Sức bền vật liệu - Chương 5

Sức bền vật liệu nghiên cứu vật thể thực (công trình, chi tiết máy...). Vật thể thực có biến dạng dưới tác dụng của nguyên nhân ngoài (tải trọng, nhiệt độ, lắp ráp các chi tiết chế tạo không

Chương 5 xoắn thuần tuý thanh thẳng

I Khái niệm về xoắn thuần tuý

1 Định nghĩa

⇒ Một thanh chịu xoắn thuần tuý khi

trên MCN chỉ có một thμnh phần nội

lực lμ mômen xoắn như trên hình 5.1

⇒ Ngẫu lực P-P tạo ra mômen xoắn,

có giá trị bằng P.a

2 Liên hệ giữa mômen xoắn ngoại lực

với công suất vμ số vòng quay

⇒ Công suất do mômen xoắn ngoại

lực M (Nm) thực hiện khi trục quay một góc α theo thời gian t: A = Mα

⇒ Do đó công suất N (watt-W): N A M M

α

ω trong đó ω - vận tốc góc (rad/s); n lμ tốc độ [vòng/phút (v/ph)]

⇒ Vận tốc góc: n rad / s

30

π

⇒ Nếu công suất N tính bằng kW thì: M = 9549N (Nm)

n

⇒ Nếu công suất tính bằng mã lực thì: M = 7162N (Nm)

3 Các giả thuyết tính toán

Quan sát đoạn thanh tròn chịu xoắn (hình 5.2)

trước vμ sau khi biến dạng, thấy:

⇒ MCN ban đầu phẳng vμ thẳng góc với trục

thanh thì sau khi biến dạng vẫn phẳng vμ thẳng góc

với trục thanh, khoảng cách giữa các mặt cắt không

thay đổi

⇒ Các bán kính của thanh trước vμ sau khi biến

dạng vẫn thẳng vμ có độ dμi không đổi

⇒ Nói một cách vắn tắt, khi thanh tròn chịu

xoắn, chỉ xảy ra hiện tượng quay của tiết diện

ngang quanh trục thanh Nhận xét nμy đã được lí thuyết vμ thực nghiệm

xác minh lμ đúng

Hình 5.1

b) Sau biến dạng a) Trước biến dạng

Hình 5.2

⇒ Khảo sát một thanh tròn chịu xoắn thuần tuý (hình 5.3a).

Hình 5.3

⇒ Tách từ thanh một đoạn dμi dz (hình 5.4)

⇒ Theo quan hệ giữa nội lực vμ ứng suất ta có:

z

F

⇒ Mặt khác theo định luật

Húc:

G.

ρ

τρ lμ ứng suất tiếp trên MCN tại

điểm cách trọng tâm mặt cắt một

khoảng bằng ρ

⇒ Theo hình 5.4, ta có:

d tg

dz

ρ ϕ

với dϕ lμ góc xoắn tương đối giữa 2 mặt cắt 3-3 vμ 4-4; dz lμ khoảng

cách giữa 2 mặt cắt đó

⇒ Ký hiệu d

dz

ϕ

θ = lμ góc xoắn tỷ đối trên một đơn vị dμi

⇒ Thay (c) vμo (b) rồi vμo (a), ta có:

2

F

⇒ Từ (d) suy ra: z

p

M G.J

Hình 5.4

dϕ

γ

dz

3

4

ρ

⇒ Thay (5-1) vμo (c) rồi vμo (b), ta có: z

p

M J

ρ

⇒ ứng suất tiếp lớn nhất: max z

p

M W

trong đó: p p

J W

R

= gọi lμ môđun chống xoắn của mặt cắt ngang có thứ nguyên lμ (chiều dμi)3; R lμ bán kính của mặt cắt ngang

- Đối với hình tròn:

3

p

R 16

π

p

D

16

π

D

η =

⇒ Biểu đồ ứng suất biểu diễn như trên hình (5.3b) Ta thấy ứng suất

tiếp phân bố theo quy luật bậc nhất phụ thuộc vμo khoảng cách ρ đến

trọng tâm mặt cắt ngang

III Biến dạng

⇒ Biến dạng tại mặt cắt z của thanh tròn khi xoắn được thể hiện bằng

góc xoắn tương đối giữa hai mặt cắt ngang lân cận z, từ (5.1) ta có:

ϕ

= z = θ

p

M d

⇒ Góc xoắn giữa hai MCN cách nhau một khoảng l lμ:

ϕ = ∫ z

p 0

M dz GJ

l

⇒ GJp được gọi lμ độ cứng xoắn Với chiều dμi vμ ngoại lực như nhau,

độ cứng xoắn cμng lớn ⇒ góc xoắn cμng nhỏ

⇒ Nếu trong suốt chiều dμi l của thanh, tỷ số z

p

M G.J không đổi hoặc

không đổi trong từng đoạn có chiều dμi li, ta có:

ϕ = z

p

M G.J

l

hoặc

n

z i

i 1 i pi

M

G J

=

ϕ = ∑ l

(5-6)

Từ các công thức trên ta thấy khi chịu xoắn, đặc trưng hình học của

MCN không phải lμ diện tích F mμ lμ mômen độc cực Jp

⇒ Đảm bảo điều kiện bền vμ điều kiện cứng

1 Điều kiện bền

⇒ Điều kiện bền :τ = zmax ≤ τ[ ]

max

p

M

[τ] lμ ứng suất tiếp cho phép của vật liệu, xác định như sau:

[ ] [ ]k

2

σ

τ = hoặc [ ] [ ]k

3

σ

⇒ Đối với vật liệu dẻo: [ ] ch

n

τ

τ = , vật liệu giòn: [ ] B

n

τ

⇒ Điều kiện bền trên toμn thanh khi đường kính thay đổi:

[ ]

z max

p max

M W

⎛ ⎞

τ = ⎜⎜ ⎟⎟ ≤ τ

⇒ Với công thức (5.7) ta có ba loại bμi toán cơ bản sau:

a Kiểm tra bền: theo công thức (5.7)

b Chọn kích thước mặt cắt ngang: ≥ [ ]τ = ⎣ ⎦⎡ ⎤

z

M

2 Điều kiện cứng

⇒ Góc xoắn tương đối (hay biến dạng xoắn) lớn nhất không vượt quá

giới hạn cho phép:

[ ]

θ = z ≤ θ

max

p

M

GJ [rad/chiều dμi] hoặc [độ/chiều dμi] (5.13)

trong đó [θ] lμ góc xoắn tương đối cho phép (tra bảng) Nếu [θ] được cho

bằng (độ/chiều dμi) ⇒ công thức quy đổi sau:

[θ] rad/chiều dμi = .[ ]

180

π θ

độ/ chiều dμi (5.14)

⇒ Theo công thức 5.13 ta cũng có ba loại bμi toán sau:

a Kiểm tra điều kiện cứng: theo công thức 5.13

b Tính kích thước mặt cắt ngang: ≥ [ ]θ = ⎣ ⎦⎡ ⎤

z

M

⇒ Khi tính toán theo cả điều kiện bền vμ cứng, điều kiện nμo có ảnh

hưởng nhiều hơn thì lấy kết quả theo điều kiện ấy Đối với thanh mảnh,

điều kiện cứng thường có ảnh hưởng nhiều hơn

V Xoắn thanh có mặt cắt ngang không tròn

1 Thanh có mặt cắt ngang hình chữ nhật

⇒ Sau khi bị xoắn, các tiết diện

ngang nói chung đều bị vênh đi

⇒ Trên MCN của thanh chỉ có ứng

suất tiếp Phân bố của ứng suất tiếp

thanh MCN hình chữ nhật như trên

hình 5.5

⇒ ứng suất lớn nhất tại điểm giữa

cạnh dμi:

z

M ab

⇒ ứng suất tại điểm giữa cạnh ngắn:

τ1 = γτmax (γ ≤ 1) (5.19)

⇒ Góc xoắn tương đối: θ = z

3

M ab

⇒ Các hệ số α, β, γ phụ thuộc vμo tỉ số a/b, cho trong các tμi liệu SBVL,

ví dụ a/b = 1 ⇒ α = 0,208; β = 0,141; γ = 1,0

2 Thanh có thμnh mỏng kín hoặc hở

⇒ Thanh thμnh mỏng kín (hình

5.6a) vμ hở (hình 5.6b)

a Thanh có thμnh mỏng kín

⇒ ứng suất tiếp được phân bố

đều theo bề dμy b của thμnh, ví dụ

tại một điểm A:

z A

* A

M 2F b

F* ư diện tích giới hạn bởi đường

tâm của thμnh (chu vi trung gian)

