Luận văn sư phạm Làm đầy một không gian định chuẩn

Nguy n Ph Hy, đã giúp đ em hoàn thành bài khoá lu n này... nh ng thi u sót... Xây d ng ฀X là không gian tuy n tính.

L i c m n

B n khoá lu n t t nghi p này là b c đ u tiên đ em làm quen v i vi c

nghiên c u khoa h c.Tr c s b ng và g p nhi u khó kh n khi m i b t

đ u làm quen v i công vi c nghiên c u khoa h c,em đã nh n đ c s giúp

đ đ ng viên c a các th y cô giáo và các b n sinh viên khoa Toán c bi t

em xin g i l i c m n sâu s c đ n PGS.TS GVCC Nguy n Ph Hy, đã

giúp đ em hoàn thành bài khoá lu n này

Em c ng xin chân thành c m n Ban ch nhi m khoa Toán đã t o đi u

ki n đ em có c h i t p d c v i vi c nghiên c u khoa h c

Xuân Hoà, tháng 5 n m 2007

Sinh viên

ng Th Chinh

l i cam đoan

Tôi xin cam đoan k t qu đ tài :"Làm đ y m t không gian đ nh

chu n"đ m b o tính chính xác, khách quan, khoa h c, không trùng v i k t

L i m đ u

Gi i tích hàm là m t ngành toán h c đ c xây d ng vào n a đ u th k

XX, đây là ngành gi i tích Toán h c N i dung c a nó là s h p nh t c a lí

thuy t t ng quát xu t phát t vi c m r ng m t s khái ni m và k t qu c a

gi i tích và đ i s Trong đó đi u đáng chú ý nh t là tác gi c a các đ i t ng

đang đ c kh o sát gi ng nh không gian th c t i trong các m i quan h này

hay các m i quan h khác n nay gi i tích hàm đã đ t đ c m t s n i

dung h t s c quan tr ng:

- Lý thuy t v các không gian tr u t ng

- Lý thuy t v toán t tuy n tính

- Lý thuy t v n i suy toán t

- Lý thuy t v gi i tích hàm suy tuy n, gi i g n đúng ph ng trình

V i mong mu n đ c nghiên c u và tìm hi u sâu h n v môn này và

là b c đ u ti p c n v i nghiên c u khoa h c, em đã ch n đ tài: “Làm đây

không gian đ nh chu n”

Trong khoá lu n này em đã trình bày n i dung sau:

Ch ng 1 Không gian đ nh chu n CL

[a,b]

Ch ng 2 Làm đ y không gian đ nh chu n

hoàn thành b n khoá lu n này, m c dù em đã h t s c c g ng song

do còn h n ch v th i gian và ki n th c nên khoá lu n không tránh kh i

nh ng thi u sót Em r t mong nh n đ c s đóng góp ý ki n c a th y cô và

40: (xX) ( -xX) x+(-x)=  ; ( -x g i là ph n t đ i c a x )

50: (x,y X)(  P) .(x+ y )= x+ y ;

60: (xX)(  , P) ( +).x = x +x ;

70: (xX) ( , P) : ( ).x= (x) ;

80 : (xX) 1.x=x ;

N u P=R thì X g i là không gian tuy n tính th c

N u P=฀ thì X g i là không gian tuy n tính ph c

1.1.2 Xây d ng không gian tuy n tính Cl a b ,

Cl a b , =  x= x(t): x(t) là các hàm liên t c trên đo n [a,b] 

a) a vào t p Cl a b , hai phép toán :

Khi đó theo tính ch t các hàm s liên t c ta có x(t)+y(t);

.x(t) đ u là các hàm liên t c trên đo n [a,b]

Do đó x+y  Cl a b , ; .x  Cl a b ,

Suy ra các phép toán xây d ng trên đómg kín trong Cl a b ,

c) Cl a b , cùng v i hai phép toán trên là m t không gian

tuy n tính

Th t v y:

 Ki m tra tiên đ 10

x= x(t)  Cl a b , ,y= y(t)  Cl a b , Ta có

V i m i t [a,b] ,thì x(t), y(t) R nên

x(t)+y(t) = y(t)+x(t)

