Tìm tất cả các tam giác vuông có cạnh là các số nguyên và số đo diện tích bằng số đo chu vi Câu 4 2đ: Cho tam giác ABC, trung tuyến AM.. Tính diện tích tam giác AKN , biết diện tích tam
Trang 1đề thi khảo sát học sinh giỏi
Năm học 2005-2006
Môn: toán 8
Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề )
Câu 1 (2đ):
a/ Chứng minh rằng: Với x, y nguyên thì
A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 là một số chính phơng
b/ Cho x > y > z Chứng minh rằng:
P = x4(y – z) + y4(z – x) + z4(x – y) luôn là số dơng
Câu 2 (2đ):
a/ Cho a, b, c ≠ 0; a2 + 2bc ≠ 0; b2 + 2c ≠ 0; c2 + 2ab ≠ 0 và ab + bc + ca ≠ 0
Tính giá trị của biểu thức:
b1/ Rút gọn
b2/ Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Câu 3 (2đ):
a/ Cho 2 số x, y thoả mãn
Tìm x, y để tích x.y đạt giá trị nhỏ nhất
b/ Tìm tất cả các tam giác vuông có cạnh là các số nguyên và số đo diện tích bằng số đo chu vi
Câu 4 (2đ):
Cho tam giác ABC, trung tuyến AM Lấy điểm K trên AM sao cho AK:AM = 1:3, biết
BK cắt AC tại N
a/ Tính diện tích tam giác AKN , biết diện tích tam giác ABC là S
b/ Một đờng thẳng qua K cắt cạnh AB và AC ở I và J Chứng minh rằng:
Câu 5 (2đ):
Tìm tất cả các số chính phơng có không ít hơn 3 chữ số, biết rằng khi bỏ bớt 2 chữ số của nó thì số còn lại (giữ nguyên thứ tự) cũng là 1 số chính phơng
đáp án đề thi khảo sát học sinh giỏi
ab c
c ac b
b bc a
a S
2 2
2 2
2 2
2
+
+ +
+ +
=
2 4 2
2 2 2 3 4
2 3 4
−
−
− +
−
−
− +
=
x x x x
x x x x S
4 4
1 2
2 2
2 + + y =
x x
6
AC AI
AB + =
AJ
Trang 2Năm 2005-2006
Môn: toán 8
Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề )
Câu 1 (2đ):
a/ A = {( x + y) (x + 4y)}{ (x + 2y)(x + 3y)}
= (x2 + 5xy + 4y2) (x2 + 5xy + 6y2)
= (x2 + 5xy + 4y2)2 + 2(x2 + 5xy + 4y2).y2 + y4
= (x2 + 5xy + 5y2)2
Vậy A là số chính phơng
b/ P = x4 ( y – x +x –z ) + y4 ( z – x ) + z4 (x –y)
= ( x- y) ( z4 – x 4 ) + ( z – x ) ( y4 – x4)
= ( x- y ) ( z – x ) ( z + x ) ( z2 + x2 ) + ( z – x ) ( y – x ) ( y + x ) ( x2 + y 2)
= ( x- y ) ( z – x ) [( x + z ) ( z 2 + x 2 ) – ( y + x ) ( x 2 + y 2 ) ]
= ( x- y ) ( z – x ) ( xz2 + x3 + z3 + x2z – yx2 – y3 – x3 – xy2 )
= ( x- y ) ( z – x ) ( xz2 – xy2 + x2z – yx2 + z3 – y3 )
= ( x- y ) ( z – x ) [ x( z – y ) ( z +y ) + x 2 ( z –y) + ( z – y ) ( z 2 + zy + y 2 ) ]
= ( x- y ) ( z – x ) ( z – y ) ( x2 + y2 + z 2 + xy + yz + zx )
= ( x- y ) ( y – z ) ( x – z ) [ ( x +y ) + ( y + z )2 2 + ( z +x) 2 ]
2
Vì x > y > z ⇒ P > 0
Câu 2 : a) Phân tích a2 + 2bc = a2 – 2ab – 2ac = a( a- 2b -2c ) = a [ 3a -2( a+b + c ) ]
b2 + 2ac = b2 - 2ab - 2bc = b( b - 2a - 2c ) = b [ 3b – 2 (a+b+c)]
c2 + 2ab = c2 - 2bc - 2ca = c(c-2b - 2a ) = c [ 3c – 2( a+b +c )]
+ Ta có S =
Với t = 2 ( a + b +c )
⇒ P =
=
=
0.25 0.25 0.25 0.25
0.75 0.25
0.25
t c
c t b
b t a
a
−
+
−
+
3
) 3 )(
3 )(
3 (
) 3 )(
3 ( ) 3 )(
3 ( ) 3 )(
3
(
t c t b t a
t b t a c t c t a t c t b
a
−
−
−
−
− +
−
− +
−
