Ôn luyện HSG năm 2010-2011

Tìm m để hàm số trên có cực đại cực tiểu.. Cho hàm số m là tham số 1.Biện luận theo m số giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành 2.Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 đi

Vấn đề 1: Hàm số

Bài 1(HN08): Cho hàm số:

1 Tìm m để hàm số trên có cực đại cực tiểu

2 CMR với mọi m pt y=0 luôn có 1 nghiệm duy nhất

Bài 2(HN09) Cho hàm số ( m là tham số)

1.Biện luận theo m số giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành

2.Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành

độ tương ứng lập thành cấp số công

Bài 3(HN09) Viết phương trình của đường thẳng tiếp xúc với đồ thị hàm số

tại hai điểm phân biệt thuộc đồ thị hàm số

Bài 4(HN06) Gọi ( )C m là đthị của hsố y x= 4 − 6m x2 2 + 4mx+ 6m4 ( m là tham số)

1 Tìm các giá trị của m để ( )C m có 3 điểm cực trị A, B, C

2 CMR tam giác ABC có trọng tâm cố định khi tham số m thay đổi

Bài 5(HN03) Cho đường cong (C) có phương trình y= − +x4 4x2 − 3.Tìm m và n để đường thẳng y mx n= + cắt đường cong (C) tại 4 điểm phân biệt A, B , C, D ( theo thứ tự ) sao cho 1

2

AB CD= = BC.

Bài 6(HN01) Cho hàm số y = x4 − 2 m x2 2 + n

Tìm các giá trị của tham số m và n để đồ thị có 3 điểm cực trị là các đỉnh của một tam giác đều ngoại tiếp một đường tròn có tâm là gốc toạ độ

Bài 7(HN98) Cho họ đường cong (Cm): y x= − 3 3x2 +mx+ − 4 m ( m là tham số)

Đường thẳng (d): y = 3 - x cắt một đường cong bất kỳ (C) của họ (Cm) tại 3 điểm phân biệt A, I, B (theo thứ tự), tiếp tuyến tại A và tiếp tyuến tại B của (C) lần lượt cắt đường cong tại điểm thứ hai là M và N Tìm m để tứ giác AMBN là hình thoi

Vấn đề 2: Phương trình và hệ phương trình

Bài 1(HN08) Giải pt:

Bài 2: Giải phương trình

Bài 3(HN09) Giải phương trình

Bài 4(NA 08) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm :

Bài 5(HN06) Giải các phương trình sau

a) 15 x5+ 11 x3+ = − 28 1 3 x

b) (4x−1 1) +x2 = 2x2+2x+1

Vấn đề 3: giá trị lớn nhất, nhỏ nhất – bất đẳng thức

Bài 2(HN08) Cho HHCN với kích thước ba cạnh là a,b,c và độ dài đường chéo là CMR:

Bài 3(HN09) Cho hai số thực thỏa mãn chứng minh:

Bài 4(NA 08) Cho hai số thực x , y thoả mãn : Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức :

P =

Bài 5(VP09) Cho x, y, z là các số thức dương thoả mãn: x + y + z = 1

: 1 1 1 27

CMR

xy+ yz + xz ≤

Bài 6(HN01) Tìm tất cả các giá trị của a và b thoả mãn điều kiện: 1

2

a≥ −

và a 1

b f

sao cho biểu thức ( )

3

2a 1

P

b a b

+

=

− đạt giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

Bài 7(TTH07)

a) Cho a, b là các số thực không âm tùy ý có tổng nhỏ hơn hoặc bằng 4

5

Chứng minh rằng : 1 1 1 1

b) Xét các số thực không âm thay đổi , ,x y z thỏa điều kiện: x y z+ + =1 Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của:

S

Vấn đề 4: Dãy số, giới hạn và đạo hàm

Bài 1(HN08) Cho dãy số được xác định như sau: và dãy

Bài 2(HN09) Cho dãy số trong đó số chỉnh hợp chập n của (n+2) phần tử là và là số hoán vị của tập hợp gồm n phần tử với n là số nguyên dương Tìm

Bài 3(TTH08) Cho dãy số 2 3

n

u = + + + ×××+ −

với mọi số nguyên dương n a) Chứng tỏ rằng các tử số của các số hạng liên tiếp của u n lập thành một cấp số cộng

b) Hãy biến đổi mỗi số hạng của u n n ( ≥ 1) thành một hiệu liên quan đến 2 số hạng

kế tiếp của nó, từ đó rút gọn u n và tính lim un

Vấn đề 5: Hình học không gian

Bài 1(HN08) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD với đáy là hình chữ nhật và SA

vuông góc với mp đáy và SA=a, AB=b, AD=c Qua trọng tâm G của tam giác SBD kẻ 1 đường thẳng d cắt đoạn SB tại M và SD tại N Vẽ mp (AMN) cắt SC tại K Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của

Bài 2(HN09) Cho hình lập phương ABCDA'B'C'D' cạnh bằng a Với M là một

điểm thuộc cạnh AB, Chọn điểm N thuộc cạnh D'C' sao cho AM+D'N=a 1.Chứng minh MN đi qua một điểm cố định khi M thay đổi 2.tính thể tích chóp B'.A'MCN theo a Xác định vị trí của M để khoảng cách từ B' tới mp(A'MCN) max.Tính khoảng cách lớn nhất đó theo a 3.Tìm quỹ tích hình chiếu vuông góc của C xuống MN khi M chạy trên AB

Bài 3(HN06).Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1 Các điển M, N lần lượt

chuyển động trên các đoạn AB, AC sao cho mặt phẳng (DMN) luôn vuông góc với mặt phẳng (ABC) Đặt AM=x, AN=y

a) Cmr: mặt phẳng (DMN) luôn chứa một đường phẳng cố định và x + y = 3xy b) Xác định vị trí của M, N để diện tích toàn phần tứ diện ADMN đạt giá trị nhỏ nhất và lớn nhất.Tính các giá trị đó

Bài 4(TTH08) Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a, BC = b,

SA = SB = SC = SD = c K là hình chiếu vuông góc của B xuống AC.

a Tính độ dài đoạn vuông góc chung của SA và BK.

b Gọi M, N lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng AK và CD Chứng minh: Các đường thẳng BM và MN vuông góc với nhau.

Vấn đề 6: đại số tổ hợp.

Bài 1(TTH08)

a) Tính tổng các số chẵn có 4 chữ số được viết từ các chữ số 1, 2, 3, 4

b) Tìm hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niu-tơn của

3 2

3

x x

x

  biết rằng tổng các hệ số của các số hạng trong khai triển này là

0 1 2 n 4096

a + + + +a a a =

Vấn đề 7: Phương trình lượng giác

Bài 1(TTH08) Cho phương trình cos sin 1 1 0 (1)

sin cos

a) Với 2

3

m= , tìm các nghiệm của phương trình (1) trên khoảng ;3

4 4

π π

− 

b) Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có 2 nghiệm trên khoảng ;3

4 4

π π

− 

2

2 1 sin 2 1 cos − − − +m=

x

x x

x

Với m là tham số.

1) Khi m = 0, hãy tìm tất cả các nghiệm )

2

1

; 50 ( − −

∈

x của phương trình

2) Xác định m để phương trình có nghiệm )

2

1

; 2

1 (

π +

∈