Phòng giáo dục Đề khảo sát học sinh giỏiThời gian: 120 phút không kể thời gian giao đề Giáo viên ra đề : Nguyễn Văn Hải Đề BàI Câu 1 Chứng minh rằng aTổng của 4 số tự nhiên liên tiếp
Trang 1Phòng giáo dục Đề khảo sát học sinh giỏi
Thời gian: 120 phút ( không kể thời gian giao đề )
Giáo viên ra đề : Nguyễn Văn Hải
Đề BàI
Câu 1
Chứng minh rằng
a)Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp là một số không chia hết cho 4
b)Trong 4Số tự nhiên tùy ý bao giờ cũng có ít nhất 2 số có hiệu chia hết cho 3
Câu 2.
Một buổi tập đồng diễn thể dục có khoảng từ 350 đến 500 ngời tham gia.Khi tổng chỉ huy xếp hàng 5,hàng 6 và hàng8 thì thấy đều lẻ 1 ngời.Khi cho đoàn ngời xếp hàng 13 thì vừa không lẻ ngời nào.Hỏi số ngời dự đồng diễn chính xác là bao nhiêu?
Câu 3.
a)Tính tổng:Sn =1+a+a2+a3 + +a… n
b)Ap dụng tính tổng sau:
S =1-2+22-23 + +2… 100
T=3-32 + 33 + +3… 1999-32000
Câu4.
a) Cho bốn điểm A 1 ,A 2 ,A3 ,A 4 trong đó không có ba điểm thẳng hàng.Cứ qua hai điểm ta kẻ đợc một đờng thẳng.Có bao nhiêu đờng thẳng?
b)Cũng hỏi nh thế với 5 điểm,10 điểm?
Trang 2
-Đáp án và thang điểm
Câu1 : (2,5điểm )
a) Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp là :
Bởi vì 4 a 4 ; 6 không chia hết cho 4 suy ra S không chia hết cho 4
(0,25đ)
b) Giả sử 4 số tự nhiên tùy ý là a1 ,a2 ,a3 ,a4 (0,25đ)
Chia các số d này cho 3 ta đợc các số d là r1 ,r2 ,r3 ,r4(0≤r1,r2,r3,r4 < 3 )
(0,25đ)
1
1
1 3q r
a = + (0,25đ)
2
2
2 3q r
a = + (0,25 đ)
3
3
3 3q r
4
4
4 3q r
Vì các số r1 ,r2 ,r3 ,r4 chỉ nhận một trong các giá trị 0,1,2 nên chắc chắn có ít nhất hai số bằng nhau
Giả sử r1 =r2 thế thì a1 =a2=3q1+r1 − ( 3q2 +r2)=3(q1 =q2) 3 ( 0,25đ)
Đó là điều phải chứng minh
Câu 2: (2,5 điểm)
Nếu số ngời tham dự đồng đồng diễn là n Khi xếp hàng 5 mỗi hàng k ngời thì
lẻ 1 ngời tức là : n = 5 k+1 => n-1=5k => n-1 5
lập luận tơng tự ta thấy n-1 6và n-1 8 (0,25đ)
vậy n-1 là một bội chunh của 5,6,8 Ta có BCNN (5 , 6 , 8) = 120 Mọi bội chung của 5,6,8 đều là bội của 120 Điều này nghĩa là số n phải thỏa mãn các điều kiện n-1= 120k , k∈N 350 ≤n≤ 500 ;n 13 (0,25) (1 ) Nếu n-1 = 360 => n =361 (loại ) (0,25đ)
Vậy số ngời tham gia đồng diễn là 481 ngời (0,25đ)
Câu 3: ( 2,5điểm )
a) Xét tổng : Sn= 1+a+a2 + + a… n (0,25đ)
khi a= 1 ta có ngay : Sn= n+1
khi a≠ 1 :
a.Sn= a + a2+ + a… n +an+1 => a Sn – Sn = an+1 -1 => Sn=
1
1 1
−
−
+
a
a n
(0,75đ)
b) áp dụng : S100 = 1+a +a2 + + a… 100 = a100a−−11 (0,25đ)
Với a= -2 ta đợc :
Trang 3S = 1 – 2 +22 -23 + +2… 100=
3
1 2 3
1 2 1
2
1 ) 2
−
−
−
=
−
−
−
* T = 3 - 32 + 33 - + 3… 1998 – 32000 = 3( 1-3 +32 -33 + +3… 1998-31999) = (0,5đ)
3
4
) 3 1 ( 3 4
1 3
3 1
3
1
)
3
−
−
=
−
−
−
Câu 4: (2,5điểm )
a) Qua A1 kẻ đợc 3 đờng thẳng A1A2 , A1A3 , A1A4 (0,25đ)
Qua A2 kẻ đợc 2 đờng thẳng A2 A3, A2A4 (0,25đ)
Qua A3 kẻ đợc 1 đờng thẳng A3 A4 (0,25đ)
Qua A4 không còn kẻ thêm đợc đờng thẳng nào mới
b) Nếu cho 5 điểm A1, A2 , A3 ,A4 , A5 trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng thì (0,25)
Qua A1 kẻ đợc 4 đờng thẳng A1A2 , A1A3 , A1A4, A 1A5 (0,25đ)
Qua A2 kẻ đợc 3 đờng thẳng A3A2 , A2A5 , A2A4 (0,25đ)
Vậy có tất cả 4+ 3+2+1=10 đờng thẳng
Lập luận nh trên số đờng thẳng kẻ đợc khi cho 10 điểm trong đó không có ba