CƠ SỞ CỦA KĨ THUẬT CHUẨN HÓA SỐ LIỆU + Để hiểu hơn về kĩ thuật này, ta bắt đầu từ biểu thức hệ số công suất của một đoạn mạch điện xoay chiều RLC: 2 R cos + Giả sử rằng từ giả thuyết
Trang 1CHỦ ĐỀ KĨ THUẬT CHUẨN HÓA
TRONG GIẢI TOÁN ĐIỆN XOAY CHIỀU
I CƠ SỞ CỦA KĨ THUẬT CHUẨN HÓA SỐ LIỆU
+ Để hiểu hơn về kĩ thuật này, ta bắt đầu từ biểu thức hệ số công suất của một đoạn mạch điện xoay chiều RLC:
2
R cos
+ Giả sử rằng từ giả thuyết của bài toán ta có thể biểu diễn được ZL = nR, ZC = mR Thay vào biểu thức cosφ ta thấy rằng kết quả của phép tính không phụ thuộc vào giá trị của R
→ Do vậy để đơn giản hơn cho bước biến đổi ZL = nR, ZC = mR ta chọn R = 1 Khi đó thay vì làm việc với các biến hình thức ZL, ZC và R ta sẽ chỉ giải các phương trình với các hệ số xác định
Câu 31: (Thị Xã Quảng Trị - 2018) Trong giờ học thực hành, một học sinh bắt
mạch điện MQ như hình vẽ Học sinh này đặt vào hai đầu MQ một điện áp xoay
chiều rồi dùng vôn kế xác định điện áp hiệu dụng hai đầu các điểm và cho kết quả
như sau: UMQ = 25 V, UMN = 19 V, UNP = 13 V và UPQ = 19 V Bỏ qua điện trở các
dây nối và xem vôn kế có điện trở vô cùng lớn Hệ số công suất của mạch là
Câu 31:
25
19 13
19
2 2
13
19
2
→ Hệ số công suất
MQ
25 U
19
Đáp án C
Bài tập minh họa 1: (Quốc gia – 2009) Một đoạn mạch điện xoay chiều gồm điện trở thuần, cuộn cảm thuần và tụ
điện mắc nối tiếp Biết cảm kháng gấp đôi dung kháng Dùng vôn kế xoay chiều (điện trở rất lớn) đo điện áp giữa hai đầu tụ điện và điện áp giữa hai đầu điện trở thì số chỉ của vôn kế là như nhau Độ lệch pha của điện áp giữa hai đầu đoạn mạch so với cường độ dòng điện trong đoạn mạch là
4
6
3
3
Hướng dẫn:
+ Cảm kháng gấp đôi dung kháng → ZL = 2ZC
Điện áp hiệu dụng ở hai đầu tụ điện và hai đầu điện trở bằng nhau ZC = R Ta chuẩn hóa R = 1 → ZC = 1 và ZL = 2
→ Độ lệch pha ZL ZC 2 1
Đáp án A.
