nói đầu Quyển sách này được soạn ra trên cơ sở nhiều năm dạy lí thuyết và bài tập môn Phương trình vi phân của anh em cán bộ nhóm Phương trình vi phân ở khoa Toán Cơ Trường Đại học Tự nhiên Hà Nội. Nhằm phục vụ đối tượng rộng rãi : sinh viên các trường đại học tự nhiên, các trường đại học kĩ thuật, đại học sư phạm, các lớp học tại chức, hàm thụ... các bài tập ở trong quyển sách này được chọn ra ồ những mức độ khó, dễ khác nhau và nhiều dạng khác nhau. Để các bạn sử dụng sách được dễ dàng, trong mỗi tiết của mỗi chương chúng tôi trịnh bày tóm tắt những khái niệm và phương pháp cơ bản nhất để giải phần lớn các bài tập trong tiết đó. Những phần lí thuyết không trình bày ờ đây bạn đọc có thể xem ở các tài liệu tham khảo 6, 7, 11 hoặc 3. Các bài tập tương đối khó được đánh thêm dấu () ở trên số thứ tự. Riêng các bài tập trong chương V phần lớn là tương đối khó nên chúng tôi không đánh thêm dấu (). Phần lớn các bài tập trong quyển sách này được chọn từ các cuốn sách được nêu ra ở Tài liệu tham khảo, từ các kì thỉ tuyển chọn nghiên cứu sinh ở Việt Nam và các kì thi vô địch sinh viên giỏi toán toàn Liên Xô. Trong phần đáp số, hướng dẫn và lời giải chúng tôi đã giải hầu hết các bài tập có tính chất lí thuyết và các bài tập khác đều có đáp số. Cần nói rằng một số lời giải ở đây mang tính chất gợi ý
Trang 1PHẦN 1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1
Phương trình vi phân có biến số phân ly
1 y′cos2y−siny =0
2 y′ =siny+cosy
3 x(1 −y y) ′ = − 2y
4 dy y 1
e
5 x(1+y dx y2) + (1+x dy2) =0
1
y
x
′ =
+
7
(1 2) 1 2
x y
′ =
8
2
2
2 1
=
1
x
y
x
′ =
−
10 y′ = y3+1
11 y′ = − −y2 2xy x− 2
13 y′ =e x y+ −1
1
y
x y
′ = + −
15 y′ = 4x+ 2y− 1
16 (y2+xy dx2) +(x2−yx dy2) =0
17 2y y y dx− 2 − +(1 x dy2) =0
18 y′ = x2+ −y 2x
19 xydx+(x+ 1)dy= 0
21 (1+y2)(e dx e dy2x − y )− +(1 y dy) =0
22
1 sin cos
1 sin cos
+
−
−
−
=
′
x x
y y y
23 y′=x2+2xy−1+y2
24 1 +1
−
=
′
y x y
25 1 12
y
26 (xy2 −y2 +x−1) (dx+ x2y−2xy+x2 +2y−2x+2)dy =0
( ) (n )p
m
y x y x
y x y
+ + +
+
=
+
′ 1 Đặt z =x+y
28 a( y ′ + 2 y)= xy y ′ (biến đổi về x(a − y)y ′ = − 2 ay)
x
2 y
y′= − (Đặt z = xy)
30 Giải phương trình vi phân (y′2 −1)x2y2 + y′(x4 −y4)=0 (coi là phương trình cấp 2 đối với y’)
Phương trình vi phân thuần nhất
1 xdy− ydx = x2 + y2dx
y
xe y
3 xy ycos ln y
x
4 ax2 +2bxy+cy2 +y′(bx2 +2cxy+ f y2)=0
Trang 25 x2y′2 −3xy y′+2y2 =0
6 (2x+y+ 1)dx−(4x+ 2y− 3)dy = 0
7 ( y′+y)2 = y2y′
8 xyy′+x2 −2y2 =0
9 ( 3x2 + y2 )y+ (y2 −x2 ) y′ = 0
10 y ′ = y(1 + ln y − ln x), y( )1 = e
11 y2 +x2y′=xyy′
12 xy′ =y(1 ln + y− lnx) thỏa mãn y(1)=e
13 y y sin y
′ = + thỏa mãn (1)
2
14 x y2 ′+y2 =xyy′
15 x ycosy dx xcos y dy 0
16 (x2+2xy y dx− 2) +(y2+2xy x dy− 2) =0
17 (x y+ − 2)dx+(x y− + 4)dy= 0
18 (2x− 2y− 1)dx+(x y− + 1)dy= 0
19 x x( +2y dx) +(x2−y dy2) =0
20 (x2+y dx xydy2) − =0
21 (x2+y dy xydx2) + =0
22 xy y (x y)lnx y
x
+
23 dx dy
26 (2x− 4y+ 6)dx+(x y+ − 3)dy= 0
