Các đề luyện HSG 6,7,8,9.doc

Câu 3: lớp 9 Tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn, M là giao điểm các đờngchéo của nó, 01 và 02 là tâm các đờng tròn nội tiếp tam giác ABM và CMD t-ơng ứng.. Đờng thẳng đi qua Acắt d-ờng tròn

Các bài toán luyện tập học sinh giỏi

Dành cho học sinh các lớp 6, 7, 8, 9.

đề số 1

Câu 1: (lớp 8) Giải phơng trình:

 2 2

2 2 2 2 2 2

2

1 1 1

x x

x x x

Câu 2: (lớp 9)Giải phơng trình:

1 2005 2003

1

5 3

1 3

KL, MN và PQ cắt nhau tại một điểm

Câu 4: (lớp 8)Trong tứ giác lồi ABCD góc BAC và ADC bằng nhau CKlàphân giác của tam giác ACD Chứng minh rằng, nếu KD = AB thì đờngthẳng AC đi qua trung điểm của KB

Câu 5: (lớp 7) Tồn tại hay không hai số, sao cho tổng của chúng bằng tích vàbằng thơng của hai số

Câu 6: (lớp 7) Cho các điểm A, B, C và D sao cho đoạn AC và BD cắt nhautại E, AE=DC, AD=BE, góc ADC bằng góc DEC Biết AE=1, tính đoạn EC.Câu 7: (lớp 9) Tồn tại hay không hai số tự nhiên có tổng bằng 2005 và tíchbằng 2005 ?

Câu 8: (lớp 8)Trên đờng chéo AC và BD của tứ giác lồiABCD lấy các điểm

M và N tơng ứng sao cho MB//AD và NA//BC Chứng minh rằng, NM//CD Câu 9: (lớp 9)Tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn 0 là giao điểm hai đờngchéo của nó, E là trung điểm cung BC Chứng minh rằng, nếu AO=AB thì

EO vuông gócvới AD

Câu 10: (lớp 8) Hai hình vuông có cạnh là 20 cm có chung tâm Chứng minhrằng diện tích chung của nó không nhỏ hơn 314

Các bài toán luyện tập học sinh giỏi

Dành cho học sinh các lớp 6, 7, 8, 9.

đề số 2

Câu 1: (lớp 6) Cho 5 số, tổng của 4 số bất kỳ trong 5 số là chẵn, chứng minhrằng tấ cả các số đó đều chẵn.

Câu 2: (lớp 8) Tìm tất cả các số tự nhiên thoả mãn:

10

10 2

Câu 3: (lớp 6) Số nào lớn hơn : 2 700 hay 5 300

Câu 4: (lớp 8) Chứng minh rằng bất kỳ số tự nhiên n nào số

16 17 8

Câu 6: (lớp 8) Tìm tất cả các số nguyên tố x, y, z sao cho 19x- yz = 1995

Câu 7 : (lớp 8) Giả sử  2  3

m

m n

2 1 3

3 1

Câu 10: (lớp 7) Trong tam giác vuông ABC kẻ đờng cao CH xuống cạnhhuyền AB Phân giác góc CAB và BCH cắt nhau tại M, còn phân giác gócCBH và ACH cắt nhau tại N Chứng minh rằng, MN//AB

Câu 11: (lớp 8) Số a và b thoả mãn điều kiện .

Các bài toán luyện tập học sinh giỏi

Dành cho học sinh các lớp 6, 7, 8, 9.

đề số 3

Câu 1(lớp 8) Giải phơng trình:

1002 2004

2

2003

6 2

5 4

2

3 2

2

1

2 2

Câu 3: (lớp 9) Tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn, M là giao điểm các đờngchéo của nó, 01 và 02 là tâm các đờng tròn nội tiếp tam giác ABM và CMD t-

ơng ứng K là trung điểm cung AD Biết góc 01K02 = 600 , K01 =10

b a





Chứng minh rằng, 2 2 8

2 2







d c

b a

Câu 6: (lớp 8) Chứng minh bất đẳng thức:  12  12 8; 0; 0

b b

2 2

y xy y

x xy x

Câu 10: (lớp 8) Tìm tất cả giá trị của a để



x x

Câu 12: (lớp 8) Giả sử p1 và p2 là hai số nguyên tố lẻ liên tiếp và p1 + p2 =2n, n là số tự nhiên Chứng tỏ rằng , n là hợp số

Các bài toán luyện tập học sinh giỏi

Dành cho học sinh các lớp 6, 7, 8, 9.