Bình luận: Bài toán trên bước đầu giúp ta làm quen với kĩ thuật chuẩn hóa, tuy nhiên tính ưu việt của kĩ thuật này vẫn
chưa thể hiện rõ Để thấy rõ hơn ta tiến hành so sánh các kĩ thuật giải ở các ví dụ sau
Trang 2Bài tập minh họa 2: (Chuyên ĐH Vinh – 2012) Cho đoạn mạch điện xoay chiều RLC nối tiếp với L 2, đặt vào
R
C hai đầu đoạn mạch trên một điện áp xoay chiều u U 2 cos t (U không đổi, ω thay đổi được) Khi ω = ω1 và
thì mạch có cùng hệ số công suất, giá trị của hệ số công suất đó là
73
2 13
2 21
4 67
Hướng dẫn:
Ta giải theo cách thông thường
C
Z
+ Hai giá trị của tần số góc ω cho cùng hệ số công suất của mạch
1 2
C
Z 9
1 1
2 C L
R Z Z
+ Thay vào phương trình trên ta thu được 1
1
L C
R Z 3
→Vậy hệ số công suất của mạch khi đó là:
2
2
cos
73 R
3
Đáp án A
Vận dụng kĩ thuật chuẩn hóa vào bài toán:
L
Z
+ Hai trường hợp của tần số góc cho cùng một giá trị của hệ số công suất
→ Vậy hệ số công suất của mạch sẽ là 1
2 2
cos
73 1
n
→ Qua ví dụ trên ta thấy rằng công cụ chuẩn hóa giúp ta có thể đơn giản hóa các phép biến đổi toán học
Bài tập minh họa 3: (Chuyên ĐH Vinh – 2012) Một cuộn dây không thuần cảm nối tiếp với tụ điện có điện dung C
trong mạch điện xoay chiều có điện áp u U cos t 0 V thì dòng điện trong mạch sớm pha hơn điện áp u là φ1, điện áp hiệu dụng ở hai đầu cuộn dây là 30 V Biết rằng, nếu thay tụ điện C bằng tụ điện C 3C thì dòng điện trong mạch chậm pha hơn điện áp u là 2 1 và điện áp hiệu dụng ở hai đầu cuộn dây là 90 V Hỏi biên độ U0 bằng bao
2
nhiêu vôn
Hướng dẫn:
Giải theo cách thông thường
C
Z
3
+ Ta có
2
Trang 3Mặc khác 2 2 2 2
U 3U I 3IR Z Z 9 R Z Z
+ Thay giá trị L C 2 ta thu được:
R
Z Z 8R Z Z 9R 0
→ Hệ phương trình trên tương đương với
L C
C
Z
L d
2
Đáp án A
Vận dụng kĩ thuật chuẩn hóa vào bài toán:
+ Ta có → Nhận thấy rằng, nếu ta biểu diễn được ZL – ZC = nR , ZL = mRkết quả của U
L d
2 2
U
sẽ không phụ thuộc vào R
+ Chuẩn hóa
R 1
+ Kết hợp với
9
n
L C
C L
Z
d
→ Một lần nữa ta thấy rằng công cụ chuẩn hóa này giúp ta rút ngắn hơn thời gian tính toán với các biểu thức
Bài tập minh họa 4: (Chuyên Nguyễn Huệ – 2012) Nối hai cực của một máy phát điện xoay chiều một pha vào hai
đầu đoạn mạch AB gồm điện trở thuần mắc nối tiếp với một cuộn cảm thuần Bỏ qua điện trở của máy phát Khi roto quay với tốc độ n vòng/phút thì cường độ dòng điện hiệu dụng trong mạch là 1 A Khi roto quay với tốc độ 3n vòng/phút thì cường độ dòng điện hiệu dụng trong mạch là 3A Nếu roto quay với tốc độ 2n vòng/phút thì cảm kháng của đoạn mạch là
3
2R
Hướng dẫn:
+ Chuẩn hóa R = 1
Gọi x là cảm kháng của cuộn dây khi roto quay với tốc độ n vòng/phút
x
→ Vậy khi roto quay với tốc độ 2n vòng/phút thì cảm kháng của đoạn mạch là ZL 2R
3
Đáp án B
II VẬN DỤNG KĨ THUẬT CHUẨN HÓA VÀO BÀI TOÁN TẦN SỐ GÓC BIẾN THIÊN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC ĐẠI TRÊN U R , U L VÀ U C :
1 Nhắc lại các kết quả của bài toán tần số góc biến thiên liên quan đến cực đại trên U R , U L và U C :
Tần số góc ω
biến thiên
hiệu dụng
Trang 4U R R 0 1 và URmax = U.
LC
U L
L
1 CX
2 2
U U
L 1 CX
2
X
1 1 2
→ Khi UL = U thì có hai giá trị của ω thõa mãn là:
L 1 2
2
U C
C
X L
2 2
U U
L 1 CX
2
X
→ Khi UC = U thì có hai giá trị của ω thõa mãn là:
1
0 2
2 Mối liên hệ giữa các trường hợp và phép chuẩn hóa:
Ta để ý rằng khi tăng dần ω thì thứ tự cực đại của các điện áp là C X L 1 L 1 và
.
