LY THUYET CO BAN TOAN 9 ON THI VAO THPT

Tiếp tuyến của một đường tròn  Định lí 1 : Tính chất của tiếp tuyến Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm..  Định lí 2 : Dấu

CHƯƠNG I.

CĂN BẬC HAI – CĂN BẬC BA

1 Căn bậc hai

• x = a x 02

x = a

≥



⇔ 



• Với a > 0 ; b > 0 ta có: a < b ⇔ a < b

• Điều kiện xác định của A

A được xác định khi A ≥ 0

• Hằng đẳng thức A = A2

2 A ; khi A 0

A = A =

-A ; khi A < 0

≥







• Khai phương một tích

A.B = A B (với A ≥ 0 ; B ≥ 0)

• Nhân hai căn bậc hai

A B = A.B (với A ≥ 0 ; B ≥ 0)

• Khai phương một thương

A A

B = B (với A ≥ 0 ; B > 0)

• Chia hai căn bậc hai

A A

B

B = (với A ≥ 0 ; B > 0)

• Đưa thừa số ra ngoài dấu căn

A B2 = A B (với B ≥ 0)

• Đưa thừa số vào trong dấu căn

A B= A B2 (với A ≥ 0 ; B ≥ 0)

A B= − A B2 (với A < 0 ; B ≥ 0)

• Khử mẫu của biểu thức lấy căn

A AB2 AB

B = B = B (với AB ≥ 0 ; B ≠ 0)

• Trục căn thức ở mẫu

A A B

B

B = (với B > 0)

A - B

A B =

±

m (với A ≥ 0 ; B ≥ 0 ; A ≠ B)

2 Căn bậc ba

• x = a 3 ⇔ x = a3

• Mỗi số thực a đều có duy nhất một căn bậc ba

PHẦN ĐẠI

CHƯƠNG I I.

HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

1 Dạng tổng quát

ax + by = c

a'x + b'y = c'







(Trong đó: ax + by = c và a’x + b’y = c’ là các phương trình bậc nhất hai ẩn)

2 Hệ phương trình tương đương

 Hai hệ phương trình gọi là tương đương với nhau khi chúng có cùng một tập nghiệm

 Quy tắc cộng đại số: Trong một hệ hai phương trình, ta có thể thay thế một phương trình của

hệ bởi phương trình có được bằng cách cộng (hay trừ) từng vế hai phương trình của hệ

 Quy tắc thế: Trong một hệ hai phương trình, ta có thể từ một phương trình của hệ, biểu thị

một trong hai ẩn theo ẩn số kia rồi thế vào phương trình thứ hai

3 Giải hệ phương trình bằng phép biến đổi tương đương

 Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số (sử dụng quy tắc cộng đại số)

 Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế (sử dụng quy tắc thế)

4 Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

 Bước 1: Lập hệ phương trình

• Chọn các ẩn số, đặt điều kiện thích hợp cho các ẩn

• Biểu thị các mối tương quan giữa ẩn và các đại lượng đã biết để lập các phương trình của hệ

 Bước 2: Giải hệ phương trình.

 Bước 3: Chọn giá trị thích hợp, thử lại (nếu cần) và trả lời.

CHƯƠNG I I I.

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN SỐ

1 Phương trình bậc hai một ẩn

 Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng: ax2 + bx + c = 0 trong đó x là ẩn số;

a, b, c là các số cho trước gọi là các hệ số (a ≠ 0)

 Công thức nghiệm tổng quát của phương trình bậc hai

ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

∆ = b2 – 4ac

• ∆ > 0 : Phương trình có hai nghiệm phân biệt x = 1 -b + ; x = 2 -b -

• ∆ = 0 : Phương trình có nghiệm kép 1 2

b

x = x =

2a

• ∆ < 0 : Phương trình vô nghiệm

 Công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai

ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) ; b = 2b’

∆’ = b’2 – ac

• ∆’ > 0 : Phương trình có hai nghiệm phân biệt x = 1 -b' + ' ; x = 2 -b' - '

• ∆’ = 0 : Phương trình có nghiệm kép 1 2

b'

x = x =

a

− .

• ∆’ < 0 : Phương trình vô nghiệm

2 Hệ thức Vi-ét và ứng dụng

 Nếu x1, x2 là nghiệm của phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì: 1 2

1 2

b

x + x =

-a c

x x =

a











 Ứng dụng:

• Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 có a + b + c = 0 thì phương trình có hai nghệm:

c

x = 1 ; x =

a

• Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 có a – b + c = 0 thì phương trình có hai nghệm:

c

x = 1 ; x =

a

 Nếu hai số u và v có u + v = S

u v = P





 thì u và v là nghiệm của phương trình X

2 – SX + P = 0

(Điều kiện để có u, v là: S 2 – 4P ≥ 0).