27 (2x y+ + 1)dx−(4x+ 2y− 3)dy= 0
28 (x y− − + 1) (y x− + 2)y′= 0
29 (y+ 2)dx+(2x y+ − 4)dy= 0
30 y 2x y
x
+
′ =
31 (y2−2xy dx x dy) + 2 =0
Phương trình vi phân tuyến tính
1 y ′ − y = x2arctgx
2 (1+ x2)y′−2xy =(1+x2)2
3 y ′ + 2 xy = xe−x 2
4 x(1+x2) (y′− x2 −1)y+2x=0
5 y′sinx−y=1−cosx
6 (sin2 y+xcotg y)y′=1 x− hàm, y− biến
7
y
x tgy
y
cos
=
+
′ Đặt z sin= y
8 (2e y − y x) ′=1 x− hàm, y− biến
9 (1 − 2xy ′)y = y(y−1) x− hàm, y− biến
10 y′+xy=x3
Trang 311
( )
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
−
′
1
1
y
x
3 y
x
2
y x
2
1
−
+
′ (coi x là hàm của y)
13 yey =y′(y3 +2xey), với y(0) = -1 (coi x là hàm của y)
14 (x2 −y)dx+xdy=0
15 Giải phương trình vi phân
x 1
1 y y 2
−
= +
16 2x(1+x)y′−( x+4)y+2x 1+x =0
17 y′− y=x2sinx
18 Tìm nghiệm riêng của phương trình y′cos2 x+ y=tgy thỏa mãn điều kiện y(0)=0
19 Tìm nghiệm riêng của phương trình y′ 1−x2 + y=arcsinx thỏa mãn điều kiện y(0) =0
20 y′+y= y2lnx
21 3y2y′−ay3 = x+1
22 (xy+x2y3)y′=1 x− hàm, y− biến
23 y′x3siny= x′y−2y x− hàm, y− biến
24 (x2 +y2 +1)dx+xydy=0
25 (x2 −1)y′siny+2xcosy=2x−2x3 Đặt z cos= y
26 x(e y − y′)=2 Đặt z =e y
27 y′−1=e x+2y
28 (x2 +y2 +2x−2y)dx+2(y−1)dy=0 Đặt z = y−1
29 x2y′=y(x+y) (biến đổi về dạng 2
2 y x
1 y x
1
y′− = )
30 Tìm nghiệm của phương trình vi phân dy
y cos
x y 2 xdy 2 ydx+ = 2 thỏa mãn điều kiện y( )0 = π
Trang 431 (x+1)(y′+y2)=−y
32 xydy=(y2 +x)dx
33 (y + xy)dx = xdy
34 y′ − 2x2 y = 4y
35 2x2y′= y2(2 y′−y) (coi x = x(y))
36 xy y′− y2 =xα (α là tham số)
37 y′ +2y x= 2
38 (x+ 1)y′ + =y x
39 x y2 ′ −xy=y2
40 x y3 ′ −2x y2 +2y2 =0
41 y y x
′ − =
42 y′cos2x y+ =tanx
43 2 22
cos
′ + =
44 y 2y 32
′ − = thỏa mãn y(1) 1=
1
y
x
46 y y 1
′ − =
1
x
′ + =
−
48 xyy′ −y2 =x3
49 xyy′ −y2 =x4
50 y y y22
′ − =
Phương trình vi phân toàn phần
1 1sin 2 cos 1 1cos 2 sin 12⎟⎟ = 0
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
− +
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
y y
x y
x x
y x
dx x
y x
y y
x
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
− +
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
y
x e
dx
e
x y
x
3 2x(1+ x2 −y)dx− x2 −y dy=0
4 (x2 +y2) (xdy−ydx) (= a+x)x4dx
5 (xcosy−ysiny)dy+(xsiny+ycosy)dx= 0
6 (x4lnx−2xy3)dx+3x2y2dy=0
7 y2dx+(2xy+3)dy=0
8 ex(2+2x−y2)dx−2exydy=0
9 (y2 +1) 2dx+(y2 +3xy 1+ y2)dy=0
10 (ycos2 x−sinx)dy=ycosx(ysinx+1)dx
11 (2x+ x2y) (dx= y2 −x3)dy
Trang 512 ( ) 0
y sin 2
y cos 1 x dx 2
y
sin
x
2
2
=
+
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
13 (y+ex siny) (dx+ x+ex cosy)dy=0
14 (x+ siny)dx+(xcosx+ siny)dy= 0
y
x y dx y
x + =⎜⎜⎝⎛ − ⎟⎟⎠⎞
3
2 ( 1 ln ) 2
3
16 (2xy+ 3)dx x dy+ 2 = 0
17 2xe dx e y − y(2 2+ y x dy− 2) =0
18 ( 2 2) ( 2 )3/2
19 (3x2−y dx3) =(2y+3xy dy2)
2
1 cos
y
+
21 (x+ siny dx) + ( cosx y+ sin )y dy= 0
22 2x y3 dx 3y2(1 lnx dy)
x
23 (1+y2sin 2x dx) −2 cosy 2xdy=0
2
2
2 sin 2x y y dx 2 cos 2x y lnx dy 0
25 (siny x− cos2 y dx x) + cos ( siny x y+1)dy=0