Suy ra x+ y= y+ x

V y tiên đ 10đ c tho mãn

 Ki m tra tiên đ 20

x= x(t) Cl a b , ,y= y(t)  Cl a b , , z= z(t)Cl a b ,

V i m i t[a,b] thì x(t), y(t), z(t) R nên

V i m i t[a,b] thì x(t)  R nên : (+ ).x(t) = .x(t)+ .x(t)

V y Cl a b , cùng v i hai phép toán trên l p th nh m t

không gian tuy n tính trên tr ng s th c R

1.2 Không Gian nh Chu n C l

 a b ,

1.2.1 nh ngh a 1.2.1 (Không gian đ nh chu n )

Ta g i không gian đ nh chu n (hay không gian tuy n tính đ

Kí hi u không gian đ nh chu n : X hay (X, ฀ ฀ );

1.2.2 Xây d ng không gian đ nh chu n Cl a b ,

a) Ta đ a vào không gian tuy n tính Cl a b , chu n c a ph n

Ki m tra tiên đ 1o

: x= x(t)  Cl a b , do x t( ) 0 t[a,b] nên

x= x(t)  Cl a b , ,y= y(t)  Cl a b , , x+ y=x(t)+y(t)  Cl a b , ,

x y

฀ ฀= ( ) ( )  ( ) ( ) 

a a

K t lu n : (Cl a b , ,฀ ฀ ) là không gian đ nh chu n

1.3 nh lí :Không gian đ nh chu n C l

a  b)

 V i t (

2

a  b

;2

a  b

+ 12n) thì xn(t) nên xn(t)=1+(a+ b)n-2nt liên t c trên

 V i t (

2

a  b

+ 12n;b] thì xn(t) =0 nên xn(t) liên t c trên (

2

a b+ 12n;1]

lim

a b

t  1=1 =

( ) 2

 T i t=

2

a  b

+ 12n,ta có xn(

2

a  b

+ 12n)=0 , n *฀

2 2

lim

a b t

V y xn(t) t i t=

2

a  b

+ 12n

Do v y xn(t) liên t c trên đo n [a,b] Suy ra xn(t)  CL[a,b]



 h i t t i m t hàm x(t) nào đó trong CL[a,b] ,t c là

x(t) CL[a,b] Do đó xn(t) không th có gi i h n trong CL[a,b]

K t lu n : V y không gian CL[a,b] không đ y

Trong ch ng sau chúng ta s tìm cách làm đ y m t không gian đ nh

chu n ch a đ y thành không gian Banach

Ch ng 2 : LƠm đ y không gian đ nh chu n không đ y thƠnh

không gian Banach

* Nh n xét : T đ nh lý :” Cho không gian đ nh chu n X i v i hai

vector b t kì x y, X,ta đ t d(x,y)=฀x y ฀ (2.1.1)

Khi đó d là m t metric trên X

Nh đ nh lý trên mà m i không gian đ nh chu n đ u có th tr thành

không gian metric v i metric (2.1.1) Do đó m t m nh đ đã đúng trong

không gian metric đ u đúng trong không gian đ nh chu n

Vì v y nh nguyên lí làm đ y không gian metric , và metric (2.1.1)

m i không gian đinh chu n không là không gian Banach đ u có th làm đ y

thành không gian Banach

* Quá trình làm đ y không gian đ nh chu n X th c ch t là : M i dãy

c b n mà không h i t trong X thì coi nh xác đ nh m t ph n t m i làm

gi i h n cho dãy đó

Sau khi thêm nh ng ph n t m i này ,ng i ta có th đ nh ngh a m t

chu n thích h p đ không gian đã b sung là đ trong chu n đó , và lúc này

X tr thành không gian con c a không gian đã b sung

2.1 LƠm đ y không gian đ nh chu n

Cho không gian đ nh chu n ( X,฀ ฀ ) ( nói chung X là không gian

không đ y ) Khi đó t n t i không gian Banach ฀X sao cho :

1) Không gian X đ ng c tuy n tính v i m t không gian con c a không

gian ฀X

2) X trù m t kh p n i trong ฀X

Không gian ฀X g i là cái làm đ y c a không gian X

Ch ng minh đ nh lý :

2.1.1.Xây d ng ฀X là không gian đ nh chu n

2.1.1.1 Xây d ng ฀X là t p t t c các l p dãy c b n c a không gian

X

Ta phân ho ch t p X thành cácl p ph n t nh sau:

+V i hai dãy c b n (xn),(x n ) ,trong không gian X ta xây d ng quan h

V i m i dãy c b n (xn) và (xn’) trong không gian X,ta xây d ng quan

Do đó t p t t c các dãy c b n trong không gian X đ c chia thành

các l p,hai dãy c b n thu c cùng m t l p thì t ng đ ng Ta kí hi u t p

t t c các l p k trên là ฀X,kí hi u các ph n t c a ฀X là x,฀y,…

2.1.1.2 Xây d ng ฀X là không gian tuy n tính

a) a vào ฀X hai phép toán :

: Xét ฀X, ( ) ( , , , , )   , trong đó  là ph n t không c a X

Do X là không gian tuy n tính nên xn     xn,  xn X

(m n,  ),ngh a là ( xn฀ ฀) là dãy s c b n ,do đó ph i t n t i nlim ฀xn฀

+ Cách xác đ nh chu n trên không ph thu c vào vi c ch n dãy ( )xn  x

V y tiên đê 2 tho mãn

+Ki m tra tiên đ 3:

2.1.2.Không gian X đ ng c tuy n tính v i m t không gian con c a ฀X

M i ph n t xX cho ta dãy d ng (x,x,…),và do dãy d ng là dãy c b n

nên m i xX cho ta t ng ng  ฀x X  khi đó x ch a dãy d ng ( x, x,…)

 nlim ฀xnx฀1=0 hay nlim xn= x trong không gian ฀X

V y  >0 nh tu ý luôn tìm đ c xn X cách x không quá  Do đó

X trù m t kh p n i trong ฀X

2.1.4 ฀X là không gian đ y

Ta l y m y dãy c b n b t kì (xn) trong ฀X Do s trù m t kh p n i c a X

trong ฀X nên v i m i xn ฀X ta tìm đ c l p z ฀X ch a dãy d ng

V y m i dãy c b n trong ฀X đ u h i t ,suy ra ฀X là không gian đ y

2.2.M i b sung m t không gian đ nh chu n đ u đ ng c tuy n tính

Ta nh n đ c ánh x g: M1 M2

x  x (theo quy t c trên )

Do M1 và M2 là hai không gian có vai trò nh nhau v y nên theo cách l p

lu n trên v i m i x tu ý trong M2 luôn t n t i x ( thao quy t c xác đ nh

trên )

Do v y g là m t toàn ánh

Sau đây ta ch ng minh g là ánh x tuy n tính đ ng c t M1 lên M2

:

Th t v y:

2.2.2 g là ánh x tuy n tính

Th t v y:  x,฀yM1 ,  , P ta có :

g(x)=xM2, g(฀y )=฀yM2 V i xM1, (xn) X sao cho nlim xn=x

trong M1 và nlim xn=x trong M2

V i ฀yM1 t n t i dãy (yn)  X sao cho nlim yn=฀y trong không gian M1

và nlim yn=฀y trong không gian M2

Suy ra nlim (xnyn)= .x+.฀y trong không gian M1 và

L y hai ph n t tu ý x,฀y฀X Khi đó t n t i hai dãy (xn),(yn)  X

sao cho nlim xn=x và nlim yn=฀y trong không gian

và nlim xn=x, nlim yn=฀y trong không gian M2

Khi đó ta có :

฀ ฀x y ฀1=nlim ฀xnyn฀ =1 nlim ฀xnyn฀ =

=nlim ฀xnyn฀2= Dx-฀yD2

V y g là ánh x tuy n tính đ ng c t không gian M1 len không gian M2

K t lu n: M i b sung m t không gian đ nh chu n không đ y đ u đ ng c

tuy n tính

2.3.Ví d :

Làm đ y không gian đ nh chu n Cl a b ,

Nh ch ng tr c ta đã xét không gian đ nh chu n Cl a b , là không

đ y Theo đ nh lý trên thì có th b sung nó thành không gian Banach Cách

b sung đó là c m i dãy c b n mà không có gi i h n trong Cl a b , thì coi

nh xác đ nh m t ph n t m i c n thêm vào làm gi i h n cho dãy đó Sau

đâychúng ta s th y r ng nh ng ph n t n i đó chính là các hàm s kh tích

theo ngh a Lebesgue trên đo n[a,b]

Th t v y:

+ Ta có h qu đ nh lý :Lebesgue v h i t b ch n:

“ N u dãy hàm đo đ c  fn h i t h.k.n đ n m t hàm s đo đ c f trên

tâp A có đ đo h u h n và fn M (h.k.n) trên A ( ฀n *) ,M là h ng s

đ c (L) M t khác vì xn(t)  Cl a b ,  ฀ nên n * M>0 sao cho

2.4.1>Không gian các s h u t ฀ không đ y

฀ là t p các s h u t D th y ฀ cùng v i hai phép toán c ng và nhân

K t lu n: (฀ ,฀ ฀ ) là không gian đ nh chu n

b) ฀ không là không gian Banach

V y nên ฀ không là không gian Banach

Do đó ta s b sung vào ฀ các ph n t m i đ nó tr thành không gian

Banach

2.4.2.Xây d ng không gian th c R cái làm đ y c a không gian

h u t ฀

áp d ng vào quá trình làm đ y không gian đ nh chu n ta có :

G i R là t p các dãy c b n x là l p các dãy c b n trong không gian

฀ c th nh sau:

Ta g i hai dãy c b n ( )x và ( )n x trong n ฀ là t ng đ ng và vi t

Khi đó theo ch ng minh nguyên lí làm đ y ,ta có R cùng v i hai

phép toán trên là m t không gian tuy n tính trên P

b) Xác đ nh chu n trên R

*x

฀ ฀ =n xnlim (2.4.2)

C ng theo ch ng minh nguyên lí làm đ y ta có các k t qu sau:

(R,

*

฀ ฀ ) là không gian đ nh chu n Khi đó :

+ ฀ đ ng c tuy n tính v i m t không gian con c a R

+฀ là t p trù m t kh p n i trong R

Lúc này R= ฀  trong đó I là t p các ph n t m i ,các ph n t này

chính là g i h n c a các dãy c b n trong ฀ nh ng không h i t trong ฀

không h i t trong ฀ thì coi nh xác đ nh m t s m i Sau khi thêm nh ng

ph n t m i này ta đ nh ngh a chu n (2.4.2) khi đó không gian đ nh chu n

R đã b sung là không gian Banach ,và ฀ tr thành không gian con c a

không gian R

Ph n k t lu n

Qua vi c nghiên c u v n đ : “ Làm đ y m t không gian đ nh chu n ”

cho ta m t cái nhìn sâu s c h n v v n đ các không gian trong Gi i tích

hàm, đ c bi t đ i v i không gian đ nh chu n và v tính đ y c a nó Qua

ch ng 1 ta th y không ph i không gian đ nh chu n nào c ng là không gian

Banach,s luôn t n t i nh ng không gian đ nh chu n không đ y.V n đ đ t

ra là:ta ph i làm đ y chúng Và ch ng 2 s cho ta câu tr l i:"Luôn làm đ y

m t không gian đ nh chu n không đ y thành không gian Banach".T đó

ch ng ta s đi nghiên c u sâu h n v các tính ch t c a không gian Banach,

và s giúp cho Gi i tích hàm phát tri n h n Qua vi c làm đ y m t không

gian đ nh chu n ta có th áp d ng vào vi c làm đ y không gian các s h u t

฀ thành không gian t p s th c ฀ , đây là hai không gian mà chúng ta r t

quen thu c trong toán ph thông T đó chúng ta có nhìn t ng quát h n v

vi c xây d ng t p฀

Hy v ng v n đ mà tôi đ c p s giúp cho nh ng ai quan tâm đ n v n

đ này

Cu i cùng em xin g i l i c m n sâu s c t i th y Nguy n Ph Hy đã

t n tình ch b o ,h ng d n em hoàn thành khoá lu n t t nghi p này