2
+ Để đơn giản cho biểu thức ta tiến hành chuẩn hóa X = 1 và đặt L .
C
L n
C
+ Khi UCmax thì C X ZL X 1, , khi đó
L
L C C
L
U U
1 n 2 cos
n 1
+ Khi ULmax thì L 1 ZC X 1, , khi đó
CX
L C C
L
U U
1 n 2 cos
n 1
Bài tập minh họa 1: Cho đoạn mạch điện AB gồm điện trở thuần R, cuộn cảm thuần L và tụ điện C nối tiếp với nhau
theo thứ tự như trên và có CR2 < 2L Đặt vào hai đầu đoạn mạch một điện áp xoay chiều có biểu thức u U 2 cos t , trong đó U không đổi và ω thay đổi được Điều chỉnh giá trị của ω để điện áp hiệu dụng giữa hai bản tụ đạt cực đại Khi đó UCmax = 1,25U Gọi M là điểm nối giữa L và C Hệ số công suất của đoạn mạch AM là
Trang 5A 2 B C D
7
1 3
5 6
1 3
Hướng dẫn:
+ Thay đổi ω để điện áp hiệu dụng trên tụ cực đại, chuẩn hóa
max
L
3
1 n
Hệ số công suất của đoạn mạch chứa RL: cos RL 2n 2 2
Đáp án A
Bài tập minh họa 2: (Chuyên Lê Hồng Phong – 2017) Đặt điện áp u 120 2 cos 2 ft V (f thay đổi đổi được) vào hai đầu đoạn mạch mắc nối tiếp gồm cuộn cảm thuần có độ tự cảm L, điện trở R = 50 Ω và tụ điện có điện dung C, với
CR2 < 2L Khi f = f1 thì điện áp hiệu dụng giữa hai đầu tụ điện có giá trị cực đại Khi f f2 3f1 thì điện áp hiệu dụng giữa hai đầu điện trở đạt giá trị cực đại Khi f = f3 thì điện áp hiệu dụng giữa hai đầu cuộn cảm đạt cực đại và công suất tiêu thụ trên mạch lúc này là P3 Giá trị của P3 là
Hướng dẫn:
Ta có
2 2
2
2
3
f
U
R
cos
Đáp án C
Bài tập minh họa 3: (Chuyên sư phạm Hà Nội – 2016) Đặt một hiệu điện thế xoay chiều u U 2 cos t V (với
U0 không đổi và ω thay đổi được) vào đoạn mạch AB gồm ba điện trở thuần R, tụ điện C và cuộn cảm thuần L mắc nối tiếp (CR2 < 2L) Điều chỉnh giá trị của ω, thấy rằng khi ω = ω1 thì điện áp hiệu dụng giữa hai đầu bản tụ đạt giá trị cực đại Khi ω = ω2 thì điện áp hiệu dụng giữa hai đầu cuộn cảm đạt giá trị cực đại Khi đó giá trị hiệu dụng
Khi ω = ω1 thì hệ số công suất của đoạn mạch AB gần giá trị nào nhất sau đây?
Lmax
Hướng dẫn:
+ Hệ số công suất của đoạn mạch khi xảy ra cực đại với điện áp trên tụ hoạc trên cuộn dây
L C
2 cos
1
max
1
C
2
1
Đáp án D
U C = U
1 Nhắc lại các kết quả của bài toán tần số góc biến thiên liên để U L = U hoặc U C = U:
Tần số góc ω biến thiên
Trang 6+ L 1 với
Z 2Z Z R
L
Z 2Z Z R
2 Vận dụng kĩ thuật chuẩn hóa:
+ Khi UL = U, ta chuẩn hóa 2X 1 ZC1, L , khi đó
C
L
cos
C
C
cos
Bài tập minh họa 1: Đặt điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng U không đổi, tần số f thay đổi được vào hai đầu
đoạn mạch gồm điện trở thuần, cuộn cảm thuần và tụ điện mắc nối tiếp Khi f = f0 Hz thì điện áp hiệu dụng giữa hai đầu tụ điện là UC = U Khi f f0 5 6 Hz thì điện áp hiệu dụng ở hai đầu cuộn cảm UL = U và hệ số công suất của toàn mạch lúc này là 1 Tần số f0 gần với giá trị nào nhất sau đây?