26 (2xy e+ ycosx dx) +(x2+e ysinx dy) =0
27 ( cosy x+2 sin )x2 x dx+(y2+sinx dy) =0
28 3x x2( lny dx) 2y2 x3 dy
y
2
2
2y cos 2x lny dx 2 sin 2y x x dy 0
30 y x y 1 y x
x
⎛ − ⎞ =⎛ + ⎞
Phương trình F(x, y’)=0, F(y, y’) = 0, F(x,y,y’)=0, Phương trình Lagrange- Klero
1 x′y3 =1+y′
2 y=e y′.y′2
Trang 63 y x e y
1
2 =
4 y= y′(1 + y′ cosy′)
5 y=2 y′+siny′
6 y= y′+e y′
2
3
7 y=2y′x+ y2y′3 ( Nhân hai vế với y, Đặt z= y2)
y y
y
x
′
+
′
= (x− hàm, y−biến)
9 y′−y=lny′
10 2y′2(y− y′)=1
PHẦN 2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO
Phương trình vi phân tuyến tính
1 x2y′′−2y=x3cosx, biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là
y1 = x2
2 Giải phương trình vi phân: x2(x+1)y′′=2y biết một nghiệm
x
1 1
y1 = +
3 Giải phương trình vi phân (x2 +1)y′′−2y=0 nếu biết một nghiệm của nó có dạng đa thức
4 Giải phương trình vi phân (2x+1)y′′+(2x−1)y′−2y=x2 +x biết nó có hai nghiệm riêng
2
1 x y 2
1 x x
y
2 2
2
1
+
=
− +
5 Xác định hằng số α sao cho y = eαx2 là nghiệm riêng của phương trình vi phân
(4x 2)y 0 y
4
y′′+ ′+ 2 + = Tìm nghiệm tổng quát của phương trình
6 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (3x2 +1) y′′+2y′−6xy=4−12x2 biết rằng nó
có hai nghiệm riêng ( )2
2
1 =2x, y = x+1
y
7 Giải phương trình xy′′+2y′+xy=cotx biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng y1 sin x
x
=
Trang 78 (x2 +1)y′′− y=0 nếu biết một nghiệm của nó có dạng đa thức
9 Giải phương trình x y2 ′′ −xy'+ =y 4x3, biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là y1 = x
10 Giải phương trình xy′′ − =y' x2
11 Giải phương trình x y2 ′′ −2 ' 2xy + y=2x3, biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là y1 = x
12 Giải phương trình ' 1 1
x
− − , biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là y1=e x
13 Giải phương trình x2(lnx− 1)y′′ −xy' + =y 0, biết một nghiệm riêng có dạng y x= α,α là hằng
số
14 Tìm nghiệm riêng của phương trình (2x x y− 2) (′′+ x2−2)y' 2 1+ ( −x y) =0 thỏa mãn
( )1 0, '( )1 1
y = y = , biết một nghiệm riêng của nó là y e= x
15 Giải phương trình (2x x y− 2) ′′+2(x−1)y' 2− y= −2, biết nó có hai nghiệm riêng là y1=1,y2 =x
16 Giải phương trình 22 ' 21
x
+ + , biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là y1 =1
17 Giải phương trình (2x+ 1)y′′ +(4x− 2)y' 8 − y= 0, biết một nghiệm riêng có dạng y e= ax,α∈ \
18 Giải phương trình ( ) ( ) 2
thuần nhất tương ứng có dạng y e= ax,α∈ \
19 Giải phương trình (x2−1)y′′−6y=0 biết một nghiệm riêng có dạng đa thức
20 Giải phương trình y 1 y' x
x
′′ − =
21 Giải phương trình (x2+1)y′′+2 ' 2xy− y=4x2+2, biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là y1 =x
22 Giải phương trình x y2 ′′ −xy'+ =y 4x3, biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng có dạng đa thức
23 Giải phương trình (x2−1)y′′+4 ' 2xy+ y=6x, biết nó có hai nghiệm riêng là
2
1 ,
1
x
+ +
+
24 Tìm nghiệm riêng của phương trình 22 ' 22
x
′′ = − +
+ + thỏa mãn ( )3 22, ' 1005( ) 2000