3 Giải phương trình quy về phương trình bậc hai

• Tìm điều kiện xác định

• Quy đồng mẫu thức ở hai vế và khử mẫu

• Giải phương trình nhận được

• Chọn giá trị thích hợp và trả lời

• Đặt x2 = t, điều kiện t ≥ 0

• Giải phương trình at2 + bt + c = 0

• Với giá trị t thỏa mãn điều kiện, giải phương trình x2 = t

4 Giải bài toán bằng cách lập phương trình

 Bước 1: Lập hệ phương trình

• Chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn

• Tìm các mối liên hệ giữa các dữ liệu để lập phương trình

 Bước 2: Giải hệ phương trình.

 Bước 3: Chọn giá trị thích hợp, thử lại (nếu cần) và trả lời.

CHƯƠNG I V.

Đồ thị hàm số

1 Đồ thị hàm số

* Tập hợp các cặp giá trị tương ứng (x ; y) trên mặt phẳng tọa độ Oxy được gọi là đồ thị của hàm số y = f(x)

2 Đồ thị của hàm số y = ax (a ≠ 0)

* Đồ thị của hàm số y = ax là đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và điểm A(1 ; a)

Đồ thị y = ax (a > 0) Đồ thị y = ax (a < 0)

3 Đồ thị của hàm số y = ax + b (a ≠ 0)

 Đồ thị của hàm số y = ax + b (a ≠ 0) là một đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b và song song với đường thẳng y = ax (nếu b ≠ 0) và trùng với đường thẳng y = ax (nếu b = 0)

 Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b:

• Xác định hai điểm bất kỳ của đồ thị Hoặc:

• Xác định giao điểm của đồ thị với hai trục tọa độ

Đồ thị y = ax + b (a > 0) Đồ thị y = ax + b (a < 0)

4 Hệ số góc của đường thẳng – Đường thẳng song song và đường thẳng cắt nhau

 Đường thẳng (d): y = ax + b (a ≠ 0)

a: hệ số góc của đường thẳng (d)

b: tung độ gốc

 Cho hai đường thẳng (d1): y = ax + b (a ≠ 0)

(d2): y = a’x + b’ (a’ ≠ 0)

• (d1) // (d2) ⇔ a = a’ ; b ≠ b’

• (d1) ≡ (d2) ⇔ a = a’ ; b = b’

• (d1) cắt (d2) ⇔ a ≠ a’ (Nếu b = b’ thì hai (d 1 ) và (d 2 ) cắt nhau tại một điểm trên trục tung có tung độ bằng b).

5 Đồ thị của hàm số y = ax2 (a ≠ 0)

* Đồ thị của hàm số y = ax2 (a ≠ 0) là một đường cong parabol đi qua gốc tọa độ O, nhận trục tung làm trục đối xứng, O là đỉnh

• Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị

• Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị

x

y

a

1 O

x y

a

1 O

x

y

O

x

y

O

.

.

y y

x

O O

Đồ thị hàm số y = ax2 (a > 0) Đồ thị hàm số y = ax2 (a < 0)

CHƯƠNG I

HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

1 Hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông

•

2

2

AB = BH BC

AC = CH BC







• AH2 = BH CH

• AH BC = AB AC

• 1 2 = 12 + 12

AH AB AC

• ∆ABC vuông tại A ⇔ BC2 = AB2 + AC2 (Định lí Pitago thuận và đảo).

2 Tỉ số lượng giác của góc nhọn

 Tỉ số lượng giác của góc nhọn:

• sinα = AB = canh doi

BC canh huyen

• cosα = AC = canh ke

BC canh huyen

• tgα = AB = canh doi

AC canh ke

• cotgα = AC = canh ke

AB canh doi

 Với hai góc nhọn α, β nếu ta có: sinα = sinβ (hoặc cosα = cosβ ; tgα = tgβ ; cotgα = cotgβ) thì α = β

 Nếu α + β = 900 (α và β là hai góc nhọn phụ nhau) thì ta có:

sinα = cosβ ; cosα = sinβ

tgα = cotgβ ; cotgα = tgβ

x

PHẦN HÌNH

A

C

A

 Tỉ số lượng giác của một số góc đặc biệt:

Tỉ số

2

2 2

3 2

2

2 2

1 2

3

3 Giải tam giác vuông

* a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác vuông ABC Ta có:

b = a.sinB = a.cosC

c = a.sinC = a.cosB

b = c.tgB = c.cotgC

c = b.tgC = b.cotgB

CHƯƠNG I I

ĐƯỜNG TRÒN – GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN

1 Tiếp tuyến của một đường tròn

 Định lí 1 : (Tính chất của tiếp tuyến)

Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn thì nó

vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm

 Định lí 2 : (Dấu hiệu nhận biết tiếp t uyến)

Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và

vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là

tiếp tuyến của đường tròn

 Định lí 3 : (Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Nếu hai tiếp tuyến của đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:

• Điểm đó cách đều hai tiếp điểm

• Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc

tạo bởi hai tiếp tuyến

• Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc

tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm

2 Đường tròn ngoại tiếp – Đường tròn nội tiếp tam giác

• Là tròn đi qua 3 đỉnh của tam giác

• Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm

các đường trung trực của tam giác

A

.