đề số 4Câu 1: Giải hệ phơng trình:

1 1

2 2

x y

y x

Câu 2: (lớp 8) Chứng minh rằng: x 3x 1x 1x 3 16là số chính phơng.Câu 3 : (lớp 8) CMR nếu a = 3 2004 + 2 thì số a 2 + 2 là số chia hết cho 3.Câu 4 : (lớp 8) Cho 3 số a- b + 2002; b – c + 2002 và số c – a + 2002 là 3

số nguyên liên tiếp Tìm số đó

Câu 5: Giả sử p là nghiệm của phơng trình x3 – 3x – 1= 0 Tính giá trị biểuthức: p4 + 2p3 – 3p2 – 7p + 2004

Câu 6: Giải phơng trình: x4 +4xy2 +2y4 +1 = 0

Câu 7: Giải hệ phơng trình:

z y

1 1

1 1

1

3 3

3

Câu 9: (lớp 8) Trong tam giác ABC cân ở A, đờng cao AD Trên cạnh AB lấy

điểm M sao cho AM = 1/3AB MC cắt AD tại N

Câu 1: (lớp 8) Giả sử 2n+1, 3n+2 là số chính phơng, n thuộc số tự nhiên,

Hỏi số 5n +3 là số nguyên tố hay không?

Câu 2: Giải phơng trình:

x x

1

2 3 2 3

yz x xy

Câu 4: Tìm giá trị nhỏ nhất, và lớn nhất của biểu thức:

1

; 1 4 1 4 1

7 9 9 3

y x

y y xy x

Câu 6: Từ trung điểm K của cạnh bên AB của hình thang ABCD kẻ đờngthẳng vông góc với AB, cắt cạnh CD tại L Giả sử diện tích tứ giác AKLDbằng 5 lần diện tích tứ giác BKCL Biết CL = 3, LD = 15, KC = 4, tính KD?Câu 7: Hai đờng tròn tiếp xúc ngoài nhau tại A Đờng thẳng đi qua Acắt d-ờng tròn thứ nhất tại B, đ ờng tròn thứ hai tại C.Tiếp tuyến của đờng tròn thứnhất cắt đờng tròn thứ hai tại D và E, ( D nằm giữa B và E) Giả sử AB = 5,

AC = 4.Tính độ dài đoạn CE và khoảng cách từ A đến tâm đờng tròn tiếpxúc đoạn AD và các đoạn kéo dài ED, EA tại D và A tơng ứng

Câu 8: Tìm tất cả các tự nhiên x, y, z sao cho đẳng sau đúng với bất kỳ số tựnhiên n

y z x

Các bài toán luyện tập học sinh giỏi

1

1 x x x x  x x

Câu 2: Trong tứ giác ABCD có góc A và góc D bằng 1 vuông

Giả sử CD = AD + BC, và phân giác góc ADC cắt cạnh AB tại điểm M Tính góc CMD

Câu 3: (lớp 8) Giả sử a + b + c + d = 6 Có thể tổng ab +ac + ad + bc +bd +

cd = 18 hay không ?

Câu 4: (lớp 8) Cho hàm số y = ax +b, tính giá trị biểu thức b - a

Câu 5: Tìm giá trị lớn nhất của a sao cho phơng trình x3 +5x2 + ax +b = 0 với

hệ số nguyên có ba nghiệm trong đó một nghiệm bằng -2

Câu 6: Tính diện tích của tam giác vuông, nếu bán kính vòng tròn nội tiếpvàngoạitiếp tam giác tơngứng là 2 và 5 cm

Câu 7: (lớp 9)Cho hình hộp chữ nhật ABCDA1B1C1D1, cạnh AB = 6 cm, BC

= 8 cm, BB1 = 1, 6 91 Tính diện tích hình ACC1A1

Câu 8: (lớp 8) Tính nghiệm của phơng trình:

3

1 1

1 : 2

2 1

3

2 5

4 3 2

3 5

3 4

x x

x x

x x x

x x x

x x x

Câu 9:(lớp 9)Tìm tổng nghiệm của phơng trình:

3 3

đề số 7

Câu 1: (lớp 8) Tính x3 + y3, nếu giả sử rằng x + y = 5 và x + y +x2y +xy2 = 24Câu 2: (lớp 8) Trung tuyến tam giác bằng 1,5 độ dài cạnh mà trung tuyến điqua, tính góc tạo bởi hai trung tuyến đi qua 2 cạnh kia

Câu 3: Giả sử số p là một nghiệm của phơng trình 5x2 + bx + 10 = 0 Tínhnghiệm của phơng trình 10x2 + bx + 5 = 0 qua p

Câu 4: Từ một điểm của tam giác nối với các trung điểm của các cạnh, tạothành 3 tứ giác lồi Chứng minh rằng, nếu có hai tứ giác ngoại tiếp đợc đờngtròn thì cả 3 tứ giác đều ngoại tiếp đờng tròn

Câu 5: (lớp 8) Giả sử a2 +bc = a (b+c)

b2 + ac = b (c+a)

c2 + ab = c( a+b) thì a = b = c

Câu 6: (lớp 8) Cho hình thang ABCD, điểm m nằm trên cạnh bên CD sao cho

ABM = CBD=BCD =  Tính độ dài BM nếu AB = b

Câu 7: Trên đờng tròn tâm 0 lấy 2 điểm A và B Hai đờng tròn tiếp xúc trongvới đờng tròn đã cho tại A và B và tiếp xúc nhau tại điểm M Tìm quỹ tíchcủa điểm M

Câu 8: (lớp 8) Cho hình bình hành ABCD Đờng thẳng song song với AB cắtphân giác của góc A và C tại P và Q tơng ứng Chứng minh rằng, góc ADPbằng góc ABQ

Câu 9: Giả sử A1, B1, C1 là trung điểm cạnh tam giác ABC, I là tâm đờng trònnội tiếp tam giác C2 là giao điểm của đờng thẳng C1I và A1B1, C3 là giao

điểm của đờng thẳng CC2 và AB Chứng minh rằng,IC3 là trung trực của AB

Các bài toán luyện tập học sinh giỏi

Câu 4: (lớp 8) Nếu độ dài các trung tuyến cuả tam giác nhỏ hơn 1 thì diệntích của tam giác có nhỏ hơn 1 hay không?

Câu 5: Tính giá trị nhỏnhất của biểu thức

x

y

nếu biết rằng,

0 1 2

Câu 8: Tồn tại hay không sô n sao cho 2000  n  2001?

Câu 9: (lớp 8) Giả sử M là số nhỏ nhất các số a, b, c và 1- a - b – c Tính giátrị lớn nhất của M

Câu 10: (lớp 8) Trong tứ giác lồi ABCD điểm K, M, N, P là trung điểm củacác cạnh AB, BC, CD , DA Đoạn AM và CK cắt nhau tại E, còn đoạn AN

và CP cắt nhau tại F Tìm diện tích tứ giác AECF, nếu diện tích ABCD bằng12

Câu 11: (lớp 8) Chứng minh rằng, nếu số m và m2 + 2 là số nguyên tố,

5

16 3 256 4

Câu 3: Giả sử 9x2 +16y2 +144x2 =169

Tính giá trị lớn nhất của biểu thức 6x – 4y + 24z

Câu 4: (lớp 8) Số x và y thoả mãn 2 6 2 51

 y x

xy

Tính gía trị biểu thức: x2 6 y2

xy



Câu 5: Tìm tất cả giá trị của số m sao cho m3 – m = m!

Câu 6: Giải phơng trình:

6 4

12

2 2 2

3 3 3

3 3 3

1 4 1 4 1

4a  b  c nếu abc 1

Câu 5: Cạnh của ngũ giác lồi lấy liên tiếp là 4 cm, 6 cm, 8 cm, 7 cm, 9 cm.Vậy hình đó có thể ngoại tiếp đờng tròn?

