Bài giảng Phương trình đồng dư

Nội dung của bài giảng bao gồm những kiến thức về khái niệm và tính chất của đồng dư thức; tập hợp các lớp thặng dư; phương trình đồng dư; phương trình đồng dư bậc nhất một ẩn; hệ phương trình đồng dư bậc nhất một ẩn. Mời các bạn cùng tham khảo bài giảng Phương trình đồng dư để nắm chi tiết nội dung kiến thức.

PHƯƠNG TRÌNH ĐỒNG DƯ

Bài giảng điện tử

Ts Lê Xuân Đại

Trường Đại học Bách Khoa TP HCM

Ngày 20 tháng 4 năm 2011

Đồng dư thức

Định nghĩa

Cho m là số nguyên dương Ta nói 2 số nguyên a, b đồng dư vớinhau theo mô-đun m nếu trong phép chia a và b cho m ta đượccùng một số dư Kí hiệu a ≡ b(mod m)

Ví dụ

19 ≡ 3(mod 8); −25 ≡ 23(mod 8);

Định lý

Các mệnh đề sau đây tương đương:

1 a và b đồng dư với nhau theo mô-đun m;

2 a − b chia hết cho m;

3 tồn tại số nguyên t sao cho a = b + mt

Đồng dư thức

Định nghĩa

Cho m là số nguyên dương Ta nói 2 số nguyên a, b đồng dư với

nhau theo mô-đun m nếu trong phép chia a và b cho m ta được

cùng một số dư Kí hiệu a ≡ b(mod m)

Ví dụ

19 ≡ 3(mod 8); −25 ≡ 23(mod 8);

Định lý

Các mệnh đề sau đây tương đương:

1 a và b đồng dư với nhau theo mô-đun m;

2 a − b chia hết cho m;

3 tồn tại số nguyên t sao cho a = b + mt

Đồng dư thức

Định nghĩa

Cho m là số nguyên dương Ta nói 2 số nguyên a, b đồng dư với

nhau theo mô-đun m nếu trong phép chia a và b cho m ta được

cùng một số dư Kí hiệu a ≡ b(mod m)

Ví dụ

19 ≡ 3(mod 8); −25 ≡ 23(mod 8);

Định lý

Các mệnh đề sau đây tương đương:

1 a và b đồng dư với nhau theo mô-đun m;

2 a − b chia hết cho m;

3 tồn tại số nguyên t sao cho a = b + mt

Đồng dư thức

Định nghĩa

Cho m là số nguyên dương Ta nói 2 số nguyên a, b đồng dư với

nhau theo mô-đun m nếu trong phép chia a và b cho m ta được

cùng một số dư Kí hiệu a ≡ b(mod m)

Ví dụ

19 ≡ 3(mod 8); −25 ≡ 23(mod 8);

Định lý

Các mệnh đề sau đây tương đương:

1 a và b đồng dư với nhau theo mô-đun m;

2 a − b chia hết cho m;

3 tồn tại số nguyên t sao cho a = b + mt

Đồng dư thức

Định nghĩa

Cho m là số nguyên dương Ta nói 2 số nguyên a, b đồng dư với

nhau theo mô-đun m nếu trong phép chia a và b cho m ta được

cùng một số dư Kí hiệu a ≡ b(mod m)

Ví dụ

19 ≡ 3(mod 8); −25 ≡ 23(mod 8);

Định lý

Các mệnh đề sau đây tương đương:

1 a và b đồng dư với nhau theo mô-đun m;

2 a − b chia hết cho m;

3 tồn tại số nguyên t sao cho a = b + mt

Đồng dư thức

Định nghĩa

Cho m là số nguyên dương Ta nói 2 số nguyên a, b đồng dư vớinhau theo mô-đun m nếu trong phép chia a và b cho m ta đượccùng một số dư Kí hiệu a ≡ b(mod m)

Ví dụ

19 ≡ 3(mod 8); −25 ≡ 23(mod 8);

Định lý

Các mệnh đề sau đây tương đương:

1 a và b đồng dư với nhau theo mô-đun m;

2 a − b chia hết cho m;

