáp án
Câu 1:( 3 điểm):
a.(1 điểm) Rút gọn : A= 6 2 2 3 2 12 18 128
= 6 2 2 3 2 12 4 2 = 6 2 2 3 4 2 3 (0,5 điểm)
= 6 2 2 2 3 = 6 2 4 2 3 = 6 2 3 1 = 3 1 (0,5 điểm)
Trang 2b (1 điểm) Tìm GTNN của A = 2
2 2 2006
x
x
x
A = 2
2 2 2006
x
x
x = 1 -
x
2
+ 20062
x (0.25đ)
1 2006
2 1
x
1
(0.25đ)
= 2006
2
2006
1 1
2006
2005
2006
2005
(0.25đ)
GTNN của P =
2006
2005
khi x = 2006 (0.25đ) c.(1 điểm) Ta có: (x + y)3 = x3 + y3 + 3xy( x + y ) = 1 hay x3 + y3 + 3xy = 1 Thay vào biểu thc A ta có:
A =
xy
xy y
x y
x
xy y
3 3
3
3
=
xy
y x y x
3 3
3
(0,5 điểm)
áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
xy
y x y
x
3
3
3
3 3 3
xy
y x y x xy
Vậy A 4 2 3 (0,25 điểm)
minA = 4 2 3 x =
3 3 2 2 1 2
1
3 3 2 2 1 2
1
(0, 25 )điểm)
hoặc x =
3 3 2 2 1
2
1
; y =
3 3 2 2 1 2 1
Câu 2 : (2 điểm )
a/ Ta có :
2
2 2
Mà
0
a a a a a a a a Do đó
2
2 2
b/ áp dụng c/m câu a ta có :
1 1 1 1
2009
2009
Câu 3: (3đ)
a) Tìm a , b , c biết a , b ,c là các số dơng và
1 1 2 1 8
1
2 2
32
(Tổng 2 đ )
áp dụng bất đẳng thức côsi 12 1
a 2 12
a = a
2
( 0.25đ)
Vì a ; b ; c là các số dơng 12 2
b 2 22
b = 2 b
2
( 0.25đ)
12 8
c 2 82
c = c
2 4
( 0.25đ)
1 1 2 1 8
1
2 2
a
2
2
b
2
c
2
4 =
abc
32
( 0.5 đ)
1 1 2 1 8
1
2 2
32
8 1
2 1
1 1
2 2 2
c b
a
( 0.25đ)
4 2 2 2 1
c b a
( 0.5đ)
b) Tìm a , b , c biết : a = 2
2
1
2
b
b
; b = 2
2
1
2
c
c
; c = 2
2
1
2
b
a
( tổng 2 đ ) Nhận xét các số a ; b ; c là các số dơng
áp dụng bất đẳng thức cosi (0 25đ)
Trang 3b
a I
C B
A
1+ b2 2b a = 2
2
1
2
b
b
b
b
2
2 2
= b (0 5đ)
1 + c2 2c b = 2
2
1
2
c
c
c
c
2
2 2
= c (0 5đ)
1 + a2 2a c = 2
2
1
2
b
a
a
a
2
2 2
= a (0 5đ)
Từ ( 1 ) ; ( 2 ) ; (3 ) ta có a = b = c và theo cosi thì a = b = c = 1 (0 25đ)
c) Cho a3 + b3 + c3 = 3abc với a,b,c khác 0 và a + b+ c 0 ( tổng 2đ )
P = (2008+
b
a
)(2008 +
c
b
) ( 2008 +
a
c
)
a3 + b3 + c3 = 3abc
( a + b + c ) ( a2 + b2 + c2 - ab - bc - ac ) = 0 (0.5 đ)
a2 + b2 + c2 - ab - bc -ac = 0 ( vì a + b + c 0 ) (0.25 đ)
( a- b )2 + ( b – c )2 + ( c – a )2 = 0 ( 0.5 đ )
P = (2008+
b
a
)(2008 +
c
b
) ( 2008 +
a
c
)
P = ( 2008 + 1 ) ( 2008 + 1 ) ( 2008 + 1 ) (0.25 đ)
Câu 4:( 2 điểm )
Ta có hệ ((xx 2 y1)()(xyy 2-1)1 ) 3 10
( x y )( xy - 1) 3
10 y
x y
((xx y)y2)(xy(xy-1)- 1) 23 10
Đặt u = x + y ; v = xy - 1 hệ trở thành : u.v 3
10 v
( u.vu v) 23 16
3
u.v
4 v
u
ã Nếu u.v 3
4 v u
thì ta có v 1
3 u
hoặc v 3
1 u
* với v 1
3
u
thì xy - 1 1
3 y x
xy 2
3 y x
(x ; y) = (2 ;1) ; (1 ; 2)
* Với v 3
1
u
thì xy - 1 3
1 y x
xy 4
1 y x
nên x , y là 2 nghiệm của PT : t2 - t + 4 = 0 có D < 0 vô nghiệm hệ vô nghiệm trong trờng hợp này
ã Nếu u.v 3
4 v u
thì ta có v - 1
3 u
hoặc v - 3
1 u