O C

B

A

1 1

2 2

 Đường tròn nội tiếp tam giác:

• Là đường tròn tiếp xúc với 3 cạnh của tam giác

• Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm các đường

phân giác trong của tam giác

3 Liên hệ giữa đường kính, dây và cung

 Trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song

thì bằng nhau

 Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi

qua trung điểm của dây ấy

 Trong một đường tròn, đường kính đi qua điểm chính giữa

của một dây cung (không đi qua tâm) thì vuông góc với dây ấy

và chia cung căng dây ấy thành hai cung bằng nhau

 Trong một đường tròn, đường kính đi qua điểm chính giữa

của một cung thì vuông góc và đi qua trung điểm của dây căng

cung ấy

4 Các loại góc với đường tròn

a) Góc ở tâm

 Định nghĩa: Góc ở tâm là góc có đỉnh trùng với tâm của đường tròn

 Tính chất:

• sđ » AB = AOB ·

• sđ ¼ AmB = 360 - sđ »AB 0

b) Góc nội tiếp

 Định nghĩa: Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai

cạnh chứa hai dây cung của đường tròn

 Tính chất: Số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn

BAC =

2 sđ »BC

 Hệ quả:

• Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau

• Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc các cung bằng nhau thì bằng nhau

• Góc nội tiếp có số đo nhỏ hơn hoặc bằng 900 có số đo bằng nửa số đo góc ở tâm cùng chắn một cung

• Mọi góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông và ngược lại, góc vuông nội tiếp thì chắn nửa đường tròn

c) Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung

 Số đo góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo

của cung bị chắn

·xAB = 1

2 sđ »AB

d) Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn

 Số đo góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng

nửa tổng số đo của hai cung bị chắn

.

O

m

.

O

A

x

B

·BEC = sdAB + sdCD» »

2

e) Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn

 Số đo góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo của hai cung bị chắn

· sdBC - sdAD» »

BEC =

2 ·BEC = sdBC - sdAC» »

2 ·BEC = sdAmC - sdAnC¼ ¼

2

5 Tứ giác nội tiếp

 Định nghĩa: Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn gọi

là tứ giác nội tiếp đường tròn

 Tính chất: Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện

bằng 1800

 Dấu hiệu nhận biết một tứ giác nội tiếp:

• Tứ giác có tổng hai góc đối nhau bằng 1800

• Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong ở đỉnh đối diện

• Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm (mà ta có thể xác định được) Điểm đó là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó

• Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc α

• Tứ giác có tổng các góc đối đôi một bằng nhau

6 Độ dài đường tròn – Độ dài cung tròn

 Độ dài đường tròn:

R: bán kính đường tròn

π≈ 3,14

 Độ dài cung tròn:

R: bán kính đường tròn

n0: số đo độ của cung

π≈ 3,14

7 Diện tích hình tròn – Diện tích hình quạt tròn

 Diện tích hình tròn:

R: bán kính hình tròn

π≈ 3,14

 Diện tích hình quạt tròn:

hay

R: bán kính hình tròn

n0: số đo độ của cung hình quạt

C = 2πR

»

l

0

0 AB

πRn

= 180

lR

S = 2

S = πR 2

2 0

0

πR n

S = 360

l: là độ dài cung.

π≈ 3,14

CHƯƠNG I I I.

Hình học không gian

1 Hình trụ

C: chu vi đáy

h: chiều cao

R: bán kính đáy

π≈ 3,14

 Diện tích toàn phần:

Sđ: diện tích đáy

 Thể tích:

2 Hình nón

R: bán kính đáy

l: độ dài đường sinh.

π≈ 3,14

 Diện tích toàn phần:

 Thể tích:

3 Hình cầu

 Diện tích mặt cầu:

R: bán kính mặt cầu

π≈ 3,14

 Thể tích hình cầu:

.

r

h

l

h

S xq = C.h = 2πRh

S tp = S xq + 2.S đ = 2πRh + 2πR 2

V = S đ h = πR 2 h

S xq = πRl

S tp = S xq + S đ = πRl + πR 2

V = 1

3V trụ = 1

3πR 2 h

S = 4πR 2

V = 4

3πR 3