3 tồn tại số nguyên t sao cho a = b + mt

Đồng dư thức

Định nghĩa

Cho m là số nguyên dương Ta nói 2 số nguyên a, b đồng dư vớinhau theo mô-đun m nếu trong phép chia a và b cho m ta đượccùng một số dư Kí hiệu a ≡ b(mod m)

Ví dụ

19 ≡ 3(mod 8); −25 ≡ 23(mod 8);

Định lý

Các mệnh đề sau đây tương đương:

1 a và b đồng dư với nhau theo mô-đun m;

2 a − b chia hết cho m;

3 tồn tại số nguyên t sao cho a = b + mt

Định lý

Quan hệ đồng dư là một quan hệ tương đương trên tập số nguyên

Z, có nghĩa là

1 ∀a ∈ Z ta có a ≡ b(mod m);

2 ∀a, b ∈ Z ta có từ a ≡ b(mod m) suy ra b ≡ a(mod m)

3 ∀a, b, c ∈ Z ta có từ a ≡ b(mod m) và b ≡ c(mod m) suy ra

Định lý

Quan hệ đồng dư là một quan hệ tương đương trên tập số nguyên

Z, có nghĩa là

1 ∀a ∈ Z ta có a ≡ b(mod m);

2 ∀a, b ∈ Z ta có từ a ≡ b(mod m) suy ra b ≡ a(mod m)

3 ∀a, b, c ∈ Z ta có từ a ≡ b(mod m) và b ≡ c(mod m) suy ra

Định lý

Quan hệ đồng dư là một quan hệ tương đương trên tập số nguyên

Z, có nghĩa là

1 ∀a ∈ Z ta có a ≡ b(mod m);

2 ∀a, b ∈ Z ta có từ a ≡ b(mod m) suy ra b ≡ a(mod m)

3 ∀a, b, c ∈ Z ta có từ a ≡ b(mod m) và b ≡ c(mod m) suy ra

Định lý

Quan hệ đồng dư là một quan hệ tương đương trên tập số nguyên

Z, có nghĩa là

1 ∀a ∈ Z ta có a ≡ b(mod m);

2 ∀a, b ∈ Z ta có từ a ≡ b(mod m) suy ra b ≡ a(mod m)

3 ∀a, b, c ∈ Z ta có từ a ≡ b(mod m) và b ≡ c(mod m) suy ra

Định lý

Quan hệ đồng dư là một quan hệ tương đương trên tập số nguyên

Z, có nghĩa là

1 ∀a ∈ Z ta có a ≡ b(mod m);

2 ∀a, b ∈ Z ta có từ a ≡ b(mod m) suy ra b ≡ a(mod m)

3 ∀a, b, c ∈ Z ta có từ a ≡ b(mod m) và b ≡ c(mod m) suy ra

Định lý

Quan hệ đồng dư là một quan hệ tương đương trên tập số nguyên

Z, có nghĩa là

1 ∀a ∈ Z ta có a ≡ b(mod m);

2 ∀a, b ∈ Z ta có từ a ≡ b(mod m) suy ra b ≡ a(mod m)

3 ∀a, b, c ∈ Z ta có từ a ≡ b(mod m) và b ≡ c(mod m) suy ra

Định lý

Quan hệ đồng dư là một quan hệ tương đương trên tập số nguyên

Z, có nghĩa là

1 ∀a ∈ Z ta có a ≡ b(mod m);

2 ∀a, b ∈ Z ta có từ a ≡ b(mod m) suy ra b ≡ a(mod m)

3 ∀a, b, c ∈ Z ta có từ a ≡ b(mod m) và b ≡ c(mod m) suy ra

Định lý

Quan hệ đồng dư là một quan hệ tương đương trên tập số nguyên

Z, có nghĩa là

1 ∀a ∈ Z ta có a ≡ b(mod m);

2 ∀a, b ∈ Z ta có từ a ≡ b(mod m) suy ra b ≡ a(mod m)

3 ∀a, b, c ∈ Z ta có từ a ≡ b(mod m) và b ≡ c(mod m) suy ra

Định lý

Quan hệ đồng dư là một quan hệ tương đương trên tập số nguyên

Z, có nghĩa là

1 ∀a ∈ Z ta có a ≡ b(mod m);