3
Hướng dẫn:
0
Đáp án B
BÀI TẬP VẬN DỤNG Câu 1: (Chuyên ĐH Vinh – 2012) Cho đoạn mạch điện xoay chiều RLC nối tiếp, cuộn dây thuần cảm Biết L = CR2 Đặt vào hai đầu đoạn mạch một điện áp xoay chiều ổn định, mạch có cùng hệ số công suất với hai giá trị của tần số góc ω1 = 50π rad/s và ω2 = 200π rad/s Hệ số công suất của đoạn mạch bằng
13
1 2
1 2
3 12
L C
L CR Z Z R Gọi n giá trị của cảm kháng khi tần số của dòng điện là ω1
L
Z
Từ giả thuyết của bài toán 1 2
2
Hệ số công suất của mạch 1
2 2
cos
13 1
n
Đáp án A
Trang 7Câu 2: (Chuyên ĐH Vinh – 2012) Hai cuộn dây nối tiếp với nhau trong một mạch điện xoay chiều Cuộn 1 có điện
trở thuần r1 lớn gấp 3 lần cảm kháng ZL1 của nó, điện áp trên cuộn 1 và cuộn 2 có cùng giá trị hiệu dụng nhưng lệch pha nhau Tỉ số độ tự cảm của hai cuộn dây
3
2
L L
2
1 3
1 2
2 3 + Chuẩn hóa
1
Z 1 r 3
1
tan
Vậy cuộn dây thứ hai là thuần cảm
2
Chọn C
Câu 3: (Chuyên SPHN – 2012) Đặt điện áp xoay chiều u = U0cosωt V vào hai đầu đoạn mạch RLC mắc nối tiếp (cuộn dây thuần cảm) Khi nối tắt tụ C thì điện áp hiệu dụng trên điện trở R tăng 2 lần và dòng điện trong hai trường hợp này vuông pha nhau Hệ số công suất của đoạn mạch lúc sau bằng
5
3 2
1 5
2 2
L
1
Z
U 2U Z 2Z 1 Z Z 4 4Z
Thay L C ta thu được
L
1
Z
2 L
2 Z
→ Vậy hệ số công suất của mạch
2 2
cos
5 1
1 2
Đáp án A
Câu 4: (Chuyên Phan Bội Châu – 2012) Mắc vào đoạn mạch không phân nhánh RLC một nguồn điện xoay chiều có
tần số thay đổi được Ở tần số f1 = 60 Hz , hệ số công suất của mạch đạt cực đại cosφ = 1 Ở tần số f2 = 120 Hz, hệ số công suất nhận giá trị cosφ = 0,707 Ở tần số f3 = 90 Hz, hệ số công suất của mạch bằng
+ Chuẩn hóa R = 1
Gọi n là cảm kháng của cuộn dây khi tần số của dòng điện ω = ω1
1
1
L 2
1
C
1
LC
Ta có
2 2
3 n
2
Hệ số công suất khi 3là
2 2
1
Đáp án A
Câu 5: (Chuyên Thái Bình – 2012) Một đoạn mạch AB gồm hai đoạn mạch AM và MB mắc nối tiếp Đoạn mạch
AM gồm biến trở R mắc nối tiếp với cuộn cảm thuần có độ tự cảm L, đoạn mạch MB là tụ điện có điện dung C Đặt điện áp xoay chiều u = U0cos2πft (U không đổi, tần số f thay đổi được) vào hai đầu đoạn mạch AB Khi tần số là f1 thì điện áp hiệu dụng trên R đạt cực đại Khi tần số f2 thì điện áp hiệu dụng giữa hai điểm AM là không đổi khi điều chỉnh
R Hệ thức liên hệ giữa f1 và f2
Trang 8A f2 3f1 B C D
2
3
4
2
f f 2
+ Ta có 2
1
1
LC
L
R 1
+ Giả sử rằng tần số góc 2 n 1, khi đó ta có
2 2
2 2
2 2
U
x
n
1 nx