* Với v - 1
3
u
ta có xy - 1 - 1
3 y x
xy 0
3 y x
(x ; y) = (- 3; 0) ; (0 ; - 3)
* Với v - 3
1
u
ta có xy - 1 - 3
1 y x
xy - 2
1 y x
(x ; y) = (-2 ; 1) ; (1; - 2)
Tóm lại hệ đã cho có 6 nghiệm là
(x ;y) = (2 ;1) ; (1 ; 2) ; (- 3; 0) ; (0 ; - 3) ; (-2 ; 1) ; (1; - 2)
B
à i 5:
Ta có: BD.CE = 2BI.CI
2
BI CI
BD CE
Trong tam giác BEC ta có BI là phân giác của B :
CI BC
EI BE
Theo tinh chất tỉ lệ thức
CI EI BC BE
Hay CI BC
CE BC BE (2) mà BE CB a BE a
AE CAb c BE b
b BE ac a BE BE
b a
(*) Thay (*) vào (2) ta đợc:
Trang 41 1
P D
N
M
N
M
c
b
a
I
C B
A
ac
a b
(3) Tơng tự trong tam giác ABD ta có AI là phân giác của A:
(4)
AD
a c
(2*) Thay (2*) vào (4) ta đợc:
ab
a c
(5) Thay (3) và (5) vào (1) ta đợc:
1
2
a b c a b c
a b c
Vậy tam giác ABC vuông tại A
Câu 6:
Trên cạnh PM lấy điểm D sao cho
PD = PM
Ta có: M M 1M 2 D 1M 2 N M 2M 2
(Vì D 1là góc ngoài của tam giác MND)
Do đó: M N2M 2
Theo bài ra: M N 2P Suy ra P M 2
Do đó ta có: DMNPDDNM g g( ) MN NP
đặt NP = a: MP b: MN = c: Với a,b,c N
Ta có: c a c2 a a b( ) (1)
a b c
Do các cạnh của tam giác MNP là ba số tự nhiên liên tiếp và a > b nên
a – b = 1 hoặc a – b = 2
Nếu: a – b = 1 thì a – c = 2
Từ (1) ta có: c2 a c2 c 2 (vì a = c + 2)
2 ( 1) 2
1 1
c
c c
c
c 2
Nếu: a – b = 2 thì a – c = 1 khi đó ta có
2( 1) ( 2) 2
1 2
c
c
(Loại) Vậy MN = 2: MP = 3: NP = 4
Bài 7:
a Ta có:
Ta lại có:
0 3600 (1800 ) 0
Từ (1) và (2) suy ra:
AMI BNI = AIB (3)
Từ (3) và giả thiết suy ra: DAIB DAMI DBNI
AM IN AM BN IM IN
Mà tam giác CMN cân tại C suy ra: IM=IN (4) (vì CI là đờng cao đồng thời là trung tuyến)
Từ (3) và (4) suy ra: AM BN IM2 IN2
Trang 5b Ta có: DAIB DAMI
2
AI AB AM
Hay
2
Tơng tự: DAIB DBNI
2
Trong tan giác vuông MIC (I 900) IC2 CM2 MI2
Mà AM BN IM2(c/m câu a)
(Vì CM = CN c/m trên)
IC ab a AM b BN
2 1
Cộng hai vế của (5); (6) và (7) ta đợc:
1
IA IB IC
bc ca ab
Câu 8: (2 đ)
a Điều kiện x 0
Phơng trình đã cho tơng đơng với
x
4 3
x 10(
x
16
9
x
2
2
3
Đặt t =
x
4
3
x
t2 =
3
8 -x
16 9
x
2
2
PT trở thành : 10 t
3
8 t
3t2 - 10t + 8 = 0
t = 2 hoặc t = 4/3 * với t = 2 thì
x
4 3
x
= 2 x2 - 6x - 12 = 0 x = 3 21
* Với t = 4/3 thì
x
4 3
x
=
3
4
x2 - 4x - 12 = 0 x = 6 ; x = - 2
Vậy phơng trình đã cho có 4 nghiệm là :
x = 6 ; x = - 2 ; x = 3 21
b PT : x 1 - 9 - 4 2
4
x2
1 - x 2 2 - 1
2
1 - 2 2 -
2
x
ã Nếu 1
2
x
0 x - 2 , PT trên trở thành
x + 2 - 2x = 4 2 - 2
x = 4 - 4 2 thỏa mãn x - 2 nên x = 4 - 4 2 là nghiệm của phơng trình đã cho
ã Nếu 1
2
x
< 0 x < - 2 , PT trên trở thành
-( x + 2) - 2x = 4 2 - 2
- 3x = 4 2
x = - 4 2/3 , không thỏa mãn x < -2 nên loại
Vậy phơng trình đã cho có nghiệm : x = 4 - 4 2