Câu 6: Tìm số nguyên tố x, y, z sao cho thoả mãn đẳng thức: z1 x y

Câu 7 : Trong tam giác ABC kể trung tuyến AL và BM cắt nhau tại K Qua

đỉnh C và các điểm K, L , M kẻ vòng tròn Tính độ dài trung tuyến CN, nếu

độ dài AB = a

xy z

y z

xz y

2

Câu 9: (lớp 8) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

2 3 4 3 6 4

;



Các bài toán luyện tập học sinh giỏi năm

Dành cho học sinh các lớp 6, 7, 8, 9.

đề số 11Câu 1: ( lớp 6) Số nào lớn hơn

666666669

666666664

&

555555557 555555553

2 2

1 8 1 2

1 )

1 1

2 1 )

x b

x x

x x a

Câu 3: ( lớp 9) Số nào lớn hơn:

3 3

4 a x b x  ab 2x

Câu 7: ( lớp 6) Chứng minh rằng:

17

1 102

100

9

7 6

4 3

2 2

b) Chu vi tam giác ABC, nếu chu vi của tam giác ACD và BCD bằng P1

và P2

Các bài toán luyện tập học sinh giỏi

Dành cho học sinh các lớp 6, 7, 8, 9.

đề số 12Câu 1: (lớp 8) Tìm giá trị nhỏ nhấtcủa biểu thức:

y x y xy

y x x

7 2 2 7

3 3

Câu 6: (lớp 8) Chứng minh bất đẳng thức:

0 ,  

yz z xy

Câu 7: ( Lớp 6)Tính tổng:

13

1 7 11

10 13

1 2 11

2 1 13

12 2 11

1

2006 1

1

2005 1

1

x z

z y

y x

Câu 9: (lớp 9) Trong đờng tròn nội tiếp ngũ giác ABCDE Khoảng cách từ

điểm E đến các đờng thẳng AB, BC và CD tơng ứng là a, b, c Tính khoảngcáh từ điểm E đến đờng thẳng AD

Câu 10: (lớp 8) Giả sử trung tuyến và đờng cao kẻ từ một đỉnh của tam giác,chia góc đó thành 3 phần bằng nhau Chứng tỏ tam giác đó là tam giác vuông, tính các góc của nó

b)(lớp 8) Giả sử trung tuyến, phân giác và đờng cao kẻ từ một đỉnh của tamgiác, chia góc đó thành 4 phần bằng nhau Chứng tỏ tam giác đó là tam giácvuông , tính các góc của nó

Các bài toán luyện tập học sinh giỏi

a xy

a y x

Tìm giá trị của a để tổng x 2 y2 đạt giá trị nhỏ nhất

2

3

2

z y xy z y x

Câu 4: ( Lớp 8) Số nào lớn hơn:

1 2005

1 2005

&

1 2005

1 2005

2005

2004 2007

z x

xz

z y

y z

y x

xy

Câu 6: ( lớp 9 ) Giải phơng trình:

 2

2 2 1

3  x x   x y

Câu 7: ( lớp 6) Tìm ớc chung lớn nhất của 2 số:

1 2

)(

( :

, 0 , 0 ,

Câu 2: ( lớp 8)Tìm số tự nhiên n sao cho n3 +3 chia hết cho n+3

Câu 3: ( lớp 9) Tồn tại tam giác có các đờng cao là: 2 ; 3 ; 2  3?

Câu 4: ( lớp 9) Số nào lớn hơn: 7 5 & 5 7

Câu 5: ( lớp 9) Chứng minh bất đẳng thức:

N n n n n n

6

3 4

2 1 3

2 2

2 2

2 2

z yz

y

z xz

x

y xy

x

Câu 7 : ( lớp 9) Giải phơng trình:

16x200  1y200  1 16xy100Câu 8: ( lớp 7) Các số tự nhiên thoả mãn các đằng thức abcd  1000

Khi nào tổng

d

b c

a

 đạt giá trị lớn nhất

Câu 9: ( lớp 8) Chứng minh rằng, nếu các số dơng x và y thoả mãn đẳngthức:x yy ỹ x x y y thi x = y

Câu 10: (lớp 8) Tìm tấ cả các cặp số tự nhiên để cho tổng các bình phơng củachngs bằng 16000.

