PHÂN TÍCH ĐỘNG lực học vỏ TRỤ THOẢI vật LIỆU có cơ TÍNH BIẾN THIÊN CHỊU tác DỤNG của tải TRỌNG KHÍ ĐỘNG

PHÂN TÍCH ĐỘNG LỰC HỌC VỎ TRỤ THOẢI VẬT LIỆU CÓ CƠ TÍNH BI ẾN THIÊN CHỊU TÁC DỤNG CỦA TẢI TRỌNG KHÍ ĐỘNG DYNAMICS ANALYSIS OF FUNCTIONALLY GRADED MATERIAL SHALLOW CYLINDRICAL SHELLS SU

PHÂN TÍCH ĐỘNG LỰC HỌC VỎ TRỤ THOẢI VẬT LIỆU CÓ CƠ TÍNH

BI ẾN THIÊN CHỊU TÁC DỤNG CỦA TẢI TRỌNG KHÍ ĐỘNG

DYNAMICS ANALYSIS OF FUNCTIONALLY GRADED MATERIAL SHALLOW

CYLINDRICAL SHELLS SUBJECT TO AERODYNAMIC LOADS

Lê Thúc Định1a

1Học viện Kỹ thuật Quân sự, Hà Nội, Việt Nam

a ledinhvhp@gmail.com

TÓM T ẮT

Bài báo trình bày kết quả phân tích động lực học của vỏ trụ thoải làm bằng vật liệu có

cơ tính biến thiên chịu tác dụng của tải trọng khí động Theo đó, phương trình vi phân mô tả dao động phi tuyến của vỏ trụ thoải có cơ tính biến thiên được giải trên cơ sở tích phân trực

tiếp Newmark kết hợp với lặp Newton – Raphson Trên cơ sở thuật toán và chương trình tính

đã lập, khảo sát một số yếu tố ảnh hưởng đến đáp ứng khí động của vỏ có cơ tính biến thiên

Kết quả bài báo làm cơ sở đề xuất các giải pháp nhằm tối ưu các kết cấu vỏ FGM

Từ khóa: động lực học, vỏ trụ thoải, vật liệu có cơ tính biến thiên, phi tuyến, tải trọng

khí động

ABSTRACT

This paper presents the results of dynamic analysis of functionally graded material cylinderical shallow shells subject to aerodynamic loads Accordingly, the nonlinear differential equations describing vibrations of functionally graded material cylinderical shallow shells is solved using Newmark’s time integration method with Newton-Raphson iteration method Based on algorithms and programs have been formulated to investigate some of factors affect to aerodynamic response of FGM shells Results paper is the basis to propose solutions to optimize the structure of FGM shells

Keywords: dynamic, cylinderical shallow shells, functionally graded material,

nonlinear, aerodynamic load

1 ĐẶT VẤN ĐỀ

Vật liệu có cơ tính biến thiên (FGM) với những ưu điểm vượt trội: chịu nhiệt tốt, không bị bong tách lớp, không bị tập trung ứng suất, … nên ngày càng được dùng nhiều trong các lĩnh vực như: hàng không vũ trụ, lò phản ứng hạt nhân, … Do vậy, phân tích động

lực học vỏ làm bằng vật liệu FGM chịu tác dụng của lực khí động là vấn đề có ý nghĩa khoa

học và thực tiễn

2 X ÂY DỰNG BÀI TOÁN

2.1 Mô hình vật liệu có cơ tính biến thiên

Vật liệu có cơ tính biến thiên thường được sử dụng nhiều trong thực tế là loại hai thành

phần, nó là hỗn hợp của gốm (ceramic) và kim loại (metal) (Hình 1)