−
) 3 )(
3 3 9 (
) 3 )(
3 ( ) 3 )(
3 ( ) 3 )(
3
(
t bt at ab
t b ct ac t
c bt ab t
c at ab
− +
−
−
−
− +
−
− +
−
−
3 2 2 2
2 2
2
3 3 9 3 9 9 27
3 3 9
3 3 9
3 3 9
t ct bt bct at
act abt abc
ct bct act abc bt
bct abt abc at
act abt abc
− + +
− +
−
−
+
−
− +
+
−
− +
+
−
−
3 2
2
) (
3 ) (
9 27
) (
) (
6 27
t c b a t ca bc ab t abc
c b a t ca bc ab t abc
− + + +
+ +
−
+ + + + +
−
Trang 3=
Vì ab +bc +ca = 0
Nên P =
b TS = x4+x3+ x2 –– 2x-2 = x2(x2 + x +1) – 2 (x2+x +1) = (x2- 2)(x2 + x +1)
MS = x4 -2x2 + 2 x3 – 4x + x2 -2 = (x2- 2) ( x +1 )2
⇒ P = ( với x∈Z,x ≠ − 1)
Ta có P =
Dấu “ = ” khi
Vậy Pmin =3/4 khi x = 1
Câu 3 :
a, Ta có 2x2 +
vì
Dấu “=” khi
Khi đó xymin = -2
b) Gọi x, y, z là cạnh ∆ vuông
Ta có 1≤ x ≤ y ≤ z theo bài ta có x2 + y2 = z2 (1)
và xy = 2 ( x + y +z) (2)
Từ (1) ⇒ z2 = ( x +y )2 – 2xy = ( x +y)2 - 4 ( x+y +z)
⇔ ( x+y )2 - 4 ( x+y ) + 4 = z2 + 2z +4
⇔ ( x +y -2 )2 = ( z +2)2
⇒ x +y -2 = z +2 ( Do x+y ≥ 2 )
⇔ z = x +y - 4 Thay vào (2) ta có : ( x – 4) ( y – 4 ) = 8 vì x – 4 ≤ y – 4 nên
0.75
0.25 0.25
0.25 0.25
0.25 0.25
0.25 0.25
0.25
0.25
) (
27 ) (
2 ) (
3 27
) (
27
2
2 2
2
= + + +
+ + +
= + +
− + + +
+ + +
c b a t abc
c b a t abc c
b a c b a t abc
c b a t abc
( )2
2
1
1 +
+ +
x
x x
4
3 4
3 1
1 2
1 ) 1 (
1 1
1 1 )
1 (
1 ) 1 ( 1
2 2
2
≥ +
+
−
= +
+ +
−
= +
+ +
− + +
x x
x x
x x
x
1 1
1 2
+
x
2 0
2 0 2 , 0 1
2 2 1
2 4
1 2 4
4 1
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
−
≥
⇒
≥ +
⇒
≥
+
≥
−
+
=
+ +
−
⇔
+
=
+
⇔
= +
xy xy
y x x
x
xy y
x x x
xy y
xy x x x
y x
=
=
⇒
=−
=−
⇒
12
5
8
4
1
4
y
x
y
x
⇔
⇔
2 1 2
1 2
1 02/
0/1 2
y x y
x xy
x yx xx
Trang 4hoặc
=
−
=
−
4 4
2
4
y x
hoặc
=
= 8
6
y x
Vậy ( x, y , z) = ( 5, 12, 13) hoặc ( 6 , 8, 10)
Câu4 :
b/ Kẻ BD // IJ; CE // IJ; D, E ∈ AM
Ta có ∆BMD = ∆CME ⇒MD = ME
Ta có AE + AD = AM – MD + AM + ME = 2AM
áp dụng định lý Talet vào ∆AIK, ∆AKJ với IK // BD, KJ // CE ta có:
6 2
=
AK
AM AK
AE AK
AD AJ
AC AI
AB AK
AE AJ
AC
AK
AD
AI
AB
Câu 5:
+ Gọi số cần tìm là x2 = Mab
0.25
0.25
0.25 0.25
0.25 0.25
0.25 0.25 0.5
0.25
P
K
Gọi P là trung điểm NC ⇒ MP là đường trung bình của ∆ BNC
⇒ MP // BN, KN // MP và AN = NP = PC
Đồng thời ∆ AKN ∞∆AMP
⇒ SAKN / SAMP = (AK/ AM )2 = (1/3)2 = 1/9
⇒SAKN = 1/9 SAMP
Mặt khác SAMP = 2/3 SAMC ; SAMC = 1/2 SABC
⇒ SAMP = 1/3 SABC
Do đó :SAKN = 1/27 SABC
D E
A
N
Trang 5(M, a, b , x ∈ N, M > 0, a, b lµ c¸c ch÷ sè)
⇒ M = y2, ( y ≥ 1)
+ Ta cã x2 = (10y)2 + ab
⇒ x ≥ 10y
+ NÕu y ≥ 5 ⇒ (10y)2≤ x2≤ (10y)2 + 20y +1 = (10y + 1)2
⇒ x2 = (10y)2⇔ ab = 0
⇒ x2 cã d¹ng y200
+ NÕu y < 5 , thö 4 trêng hîp:
víi y = 1 ⇒ 100 ≤ x2≤ 199 ⇒ x2 = 100; 121; 144; 169; 196
víi y = 2 ⇒ 400 ≤ x2≤ 499 ⇒ x2 = 400; 441; 484
víi y = 3 ⇒ 900 ≤ x2≤ 999 ⇒ x2 = 900; 961
víi y = 4 ⇒ 1600 ≤ x2≤ 1699 ⇒ x2 = 1600; 1681
+ KL : Sè cÇn t×m lµ tÊt c¶ c¸c sè d¹ng y200 ; (y ≥ 1) vµ c¸c sè 121; 144; 169; 196; 441;
484; 961; 1681
0.5
0.25 0.25 0.25 0.25 0.25