Luận văn sư phạm Hàm số học

L I C M N

Tr c tiên v i s bi t n sơu s c, em xin chơn thƠnh c m n cô giáo

D ng Th Luy n đƣ h ng d n vƠ ch b o t n tình cho em trong su t th i

gian h c t p vƠ hoƠn thƠnh khóa lu n nƠy

Em c ng chơn thƠnh c m n các th y cô trong khoa toán tr ng i

h c S Ph m HƠ N i 2 đƣ truy n đ t cho em nh ng ki n th c quý báu trong

L I CAM OAN

Tôi xin cam đoan khóa lu n nƠy đ c hoƠn thƠnh do s c g ng, n

l c c a b n thơn, cùng v i s giúp đ t n tình c a cô giáo D ng Th Luy n

Khóa lu n nƠy không trùng v i k t qu c a các tác gi khác N u trùng tôi xin hoƠn toƠn ch u trách nhi m

Hà N i, ngày 15 tháng 5 n m 2010

Sinh viên Bùi Th Nga

M C L C

PH N M U 4

CH NG I HƠm ph n nguyên y x 6

A Ki n th c c b n 6

I Các tính ch t c b n c a ph n nguyên 6

B BƠi t p 13

I Các bƠi toán đ nh tính 13

II Các bƠi toán đ nh l ng 19

CH NG II M t s hƠm s h c liên quan đ n các c s , các s nguyên t cùng nhau 25

A Ki n th c c b n 25

I Tính chia h t trong vƠnh s nguyên 25

II c chung l n nh t vƠ b i chung nh nh t 25

III S nguyên t 27

IV ng d 30

V Tính ch t nhơn 33

B M t s hƠm s h c 34

I Hàm ( )n 34

II Hàm ( )n 44

III HƠm le ( )m 52

CH NG III M t s hƠm s h c liên quan đ n vi c bi u di n s t nhiên n trong h th p phơn 65

A Kiên th c c b n 65

B M t s hƠm s h c 65

I Hàm S n( ) 65

II M t s hƠm khác 75

PH N K T LU N 78

TÀI LI U THAM KH O 79

PH N M U

I Lý do ch n đ tƠi

Trong tr ng trình gi ng d y b môn toán nhƠ tr ng ph thông, S

h c đóng m t vai trò quan tr ng Các em h c sinh b c Ti u h c h c Toán

t c lƠ h c S h c Ch đ n các l p b c Trung h c c s vƠ Trung h c ph thông thì các b môn i s , Hình h c, L ng giác, Gi i tích m i l n l t thay th cho môn s h c trong tr ng trình h c Toán c a các em h c sinh Tuy nhiên các bƠi toán S h c luôn luôn lƠ các bƠi toán hay vƠ khó vƠ th ng xuyên có m t trong các đ thi h c sinh gi i Toán các c p: thƠnh ph , toƠn

qu c, Olympic khu v c vƠ Olympic qu c t

Hàm s là khái ni m gi v trí trung tâm trong khoa h c toán h c m

b o v trí trung tâm c a khái ni m hàm s s t ng c ng tính th ng nh t c a môn toán ph thông, góp ph n xoá b ranh gi i gi t o gi a các phân môn

c a môn toán, gi a các ph n khác nhau c a ch ng trình

Hàm s h c gi v trí trung tâm trong s h c Nghiên c u v các hàm

IV Nhi m v nghiên c u

CH NG I HÀM PH N NGUYểN y x

A Ki n th c c b n

I Các tính ch t c b n c a ph n nguyên

1 nh ngh a ph n nguyên c a 1 s

Cho x lƠ m t s th c b t k Kí hi u  x (vƠ g i lƠ ph n nguyên c a

x) lƠ s nguyên l n nh t không v t quá x

-Gi s  x  , theo đ nh ngh a ph n nguyên thì a a lƠ s nguyên l n

nh t không v t quá x (nh v y nói riêng a lƠ s nguyên)

Do a x, nên x a  t d x a0   , khi đó d 0

M t khác vì a lƠ s nguyên l n nh t không v t quá x nên a  1 x(th t v y n u a  thì 1 x a c ng lƠ s nguyên không v t quá 1 x (mâu thu n gi thi t v a))

T d1d2  0    x  y lƠ s nguyên không v t quá x y, mà

x lƠ s nguyên l n nh t không v t quá y x y nên suy ra

Do  x Z và 1 1 1

2   nên theo tính ch t 3.1: d 2 1    

12

3.11 Trong dãy n s t nhiên: 1,2,3,…,n có đúng n

q

 

 

  s t nhiên chia h t cho s t nhiên q0

Nh v y, t n t i s nguyên d ng n 0 th a mƣn b t đ ng th c (2) đi u nƠy mơu thu n v i      n c  n a  n b , Zn  V y gi thi t ph n ch ng lƠ sai

b) N u c a b      a b c 0

G i 0

2

1n

a b c



 

Vì a   b c 0 n a0 n b n c0  0  2

 

Cho x lƠ s nguyên d ng

CMR: đi u ki n c n vƠ đ đ  x x1   4.x2 lƠ t n t i

k _nguyên sao cho: 2  2

Ta th y ngay f t   lƠ hƠm s đ ng bi n khi 1t

 

1 2 1000000 1 1 2.999 1999A

  không lƠ s nguyên t

V y có hai s nguyên t tho mƣn yêu c u đ bƠi lƠ 3 vƠ 5

CH NG II M T S HÀM S H C LIểN QUAN N CỄC C S , CỄC S NGUYểN T CỐNG NHAU

nh ngh a1: cho n s nguyên a a1, 2, ,a n

M t s nguyên c đ c g i lƠ c chung c a các s nguyên a a1, 2, ,a n

n u clƠ c c a m i s đó

nh ngh a 2: M t c chung d c a các s nguyên a a1, 2, ,a n đ c

g i lƠ UCLN n u m i c chung c a chúng đ u lƠ c c a d ,

t c là s nguyên d g i lƠ UCLN c a a a1, 2, ,a n n u tho mƣn 2 đi u

ki n sau:

i, a di , i 1,n

ii, N u 'd lƠ s nguyên mƠ a di , '  i 1,n thì d d '

N u d lƠ UCLN c a các s nguyên a a1, 2, ,a thì n  c ng lƠ UCLN d

c a chúng Nên trong vƠnh s nguyên ฀ ta quy c l y s d ng trong 2 s d

nh ngh a 1: M t s nguyên c đ c g i lƠ b i chung c a các s nguyên a a1, 2, ,a n n u c lƠ b i c a m i s đó

nh ngh a 2: M t b i chung m c a các s nguyên a a1, 2, ,a n đ c

g i lƠ BCNN n u m i b i chung c a chúng đ u lƠ b i c a m

N u m lƠ BCNN c a các s nguyên a a1, 2, ,a thì n m c ng lƠ BCNN

c a chúng Nên trong vƠnh s nguyên ฀ ta quy c l y s d ng trong 2 s m

Gi s có h u h n s nguyên t p p1, 2, ,p n

Khi đó xét s N =p p1 .2 pn  1 có hai kh n ng x y ra:

N u N lƠ s nguyên t khi đó N khác các s nguyên t p p1, 2, ,p n

N u N lƠ h p s thì N có 1 c nguyên t p S nguyên t p này khác các s nguyên t p p1, 2, ,p vì khi chia n n cho p p1, 2, ,p n đ u d 1

Nh v y ta luôn ch ra t n t i m t s nguyên t khác v i n s nguyên

t đƣ có V y gi s có h u h n s nguyên t lƠ sai t c lƠ có vô s s nguyên

t

nh lý c b n

M i s t nhiên l n h n 1 đ u phơn tích đ c thƠnh m t tích các

th a s nguyên t vƠ s phơn tích đó lƠ duy nh t không k th t các th a s

3 S phơn tích tiêu chu n

Trong s phơn tích a ra th a s nguyên t a  p p1 .2 pn

a p



 

ó lƠ s phơn tích tiêu chu n c a s t nhiên a

+ Tiêu chu n chia h t

Cho a lƠ m t s t nhiên v i d ng phơn tích tiêu chu n

Gi s a chia h t cho d Khi đó có q sao cho: a d q

ng th c nƠy ch ng t r ng m i c nguyên t c a d đ u lƠ c nguyên t c a a vƠ s m c a nó trong d ng phơn tích tiêu chu n c a

dkhông l n h n s m c a nó trong d ng phơn tích tiêu chu n c a a, ta đ c

i, Quan h đ ng d lƠ m t quan h t ng đ ng trên Z

ii, Ta có th c ng hay tr v v i v nhi u đ ng d th c theo cùng m t

Ta có th c ng vƠo m t v c a m t đ ng d th c m t b i c a môđun

v, Ta có th nhơn vƠo hai v vƠ môđun c a m t đ ng d th c v i cùng

viii, N u 2 s nguyên a, b đ ng d v i nhau theo môđun m thì chúng c ng đ ng d v i nhau theo m i môđun lƠ c c a m

ix, N u abmodm thì t p các c chung c a a và m trùng v i t p các c chung c a b và m do đó a m,   b m, 

- N u A m,   a m,  1 thì ta g i A lƠ m t l p th ng d nguyên t v i môđun

b VƠnh các l p th ng d môđun m

+) nh ngh a

Trên t p các l p th ng d môđun m ta đ nh ngh a hai phép toán c ng

vƠ nhơn nh sau: a  b a b a b; a b ,a b, Z m

Khi đó Zm, ,.  l p thƠnh m t vƠnh giao hoán, có đ n v vƠ ta g i là vƠnh các l p th ng d môđun m

Khi đó h 8,17,10,35,20,45,14,7  lƠ h th ng d đ y đ môđun 8

h 9,19,21,7lƠ h th ng d thu g n môđun 8

V Tính ch t nhơn

M t hàm s xác đ nh v i m i s t nhiên khác không th ng g i là m t hàm s h c

M t tính ch t quan tr ng th ng g p trong các hàm s h c là tính ch t nhân

1 nh ngh a tính ch t nhơn

M t hàm s h c  n xác đ nh v i m i giá tr t nhiên n g i là có 0tính ch t nhân n u nó tho mãn các đi u ki n sau đơy:

d n i

1

i k

k

k

k i k

m n nguyên t cùng nhau thì  mn    m  n

CM

Tr c h t ta ch ng minh m nh đ t ng quát sau :

Cho f : ฀ ฀ là hàm nhân tính Hàm F n   đ c xác đ nh nh sau :

Do d di', j'' t ng ng lƠ c c a m vƠ n nên m h và n h

Do v y h lƠ c s chung c a m và n Mà h nên mơu thu n v i 1

m n,  1

C ng th y ngay ' '', 1, ,d di j i k j1,l lƠ t t c các c c a m n do đó

1, 1,

    1   

2m 2m 1 1n

Th t v y n u ng c l i q1 thì t có ít nh t 3 c khác nhau lƠ 1, ,t q

Ta có  t    1 t q

2 2m  m  1 lƠ s hoƠn h o)

2 Gi s m lƠ s nguyên d ng, khi đó s 2m 1

m

M   đ c g i lƠ s Mersenne th m N u p lƠ s nguyên t vƠ M p c ng lƠ s nguyên t thì M p

đ c g i lƠ s nguyên t Mersenne

Ví d : M M M M 2, 3, 5, 7 lƠ các s nguyên t Mersenne, còn M 11 lƠ h p

ch c ch n  n  2

6

nn

1 1

Trong đó d d1, 2, ,d k lƠ t t c các c t nhiên c a n

L y n lƠ s tùy ý sao cho nó lƠ b i c a s 16! 1.2.3 15.16

D nhiên s nh ng s n nh v y lƠ vô h n (đó lƠ các s có d ng k 16 !

d n i

Vì n ch có m t c d ng nên t nh n xét trên suy ra n 1

1

i

k i i

Tìm s t nhiên n bi t d ng phơn tích tiêu chu n c a n là

T  n  nên k suy ra m t trong các d ng c a n là

t t ng ng v i m i c a  n, v i b n

a

 (ngoƠi ra có th thêm

n n u n lƠ s nguyên t c khi n lƠ s chính ph ng)

S nh trong hai s c a c p g i lƠ s th nh t, còn s l n g i lƠ s th hai Xét hai kh n ng sau :

+) N u n không ph i lƠ s chính ph ng

Khi đó t t c các s th nh t s nh h n n N u g i *

d lƠ s l n nh t trong các s th nh t thì * *

+) N u n lƠ s chính ph ng khi đó n lƠ c c a n vƠ t t c các c

T (1) suy ra 4n lƠ l p ph ng c a m t s nguyên d ng, vì v y t (3)

và do p i lƠ các s nguyên t nên ta có :

D u b ng x y ra khi vƠ ch khi i    , nên t (5) ta có 0, i 3

1 1

 n

 lƠ m t s l khi vƠ ch khi m i i đ u lƠ s ch n (i=1,2,…,n), ngh a lƠ khi vƠ ch khi 2

nk b)   Gi s  n l và n2 ,rk r 0, k, 2 1

Ta tìm xem trong cách bi u di n th 2 nƠy S có bao nhiêu m s nguyên

Th t v y : do các p i đôi m t nguyên t cùng nhau nên i

i

p đôi m t nguyên t cùng nhau

Cho ,a b lƠ các s nguyên d ng nguyên t cùng nhau Ch ng minh

r ng t n t i các s m và n sao cho : ambn 1 mod  a b

Rõ ràng 2 ,2.s r   1 1 nên t (2) vƠ (3) suy ra

mm

 nh ng theo gi thi t  m  không chia h t 8

cho 3 ho c 5 nên suy ra vô lý V y 2

3

11

10

00

10

00

10

10

00

10

V y giá tr m th a mƣn đ bƠi lƠ: 16; 24; 20; 30; 15

Nh n xét: vi c tìm giá tr m khi ch bi t giá tr  m mƠ ch a bi t

d ng phơn tích tiêu chu n c a nó lƠ r t ph c t p vƠ giá tr m tìm đ c lƠ không duy nh t

N u giá tr  m l n thì vi c gi i bƠi toán lƠ r t khó kh n

CH NG III M T S HÀM S H C LIểN QUAN N VI C

B I U DI N S n TRONG H M TH P PHỂN

A Ki n th c c b n

1) N u nh thông th ng đ bi u m t s trong h th p phơn, thì ta s

d ng 10 ch s 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 Lúc nƠy m t s t nhiên k trong h th p phơn có d ng : ka an n1 a a a i1 0, i 0,n lƠ m t trong 10 ch s vƠ an  0

T (1) suy ra nS n  9 n S n mod9 suy ra đpcm

ii và iii) Ta có na ak k1 a a1 0 Vì n nên 0 ak  , ngoài ra 0

a   a ó lƠ đi u ph i ch ng minh

iv) Gi s trong h th p phơn n và m l n l t có d ng

t ' , 0,1, 2, ,

0, 1, ,

i i

Ta s ch ng minh b t đ ng th c : S m n      S m S n , v i m i ,

m n nguyên d ng b ng phép quy n p theo k

Suy ra a00   9 9 a00a0 0  9

Tóm l i ta luôn ch ng minh đ c S m n      S m S n

V y đi u kh ng đ nh đúng khi k 0

+) Gi s đi u kh ng đ nh đƣ đúng đ n k , t c lƠ v i m i bi u di n 1trong h th p phơn nak1ak2 a a1 0, m k1 k2  1 0 (trong đó ít nh t m t trong hai s ak1,k1 ph i l n h n 0) ta luôn có S m n      S m S n

+) Xét tr ng h p v i k , t c lƠ n và m bi u di n nh sau :

n u N lƠ s t nhiên, thì v i m i s p nguyên d ng ta có :

2003 2 3 52003

2003 2003.2003 5 5

2003 2003 2003.2003 5

Sn

ý r ng trong các s không v t quá s 2002 , thì s 1999 có t ng các ch s l n nh t nên S n( )S(1999)28 3  đúng v i m i s t nhiên 2002

K t lu n : n1978 lƠ giá tr duy nh t th a mƣn yêu c u bƠi toán

Trong các s không v t quá 159984 s 99999 lƠ s có t ng các ch

Trong các s không v t quá 53973, s 49999 lƠ s có t ng các ch s

Cho m lƠ s nguyên d ng không chia h t cho 10

CMR t n t i s nguyên d ng n đ ng th i th a mƣn 2 đi u ki n sau : 1.Trong d ng th p phơn c a n không ch a s 0 nào

Vì f n( !) lƠ s nguyên d ng k l n nh t mƠ  n ! 2k, v y theo tính ch t

PH N K T LU N

Khoá lu n đƣ trình bày m t s v n đ c b n v hàm s h c, m t s hàm s h c v a có nhi u ng d ng trong b môn s lu n v a là đ i t ng nghiên c u c a b môn này v i các tính ch t c b n và bài toán đi n hình Khoá lu n đ c th c hi n v i mong mu n đóng góp kinh nghi m giúp

b n đ c nghiên c u nhi u h n, sâu h n v s h c nói chung và hàm s h c nói riêng

Dù đƣ h t s c c g ng song do trình đ và kinh nghiêm c a b n thân còn

h n ch , th i gian có h n nên nhi u v n đ v hàm s h c c ng ch a đ c đ

c p t i nh hàm s đ i s nguyên và ng d ng c a các hàm s h c

Ch c ch n khoá lu n không th tránh kh i nh ng thi u sót Em r t mong

nh n đ c s góp ý c a quý th y cô và các b n đ khoá lu n đ c hoàn thi n

h n

Em xin chân thành c m n!