2 ∀a, b ∈ Z ta có từ a ≡ b(mod m) suy ra b ≡ a(mod m)

3 ∀a, b, c ∈ Z ta có từ a ≡ b(mod m) và b ≡ c(mod m) suy ra

Tập hợp các lớp thặng dư

Định nghĩa

Khi chia một số nguyên bất kỳ cho m ta sẽ được số dư r Tập hợp

tất cả các số nguyên khi chia cho m có cùng số dư r tạo thành

một lớp thặng dư r Tập hợp tất cả những lớp thặng dư đó được

gọi là các lớp thặng dư mô-đun m và kí hiệu là Zm

Ví dụ

Trong Z8, lớp thặng dư 3(mod 8) là 3 = {x ∈ Z\x ≡ 3(mod 8)}

Tập hợp các lớp thặng dư

Định nghĩa

Khi chia một số nguyên bất kỳ cho m ta sẽ được số dư r Tập hợptất cả các số nguyên khi chia cho m có cùng số dư r tạo thànhmột lớp thặng dư r Tập hợp tất cả những lớp thặng dư đó đượcgọi là các lớp thặng dư mô-đun m và kí hiệu là Zm

Ví dụ

Trong Z8, lớp thặng dư 3(mod 8) là 3 = {x ∈ Z\x ≡ 3(mod 8)}

(Định lý Euler.) Giả sử m là một số tự nhiên lớn hơn 1 và a là một

số nguyên nguyên tố với m Khi đó ta có aϕ(m) ≡ 1(mod m).trong đó ϕ(m) được tính như sau:

(Định lý Euler.) Giả sử m là một số tự nhiên lớn hơn 1 và a là một

số nguyên nguyên tố với m Khi đó ta có aϕ(m) ≡ 1(mod m).trong đó ϕ(m) được tính như sau:

(Định lý Euler.) Giả sử m là một số tự nhiên lớn hơn 1 và a là một

số nguyên nguyên tố với m Khi đó ta có aϕ(m) ≡ 1(mod m)

trong đó ϕ(m) được tính như sau:

(Định lý Euler.) Giả sử m là một số tự nhiên lớn hơn 1 và a là một

số nguyên nguyên tố với m Khi đó ta có aϕ(m) ≡ 1(mod m)

trong đó ϕ(m) được tính như sau:

(Định lý Euler.) Giả sử m là một số tự nhiên lớn hơn 1 và a là một

số nguyên nguyên tố với m Khi đó ta có aϕ(m) ≡ 1(mod m)

trong đó ϕ(m) được tính như sau:

(Định lý Euler.) Giả sử m là một số tự nhiên lớn hơn 1 và a là một

số nguyên nguyên tố với m Khi đó ta có aϕ(m) ≡ 1(mod m).trong đó ϕ(m) được tính như sau:

Phương trình đồng dư

Định nghĩa

Cho f (x ) ∈ Z Nếu với x = x0 ta có f (x0) ≡ 0(mod m) thì nói x0

là nghiệm đúng của phương trình f (x ) ≡ 0(mod m)

Định lý

Nếu x = α là nghiệm đúng của phương trình f (x ) ≡ 0(mod m) thìmọi số nguyên thuộc lớp thặng dư α(mod m) đều là nghiệm đúngcủa phương trình f (x ) ≡ 0(mod m)

Phương trình đồng dư

Định nghĩa

Cho f (x ) ∈ Z Nếu với x = x0 ta có f (x0) ≡ 0(mod m) thì nói x0

là nghiệm đúng của phương trình f (x ) ≡ 0(mod m)

Định lý

Nếu x = α là nghiệm đúng của phương trình f (x ) ≡ 0(mod m) thìmọi số nguyên thuộc lớp thặng dư α(mod m) đều là nghiệm đúngcủa phương trình f (x ) ≡ 0(mod m)

Phương trình đồng dư bậc nhất một ẩn

Định lý

Phương trình ax ≡ b(mod m) trong đó a không chia hết cho m,

có nghiệm khi và chỉ khi ƯCLN(a,m)=d là một ước của b Khiphương trình này có nghiệm thì nó có d nghiệm