y = y = , biết một nghiệm riêng của nó là y1=x
25 Giải phương trình (x2+1)y′′−2 ' 2xy+ y=0, biết một nghiệm riêng có dạng đa thức
26 Giải phương trình y′′ +4 ' 4xy +( x2+2)y=0, biết một nghiệm riêng có dạng 2
Trang 827 Giải phương trình y 2y' y cotx
′′ + + = , biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là 1
sin x
y x
=
28 Giải phương trình ( 2 ) 2
y′′ − xy + x − y e= , biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là 2
1 x sin
29 Giải phương trình 2 ' x
nhất tương ứng là y1 e x
x
=
30 Giải phương trình x y2 ′′ −2 ' 2xy + y x= 2, biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là y1 =x
31 Giải phương trình x y2 ′′ −2 ' 2xy + y x= 3sinx, biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là y1 =x
32 Giải phương trình x y2 ′′ −2 ' 2xy+ y x= 3cosx, biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là y1 =x
33 Giải phương trình 2 3
x y′′ − xy+ y x= x, biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là y1 =x
34 Giải phương trình x y2 ′′ −xy'+ =y x3, biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là y1 =x
35 Giải phương trình x y2 ′′ −xy'+ = −y 8x2, biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là y1 =x
36 Giải phương trình x y2 ′′ −xy'+ =y x, biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là y1 =x
37 Giải phương trình x y2 ′′ −xy'+ =y xlnx, biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là y1 =x
38 Giải phương trình ( ) 2
1 −x y′′ +xy' − =y x − 2x+ 1, biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là 1 x
39 Giải phương trình (1 −x y) ′′ +xy' − =y 0, biết một nghiệm riêng có dạng y e= αx,α∈ \
40 Tìm nghiệm riêng của phương trình ( 2 )
x + y′′− xy+ y= thỏa mãn
y = = y = = − , biết một nghiệm riêng là y1=x
41 Tìm nghiệm riêng của phương trình " 22 ' 22
x
+ + thỏa mãn y x=1 = 1, 'y x=1 = − 1, biết một nghiệm riêng là y1=x
42 Giải phương trình (1+x y2) ′′+2 ' 2xy− y x= , biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là y1 =x
Trang 943 Giải phương trình 2 2 ' 2 2 1 2
x
+ + + , biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là y1 =x
44 Giải phương trình ( 2) 1
1 x y 2 ' 2xy y
x
′′
+ + − = , biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là y1 =x
45 Giải phương trình xy′′ +2 'y xy− =1, biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là y1 e x
x
=
46 Giải phương trình 2 ' 2
x
e
′′ + − = , biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là y1 e x
x
=
Phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng số
1 y ′′′−13y′−12y=0
2 y ′′′−2y′′+9y′−18y=0
3 y( )4 + y=0
4 y( )4 +2y ′′′+3y′′+2y′+ y=0
5 y( )7 +3y( )6 +3y( )5 + y( )4 =0
6 y′′+y =4e x
7 y′′−3y′+2y =3e2x +2x2
8 y′′−y=2sinx−4cosx
9 y′′′−2y′+4y=e−xcosx
10 y′′+n2y =sin3nx
11 y′′+y=sinxsin2x
12 x2y′′− y′+2y=xlnx t = lnx
13 (2x+1)2y′′−4(2x+1)y′+8y=−8x−4 t = ln(2x+ 1)
x
y
x
y′′+1 ′+ 12 =2sin ln t= lnx
15 (1+x)2y′′+(1+x)y′+y =4cosln(1+x) t = ln(1 +x)