Để UAM không phụ thuộc vào R thì
2
2 2
x 0
f x
n
2
Đáp án D
Câu 6: (Chuyên ĐH Vinh – 2013) Một mát phát điện xoay chiều một pha có roto là phần cảm, điện trở thuần của
máy không đáng kể, đang quay với tốc độ n vòng/phút được nối vào hai đầu đoạn mạch RLC nối tiếp, L thay đổi được Ban đầu khi L = L1 thì ZL1 = ZC = R và hiệu điện thế giữa hai đầu cuộn là U Bây giờ, nếu roto quay với tốc độ 2n vòng/phút, để hiệu điện thế hiệu dụng giữa hai đầu cuộn cảm vẫn là U thì độ tự cảm L2 bằng
4
1
L 4
1
3L 8
1
3L 4 + Chuẩn hóa
1
Z Z R 1
+ Giả sử rằng L2nL2
Ta có
2 2
2
2
2 2n
4
2
Đáp án B
Câu 7: (Chuyên ĐH Vinh – 2013) Đặt điện áp xoay chiều u = U0cos2πft V (U0 không đổi, f thay đổi được) vào hai đầu đoạn mạch mắc nối tiếp gồm điện trở R và tụ điện C Khi tần số bằng 20 Hz thì công suất tiêu thụ của đoạn mạch
là 20 W, khi tần số bằng 40 Hz thì công suất tiêu thụ của đoạn mạch bằng 32 W Khi tần số bằng 60 Hz thì công suất tiêu thụ của mạch bằng
+ Chuẩn hóa
C
R 1
+ Ta có
n 1
1 2
Tương tự ta cũng có
2
1 n
n 1 3
Đáp án C
Câu 8: (Chuyên ĐH Vinh – 2013) Cho đoạn mạch điện xoay chiều AB gồm hai đoạn AM và MB mắc nối tiếp, đoạn
mạch AM gồm biến trở R và tụ điện có điện dung C, đoạn mạch MB chỉ có cuộn cảm thuần có độ tự cảm L thay đổi được Đặt vào hai đầu đoạn mạch AB một điện áp xoay chiều ổn định u U 2 cos t V Ban đầu, giữ L = L1, thay đổi giá trị của biến trở R ta thấy điện áp hiệu dụng giữa hai đầu đoạn mạch AM luôn không đổi với mọi giá trị của biến trở Sau đó, giữ R = ZL1 thay đổi L để điện áp hiệu dụng hai đầu cuộn cảm đạt cực đại, giá trị điện áp hiệu dụng trên cuộn cảm bằng
2
U 2
3 U 2
5 U 2
Trang 9+ Ta có điện áp hiệu dụng ở hai đầu đoạn mạch AM:
C
2
C
U
Để UAM không phụ thuộc vào R thì
2
C
+ Chuẩn hóa R = 1
→ Điện áp hiệu dụng cực đại giữa hai đầu cuộn dây
max
2 2
C L
1 1
Đáp án D
Câu 9: (Chuyên ĐH Vinh – 2013) Đặt điện áp u = U0cos2πft V vào hai đầu đoạn mạch AB mắc nối tiếp gồm điện trở R, cuộn dây có điện trở thuần r = R và một tụ điện C Điểm M nằm giữa R và cuộn dây, điểm N nằm giữa cuộn dây với tụ điện C thì thấy uAN vuông pha với uMB và có cùng giá trị hiệu dụng Hệ số công suất của đoạn mạch trên là
2
3 3
2 2
1 3 + Chuẩn hóa R = r = 1
L
2
U U Z Z 2 Z 1 Z Z Thay L C ta thu được
L
2
Z
Z 2Z 4 0 Z 1 Z 3
Hệ số công suất của toàn mạch
cos
2
Đáp án C
Câu 10: (Chuyên ĐH Vinh – 2013) Đặt điện áp uAB U 2 cos t V vào hai đầu đoạn mạch RCL mắc nối tiếp, trong