-h/2 0

Bề mặt giàu gốm

Bề mặt giàu kim loại

z

x

Hình 1 Mô hình k ết cấu vật liệu FGM

Trong đó, tỷ lệ thể tích của các thành phần vật liệu biến đổi theo chiều dày kết cấu và là hàm lũy thừa của biến chiều dày z [1], [2]:

k

z 1

trong đó: k là chỉ số tỷ lệ thể tích;V , V là tc m ỉ lệ thể tích của thành phần gốm và kim

loại tương ứng, z là trục tọa độ theo phương pháp tuyến bề mặt kết cấu

Tính chất hiệu dụng của vật liệu được xác định theo biểu thức sau [1], [2]:

z 1

trong đó Pe, Pc, Pm là tính chất hiệu dụng (mô đun đàn hồi, khối lượng riêng, hệ số giãn

nở nhiệt, hệ số dẫn nhiệt) của vật liệu FGM, gốm, kim loại tương ứng Còn hệ số Poisson thường lấy là hằng số vì ảnh hưởng của nó đến đáp ứng của kết cấu là không đáng kể, đã được

chỉ ra trong [3] và nhiều công trình nghiên cứu khác

Thuộc tính của vật liệu thành phần phụ thuộc nhiệt độ theo biểu thức sau [1], [2]:

P(T) P P T− 1 P T P T P T

−

trong đó: P0, P-1, P1, P2, và P3 là các hệ số của nhiệt độ; T - nhiệt độ (K)

2.2 Mô hình bài toán và các giả thiết

Vỏ trụ thoải làm bằng vật liệu có cơ tính biến thiên, chịu tác dụng của lực khí động gây

ra bởi dòng khí có vận tốc U có chiều dọc trục Oy và hợp với mặt phẳng xOy góc α, kích thước của vỏ như hình 2

x

U

α

θ/2 θ/2

R

a

L

f 0

O

Hình 2 Mô hình bài toán

Vật liệu làm việc trong giới hạn đàn hồi, vỏ có chiều dày thỏa mãn lý thuyết Reissner - Mindlin

y

1

2

3 4

u3

u4

x

y

z

1

2

3 4

w 1

θ x1

w2

w 3

w 4

θ y1

θ x2

θ y2

θ x3

θ x4

θ y4

θ z1 θ z2

θ z4 θ z3

θ y3

a) Phần tử phẳng chịu kéo (nén) b) Phần tử phẳng chịu uốn-xoắn kết hợp

Hình 3 Mô hình phần tử vỏ chịu kéo (nén) và phần tử vỏ chịu uốn-xoắn

Vỏ thoải được rời rạc hoá bởi các phần tử phẳng, theo đó vỏ là tổ hợp hữu hạn các phần

tử phẳng bốn nút, trong đó mỗi phần tử được xem là tổ hợp của hai loại phần tử: phần tử

phẳng bốn nút, mỗi nút có hai bậc tự do (ui, vi) và phần tử phẳng bốn nút chịu uốn - xoắn kết

hợp, mỗi nút có bốn bậc tự do (wi, θxi, θyi, θzi), biểu diễn trên hình 3

2 3 Lực khí động

Khi chịu tác dụng của dòng khí, mỗi phần tử tấm phẳng chịu tác dụng của lực nâng phân bố lw và mômen uốn phân bố mθ, gọi chung là lực khí động Phương trình lực khí động tác dụng lên phần tử tấm phẳng được viết như sau [4]:

θ











trong đó: ρ - mật độ không khí, U - vận tốc dòng khí, B - bề rộng phần tử theo phương gió tác dụng, K - tần số thu gọn:

w F

B K U

ω

Các hàm A (K), H (K)*i *i với i = 1 ÷ 3, được xác định bởi [4]:

2

2G k

kG k

2k







với k = K/2, các hàm F(k), G(k) được xác định bởi:

( )

( )

0, 500502k 0, 512607k 0, 2104k 0, 021573

F k

k 1, 035378k 0, 251293k 0, 021508

0, 000146k 0,122397k 0, 327214k 0, 001995

G k

k 2, 481481k 0, 93453k 0, 089318

=









Với mô hình bài toán đang xét, dòng khí có phương bất kỳ nên có thể phân ra hai thành

phần: thành phần có vận tốc Ut = Ucosα tác dụng theo phương trùng với mặt phẳng trung bình và thành phần có vận tốc Un = Usinα tác dụng theo phương pháp tuyến với mặt phẳng trung bình Do đó, biểu thức lực khí động lúc này có dạng:

* 1

w

KH (K)

U cos

B

θ

+

θ













(7)

trong đó: C - hp ệ số áp lực gió; ρ - kha ối lượng riêng của không khí

3 QUAN HỆ ỨNG XỬ CƠ HỌC CỦA PHẦN TỬ

3.1 Quan hệ biến dạng và chuyển vị

Chuyển vị tại một điểm có tọa độ (x,y,z) thuộc phần tử có dạng [5]:

0

u x, y, z, t u x, y, t z x, y, t

v x, y, z, t v x, y, t z x, y, t

w x, y, z, t w x, y, t







(8)

trong đó: u, v và w tương ứng là chuyển vị dài dọc theo các trục x, y và z tại điểm thuộc phần tử có tọa độ (x,y,z); u0, v0 và w0 tương ứng là chuyển vị dài dọc theo các trục x,

y và z của mặt trung bình; θx, θy lần lượt là góc xoay của pháp tuyến mặt trung bình quanh các trục x và y

Khi kể đến biến dạng của mặt trung bình, các thành phần véctơ biến dạng quan hệ với trường chuyển vị (8) theo biểu thức [5]:

x y xy yz xz

c c

z

 ε   ε + κ 

ε

trong đó: { }εm , { }κ , { }ε là véctơ biến dạng màng, véctơ độ cong, véctơ biến dạng c trượt tương ứng và được xác định như sau:

2 0

2

1 w u

2 x x

y x x y

 ∂  

 ∂     

   ∂  

∂

 ∂    ∂  

ε = ε + ε =  +   

∂ ∂ 

∂ ∂  ∂ ∂  +

 ∂ ∂   

∂ ∂

   

(10)

trong đó: { }L

m

ε - chuyển vị màng tuyến tính; { }N

m

ε - chuyển vị màng phi tuyến

y

xy

κ 

κ 

(11)

{ } xz y

c

yz

x

w x w y

∂

 + θ 

γ

∂ γ

   − θ 

∂

(12)

3.2 Quan hệ ứng suất và biến dạng

Giả thiết bỏ qua ứng suất pháp theo phương trục z (σz = 0), quan hệ ứng suất và biến

dạng của phần tử được viết dưới dạng [5]:

66

44

55

trong đó: Q ,ij C là các hkl ệ số độ cứng, các hệ số trượt được xác định như sau:

( )

với E(z) là môđun đàn hồi của vật liệu FGM, được xác định theo biểu thức:

h 2

3.3 Các thành phần nội lực

Theo [5], quan hệ giữa các thành phần nội lực và biến dạng được biểu diễn như sau:

{ }

{ }

{ }

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

{ } { }

{ }

{ }

m

c

Q

 ε 

(16)

trong đó: { } { }T

x y xy

N = N , N , N - véctơ lực màng; { } { }T

x y xy

M = M , M , M - véctơ mômen uốn và xoắn; { } { }T

x y

Q = Q , Q - véctơ lực cắt; [A], [B], [D], [C] là ma trận độ cứng màng, ma trận độ cứng tương tác màng-uốn-xoắn, ma trận độ cứng uốn và ma trận độ cứng trượt tương ứng [2]:

h / 2 h / 2 h / 2

2

h / 2 h / 2 h / 2

h / 2 p

h / 2

0 1

2 1

−









∫

(17)

với [E] là ma trận các hệ số đàn hồi:

[ ] E z( )2 1 0

1

1

0 0

2

− ν  − ν

(18)

p

k là hệ số hiệu chỉnh cắt (thường lấy kp =5 / 6)

4 THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Áp dụng nguyên lý Hamilton cho phần tử [6], ta có:

trong đó: T , e Ue, We lần lượt là động năng, năng lượng biến dạng đàn hồi, công gây

ra bởi lực khí động được xác định theo các biểu thức sau:

e

V

1

2

e

T T

A

e

Thay (20), (21), (22) vào (19) và biến đổi ta được phương trình sau:

a

[M ]{q } [C ]{q } [K ]{q } {F } +  + = (23) trong đó:

e

[M ] - ma trận khối lượng của phần tử:

e

24 24 A

[M ] I [N ] [N ] I [Nθ ] [Nθ ] [Nθ ] [Nθ ] dA

×

với ( ) h / 2 ( ) ( )

2

0 2

h / 2

−

z

ρ = ρ − ρ  +  + ρ

e

[K ] , [C ]e là ma trận độ cứng kết cấu và ma trận cản của phần tử:



[ ] [ ]



N

20 4

e

4 20 4 4

[K ]

×

×

×

 

 



24 24

×

với α β , là hệ số cản Rayleigh; *

e K

  , *e

N

K

 

  - ma trận độ cứng tuyến tính, phi tuyến

của phần tử chưa xét đến bậc tự do xoắn; e

rz K

  - ma trận độ cứng phần tử ứng với bậc dự do

xoắn; kN = - 0 ứng với bài toán tuyến tính, kN = - 1 ứng với bài toán phi tuyến

Véctơ chuyển vị nút phần tử:

1 1 1 x1 y1 z1 4 4 4 x4 y4 z4 e

e

a

{F } - véctơ lực khí động phần tử được xác định bởi [5]:

T y

N

x

θ

θ

∂

∂

Thay (7) vào (27), sau khi biến đổi ta nhận được:

trong đó:

e

a

[K ] - ma trận độ cứng khí động của phần tử:

S

N

x

θ

e

a

[C ]- ma trận cả khí động của phần tử:

e

e

A e

A

θ

θ

∫

∫

(30)

e

2

A

1

2

Thay (28) vào (23) và chuyển vế ta được phương trình:

[M ]{q } + [C ] [C ] {q }−  + [K ] [K ] {q } {F }− = (32)

Sử dụng phương pháp ma trận biến đổi tọa độ, phương trình vi phân mô tả dao động của

phần tử trong hệ tọa độ tổng thể như sau:

[M ]{q } + [C ] [C ] {q }−  + [K ] [K ] {q } {F }− = (33) Sau khi tập hợp các ma trận và véctơ phần tử theo thuật toán của phương pháp PTHH,

ta được các ma trận và véctơ tổng thể Khi đó, phương trình vi phân dao động của vỏ FGM

chịu tác dụng của tải trọng khí động có dạng như sau:

[M]{q} + [C] [C ] {q}−  + [K] [K ] {q} {F }− = (34)

Phương trình (34) là phương trình vi phân phi tuyến, do đó tác giả sử dụng phương pháp tích phân trực tiếp Newmark kết hợp với lặp Newton – Raphson để giải

5 VÍ DỤ SỐ VÀ THẢO LUẬN

5.1 Xác định các tham số động lực học của vỏ

Xét vỏ trụ thoải làm bằng vật liệu có cơ tính biến thiên hai thành phần là Si3N4 và SUS304 Các hệ số nhiệt độ của vật liệu thành phần như trong tài liệu [4]:

Các thông số kết cấu: chiều dài L = 1,5m, bán kính R = 1m, chiều dày h = 0,015m, được ngàm cứng một cạnh cong Vận tốc gió U = 15 m/s, tác dụng theo phương oy và hợp với mặt

phẳng xoy góc α = 300

Xét ở điều kiện nhiệt độ phòng T = 300K, hệ số Poisson ν = 0,3 Sử dụng chương trình tính đã lập giải bài toán, nhận được kết quả đáp ứng khí động của vỏ FGM như sau:

Hình 4 Đáp ứng độ võng theo thời gian Hình 5 Đáp ứng ứng suất theo phương x

* Nhận xét: Với giá trị vận tốc gió tính toán, độ võng và ứng suất đều có xu hướng

giảm dần theo thời gian, vỏ dao động với biên độ tắt dần Theo tiêu chuẩn ổn định động Budiansky – Roth, vỏ ở trạng thái ổn định

5.2 Kh ảo sát một số yếu tố ảnh hưởng đến đáp ứng khí động của vỏ

5.2.1 Ảnh hưởng của tốc độ dòng khí

Để xem xét ảnh hưởng của vận tốc gió đến sự dao động và ổn định của vỏ FGM, tác giả

khảo sát bài toán cho ba trường hợp vận tốc gió khác nhau: U = 25 m/s, U = 35 m/s và U = 60 m/s Kết quả đáp ứng khí động của vỏ FGM được thể hiện trên đồ thị hình 6

Hình 6 Ảnh hưởng của vận tốc dòng khí Hình 7 Ảnh hưởng của tỉ số h/L đến độ võng

* Nh ận xét: Vận tốc gió có ảnh hưởng lớn đến đáp ứng khí động của vỏ, khi vận tốc

gió còn nhỏ, vỏ dao động tắt dần do lực khí động chưa đủ lớn đồng thời bị giảm một phần do

cản khí động sinh ra trong quá trình vỏ dao động Khi tăng vận tốc gió, biên độ dao động của

vỏ cũng tăng theo Khi vận tốc gió đạt đến giá trị làm cho chuyển vị của vỏ tăng đột ngột (trong trường hợp khảo sát: U = 60m/s), vỏ bị mất ổn định

5.2.2 Ảnh hưởng của tỉ số h/L

Đánh giá ảnh hưởng của tỉ số h/L đối với đáp ứng động của vỏ FGM, tác giả khảo sát bài toán với giá trị của h/L thay đổi từ 0,0085 – 0,03 Kết quả đáp ứng động của vỏ được trình bày trên đồ thị hình 7

* Nh ận xét: Khi tỉ số h/L tăng, chuyển vị đứng của vỏ giảm, đồng nghĩa với khả năng

chịu lực khí động của vỏ FGM tăng lên Như vậy, đây được coi là giải pháp cơ học nhằm tăng

khả năng ổn định của vỏ, tuy nhiên cần chú ý đến tính kinh tế và tính công nghệ của kết cấu

5.2.3 Ảnh hưởng của điều kiện liên kết

Khảo sát cho ba trường hợp: ngàm một cạnh cong, ngàm hai cạnh cong, ngàm ba cạnh (hai cạnh cong và một cạnh thẳng) Kết quả đáp ứng được biểu diễn trên đồ thị hình 8

Hình 8 Ảnh hưởng của điều kiện liên kết đến độ võng

* Nhận xét: Điều kiện liên kết có ảnh hưởng khá lớn đến đáp ứng khí động của vỏ, thể

hiện thông qua sự thay đổi rõ rệt của giá trị độ võng lớn nhất (wmax) Cụ thể như sau: ngàm

một cạnh: w1max= 0.048975m, ngàm hai cạnh cong: w2max= 0.020703m, ngàm ba cạnh:

w3max= 0.007224m

6 KẾT LUẬN

Trong bài báo này, tác giả đã xây dựng thuật toán PTHH giải bài toán động lực học phi tuyến của vỏ FGM chịu tác dụng của tải trọng khí động, với mô hình nghiên cứu hoàn toàn

mới là mô hình nghiên cứu ổn định cho toàn bộ kết cấu Với mô hình này, tác giả có thể khảo sát cho trường hợp góc tới của dòng khí thay đổi so với mô hình panel flutter đã được nghiên

cứu trước đây chỉ áp dụng cho trường hợp dòng khí có phương song song với mặt trung bình

của kết cấu

Xây dựng chương trình tính bằng ngôn ngữ matlab Thực hiện khảo sát số và nghiên

cứu một số yếu tố ảnh hưởng đến đáp ứng khí động của vỏ FGM: ảnh hưởng của vận tốc gió,

tỉ số h/R, điều kiện liên kết

Thông qua các kết quả số, rút ra nhận xét làm cơ sở tham khảo và định hương lựa chọn các giải pháp hợp lý cho kết cấu của vỏ FGM

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Lee S L, Kim J H (2009), “Thermal post-buckling and limit-cycle oscillation of

functionally graded panel with structural damping in supersonic airflow”, Composite Structures (91), pp 205-211

[2] Lee S.-L., Kim J.-H (2007), “Thermal Stability Boundary of FG Panel under

Aerodynamic Load”, World Academy of Science, Engineering and Technology, (32), pp 60-65

[3] Lê Khả Hòa (2015), Phân tích ổn định tĩnh của vỏ bằng vật liệu có cơ tính biến thiên,

Luận án tiến sĩ cơ học, Đại học KHTN, Đại học Quốc gia Hà Nội

[4] Simiu E., Scanlan R H (1986), Wind effects on structures, 2nd ed, John Wiley & Sons [5] Trần Ích Thịnh (1994), Vật liệu composite cơ học và tính toán kết cấu, NXB Giáo dục

[6] Yuan K H., Qiu Z P (2010), “Nonlinear flutter analysis of stiffened composite panels in supersonic flow”, Sciene China Physics & Astronomy Vol 3 No 2, pp 336 - 344 6

THÔNG TIN V Ề TÁC GIẢ

Lê Thúc Định, Học viện KTQS, ledinhvhp@gmail.com, 0982.140.560 – 0919.148.167