PHÒNG GD & ĐT CẨM XUYÊN ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 9 Thời gian: 150 phút Câu 1: Giải các phương trình: a) x - 2 x - 1 x + 2 x - 1 2+ = b) ( ) ( ) 2 x + 5 x + 2 1 x 7x + 10 3− + + = Câu 2: a) Cho x = 3 3 84 84 1 1 9 9 + + − . Chứng minh x có giá trị là một số nguyên. b) Cho a > 0, b > 0, c ≠ 0. Chứng minh rằng: 1 1 1 0 a + b a + c b + c a b c + + = ⇔ = + Câu 3: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Một điểm E di động trên cạnh BC; AE cắt đường thẳng CD tại F. Gọi R 1 , R 2 thứ tự là bán kính của các đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABE và ADF. Chứng minh rằng: 2 2 1 2 1 1 R R + luôn có giá trị không đổi. Câu 4: Cho đường tròn (O;R) và điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho OA = R 2 . Từ A vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Lấy D thuộc AB; E thuộc AC sao cho chu vi của tam giác ADE bằng 2R. Chứng minh DE là tiếp tuyến của đường tròn (O;R). Câu 5: Cho các số dương x, y, z thỏa mãn: x + y + z ≤ 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = ( ) 2 2 2 1 x 1 y 1 z 2 x y z+ + + + + + + + . --------------- Hết ------------- HƯỚNG DẪN CHẤM 1 a) ĐK: x ≥ 1 ( ) ( ) 2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2x x x x− − + − + = ⇔ − − + − + = 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 2x x x x x⇔ − − = − − ⇔ − − ≤ ⇔ ≤ − ≤ ⇔ ≤ ≤ 1 b) ĐK: x ≥ - 2 (1) Đặt ( ) x + 5 a; x + 2 b a 0; b 0= = ≥ ≥ (2) Ta có: a 2 – b 2 = 3; ( ) ( ) 2 x 7x + 10 x + 5 x + 2 ab+ = = Thay vào phương trình đã cho ta được: (a – b)(1 + ab) = a 2 – b 2 ⇔ (a – b)(1 – a)(1 – b) = 0 x + 5 x + 2 (vn) a - b = 0 x = - 4 1 - a = 0 x + 5 1 x = - 1 1 - b = 0 x + 2 1  =     ⇔ ⇒ = ⇒      =    Đối chiếu với (1) suy ra phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = - 1. 1,5 2 a) Đặt 3 3 84 84 1 a; 1 b 9 9 + = − = ⇒ x = a + b; a 3 + b 3 = 2; ab = 1 3 − . Ta có: x 3 = (a + b) 3 = a 3 + b 3 + 3ab(a + b) Suy ra: x 3 = 2 – x ⇔ x 3 + x – 2 = 0 ( ) ( ) 2 x - 1 x x + 2 0⇔ + = ⇔ x = 1. Vì x 2 + x + 2 = 2 1 7 x + 0 2 4   + >  ÷   . Từ đó suy ra điều phải chứng minh. 1 b) + Giả sử có 1 1 1 0 a b c + + = ; và vì a > 0, b > 0 nên suy ra c < 0 Ta có: ab + bc + ca = 0 ⇒ (a + c)(b + c) = c 2 ( ) ( ) a c b c c⇒ + + = − (do c < 0) ( ) ( ) 2 2a c b c c⇒ + + = − ( ) ( ) ( ) ( ) 2a c b c a c b c a b⇒ + + + + + + = + ( ) 2 a c b c a b⇒ + + + = + a c b c a b⇒ + + + = + . + Ngược lại, nếu a c b c a b+ + + = + (1) thì c < 0. Vì nếu c > 0 thì a c b c a c b c a b+ + + > + + + > + . Bình phương 2 vế của (1) suy ra: 2c + 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 0a c b c a c b c c c+ + = ⇒ + + = − = (do c < 0) ⇒ (a + c)(b + c) = c 2 ⇒ ab + bc + ca = 0 ⇒ 1 1 1 0 a b c + + = . 1,5 3 Vẽ AH ⊥ CD Suy ra: ∆ADH = ∆ABE (gcg) ⇒ AH = AE. ∆HAF vuông tại A có AD là đường cao, suy ra: 2 2 2 2 1 1 1 1 AFAH AD a + = = 2 2 2 1 1 1 AFAE a ⇒ + = (1) Vì AE và AF thứ tự là đường kính của các đường tròn ngoại tiếp các tam giác vuông ABE và ADF nên suy ra: 2R 1 = AE, 2R 2 = AF (2) Từ (1) và (2) suy ra: 2 2 2 1 2 1 1 4 RR a ⇒ + = (là hằng số), đpcm. 2 4 Ta có: · · 0 ABO ACO 90= = (tính chất tiếp tuyến) (1) ⇒ AB = AC 2 2 OA OB= − = R = OB = OC (2) Từ (1) và (2) suy ra ABOC là hình vuông. Theo bài ra ta có: AD + DE + AE = 2R = AB + AC (3). Suy ra: DE = BD + CE (4). Vẽ OM ⊥ DE (M ∈ DE) (5) Trên tia đối của tia CA lấy điểm F sao cho: CF = BD; suy ra ∆BDO = ∆COF (c-g-c) ⇒ OD = OF; lại có DE = FE nên ∆ODE = ∆OFE (c-c-c) ⇒ OM = OC = R (hai đường cao tương ứng) (6). Từ (5) và (6) suy ra DE là tiếp tuyến của đường tròn (O;R). 2 5 Áp dụng các BĐT: ( ) 2 2 a + b 2 a b≤ + ; a + b + c ( ) 2 2 2 3 a b c≤ + + . Đẳng thức xảy ra khi a = b; a = b = c. (được suy ra từ bất đẳng thức Bunhiacôpski) .Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 + x 2x 2 1 x 2x 2 x + 1 1 + y 2y 2 1 y 2y 2 y + 1 1 + z 2z 2 1 z 2z 2 z + 1 x y z 3 x + y + z + ≤ + + = + ≤ + + = + ≤ + + = + + ≤ Lại có: A = 2 2 2 1 x 1 y 1 z 2x 2y 2z+ + + + + + + + + ( ) ( ) 2 2 x y z− + + ( ) ( ) ( ) A 2 x + y + z + 3 2 2 3 x + y + z⇒ ≤ + − A 6 + 3 2⇒ ≤ (do x + y + z ≤ 3).Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1.Vậy MaxA = 6 3 2+ ⇔ x = y = z = 1. 1 R F M y x E D C B O A H F E C B D A . x 1 y 1 z 2x 2y 2z+ + + + + + + + + ( ) ( ) 2 2 x y z− + + ( ) ( ) ( ) A 2 x + y + z + 3 2 2 3 x + y + z⇒ ≤ + − A 6 + 3 2⇒ ≤ (do x + y + z ≤ 3).Dấu “=”. 2 2 2 2 2 1 + x 2x 2 1 x 2x 2 x + 1 1 + y 2y 2 1 y 2y 2 y + 1 1 + z 2z 2 1 z 2z 2 z + 1 x y z 3 x + y + z + ≤ + + = + ≤ + + = + ≤ + + = + + ≤ Lại có: A