Câu 11: ( lơp 9) Một hình thang có các đáy là 3 và 5 Hỏi bán kính vòngtròn nội tiếp hình tháng có độ dài là 4 đợc không?

Câu 12: (lớp 9) Trong tam giác nhọn ABC kẻ đờng cao A A1 , BB1, CC1 cắtnhau tại H Chứng minh công thức tính bán kính vòng tròn ngoại tiếp tamgiác là:

H C H B

H A AH

R

1 1

1 2

.

2

.

1

1 1

2 1

2 1 3

2 2 1

n n n

x x

x x

x x

x x x

Câu 3: (lớp 9 ) (đề toán Fecma) Trên đờng kính AB của nửa đờng tròn, dựnghình chữ nhật ABCD, mà CD bằng cạnh hình vuông nội tiếp đờng tròn

đó.Giả sử điểm N là điểm bất kỳ trên cnửa đờng tròn, E và F là giao điểmcủa đờng thẳng CN và DN với đờng kính nửa đờng tròn

Chứng minh rằng, AE2 + BF2 = AB 2

Câu 4: (lớp 8 ) Trên cạnh BC và CD của hình vuông ABCD lấy các điểm E

và F sao cho EC = 2EB và FC = FD

Chứng minh rằng, góc AEB bằng góc AEF

1

3 1

1

2 1

1

y x

z

z x

y

z y

1 1

r c p b p a

đoạn MN nằm trên đờng tròn ngoại tiếp tam giác.

Câu 3: ( lớp 8) Số nguyên A có tính chất, số 3A định về dạng x2 +2y2, ở đấy

x và y là các số nguyên Chứng minh rằng, số A cũng định vè dạng nh thế.Câu 4: ( lớp 8) Giải phơng trình trong tập số nguyên:

x 1.y2  x2  4x2Câu 5: ( lơp 8) Các số nguyên x, y, z, a, b, c thoả mãn các điều kiện sau:

2

2 2

2

2 2

2

c x

z x z

b z

yz y

a y

xy x

1 1 1 1

bc ad

bd ac

cd ab

Câu 9: ( lớp 8) Giả phơng trình trong tập số nguyên:

2

3 3 3

Các bài toán luyện tập học sinh giỏi

Dành cho học sinh các lớp 6, 7, 8, 9.

đề số 17Câu 1: ( lớp 8) Giải hệ phơng trình:

1 2

2

3 3

2

9 9

9 9

2 2

9 9

9 9

2 2

9 9

9 9

x y

x

y x

y x

y x

y x

x z

zx

z y

yz

y x

xy

Câu 3: ( lớp 8) Các số dơng a và b thoả mãn đẳng thức a2bb2a thì a cóbằng b không ?

Câu 4: ( lớp 6 ) Tìm số n nhỏ nhất sao cho số 222 2 ở đó có n số 2, là bội

số của 17

Câu 5: ( lớp 8) Ta biết 25 = 52 , 225 = 152 , vậy nếu số chữ số 2 lớn hơn 2 thì

có số chính phơng nào có dạng 22 5 hay không?

Câu 6: ( lớp 7) Tính góc A của tam giác ABC, nếu nó bằng một trong cácgóc tạo bởi 2 đờng phân giác góc B và C vuông góc với nhau.

Câu 8: (lớp 8) Giả sử số 2n +1và 3n +1, (n là số tự nhiên) là số chính phơng.Hỏi số 5n +3 có thể là số nguyên tố hay không?

Câu 9: ( lớp 8) Tìm tất cả nghiệm dơng của phơng trình:

b a

d

a d

c

d c

b

c b

Câu 3: (lớp 8) Tìm giá trị nhỏ nhất có thể có của đa thức:

2 2 2 4 4

4 ) ,



 y x

Câu 5: (lớp 8) Giả sử số a5  a3 a  2 Chứng minh rằng, 3 a6  4

Câu 6: ( lớp 9) Tìm nghiệm của phơng trình 2 0





px q

x , nếu giả sử, cácnghiệm này là số nguyên và pq 108

; 0

; 1

1 1

1 1

1 2

3 1

c b

b a

a

Câu 11: ( lớp 9) Trên cạnh góc vuông AC và CB của tam giác vuông ABClấy điểm D và E tơng ứng Chứng minh rằng, chân các đờng cao hạ từ đỉnh Cxuống các đờng thẳng DE, EA, AB và BD nằm trên một đờng tròn.

