Hỏi có thể có bao nhiêu cách dán tem thư lên bì thư sao cho có ít nhất một bì thư được dán tem thư có số trùng với số của bì thư đó.. Lời giải Chọn B được dán vào tem thư có số trùng vớ
Trang 1Câu 43: [1D2-2.2-4] (Chuyên KHTN - Lần 3 - Năm 2018) Một người viết ngẫu nhiên một số có bốn
chữ số Tính xác suất để các chữ số của số được viết ra có thứ tự tăng dần hoặc giảm dần ( nghĩa là nếu số được viết dưới dạng abcd thì a b c d hoặc a b c d)
A 7
7
375 C
7
250 D
14
375
Lời giải
Chọn D
Viết ngẫu nhiên một số có 4 chữ số nên số phần tử của không gian mẫu là
9.10.10.10 9000
Gọi A là biến cố các chữ số của số được viết ra có thứ tự tăng dần hoặc giảm dần
Gọi số tự nhiên có 4 chữ số mà các chữ số của số được viết ra có thứ tự tăng dần hoặc giảm dần có dạng abcd
Trường hợp 1: số tự nhiên có 4 chữ số mà các chữ số của số được viết ra có thứ tự giảm dần
Vì a b c d nên các chữ số đôi một khác nhau và các chữ số a, b, c, d lấy từ tập
1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9
X và với 4 chữ số lấy ra từ X thì chỉ lập được duy nhất một số thỏa yêu cầu bài toán Do đó số số tự nhiên có 4 chữ số mà các chữ số của số được viết ra có thứ tự tăng dần là 4
9
C Trường hợp 2: số tự nhiên có 4 chữ số mà các chữ số của số được viết ra có thứ tự tăng dần
Vì a b c d nên các chữ số đôi một khác nhau và các chữ số a, b, c, d lấy từ tập
0,1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9
Y và với 4 chữ số lấy ra từ Y thì chỉ lập được duy nhất mọt số thỏa yêu cầu bài toán Do đó số số tự nhiên có 4 chữ số mà các chữ số của số được viết ra có thứ tự giảm dần dần là 4
10
C Vậy số phần tử của biến cố A là 4 4
9 10 336
Xác suất của biến cố A là: 336 14
9000 375
n A
P A
n
Câu 49: [1D2-2.2-4] Có 8 bì thư được đánh số 1, 2,3, 4,5, 6, 7,8 và 8tem thư cũng được đánh số
1, 2,3, 4,5, 6, 7,8 Dán 8tem thư lên 8 bì thư (mỗi bì thư chỉ dán 1 tem thư) Hỏi có thể có bao nhiêu cách dán tem thư lên bì thư sao cho có ít nhất một bì thư được dán tem thư có số trùng với số của bì thư đó
A 25489 B 25487 C 25490 D.25488
Lời giải Chọn B
được dán vào tem thư có số trùng với số của bì thư đó
Đánh số các tem thư là T1, T2, , T n và các bì thư là B1, B2, ,B n Bài toán được giải quyết bằng nguyên lý phần bù: Lấy hoán vị n phần tử trừ đi trường hợp xếp mà không có tem thư
nào được dán cùng số với bì thư
++ Để giải quyết bài toán không có tem thư nào được dán cùng số với bì thư Ta xây dựng
dãy số f n như sau:
Công việc dán n tem thư vào n bì thư sao cho không có bì thư nào được dán vào tem thư có
số trùng với số của bì thư đó Công việc này gồm có hai bước sau:
Trang 2- Bước 1: Dán tem T1 lên một bì thư B j khác B1, có n1 cách
- Bước 2: Dán tem thư T jvào bì thư nào đó, có hai trường hợp xảy ra như sau:
+ TH1: tem thư T jđược dán vào bì thư B1 Khi đó còn lại n2 tem (khác T1 và T j) là
2
T , ,T j1,T j1, ,T n phải dán vào n2 bì thư (khác B1 và B j) Quy trình được lập lại giống như trên Nên TH này có số cách dán bằng f n 2
+ TH2: tem thư T jkhông được dán vào bì thư B1
Khi đó các tem là T2, ,T j1,T j,T j1, ,T n sẽ được đem dán vào các bì B1,
2
B , ,B j1,B j1, ,B n (mà tem thư T jkhông được dán vào bì thư B1) Thì T j lúc này bản chất giống T1, ta đánh số lại T j T1 Nghĩa là n1 tem T2, ,T j1,T1,T j1, ,T n sẽ được đem dán vào n1 bì B1, B2, ,B j1,B j1, ,B n với việc đánh số giống nhau Công việc này lại được lập lại như từ ban đầu
Nên TH này có số cách dán bằng f n 1
++ Ta xét dãy u n f n như sau:
1 2
1 2
0 1 1
u u
Như vậy kết quả của bài toán: n tem thư được dán vào n bì thư sao cho có ít nhất một bì
Câu 47: [1D2-2.2-4] (THPT Quỳnh Lưu 1 - Nghệ An - Lần 2 - 2017 - 2018 - BTN) Có bao nhiêu số
tự nhiên có 2018 chữ số sao cho trong mỗi số tổng các chữ số bằng 5 ?
