so e va logarit tu nhien

1./ Lãi kép liên tục và số e Nhận xét: Khi ta tăng số kì m trong một năm thì số tiền thu được sau N năm Nm kì cũng tăng theo... N r Thể thức tính lãi khi cho m+ gọi là thể thức lãi ké

Kiểm tra bài cũ:

Với a,b là hai số dương khác 1, c là một số dương, Hoàn thành dấu « … » để được

mệnh đề đúng

log

a

b

b b







Tính B = log 2.log 5.log 9 3 2 5

Kiểm tra bài cũ: Hướng dẫn

log

g b

a

b b

c

a



 





Tính B

1

3

3

5 3

2log 2.

log 2.

log 3

log 5

2lo

.

g

log 9

3 2.2 4.



1./ Lãi kép liên tục và số e

2./ Logarit tự nhiên

Tiết 34 - BÀI 2:

SỐ

SỐ e VÀ LOGARIT TỰ NHIÊN

• Bài toán: Nếu đem gửi vào ngân hàng một

số vốn là A= 100 triệu đồng, với lãi suất r=8% năm, Dùng máy tính bỏ túi tính số tiền thu được cả vốn lẫn lãi sau N = 2 năm theo các định kỳ sau đây:

• a./ m=1 (định kỳ năm)

• b./ m= 2(định kỳ 6 tháng)

• c./m=4 (định kỳ quý)

• d./ m=12 (định kỳ tháng)

• e./ m=52 (định kỳ tuần)

1./

1./ Lãi kép liên tục và số e

1./ Lãi kép liên tục và số e

Giải: Gọi Sm là số tiền (triệu đồng) thu

được cả vốn lẫn lãi sau 2 năm theo định

kì m Lãi suất của một kì r

m , số kỳ: Nm

a./ m=1 :

2.1 1

0,08

1

Nm

r

m

b./ 2.2

2

0,08 100.(1 ) 116,986

2

c./ 0,08

1./ Lãi kép liên tục và số e

Nhận xét: Khi ta tăng số kì m trong một năm thì số tiền thu được sau N năm (Nm kì) cũng tăng theo

Giải: (tiếp) (đơn vị triệu đồng)

12

0,08 100.(1 ) 117, 289

12

52

0,08 100.(1 ) 117, 337

52

365

0,08 100.(1 ) 117, 349

365

Số tiền thu được đó có tăng lên vô hạn?

1./ Lãi kép liên tục và số e

Trả lời: Không

Xét giới hạn dãy số sau: S m A(1 r ) Nm

m

(Với A, r, N không đổi)

(1

Nr

N

m r

m m

r

r

S











(1)

Để xét giới hạn dãy số sau: lim 1 1

m r

r

 



1./ Lãi kép liên tục và số e

Người ta tính được: lim 1 1 2,7183.

x

x  x

Ký hiệu: e = lim 1 1 2,7183.

x

x  x

Tổng quát, ta xét giới hạn: lim 1 1

x

x  x



Từ (1) và (2) ta được:

.

lim m . N r

1./ Lãi kép liên tục và số e

Theo thể thức này, với số vốn ban đầu là

A, lãi suất mỗi năm là r thì sau N năm thu được số tiền cả vốn lẫn lãi là:

.

. N r

Thể thức tính lãi khi cho m+ gọi là thể thức lãi kép liên tục

(3) được gọi là công thức tính lãi

kép liên tục

• Ví dụ 1: Xét bài toán đầu bài, với số vốn

là A= 100 triệu đồng, lãi suất r =8% năm, tính theo thể thức lãi kép liên tục thì hai năm số tiền thu về cả vốn lẫn lãi là bao

nhiêu triệu đồng?

1./

1./ Lãi kép liên tục và số e

. N r 100 117, 351

S  A e  e  (triệu đồng)

• Ví dụ 2: Sự gia tăng dân số được ước tính theo công thức (3), trong đó A là dân số

của năm lấy làm mốc để tính, S là dân số theo N năm, r là tỉ lệ gia tăng dân số hàng năm Biết tỉ lệ gia tăng dân số thế giới

hàng năm là 1,32%, năm 1998, dân số thế giới khoảng 5 926,5 triệu người Dự đoán dân số thế giới năm 2008 là bao nhiêu

(triệu người)?

1./

1./ Lãi kép liên tục và số e

. N r 5926,5 6 762,8

•Nhiều hiện tượng tăng trưởng (hoặc suy

giảm) của tự nhiên và xã hội, chẳng hạn sự gia tăng dân số, cũng được ước tính theo công

thức tăng trưởng mũ.

1./

1./ Lãi kép liên tục và số e

10.0,011

86,025 96,028

• Ví dụ 3: Biết tỉ lệ gia tăng dân số Viêt Nam hàng năm là 1,1%, năm 2009, dân số Việt

dân số Việt Nam năm 2019 là bao nhiêu (triệu người)?

•Định nghĩa:

Logarit cơ số e của một số dương a

được gọi là logarit tự nhiên ( hay logarit Nê – pe) của số a, kí hiệu là lna.

2./ Logarit tự nhiên

•Tính chất: Logarit tự nhiên có đầy đủ các tính chất của logarit với cơ số lớn hơn 1.

•Ví dụ 4: Dùng công thức đổi cở số hãy

so sánh logx và lnx tùy vào giá trị của x.

2./ Logarit tự nhiên

•Ví dụ 5: Biết rằng năm 2001, dân số nước

ta là 78 685 800 người va tỉ lệ gia tăng dân

số năm đó là 1,7% và sự gia tăng dân số ước tính theo công thức (3) Hỏi cứ gia tăng dân số như vậy thì đến năm nào dân

số nước ta đạt mức 100 triệu người?

2./ Logarit tự nhiên

sau theo a = ln2, b = ln5;

HD ví dụ 4

Với 0<x<1: ta có ln x  ln1 0 nên

ln

ln10

x

Với x>1: ta có ln x  ln1 0 nên

ln

ln10

x

Với x = 1 : log1=ln1=0

HD ví dụ 5

Giả sử sau N năm nước ta ở mức

100 triệu người Theo đề bài ta có:

0,017.

Lấy logarit tự nhiên 2 vế của (*) ta

được :

0,017.

ln100 ln(78,6858 ) ln(78,6858) 0,017.

ln100 ln(78, 6858)

14

0, 017

N

N



Tính chất

ln

ln1 0; ln e 1; e a a a(  0); lne x x

Cho b, c > 0 Khi đó:

ln b  ln c  b c ln( ) lnb c  b  ln c

ln( ) lnb b ln c

c   ln b l bn





Với b, c > 0 và b  1, ta có: log ln

ln

b

c c

b

HD ví dụ 6

a./ Ta có:

16

25

=4ln2 2ln5 = 4a 2b

b./ Ta có:

2 =2ln2+2ln5 =

b

=

2a+2



HD ví dụ 6

c./ Ta có:

2 2

1

100

 