16
2 sin 2 ln
17 Dùng phép biến đổi hàm 2
x
z
y= để giải phương trình vi phân: x2y′′+4 y′+(x2 +2)y=ex
18 y′′+y′=e− x(sinx−cosx) (Đặt y = e-xz)
19 Giải phương trình y′′−(2ex +1)y′+e xy=e x bằng đổi biến t=ex
Trang 1020 y′′cosx+y′sinx−ycos3 x=0đặt t = sinx
21 Giải phương trình vi phân y′′+ y′−xy=ex bằng phép đổi hàm z = xy
22 y′′+y′tgx−ycos2 x=0 dùng t = sinx
23 Giải phương trình vi phân y′′+2(1−x)y′+(x−2)y=e−x bằng phép đổi hàm z=xy
x
y y 2
y
x2 ′′+ ′+ 2 = bằng phép biến đổi x = 1/t
25 x2y′′+ y′+y=x (biến đổi x=et )
26 x2y′′−4 y′+6y=0 (biến đổi x=et )
27 y′′+4y′+4y=1+e− x lnx
28 y′′+y′=xe−x
29 y′′−2y′− y=xe x +x2
30 y′′−2y′+ y=xsin x
31 y′′+y′=x+e−x
32 y′′−2y′+ y=x(ex +1)
33 2y′′+ y′=29xsinx
34
x sin
1 y
y′′+ =
35 y′′−4y=(2− x)e x
x
e y y
2
y′′− ′+ = x +
37
x
e 1 y y
2
y
x
+
= +
′
−
38 y′′−4y′+ y=e x +cosx
39 y′′−4y′+ y=e x +sin x
40 3 2 2 2 5 cos
2
41
x
e x sin y y 2 y
x
−
+
= +
′ +
42
x sin
1 y
y′′+ =
43 y′′+ y=xe x +2e−x
44 y′′+ y′−2y=cosx−3sinx
45 y′′−2y′=2cos2 x
46 y′′+ y=sinx+cos2x
47 y′′−3y′+2y=3e2x+2x2
48 y′′ − =y 2sinx−4cosx
sin
50 y′′ + =y sin sin 2x x
51 x y2 ′′−xy′+2y x= lnx
2x+1 y′′−4 2x+1 y′+8y= − −8x 4
2sin ln
′′+ ′+ =
1+x y′′+ +1 x y′+ =y 4cos ln 1+x
55 x y2 ′′+4xy′+(x2+2)y e= x
56 x y2 ′′+xy′−4y x= 2lnx
57 y′′ + =y′ e−x(sinx− cosx)
58 y′′−(2e x+1)y′+e y e2x = 3x
59 y′′+ = +y′ x e−x
Trang 1160 y′′−2y′+2y x e= ( x+1)
62 2y′′+5y′=29 sinx x
sin
x
′′ + =
y′′ − y= − x e
x
e
x
′′− ′+ = +
66 xy′′+2y′−xy e= x
67 y′′+y tgx y′ − cos2x=0
68 y′′−2y′+5y x= sin 3x
69 xy′′+2(1−x y) ′+ −(x 2)y e= −x
70 y′′−2y′−3y xe= 4x+x2
x
e
x
′′− ′+ = +
72 x y2 ′′+xy′+ =y x
73 y′′+ =y′ xe−x
74 y′′−4y′+5y e= 2x+cosx
75 x y2 ′′−4xy′+6y=0
76 y′′+4y′+4y= +1 e− 2xlnx
77 y′′−4y′+8y e= 2x+sin 2x
78 y 2y y sinx e x
x
−
′′+ ′+ = +
79 y′′ + =y xe x+2e−x
80 y′′+ −y′ 2y=cosx−3sinx
2 2cos
82 y′′ + =y sinx+cos 2x
83 y′′ +4y=4 sinx x+5e2x
84 y′′ + =y sinx e+ 2x
85 y′′ − =y' e2x+ +e x x
86 y′′ −6 ' 8y + y e= x+e2x
87 y′′ +2 ' 2y+ y=2x−sinx
88 y′′ −2 'y + = + +y 1 x 2 3( x2−2)e x
89 y′′ −4 ' 4y + y e= 2xcos2 x
90 y′′ − =y xcos2x
91 y′′ + =y 4 sinx x
92 y′′ −3 ' 2y + y=3x+5sin 2x
93 y′′ −4 ' 4y + y=sin cos 2x x
94 y′′ −6 ' 9y + y=3x−8e x
95 y′′ −3 'y =e3x−18x
96 Tìm nghiệm riêng của phương trình y′′ + −y' 2y=cosx−3sinx thỏa mãn y( )0 = 1, ' 0y ( )= 2
97 Tìm nghiệm riêng của phương trình y′′ + =y xcosx thỏa mãn ( )0 0, ' 0( ) 3
4
Phương trình vi phân cấp cao chưa giải ra đối với đạo hàm
98 y ′′′2 +x2 =1 Đặt y ′′′=cosϕ ; x=sinϕ
99 Tìm nghiệm của phương trình: y′′2 =4(y′−1) thoả mãn các điều kiện ban đầu:
a) y=0, y′=2 khi x=0
b) y =0, y′=1 khi x=0
100 (1+x2)y′′+ y′2 +1=0
101 y′(1+y′2)=a y′′
2
3
1
′′′ ′ ′′
′′′ + ′ − ′ ′′ = ⇒ =
′′ + ′
103
2
2
1 x
y y
y
+
′
=
′
−
′′ dạng thuần nhất,
đặt y′= yz
104 y′′= y′2
105 y ′′′= y′y′′
Trang 12106 ′′−1 ′+ 12 y=1
x
y x
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
′
⇒
x
y d x y
d
107
x
y y
y y y
=
′ +
′ +