2018 2017 2017 2017 2017 2017
1 2 A 2 C A C A C
B 1 2 C20182 2C20183 C20184 C20185
C 1 2 A20182 2A20183 A20184 C20175
2017 2017 2017 2017 2016 2016 2017
1 4 C 2 C A C A C C
Lời giải Chọn D
Vì 5 4 1 3 2 2 2 1 3 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 nên ta có các trường hợp sau:
Trường hợp 1: Số tự nhiên có một chữ số 5 đứng đầu và 2017 số 0 đứng sau : Có 1 số
Trường hợp 2: Số tự nhiên có một chữ số 4, một chữ số 1 và 2016 số 0
- Khả năng 1: Nếu số 4 đứng đầu thì số 1 đứng ở một trong 2017 vị trí còn lại nên ta có
1
2017
C số
- Khả năng 2: Nếu số 1 đứng đầu thì số 4 đứng ở một trong 2017 vị trí còn lại nên ta có
1
2017
C số
Trường hợp 3: Số tự nhiên có một chữ số 3, một chữ số 2 và 2016 số 0
- Khả năng 1: Nếu số 3 đứng đầu thì số 2 đứng ở một trong 2017 vị trí còn lại nên ta có
1
2017
C số
- Khả năng 2: Nếu số 2 đứng đầu thì số 3 đứng ở một trong 2017 vị trí còn lại nên ta có
1
2017
C số
Trường hợp 4: Số tự nhiên có hai chữ số 2, một chữ số 1 và 2015 số 0
Trang 3- Khả năng 1: Nếu số 2 đứng đầu thì số 1 và số 2 còn lại đứng ở hai trong 2017 vị trí còn lại nên ta có 2
2017
A số
- Khả năng 2: Nếu số 1 đứng đầu thì hai chữ số 2 đứng ở hai trong 2017 vị trí còn lại nên ta
có 2
2017
Trường hợp 5: Số tự nhiên có 2 chữ số 1, một chữ số 3 thì tương tự như trường hợp 4 ta có
2017 2017
A C số
Trường hợp 6: Số tự nhiên có một chữ số 2, ba chữ số 1 và 2014 số 0
- Khả năng 1: Nếu số 2 đứng đầu thì ba chữ số 1 đứng ở ba trong 2017 vị trí còn lại nên ta có
3
2017
C số
- Khả năng 2: Nếu số 1 đứng đầu và số 2 đứng ở vị trí mà không có số 1 nào khác đứng trước
nó thì hai số 1 còn lại đứng ở trong 2016 vị trí còn lại nên ta có C20162 số
- Khả năng 3: Nếu số 1 đứng đầu và số 2 đứng ở vị trí mà đứng trước nó có hai số 1 thì hai số
1 và 2 còn lại đứng ở trong 2016 vị trí còn lại nên ta có A20162 số
Trường hợp 7: Số tự nhiên có năm chữ số 1 và 2013 số 0 , vì chữ số 1 đứng đầu nên bốn chữ
số 1 còn lại đứng ở bốn trong 2017 vị trí còn lại nên ta có C20174 số
Áp dụng quy tắc cộng ta có 1 2 2 3 2 2 4
2017 2017 2017 2017 2016 2016 2017
1 4 C 2 C A C A C C số cần tìm