⇒ ứng suất tiếp lớn nhất tại vị trí

bề dμy của thμnh nhỏ nhất Góc

xoắn tương đối :

z 2

*

b 4GF

b Thanh có thμnh mỏng hở

⇒ Trên MCN của thanh cũng chỉ có ứng suất tiếp

⇒ Nếu MCN của thanh do nhiều hình chữ nhật ghép thμnh (hình 5.7),

Hình 5.5

Hình 5.6

Chu vi trung gian b) a)

i max

*

J bi (5.23) ;

n 3

* i i

i 1

1

3 =

⇒ Thực nghiệm J* tính theo (5.24) bé hơn một chút so với thực tế ⇒ đối

với các loại thép định hình, người ta đưa

thêm vμo một hệ số điều chỉnh η ≥ 1:

n

3

i 1

1

η được cho trong các tμi liệu SBVL, ví dụ

thép chữ L: η =1, chữ I: η = 1,2,

⇒ Góc xoắn tương đối: z

*

M GJ

θ = (5.25)

⇒ Khi MCN lμ một dải cong ⇒có thể coi

như một dải chữ nhật

Ví dụ Tính ứng suất τmax tại các

điểm A, B vμ góc xoắn ϕ của một

thanh dμi 2m có thμnh mỏng kín, bị

xoắn, mặt cắt ngang của thanh như

hình 5.8, biết Mz = 2.104Nm, G =

5,2.1010 N/m2 (vật liệu gang)

Giải: Diện tích giới hạn bởi

đường tâm của thμnh: F* = (0,4 ư

0,01)(0,2 ư 0,03) = 0,0663m2

ứng suất tại A lμ:

4

A

2.10

5.10 N / m 2.0,0663.0,03

ứng suất tại B lμ:

4

B

2.10

15.10 N / m 2.0,0663.0,01

Góc xoắn của thanh:

ϕ = θ.λ = z ∫v

2

*

M l ds

b 4GF =

z

* 1 2 1 2 3 2 3 2 1 4 1 2

4

3 2

2.10 2 0, 39 0,17

0, 03 0, 01 4.5, 2 0, 0663

ư

VI Bμi toán siêu tĩnh về xoắn

⇒ Một thanh tròn bị ngμm ở hai đầu chịu tác dụng của ngẫu lực M0 như

hình 5.9a Vẽ biểu đồ nội lực của thanh

Hình 5.7

Hình 5.8

⇒ Ngẫu lực liên kết MA vμ

MB Để xác định chúng, chỉ có

một phương trình cân bằng tĩnh

học:

MA ư M0 + MB = 0 (a)

⇒ Muốn giải bμi toán siêu

tĩnh (bậc một) nμy, phải dựa vμo

điều kiện biến dạng của thanh để

lập thêm một phương trình bổ

sung Tưởng tượng bỏ ngμm A

vμ thay thế bằng phản ngẫu lực

MA, ta được thanh tĩnh định

(hình 5.9b)

⇒ Điều kiện thay thế lμ góc

xoắn ϕAB phải bằng không, để bảo đảm sự tương đương về biến dạng với

thanh siêu tĩnh đã cho, do đó:

0

A A

M a

ư

Giải phương trình trên, được:

b

=

thay (c) vμo (a), suy ra:

a M

⇒ (Nếu MA vμ MB tính được ở trên mang thêm dấu âm, thì chúng có

chiều ngược với chiều giả thiết ban đầu)

⇒ Sau khi xác định được các phản ngẫu lực MA, MB sẽ vẽ được biểu đồ

mômen xoắn Mz(z) của thanh như hình 5.9c

VI Tính lò xo xoắn ốc hình trụ bước ngắn

a)

b)

Hình 5.9

c)

⇒ Xét một lò xo xoắn ốc trụ tròn, chịu lực dọc P G

(hình 5.10) với: h lμ bước của dây lò xo, d lμ đường kính dây lò xo, D lμ đường kính trung bình

của vòng dây lò xo, α lμ góc nghiêng của các dây lò xo, n lμ số vòng dây lò

xo

⇒ Giả thiết:

1 Góc nghiêng α rất bé,

bước h của lò xo không

lớn lắm h D

10

<

2 Đường kính d vμ D phải

thoả mãn d D

5

<

1 ứng suất

⇒ Tưởng tượng cắt dây lò

xo bằng một mặt cắt đi qua

trục của lò xo vμ xét sự cân

bằng của một trong hai phần

⇒ Thμnh phần nội lực:

Qy=P vμ Mz=PR=PD/2

⇒ Nếu bước h của lò xo

không lớn lắm ⇒MCN lμ

hình tròn

⇒ ứng suất do ngẫu lực xoắn Mz vμ lực cắt Qy gây ra đều lμ ứng suất

z M

π

⇒ ứng suất tiếp τ tại một điểm nμo đó lμ tổng hình học của hai thμnh phần

ứng suất tiếp τmax lμ tại điểm A trên biên của mặt cắt ngang, ứng với đường

kính trong của lò xo (hình 5.10c)

1 2D

⇒ Trong thực tế, d của dây lò xo thường rất bé so với D của lò xo, nên tỉ

số d/2D có thể bỏ qua so với 1

π

8PD k

d

trong đó k lμ hệ số điều chỉnh kể đến ảnh hưởng của lực cắt Qy vμ ảnh

α

Hình 5.10

hưởng của độ cong vòng dây lò xo: = +

ư

D d 0,25 k

D d 1

⇒ Điều kiện bền khi tính toán lò xo lμ: τ = ≤ τ [ ]

π

8PD k d

2 Biến dạng

⇒ Ngoμi độ bền, còn phải tính lượng co giãn của lò xo

⇒ Gọi λ lμ lượng co giãn của lò xo do lực dọc P gây nên Công của ngoại lực P trong biến dạng đó lμ:

A P y dy cydy c

λ

⇒ Công A bằng công biến dạng đμn hồi U trong lò xo:

trong đó: l ư chiều dμi của dây lò xo

⇒ Theo nguyên lý bảo toμn năng lượng A = U, ta có: λ =

2 z p

M P

GJ

l

⇒ Thay trị số của l= πDn vμ Mz = PD/2:

3 4

8PD n Gd

λ =

⇒ Lực cần thiết để gây nên một biến dạng đơn vị của lò xo, được gọi lμ

độ cứng của lò xo, kí hiệu lμ C:

4 3

C

8D n

λ

⇒Độ cứng của lò xo được tính bằng N/m

VII Ví dụ áp dụng

Ví dụ 5-1: Cho dầm đầu ngμm đầu tự do chịu mômen xoắn tập trung

M0 (hình 5.11a) Vẽ biểu đồ mômen xoắn

Bμi giải

Sử dụng phương pháp mặt cắt, ta được: MZ-Pa=0 → MZ=P.a

Biểu đồ mômen xoắn được vẽ trên hình 5.11b

1

1

Ví dụ 5-2: Vẽ biểu đồ Mz cho thanh chịu lực như hình 5.12

Bμi giải

1 Phản lực tại ngμm C:

M = →0 M =900Nm

∑

2 Chia dầm thμnh hai đoạn:

- Đoạn AB cắt thanh ở mặt

cắt z1 ( 0 ≤ z1 ≤ 40cm) vμ xét sự

cân bằng phần trái, ta tìm được

1

z

M =300 Nm

- Đoạn BC cắt thanh ở mặt

cắt z2 vμ xét sự cân bằng phần

phải ta có:

2

z

M = 900 - 1000.z2

Vẽ biểu đồ Mz như

trên hình 5.12

Ví dụ 5-3: Cho một

trục chịu lực như hình

5.13a Các puli 1, 2, 3 lμ

bị động có công suất N1

= 40 mã lực, N2 = 20

mã lực, N3 = 30 mã lực,

puli 0 lμ chủ động Cho

biết n =1000vòng/phút,

η=d/D =0,6,

[τ]=4500N/cm2, G=8.106N/cm2, θ0=20/m Xác định D, d

Bμi giải: Biểu đồ công suất được vẽ trên hình 5.13b Mặt cắt nguy

hiểm có N0 = 50 mã lực ⇒ Z max

71620 716200

Chọn kích thước theo điều kiện bền (5-11), ta có:

[ ]

≥

τz

p

M

3

P

716200.N D

π

716200.N 16

Chọn kích thước theo điều kiện cứng Từ (5-14), ta suy ra:

[ ]

max

p

M

4

716200N 100 180 D

so sánh ta chọn: D=3,64; d=3,64 0,6 = 2,18cm

Hình 5.13

a)

b)

Hình 5.12

1000Nm/m