Sức bền vật liệu - Chương 2

Sức bền vật liệu nghiên cứu vật thể thực (công trình, chi tiết máy...). Vật thể thực có biến dạng dưới tác dụng của nguyên nhân ngoài (tải trọng, nhiệt độ, lắp ráp các chi tiết chế tạo không

Chương 2. kéo (nén) đúng tâm

I Lực dọc vμ biểu đồ lực dọc

⇒ Thanh bị kéo (nén) đúng tâm lμ thanh mμ trên mọi mặt cắt ngang chỉ có một thμnh phần nội lực lμ lực dọc N Gz

nằm trên trục thanh

⇒ Để biết sự biến thiên của lực dọc N Gz

theo trục thanh, người

ta lập một đồ thị biểu diễn, gọi lμ biểu đồ lực dọc

Ví dụ 2.1: Vẽ biểu đồ lực dọc của một thanh chịu lực như (hình 2.1a)

Bμi giải:

1 Xác định phản lực

tại C: P1 - P2 - Pc = 0

⇒ Pc = P1 - P2 = 20 kN, có

chiều như hình vẽ

2 Vẽ biểu đồ:

+ Xét đoạn AB:

(hình 2.1b) (0 < z < 2a)

Chiếu xuống trục z,

ta có:

1

F = N ư = P 0

⇒Nz1 = = P1 40kN > 0

+ Đoạn BC

(hình 2.1c), (2a ≤ z2 ≤3a)

Xét cân bằng của

phần phải, ta được:

2

F = N + ư = P P 0

Suy ra: NZ2 = ư P1 P2 = 40 60 ư = ư 20kN < 0- lực nén

Tương tự ta có thể xét các mặt cắt từ phần trái, chọn gốc toạ

độ tại C (hình 2.1d) Kết quả thu được cũng giống như trên Biểu đồ nội lực như trên hình 2.1e

Hình 2.1

II ứng suất vμ biến dạng

1 Các giả thiết tính toán

⇒ Mặt cắt ngang của thanh trước vμ sau khi biến dạng vẫn

luôn thẳng vμ vuông góc với trục thanh

⇒ Trong quá trình biến dạng các thớ dọc luôn thẳng, song

song với trục của thanh vμ không tác dụng tương hỗ lên nhau

2 ứng suất

⇒ Theo các giả thiết trên được rút ra từ thí nghiệm thì trên

mặt cắt ngang của thanh chịu kéo (nén) đúng tâm có biến dạng

dμi theo phương trục z:

ε =z du

⇒ Định luật Húc do nhμ khoa học Anh, Robert Hooke tìm ra

năm 1660:

trong đó, hệ số tỉ lệ E được gọi lμ môđun đμn hồi Young

⇒ Mặt khác, ta có:

= σ∫ = σ ∫ = σ

z

N

⇒ Trong tính toán thường viết: z

z

N F

2 Biến dạng dọc vμ biến dạng ngang

⇒ Từ các công thức (2.2) vμ (2.3) suy ra: ( ) z ( ) ( )

z

N z z

EF z

⇒ Biến dạng dọc tuyệt đối Δl: Δ = ∫l N z

z,n du

z dz

P

O

Hình 2.2

Nz

dz

⇒ Trường hợp đặc biệt khi N z

EF = const:

z

N l l

EF

i

i 1 i 1 i i

N l

E F

= =

Δ =∑Δ =∑ (i = 1, 2, , n) (2.7)

⇒ Biến dạng ngang (tương đối) theo phương ngang x hoặc y

được kí hiệu lμ εx hoặc εy:

εx = εy = ưμεz (2-8)

trong đó μ lμ hằng số tỉ lệ, được

gọi lμ hệ số Poatxông

Ví dụ 2.2 Một thanh thép dμi

4m (hình 2.3a) có tiết diện vuông

mỗi cạnh a = 20mm chịu hai lực

P1 = 80kN ở mút A vμ P2 = 20kN

ở điểm giữa B Cho biết E =

2.105N/mm2, μ = 0,25 Hãy tính

chuyển vị của mút thanh vμ biến

dạng tuyệt đối của kích thước

ngang tại mặt cắt nguy hiểm

Giải:

1 Lập biểu đồ lực dọc

2 Biến dạng dọc (độ giãn) của thanh:

Δ = Δ + Δ = 1 + 2 = ( + )=

z z

Các mặt cắt nguy hiểm thuộc đoạn BC: ứng suất pháp bằng:

3

z

250N / mm

Biến dạng dọc (tương đối) của đoạn nμy bằng:

250

0,00125 0,125%

E 2.10

σ

Biến dạng ngang: εx = εy = μεz = 0,25.0,00125 = 0,03125%

Biến dạng tuyệt đối của mặt cắt ngang (lượng co):

x

a a 0, 0003125.20 0, 00625mm

Biến dạng ngang rất nhỏ so với biến dạng dọc

Hình 2.3

III Tính chất cơ học của vật liệu

⇒ Tính chất cơ

học của vật liệu lμ

những tính chất

vật lí thể hiện

trong quá trình

biến dạng dưới tác

dụng của ngoại lực

⇒ Thông thường,

người ta chia vật liệu lμm hai loại: vật liệu dẻo vμ vật liệu giòn

1 Thí nghiệm kéo vật liệu dẻo

Mẫu thử hay mẫu thí nghiệm (hình 2.4)

Quan hệ giữa lượng giãn Δl vμ lực kéo P được biểu diễn bằng biểu đồ kéo (hình 2.5) Quá trình biến dạng gồm 3 giai đoạn:

⇒ Giai đoạn thứ nhất: giai đoạn tỉ lệ hay giai đoạn đμn hồi OA Giới hạn tỉ lệ

hay giới hạn

đμn hồi σtl:

tl

tl

0

P

F

σ = (2.9)

⇒ Giai đoạn

thứ hai: giai

đoạn chảy dẻo

ứng suất:

C

C

0

P

F

σ = (2.10)

được gọi lμ giới

hạn chảy (dẻo)

Trên mặt mẫu

sẽ thấy xuất hiện những đường gợn nghiêng với trục thanh một góc khoảng 450 (hình 2.6)

⇒ Giai đoạn thứ ba (giai đoạn củng cố):

Hình 2.4

Hình 2.5

Đối với thép số 3:

σt1 = 200MN/m 2

σC = 240MN/m 2

σB = 420MN/m 2

ứng suất cực đại: B B

0

P F

σ = được gọi lμ giới hạn bền

2 Thí nghiệm nén vật liệu dẻo

⇒ Mẫu thử thường hình 2.8a Biểu đồ nén (hình 2.8b) có giới hạn

tỉ lệ, giới hạn chảy nhưng không có giới hạn bền

3 Thí nghiệm kéo vμ nén vật liệu giòn

⇒ Vật liệu giòn chịu kéo rất kém, nên bị phá hỏng đột ngột ngay khi độ giãn còn rất nhỏ Hình 2.9 - biểu đồ kéo (PưΔl) Khi

bị nén cũng bị phá hỏng ngay khi biến dạng còn nhỏ

⇒ Vật liệu giòn chỉ có giới hạn bền: σ = B

B 0

P F

Hình 2.9 Hình 2.8

Hình 2.7 Hình 2.6

Hiện tượng tái bền

IV Thế năng biến dạng đμn hồi

⇒ Công của ngoại lực chuyển hoá thμnh thế năng biến dạng

đμn hồi U: U = A ⇒ U =

2

P 2EF

l

=

2 z

N 2EF

l

(2-11)

⇒ Nếu nội lực Nz biến thiên từ 0 – l thì có thể biểu diễn:

0

N dz 2EF

l

(2-12)

⇒ Gọi u lμ thế năng riêng biến dạng đμn hồi (thế năng tích luỹ

trong một đơn vị thể tích) thì thế năng riêng đó có trị số: u=U/V

⇒ Thay V = F.l vμ σz= Nz/F ta được

2

2E 2

σ = σ ε

hoặc u =

=

V Tính toán về kéo (nén) đúng tâm

1 ứng suất cho phép ư Hệ số an toμn

⇒ ứng suất cho phép [σ]: [ ] 0

n

1

⇒ Như vậy đối với vật liệu dẻo: [ ] [ ]

n

ch k

n

σ

= σ

=

⇒ Đối với vật liệu giòn, vì khả năng chịu nén tốt hơn chịu kéo

k

B

n

B > σ

σ , nên ta có hai ứng suất cho phép khác nhau:

[ ]

n

n B n

σ

=

n

k B k

σ

=

⇒ Hệ số an toμn n thường lớn hơn 1 vμ phụ thuộc vμo yêu cầu

thiết kế cũng như tầm quan trọng của công trình, chi tiết máy

2 Ba loại bμi toán cơ bản

⇒ Để đảm bảo sự lμm việc an toμn khi thanh chịu kéo (nén)

đúng tâm, ứng suất trong thanh phải thoả mãn điều kiện bền:

[ ]

z z

N F

⇒ Từ bất đẳng thức trên, ta có ba loại bμi toán cơ bản sau đây:

a Kiểm tra bền (bμi toán loại 1)

⇒ Điều kiện bền của thanh: σ = N z ≤ σ[ ] (2-18)

⇒ Đối với các vật liệu giòn lμ:

[ ]

z max k

N F

min n

N F

b Chọn kích thước mặt cắt ngang hay thiết kế (bμi toán loại 2)

[ ] [ ]z

min

N

⇒ Để đảm bảo an toμn vμ tiết kiệm, chỉ nên chọn F xấp xỉ tỉ số

Nz/[σ] chừng 5% lμ đủ

c Tải trọng cho phép (bμi toán loại 3)

[ ] [ ]

z max z

⇒ Từ điều kiện cứng của thanh, cũng dẫn đến ba loại bμi toán

tương tự

VI bμi toán siêu tĩnh

⇒ Trong các bμi toán tĩnh định chỉ cần dựa đơn thuần vμo các

phương trình cân bằng tĩnh học để xác định nội lực Trong bμi

toán siêu tĩnh nếu chỉ dựa vμo phương trình cần bằng tĩnh học

thì không đủ giải được nội lực mμ phải dựa thêm vμo một số

phương trình bổ sung lập được nhờ việc xét điều kiện biến dạng

của cơ hệ Số phương trình bổ sung gọi lμ bậc siêu tĩnh của cơ hệ

Ví dụ 2.3 Tìm ứng suất

pháp trong các thanh EB vμ

FC lμm bằng cùng một loại

vật liệu dùng để treo một

thanh AD tuyệt đối cứng

(hình 2.10) Các thanh treo có

diện tích mặt cắt F = 12cm2

Giải

Thay liên kết bằng các phản

lực liên kết Y , Z ,N ,N GA GA G1 G2

; Lập phương trình cân bằng:

∑m (F) A = 2aN2 + aN1 ư 3aP = 0 ặ 3P = N1 + 2N2 (a)

Hình 2.10

Đây lμ bμi tập toán siêu tĩnh bậc 1 Điều kiện tương thích biến dạng (Δl1 = BB’, Δl2 = CC’, Δ ABB’ ∼ Δ ACC’): Δl2 = 2Δl1 (b)

Theo công thức (2-7) ta có: Δ = 1 Δ = 2

Thay vμo biểu thức (b), dễ thấy: N2 = 2N1

ứng suất trong các thanh EB vμ FC lμ:

1

8.10 kN / m 80MN / m

F 12.10ư

Ví dụ 2.4 Dầm tuyệt

đối cứng AB được giữ

bởi các thanh bằng

thép có giới hạn chảy

2

ch 24kN / cm

tải trọng cho phép [q]

Biết n = 1,6; E =

2.104kN/cm2

Bμi giải (hình 2.11)

Lấy tổng mômen các

lực đối với điểm A, ta

có:

0 ) 2

3 2 (

3 q 5 N 2 N ) F (

Phương trình phụ tìm được từ điều kiện hai tam giác đồng

dạng AB B ′ ~ AC C ′, ta có: 1 1 1 2 2

l 5 E F E F

l l

Δ = ⇒ =

trong đó: E1 = E2 = E ; F1 = F2 = F; l1 = 1,8l ; l2 = l

Giải phương trình (a) vμ (b) ta được:

= = ⇒ N2 > N1 Vậy điều kiện bền phải xuất phát từ N2 Theo (2.25) ta có:

[ ] σ

= F

N2 Tra bảng thép góc 56::24ẫ24::5 có: F = 4,11cm2

15kN / cm

n 1, 6

σ

σ = = = ⇒ [ ] q = 4,11 15 ì 44 = 32,3 kN / cm

Hình 2.11