đó cuộn dây thuần cảm thì thấy RC Hệ số công suất của mạch điện là
L
U
U U
3
2
3 2
2 2
1 3 + Chuẩn hóa U U L 1 URC 3
R
C
3 U
3
2
→ Hệ số công suất của toàn mạch UR 3
cos
Đáp án B
Câu 11: (Chuyên ĐH Vinh – 2013) Đặt vào hai đầu đoạn mạch RLC nối tiếp một điện áp xoay chiều u = U0cos2πft
V, trong đó tần số f có thể thay đổi được Khi tần số là f1 và 4f1 thì công suất trong mạch là như nhau và bằng 80% công suất cực đại mà mạch có thể đạt được Khi f = 5f1 thì hệ số công suất của mạch điện là
+ Hai giá trị của tần số góc cho cùng một công suất tiêu thụ: 1
1
C 2
Z 1
+ Chuẩn hóa
1 1
C L
R 1
max
max
Trang 10+ Ta có
2
6 5
+ Hệ số công suất của mạch khi ω = 5ω1:
2 2
1
4
5
Đáp án C
Câu 12: (Chuyên Nguyễn Huệ – 2013) Cho mạch điện xoay chiều có đoạn mạch AM gồm điện trở thuần R mắc nối
tiếp với đoạn mạch MN gồm cuộn dây không thuần cảm, có điện trở r = R và độ tự cảm L và nối tiếp với đoạn mạch
NB chứa tụ điện C Giá trị hiệu dụng của điện áp UAB = UNB Hệ số công suất trên cuộn dây là k1 = 0,6 Hệ số công suất của cả mạch là bao nhiêu?
+ Chuẩn hóa R = r = 1
L
3
1 Z
2
4
3
+ Hệ số công suất của mạch
2
3
Đáp án A
Câu 13: (Vật Lý Phổ Thông) Cho đoạn mạch điện gồm cuộn dây mắc nối tiếp với tụ điện Gọi điện áp hiệu dụng
giữa hai đầu cuộn dây là Ud, giữa hai đầu bản tụ là UC Biết UC 3Udvà độ lệch pha giữa hiệu điện thế giữa hai đầu cuộn dây và dòng điện là Hệ số công suất của mạch là
3
+ Chuẩn hóa r = 1
L
Z
r
U 3U Z 3 r Z Z 2 3
2
r
Đáp án A
Câu 14: (THPT Cẩm Bình – 2016) Cho đoạn mạch RLC nối tiếp (cuộn dây thuần cảm) với CR2 < 2L Đặt vào hai đầu đoạn mạch một điện áp xoay chiều u = U0cosωt V với ω thay đổi được Điều chỉnh ω để điện áp hiệu dụng ở hai đầu bản tụ đạt cực đại, khi đó điện áp hiệu dụng trên điện trở gấp 5 lần điện áp hiệu dụng trên cuộn dây Hệ số công suất của đoạn mạch đó
31
2 29
5 29
3 19 + Thay đổi ω để điện áp hai đầu tụ điện đạt cực đại, chuẩn hóa
L
→ Hệ số công suất của đoạn mạch lúc đó cos 2 2
Đáp án B
Câu 15: (Vật Lý Phổ Thông) Cho đoạn mạch điện xoay chiều gồm điện trở thuần R, cuộn dây thuần cảm L và tụ
điện C mắc nối tiếp Đặt vào hai đầu đoạn mạch một điện áp xoay chiều ổn định thì cường độ dòng điện hiệu dụng trong mạch là I1 Nếu nối tắt tụ điện thì cường độ dòng điện trong mạch là I2 = 2I1, đồng thời hai dòng điện i1 và i2 vuông pha với nhau Hệ số công suất của đoạn mạch khi không nối tắt tụ điện là