′′ 2 2 2 2 2 chia hai vế
cho y ′ y
108 y′′=y′ey
109 y′′(1+y)=y′2 +y′ (Đặt y’ = p(y) )
110 y′′+y′2 =1 (Đặt y’ = p(y) )
111 y′′=e y thỏa mãn y( )0 = y ′( )0 = 0
112 2 y′y′′=y′2 −1
113 (x+1)y′′+x( )y′ 2 =y′
114 y′′cosy+( )y′ 2siny=y′
115 y y ′′ = y ′
116 y′′=y′+x2 (Đặt y’ = p)
117 y′2 + y′′= y′
118 y′′=y′+x
119 y′′=2 y′−y′ (Đặt z = xy’)
120 ⎩⎨⎧ ( )= ′( )=
′
=
′′
0 0 y
; 2 0 y
y 2 y
CHƯƠNG 3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
1
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−
=
−
=
x y
4
dt
dy
y x
dt
dx
2
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
+
−
=
− +
=
+
−
=
z y x
dt
dz
z y x
dt
dy
z y x
dt
dx
2 2
2
3
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
= + +
=
−
−
0 3
0 3 5
y x
dt
dy
y x
dt
dx
4
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−
=
+
=
x y
dt
dy
y x
dt
dx
4
2
5
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−
=
−
= x y 4 dt dy
y x dt dx
6
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
−
=
+
−
=
−
−
=
z x dt dz
z x y dt dy
z y 2 x dt dx
7
dx
x y z dt
dy
x y z dt
dz
x y z dt
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪⎩
8
2
dx
x y z dt
dy
x y z dt
dz
x y dt
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪⎩
9
2
dx
x z dt
dy
y z dt
dz
dt
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪⎩
10
3
dx
dt dy
x y z dt
dz
dt
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪⎩
Trang 13
11
2
dx
x
dt
dy
dt
dz
dt
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪⎩
12
2
dx
dt
dy
dt
dz
y
dt
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪⎩
13
dx
x z
dt
dy
y z
dt
dz
x y
dt
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪⎩
14
dx
dt
dy
dt
dz
dt
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪⎩
15
3
5 3
dx
x y z
dt
dy
dt
dz
dt
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪⎩
16
2
dx
dt
dy
dt
dz
y z
dt
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪⎩
17
dx
dt dy
dt dz z dt
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪⎩
18
5
dx
dt dy
x z dt
dz z dt
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪⎩
19
4
5
dx
dt dy
x z dt
dz
dt
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪⎩
20
dx
dt dy
dt dz
y z dt
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪⎩
21
dx
dt dy
dt dz
dt
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪⎩
22
dx
dt dy
dt dz
dt
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪⎩
23
4
dx
dt dy
dt dz
dt
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪⎩
24
dx
dt dy
dt dz
dt
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪⎩
25
2
dx
dt dy
dt dz
dt
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪⎩
26
2
dx
y z dt
dy
x y z dt
dz
dt
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪⎩
27
2
dx
y z dt
dy
x y z dt
dz
dt
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪⎩
28
3
dx
dt dy
dt dz z dt
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪⎩