Các phương pháp giải phương trình và bất phương trình vô tỷ

Chính vì vậy, để đáp ứng nhu cầu giảngdạy và học tập, tác giả đã chọn đề tài "Các Phương Pháp GiảiPhương Trình Và Bất Phương Trình Vô Tỷ" làm đề tài nghiêncứu của luận văn.Mục đích của l

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN THỊ KIM THẢO

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

PGS TS NGUYỄN ĐÌNH SANG

HÀ NỘI - NĂM 2015

Mục lục

1.1 Cách giải phương trình bậc ba 5

1.1.1 Phương pháp đạo hàm 5

1.1.2 Phương pháp biến đổi thông thường 7

1.2 Cách giải phương trình bậc bốn 8

1.2.1 Phương trình bậc bốn tổng quát 8

1.2.2 Phương trình x4 + cx2 + dx + e = 0 9

1.3 Một số bất đẳng thức 10

1.3.1 Bất đẳng thức AM - GM 10

1.3.2 Bất đẳng thức Cauchy 11

1.4 Tính chất của hàm đơn điệu, khả vi và ứng dụng 11

1.4.1 Tính đơn điệu của hàm số 11

1.4.2 Định lý Rolle 12

1.4.3 Định lý Lagrange và áp dụng 12

1.4.4 Định lý Cauchy và áp dụng 13

1.5 Giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một hàm số và của một tập hợp 15

1.5.1 Định nghĩa 15

1.5.2 Các điều kiện đủ 15

2 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ 17 2.1 Phương pháp biến đổi tương đương hoặc biến đổi hệ quả 17

2.1.1 Nâng lũy thừa bậc chẵn hai vế của phương trình 17

2.1.2 Lập phương hai vế của phương trình 21

2.1.3 Nhân liên hợp 23

2.1.4 Biến đổi đưa về phương trình tích 33

2.2 Phương pháp đặt ẩn phụ 36

2.2.1 Đặt ẩn phụ cơ bản 37

2.2.2 Đặt ẩn phụ không hoàn toàn 41

2.2.3 Đặt một hoặc nhiều ẩn phụ đưa về phương trình đẳng cấp 46

2.2.4 Đặt ẩn phụ đưa về tích 51

2.2.5 Đặt một hoặc nhiều ẩn phụ đưa về hệ phương trình 54 2.2.5.1 Đặt ẩn phụ đưa về hệ thông thường 54

2.2.5.2 Đặt ẩn phụ đưa về hệ đối xứng loại II 58

2.2.5.3 Đặt ẩn phụ đưa về hệ gần đối xứng 66

2.3 Phương pháp đánh giá 69

2.3.1 Sử dụng hằng đẳng thức 69

2.3.2 Sử dụng bất đẳng thức 70

2.3.3 Sử dụng tính chất hình học phẳng 77

2.4 Phương pháp hàm số 84

2.4.1 Sử dụng tính chất hàm liên tục và đơn điệu 84

2.4.2 Phương pháp định lý cơ bản về hàm khả vi 91

2.5 Phương pháp lượng giác hóa 94

3 GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH THÔNG QUA GIẢI PHƯƠNG TRÌNH 103 3.1 Cơ sở lý thuyết 103

3.2 Bài tập áp dụng 104

vô tỷ là niềm say mê của không ít người, đặc biệt là những ngườiđang trực tiếp dạy toán Chính vì vậy, để đáp ứng nhu cầu giảngdạy và học tập, tác giả đã chọn đề tài "Các Phương Pháp GiảiPhương Trình Và Bất Phương Trình Vô Tỷ" làm đề tài nghiêncứu của luận văn.

Mục đích của luận văn này là hệ thống hóa các phương phápgiải phương trình và bất phương trình vô tỷ, giúp nhận dạng cácbài toán, đề xuất các phương pháp giải và chọn phương pháp tốiưu

Nội dung của luận văn được chia làm 3 chương:

Chương 1: Trình bày các kiến thức chuẩn bị

Gồm một số cách giải phương trình bậc ba, phương trình bậcbốn, một số tính chất của hàm số đơn điệu, khả vi và ứng dụng

để giải một số phương trình đồng thời cũng nhắc lại một số bấtđẳng thức được sử dụng về sau

Chương 2: Trình bày các phương pháp giải phương trình vô

tỷ trong phạm vi chương trình phổ thông

Mỗi phương pháp, tác giả cố gắng tổng quát hóa các dạng

mà có thể sử dụng phương pháp này, nhận xét về cách giải củabài toán, tổng hợp hóa dạng toán, nêu cách giải khác của bàitoán nếu có, cách sáng tạo ra các bài toán khác, đồng thời chomột số ví dụ minh họa cùng với một số bài toán tham khảo.Chương 3: Trình bày về phương pháp giải bất phương trình

vô tỷ thông qua giải phương trình vô tỷ tương ứng

Trong chương này trình bày cách giải phương tình tương ứng

và lập bảng xét dấu để kết luận nghiệm trên cơ sở tính liên tụccủa hàm sơ cấp

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn trực tiếp củaPGS.TS Nguyễn Đình Sang Em xin được bày tỏ lòng biết ơnchân thành và sâu sắc đối với người Thầy của mình, người đãnhiệt tình hướng dẫn, chỉ bảo em trong suốt quá trình làm luậnvăn Em cũng xin chân thành cảm ơn quý thầy cô trong Bangiám hiệu, Phòng đào tạo Đại học và sau Đại học Trường Đạihọc Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, cùng quýthầy cô tham gia giảng dạy khóa học đã tạo mọi điều kiện, giúp

đỡ em trong suốt quá trình học tập để em hoàn thành khóa học

và hoàn thành bản luận văn này

Trong quá trình làm, đề tài không tránh khỏi những thiếusót Kính mong quý thầy cô và các bạn góp ý xây dựng

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà nội, ngày 12 tháng 9 năm 2015

Học viên

Nguyễn Thị Kim Thảo

Ta có:

f0(x) = 3x2 + 2ax + b

Nếu a2 − 3b ≤ 0 thì (1.1) có đúng một nghiệm

Nếu a2 > 3b thì (1.1) có 3 nghiệm khi fmaxfmin ≤ 0

Dùng khai triển Taylor tại x = α

f (x) = f (α) + f

0(α)1! (x − α) +

f00(α)2! (x − α)

2 + (x − α)3 (1.2)

Nếu f (α) = 0 thì f (x) = 0 ⇔

" x = α(x − α)2 + f

3 , t3 = 2

3

√rcosϕ + 4π

Hàm số này nhận (X = 0; Y = 0)là tâm đối xứng nên F (−X) + F (X) =

Nhận thấy mọi phương trình bậc ba có dạng:

a1x3 + b1x2 + c1x + d = 0, a 6= 0

đều đưa được về dạng:

x3 + ax2 + bx + c = 0 (1.4)Cách 1: Nhẩm nghiệm rồi phân tích đa thức:

Nếu x = α là một nghiệm của phương trình f (x) = 0 thì ta luôn có sựphân tích f (x) = (x − α)g(x)

• Nếu p = 0 thì phương trình (1.5) có nghiệm duy nhất x = √3

- Nếu m = 1 thì phương trình (1.6) có nghiệm đơn t = 1 và nghiệmkép t = −1

2

- Nếu m = −1 thì phương trình (1.6) có nghiệm đơn t = −1 vànghiệm kép t = 1

- Nếu |m| > 1, đặt m = 1

2(d

3 + 1

d3)(∗), với d được xác định lànghiệm của phương trình (∗), tức là d3 = m +√

m2 − 1 (hoặc d3 =

m −√

m2 − 1)Khi đó phương trình có nghiệm duy nhất:

Hướng giải quyết là đưa về phương trình tích

Cách 1: Nhẩm nghiệm rồi phân tích đa thức:

Nếu x = α là một nghiệm của phương trình f (x) = 0 thì ta luôn có sựphân tích f (x) = (x − α)g(x)

Để dự đoán nghiệm ta dựa vào các chú ý sau:

• Nếu đa thức f (x) = x4 + bx3 + cx2 + dx + e có nghiệm thì nghiệm

đó phải là ước của e, với điều kiện b, c, d, e ∈ Z

Cách 2: Đưa phương trình (1.7) về phương trình đặc biệt:

Một số dạng đặc biệt của phương trình (1.7):

Xét khai triển Taylor tại x = x0 của đa thức f (x):

1.4.1 Tính đơn điệu của hàm số

Cho hàm số y = f (x) liên tục và có đạo hàm trên (a; b) và f0(x) = 0

chỉ với một số hữu hạn điểm Khi đó:

• f là hàm số tăng trên (a; b) ⇔ f0(x) ≥ 0, ∀x ∈ (a; b)

• f là hàm số giảm trên (a; b) ⇔ f0(x) ≤ 0, ∀x ∈ (a; b)

Định lí 1.3 Giả thiếtf (x)là một hàm liên tục và đồng biến (hoặc nghịchbiến) trên [a; b]

Khi đó:

1) Phương trình f (x) = 0 có nhiều nhất là một nghiệm trên [a; b]

2) Phương trình f (x) = f (y) tương đương với phương trình x = y nếu

x; y đều thuộc [a; b]

Định lí 1.4 Giả thiết f (x) là hàm liên tục và đơn điệu tăng trên [a; b],

g(x) là hàm liên tục và đơn điệu giảm trên [a; b] Khi đó, phương trình

f (x) = g(x) có nhiều nhất là một nghiệm trên [a; b]

Nhận xét 1.1 Các định lý trên đây còn có thể xem là hệ quả của định

lý sau đây khi f (x), g(x) là những hàm sơ cấp

Định lí 1.5 Giả thiết f (x) là hàm khả vi trên (a; b) và x1; x2 là hainghiệm phân biệt của phương trình f (x) = 0 (x1 < x2) Khi đó, phươngtrình f0(x) = 0 có ít nhất một nghiệm c ∈ (x1; x2)

Hệ quả 1.1 Nếu f (x) khả vi và đồng biến (hoặc nghịch biến) trên (a; b).Khi đó, phương trình f (x) = 0 có nhiều nhất một nghiệm.

Hệ quả 1.2 Nếu f (x) khả vi và f (x) = 0 có n nghiệm thì phương trình

f0(x) = 0 có ít nhất n − 1 nghiệm

Hệ quả 1.3 Nếu f (x) là hàm khả vi và f0(x) = 0 có nghiệm duy nhấtthì phương trình f (x) = 0 có nhiều nhất là hai nghiệm

1.4.2 Định lý Rolle

Giả sử hàm f : [a; b] → R thỏa mãn:

• f liên tục trên [a; b]

• f khả vi trong khoảng (a; b)

• f (a) = f (b)

Khi đó tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a; b) sao cho f0(c) = 0

Hệ quả 1.4 Cho hàm sốy = f (x) có đạo hàm đến cấp nvà phương trình

f(k)(x) = 0 có m nghiệm phân biệt trong khoảng (a; b) Khi đó, phươngtrình f(k−1)(x) = 0 có nghiệm nhiều nhất là (m + 1) nghiệm trong [a; b]

1.4.3 Định lý Lagrange và áp dụng

Định lí 1.6 (Định lý Lagrange) Giả thiết hàm số y = f (x) xác định trên

[a; b] thỏa mãn:

i) Liên tục trên [a; b]

ii) Khả vi trên (a; b)

Khi đó, tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a; b) sao cho:

f (b) − f (a) = f0(c)(b − a)

Hệ quả 1.5 Nếuf0(x) 6= 0, ∀x ∈ (a; b), vớif (x)thỏa mãn giả thiết định

lý Lagrange thì phương trình f (x ) = f (x ) ⇔ x = x , ∀x , x ∈ (a; b)

Hệ quả 1.6 Nếu hàm sốy = f (x)thỏa mãn các giả thiết định lý Lagrange

và f (x) ∈ (a; b) f0(x) 6= −1, ∀x ∈ (a; b)thì phương trình f [f (x)] = x ⇔

Định lí 1.7 (Định lý Cauchy) Giả sử f (x) và g(x) là hai hàm số cùngxác định trên [a; b] có tính chất:

1) f và g là hai hàm liên tục trên [a; b]

là dãy tăng thực sự (hoặc giảm thực sự) chẳng hạn a < x1 < x2 < <

xn < b Khi đó, theo định lý Cauchy tồn tại c ∈ (x1; x2) sao cho:

A = f

0(c)

g0(c) =

f (x2) − f (x1)g(x2) − g(x1) =

Định lí 1.9 Giả sử f và g là hai hàm liên tục trên [a; b] và khả vi trên

(a; b), f là hàm đơn điệu tăng thực sự, g là hàm đơn điệu giảm thực sựtrên (a; b) Khi đó, hệ phương trình

- Một hàm số liên tục trên một [a; b] ⊂ R thì đạt GTLN, GTNN trên

đoạn đó Ký hiệu, max

max {f (a), f (b)} và min

[a;b] f = min {f (a), f (b)}

- Điểm dừng: Các điểm thuộc tập xác định của hàm f (x) mà tại đó đạohàm của nó bằng không hoặc không tồn tại được gọi là điểm dừng (điểmtới hạn) của hàm đã cho

- Giả sử f (x) là hàm số liên tục trên [a; b] ⊂ R và chỉ khi có một số

hữu hạn điểm tới hạn x1, x2, , xn Khi đó,

max

[a;b] f = max {f (a), f (x1), f (x2), , f (xn), f (b)}

[a;b] f = min {f (a), f (x1), f (x2), , f (xn), f (b)}

Chú ý: Ta có thể thay[a; b]là tập xác định của hàm f (x)bằng tậpD ⊂ R

và dẫn đến khái niệm max

D f và min

D f.Định lí 1.10 Giả sử y = f (x) là hàm liên tục trên [a; b] ⊂ R Khi đó,

1) Phương trình f (x) = c có nghiệm thuộc [a; b] khi và chỉ khi

Với phương pháp này ta có một số chú ý sau:

• Nhận xét xem nếu dùng phương pháp nâng lũy thừa hai vế thì ta nênlũy thừa hai vế, chuyển vế sau đó nâng lũy thừa hay làm như thế nào(một số dạng thường gặp sẽ trình bày cụ thể sau)

• Nếu dùng phương pháp biến đổi hệ quả thì phương trình thu được cóthể xuất hiện nghiệm ngoại lai, cần phải kiểm tra lại

• Sử dụng một số phép biến đổi khác trước khi nâng lũy thừa cũng nhưphép biến đổi thêm bớt để nhân liên hợp

• Chú ý đến nhẩm nghiệm của phương trình

2.1.1 Nâng lũy thừa bậc chẵn hai vế của phương trình

a) Đặt vấn đề và hướng giải quyết

Để giải một số phương trình vô tỷ có chứa căn bậc chẵn, ta có thể nânglũy thừa bậc chẵn cả hai vế của phương trình Tuy nhiên cần chú ý đếnđiều kiện của phép biến đổi là tương đương

Một số dạng cơ bản:

x = 1 +

√52

Vậy phương trình có nghiệm x = 1 +

√5

2x + 2 = √

4x −√

x + 3

Sau đó bình phương hai vế để nhận được phương trình hệ quả:

√6x2 + 8x + 2 =√

4x2 + 12x

Từ đây ta được nghiệm x = 1

Thử lại x = 1 thỏa mãn nên x = 1 là nghiệm phương trình

Nhận xét 2.1 Xét phương trình dạng cơ bảnpf (x)+pg(x) = ph(x)+

p

k(x)

Thông thường khi gặp phương trình dạng trên ta thường bình phương hai

vế, điều đó đôi khi lại gặp khó khăn như phân tích ở bài trên Từ đó, ta

có một số nhận xét sau:

i) Nếu f (x) + g(x) = h(x) + k(x) hoặc f (x)g(x) = h(x)k(x) thì bìnhphương hai vế phương trình ta được phương trình hệ quả

ii) Nếu f (x) + h(x) = g(x) + k(x) hoặc f (x)h(x) = g(x)k(x) thì ta biếnđổi phương trình về dạng:

Sau đó nhân liên hợp

iv) Nếu f (x) − g(x) = α[h(x) − k(x)] hoặc f (x) − g(x) = 0 và h(x) −k(x) = 0 có nghiệm chung thì ta giải tương tự như iii)

Bài 3 Giải phương trình:

√4x + 5 +√

3x + 1 = √

2x + 7 +√

x + 3

Phép nhân liên hợp sẽ được nói kỹ ở phần sau.

Bài 4 Giải phương trình:

2.1.2 Lập phương hai vế của phương trình

a) Đặt vấn đề và hướng giải quyết

Với phương trình dạng:

3q

Bài 2 Giải các phương trình sau:

Còn đối với phương trình f (x) = 0 có thể vô nghiệm hoặc giải được, cầnchú ý điều kiện của nghiệm của phương trình để ta có thể giải nhanhphương trình f (x) = 0.

• Nếu dùng phương pháp biến đổi tương đương, đặt ẩn phụ thì sẽ gặpkhó khăn

• Nhẩm nghiệm: Nhẩmx để cho 10 − 2x là số chính phương và9x − 37

là lập phương của một số và thỏa mãn phương trình Ta đượcx = −3

là một nghiệm

• Từ đó, bằng cách thêm bớt đại lượng thích hợp để sau khi nhân liênhợp sẽ đưa phương trình về dạng (x + 3)f (x) = 0

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 5

Vậy phương trình có hai nghiệm là: x = −3 và x = 5

Bài 2 Giải phương trình:

√2x2 + x + 1 +px2 − x + 1 = 3x (1)Hướng giải:

• Ta nhận thấy x = 1 là nghiệm của phương trình Như vậy, phươngtrình (1) có thể phân tích thành (x − 1)f (x) = 0

• Từ phương trình (1) ta suy ra x > 0

Giải:

Phương trình (1) có nghiệm khi x > 0

Khi đó:

(1) ⇔

√2x2 + x + 1 − 2x

−x + 1

√

x2 − x + 1 + x = 0

⇔ √(x − 1)(−2x − 1)2x2 + x + 1 + 2x +

√2x2 + x + 1 + 2x +

1

√

x2 − x + 1 + x > 0 nên phương trình

(2) vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là: x = 1

Bài 3 Giải phương trình:

√3x + 1 −√

1

1 +√

6 − x + 3x + 1 > 0 nên

phương trình (2) vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là: x = 5

Bài 4 Giải phương trình:

• Từ phương trình đã cho ta có đánh giá:

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là: x = 1.

Bài 5 Giải phương trình:

2x2 − 11x + 21 − 3√3

(Đề thi Olympic 30/4 - 2007)Hướng giải:

• Nhận thấy x = 3 là nghiệm của phương trình (1)

4x − 4 + 4

⇔ (x − 3)(2x − 5) = 12(x − 3)

3

√4x − 4 + 1
2 + 3

< 1 Suy ra, phươngtrình (2) vô nghiệm

• Với 1 < x < 3 ta có: 2x − 5 < 1, 12

3

√4x − 4 + 1
2 + 3

> 1 Suy ra,phương trình (2) vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là: x = 3.

Bài 6 Giải phương trình:

Do đó, phương trình (2) vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 0 và x = 1

ii) Nếu f (x) − g(x) có nhân tử chung với h(x) thì làm tương tự i)

2 Với phương trình pf (x) −pg(x) = h(x) thì cách giải tương tự

Bài 8 Giải phương trình:

√2x2 + x + 9 +p2x2 − x − 1 = x + 4 (1)Hướng giải:

2x2 − x − 1 = x + 4

√2x2 + x + 9 −√

Thử lại đều thỏa mãn

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x = 0 và x = 8

7.

Bài 9 Giải phương trình:

p

3x2 − 7x + 3 −px2 − 2 = p3x2 − 5x − 1 − px2 − 3x + 4 (1)Hướng giải:

Nhận thấy:

(3x2 − 7x + 3) − (3x2 − 5x − 1) = −2(x − 2)(x2 − 2) − (x2 − 3x + 4) = 3(x − 2)

nên ta có thể trục căn thức hai vế của phương trình

Giải:

Chuyển vế và trục căn thức phương trình (1) ta được:

Dễ dàng thấy được phương trình (2) vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là: x = 2

2.1.4 Biến đổi đưa về phương trình tích

a) Đặt vấn đề và hướng giải quyết

Mục đích là biến đổi phương trình về dạng a.b.c = 0

3x − 2

i

= 0

⇔ x = 2

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: x = 2

Bài 2 Giải phương trình:

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 0 và x = −1.

Bài 3 Giải phương trình:

4x√

x + 7 + 3x√

7x − 3 = 6x2 + 2p7x2 + 46x − 21 (1)Giải:

Nhận xét 2.6 Khi sử dụng hằng đẳng thức biến đổi phương trình vềdạng Ak = Bk, tùy từng trường hợp của k để biến đổi:

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 1

Bài 5 Giải phương trình:

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 1 và x = 4.

Bài 6 Giải phương trình:

Với phương pháp đặt ẩn phụ ta có một số chú ý sau:

• Phương trình thu được có thể là phương trình bậc cao

• Phương trình thu được có thể còn chứa biến cũ, lúc đó ta tìm mốiquan hệ giữa biến cũ và biến mới để tìm nghiệm.

• Phép đặt ẩn phụ có thể thu được kết quả quen thuộc là một hệ đốixứng, hệ gần đối xứng hay một phương trình đẳng cấp, Dưới đây

là một số dạng thường gặp

2.2.1 Đặt ẩn phụ cơ bản

a) Đặt vấn đề và hướng giải quyết

Đối với nhiều phương trình vô tỷ, để giải chúng ta có thể đặt t = f (x) vàchú ý đến điều kiện của t Nếu phương trình ban đầu trở thành phươngtrình chứa một biến t, quan trọng hơn ta có thể giải được phương trình

đó theo t thì việc đặt ẩn phụ xem như "hoàn toàn" Với cách đặt này tathường gặp một số dạng:

i) Phương trình có dạng: af (x) + bpn

f (x) + c = 0 Đặt t = pn

f (x), tùytừng trường hợp của n mà đặt điều kiện cho t

• Nếu f (x)g(x) < 0 thì phương trình vô nghiệm.

vì vậy để giải quyết bài toán đôi khi ta cần phải chia để làm xuất hiện ẩnphụ Ta xét bài toán sau:

Bài 3 Giải phương trình:

(x − 2)px2 − x + 4 = 2x