Cách xác định nghiệm

Xét phương trình ax ≡ b(mod m) với điều kiện (a, m) = 1 và

1 < a < m

Cách 1 Chia 2 vế cho aNếu a là một ước của b thì ta được nghiệm x ≡ ba(mod m).Nếu a không là ước của b thì do ƯCLN(a,m)=1 nên luôn có sốnguyên k(1 6 k 6 a − 1) để b+km chia hết cho a Khi đó phươngtrình đã cho tương đương với ax ≡ b + km(mod m) nên nó cónghiệm là x ≡ b+km

a (mod m)

Cách 2 Từ giả thiết (a,m)=1, theo định lý Euler ta có

aϕ(m)≡ 1(mod m) Nhân 2 vế cho b ta được và viết lạia(baϕ(m)−1) ≡ b(mod m) Ta sẽ được x ≡ baϕ(m)−1(mod m)

Phương trình đồng dư bậc nhất một ẩn

Định lý

Phương trình ax ≡ b(mod m) trong đó a không chia hết cho m,

có nghiệm khi và chỉ khi ƯCLN(a,m)=d là một ước của b Khi

phương trình này có nghiệm thì nó có d nghiệm

Cách xác định nghiệm

Xét phương trình ax ≡ b(mod m) với điều kiện (a, m) = 1 và

1 < a < m

Cách 1 Chia 2 vế cho aNếu a là một ước của b thì ta được nghiệm x ≡ ba(mod m).Nếu a không là ước của b thì do ƯCLN(a,m)=1 nên luôn có sốnguyên k(1 6 k 6 a − 1) để b+km chia hết cho a Khi đó phươngtrình đã cho tương đương với ax ≡ b + km(mod m) nên nó cónghiệm là x ≡ b+km

a (mod m)

Cách 2 Từ giả thiết (a,m)=1, theo định lý Euler ta có

aϕ(m)≡ 1(mod m) Nhân 2 vế cho b ta được và viết lạia(baϕ(m)−1) ≡ b(mod m) Ta sẽ được x ≡ baϕ(m)−1(mod m)

Phương trình đồng dư bậc nhất một ẩn

Định lý

Phương trình ax ≡ b(mod m) trong đó a không chia hết cho m,

có nghiệm khi và chỉ khi ƯCLN(a,m)=d là một ước của b Khi

phương trình này có nghiệm thì nó có d nghiệm

Cách xác định nghiệm

Xét phương trình ax ≡ b(mod m) với điều kiện (a, m) = 1 và

1 < a < m

Cách 1 Chia 2 vế cho aNếu a là một ước của b thì ta được nghiệm x ≡ ba(mod m).Nếu a không là ước của b thì do ƯCLN(a,m)=1 nên luôn có sốnguyên k(1 6 k 6 a − 1) để b+km chia hết cho a Khi đó phươngtrình đã cho tương đương với ax ≡ b + km(mod m) nên nó cónghiệm là x ≡ b+km

a (mod m)

Cách 2 Từ giả thiết (a,m)=1, theo định lý Euler ta có

aϕ(m)≡ 1(mod m) Nhân 2 vế cho b ta được và viết lạia(baϕ(m)−1) ≡ b(mod m) Ta sẽ được x ≡ baϕ(m)−1(mod m)

Phương trình đồng dư bậc nhất một ẩn

Định lý

Phương trình ax ≡ b(mod m) trong đó a không chia hết cho m,

có nghiệm khi và chỉ khi ƯCLN(a,m)=d là một ước của b Khi

phương trình này có nghiệm thì nó có d nghiệm

Cách xác định nghiệm

Xét phương trình ax ≡ b(mod m) với điều kiện (a, m) = 1 và

1 < a < m

Cách 1 Chia 2 vế cho aNếu a là một ước của b thì ta được nghiệm x ≡ ba(mod m).Nếu a không là ước của b thì do ƯCLN(a,m)=1 nên luôn có sốnguyên k(1 6 k 6 a − 1) để b+km chia hết cho a Khi đó phươngtrình đã cho tương đương với ax ≡ b + km(mod m) nên nó cónghiệm là x ≡ b+km

a (mod m)