Câu12: ( lớp 9) Trên một cạnh của góc bất kỳ, chọn điểm A Khảo sát tất cảcác đờng tròn tiếp xúc vời cạnh đó tại điểm A, cắt cạnh kia tại hai điểm B và

C Chứng minh rằng tâm các đờng tròn nh thế sẽ nàm trên đờng thẳng

Các bài toán luyện tập học sinh giỏi

Dành cho học sinh các lớp 6, 7, 8, 9.

đề số 19Câu 1: ( lơp 8,9) Giải hệ phơng trình:

yz xt

yt xz

Câu 2: (lớp 8) Chứng minh rằng, các số không âm a, b, c thảo mãn các bấtdẳng thức: a b c a bc b ac c ab

2

Câu 3: (lớp 8) Tìm 2 số tự nhiên x và y sao cho xyx&xyylà bình phơngcủa hai số tự nhiên khác nhau

Câu 4: ( lớp 8) Trên cạnh AB, BC, CD, DA của hình chữ nhật lấy các điểm

K, L, M, N Giả sử KL//MN, KM  NL Chứng minh rằng, giao điểm của

đoạn KM và LN nằm trên đờng thẳng BD

Câu 5: ( lớp 8) Chứng minh rằng, bất kỳ số a và b đề thoả mãn bất đẳng thức:

 13

2 2

Câu 6: ( lớp 8) Chứng tỏ rằng phơng trình sau không có nghiệm trong tập sốnguyên

3 3







y x y xy x

Câu 7: ( lớp 9) Giải hệ phơng trình trong tập các số thực dơng

.

4 1

1 1

4 1

100 99

4 3

3 2

2 1

x x

x x

x x

x x

Câu 8:( lớp 8) Trên cạnh AB và BC của tam giác ABC chọn điểm M và N t

-ơng ứng O là giao điểm các đoạn AN và CM, giả sử AO = CO Hỏi tam giácABC có cân không trong các trờng hợp sau:

Câu 2: ( lớp 8) Cho các sô a, b, p, q thoả mãn các điều kiện:

b a q p

q p b a

1 1

0 ,

, ,

Chứng tỏ rằng a = b

Câu 3: Tìm tất cả các số a, b, c, d sao cho:

d

da b

a d

c

cd a

d c

b

b cd

c b

6 6

6

5 5

5

4 4

4

z y

x

z y

x

z y

x

Câu 5: ( lớp 7) Tìm tất cả các số tự nhiên thoả mãn đẳng thức: xyzxy

Câu 6: (lớp 8) Chứng minh bất đẳng thức:

0 , ,

a c

b b a

Câu 7: ( lớp 9) Chứng minh bất đẳng thức:

  chia tích cho x2+x+1 với bất kỳ số tựnhiên m, n và p (lớp 8)

câu 3:chứng minh, với bất kì số không âm x, y, z ta có bất đẳng thức:

x y z  xyz x y x y x z x z y z y z      (lớp 8)

câu 4: cho tam giác abc (ab =ac) nói tập đờng tròn trên cung ab, chứa

điểm c, lấy điểm a xuống đứng thẳng cx

câu 9: Giả sử m a,m b,m c,là độ dài các trung tuyển, còn l l l a, ,b c là độ dài phângiác

các bài toán luyện tập học sinh giỏi

Câu 4: H là trực tâm của tam giác ABC, D là trung điểm của cạnh AC đờngthẳng đi qua H vuông góc với điểm DH, cắt cạnh AB và BC tại Evà F CMR:

HE = HF

Câu 5: Cho hình thoi ABCD, trên cạnh BC lấy điểm E sao cho AE = CD

Đoạn ED cắt đừơng tròn ngoại tiếp tam giác AED tại điểm F