Cách 2 Từ giả thiết (a,m)=1, theo định lý Euler ta có

aϕ(m)≡ 1(mod m) Nhân 2 vế cho b ta được và viết lạia(baϕ(m)−1) ≡ b(mod m) Ta sẽ được x ≡ baϕ(m)−1(mod m)

Phương trình đồng dư bậc nhất một ẩn

Định lý

Phương trình ax ≡ b(mod m) trong đó a không chia hết cho m,

có nghiệm khi và chỉ khi ƯCLN(a,m)=d là một ước của b Khi

phương trình này có nghiệm thì nó có d nghiệm

Cách xác định nghiệm

Xét phương trình ax ≡ b(mod m) với điều kiện (a, m) = 1 và

1 < a < m

Cách 1 Chia 2 vế cho a

Nếu a là một ước của b thì ta được nghiệm x ≡ ba(mod m)

Nếu a không là ước của b thì do ƯCLN(a,m)=1 nên luôn có số

nguyên k(1 6 k 6 a − 1) để b+km chia hết cho a Khi đó phương

trình đã cho tương đương với ax ≡ b + km(mod m) nên nó có

nghiệm là x ≡ b+km

a (mod m)

Cách 2 Từ giả thiết (a,m)=1, theo định lý Euler ta có

aϕ(m)≡ 1(mod m) Nhân 2 vế cho b ta được và viết lạia(baϕ(m)−1) ≡ b(mod m) Ta sẽ được x ≡ baϕ(m)−1(mod m)

Phương trình đồng dư bậc nhất một ẩn

Định lý

Phương trình ax ≡ b(mod m) trong đó a không chia hết cho m,

có nghiệm khi và chỉ khi ƯCLN(a,m)=d là một ước của b Khiphương trình này có nghiệm thì nó có d nghiệm

a (mod m)

Cách 2 Từ giả thiết (a,m)=1, theo định lý Euler ta có

aϕ(m)≡ 1(mod m) Nhân 2 vế cho b ta được và viết lại

a(baϕ(m)−1) ≡ b(mod m) Ta sẽ được x ≡ baϕ(m)−1(mod m)

Ví dụ.

Giải phương trình

1 3x ≡ 5(mod 8)

2 7x ≡ 3(mod 12)

Ví dụ.

Giải phương trình

1 3x ≡ 5(mod 8)

2 7x ≡ 3(mod 12)

Ví dụ.

Giải phương trình

1 3x ≡ 5(mod 8)

2 7x ≡ 3(mod 12)

Cho hệ phương trình đồng dư bậc nhất



x ≡ b1(mod m1)

x ≡ b2(mod m2)với điều kiện b1− b2 chia hết cho d=ƯCLN(m1, m2) Lúc này

x ≡ x0(mod m) trong đó x0 = b1+ m1t0, m=BCNN(m1, m2).Trong đó t0 được tìm như sau:

Ta có x = b1+ m1t ≡ b2(mod m2) Vì d=ƯCLN(m1, m2) là ướccủa b1− b2 nên phương trình b1+ m1t ≡ b2(mod m2) tươngđương với phương trình m1

d t ≡ b2 −b1

d (mod m2

d ) Nhưng doƯCLN(m1

d ,m2

d ) = 1 nên nó có nghiệm t ≡ t0(mod m2

d )

Cho hệ phương trình đồng dư bậc nhất



x ≡ b1(mod m1)

x ≡ b2(mod m2)với điều kiện b1− b2 chia hết cho d=ƯCLN(m1, m2) Lúc này

x ≡ x0(mod m) trong đó x0 = b1+ m1t0, m=BCNN(m1, m2).Trong đó t0 được tìm như sau:

Ta có x = b1+ m1t ≡ b2(mod m2) Vì d=ƯCLN(m1, m2) là ướccủa b1− b2 nên phương trình b1+ m1t ≡ b2(mod m2) tươngđương với phương trình m1

d t ≡ b2 −b1

d (mod m2

d ) Nhưng doƯCLN(m1

d ,m2

d ) = 1 nên nó có nghiệm t ≡ t0(mod m2

d )