Câu hỏi Phụ - Tìm Max - Min

Nguồn tài liệu : http://violet.vn/thpt-vinhchan-phutho

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

*Để tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên [ ]a;b ta thực hiện theo các bước:

• Tính f’(x) , giải phương trình f’(x) = 0 để tìm tất cả các nghiệm x1, x2… xn trong [ ]a;b (chú ý ta phải tìm tất cả các giá trị của x mà tại đĩ đạo hàm khơng tồn tại)

• Tính và so sánh f(a); f(x1) … f(xn) (hoặc dùng bảng biến thiên và dựa vào bảng biến thiên để kết luận về max và min)

Kết luận : Vậy GTLN M={f(a); f( )x1 ; f( ) ( )x n ; f b }

GTNN m={f(a); f( )x1 ; f( ) ( )x n ; f b}

* Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên miền D≠[ ]a;b ta thực hiện

• Tính f’(x), giải phương trình f’(x) = 0 để tìm tất cả các nghiệm x1, x2… xn trong D

• Lập bảng biến thiên của hàm số y = f(x)

• Từ bảng biến thiên ⇒ kết luận.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số y x= 3−3x2−9x 1+ trên [−2;4]

Maxy = 6 tại x = -1

Miny = -26 tại x = 3

Ví dụ2: Tìm giá trị lớùn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = f(x) = x2−2x+3 trên [0;3]

Kq: Min[0;3] f(x)=f(1)=2 và Max[0;3] f(x)=f(3)=6

Ví dụ 3: Tìm giá trị lớùn nhất của hàm số y = f(x) =

1

4 4 2

−

+

−

x

x x

với x<1

Kết quả : Max(−∞;1) f(x) = f(0) = −4

Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y =

1 2 4

2

+ +x x

x Kết quả : Max R y = f(±1) =

3 1

Ví dụ 5: Tìm GTNN y = x – 5 + 1x với x > 0 Kết quả: (Min0 ; +∞ )y=f(1)= −3

Ví dụ 6: Tìm GTLN, GTNN y = x – 5 + 4 − x 2

Kết quả: ( 2 ) 2 2 5

] 2

; 2

Min

Ví dụ 7: Cho 2 số dương x; y thỏa mãn x + y = 5

4 Tìm GTNN của biểu thức S 4 1

x 4y

Ví dụ 8 : Cho x, y ≥ 0, x+y=1 T×m Max, Min cđa biểu thức S = y x+1+x+y1

Ví dụ 9 : T×m Max,Min cđa 2 2

2 2

4

) 4 (

y x

y x x S

−

−

−

= víi x2 + y2 > 0

Ví dụ 10 : Cho x,y > 0 , x+y=1 T×m Min cđa S x x y y

−

+

−

=

1 1

Ví dụ 11: Tìm gá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số : y=x+ 4 −x2

Vậy

max

2

; 2

=

−

min

2

; 2

−

=

−

y

Ví dụ 12: Tìm GTLN, GTNN của hàm số 6 ( 2)3

1

x

y= + − trên đoạn [−1;1]

Lời giải Đặt t = x2 với x∈ −[ 1;1]⇒ ∈t [ ]0;1

Vậy Max y = 4 đạt được tại x = 0 Min y = 4

9 đạt được tại x = 2

3

Chú ý : trong một số bài tốn để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số ta sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để đơn giản bài tốn Khi sử dụng phương pháp này cần lưu ý :

• Đặt ẩn phụ t , tìm điều kiện của ẩn phụ với tương ứng x∈D⇒t∈I

•Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của hàm số đối với biến t trên tập I

Ví dụ 12: Tìm GTLN ,GTNN của biểu thức:

2

A

x

=

+ Vậy maxA = 2 , minA=1

Ví dụ 13 :Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số y = 3 sinx – 4 cosx.

α

α

1 cos 2

cos 2 cos 2

2

∈ +

−

+

−

=

x x

x x

Ví dụ 15 : Tìm giá trị LN và giá trị NN của hàm số y=2sinx− sin 3 x

3

4

trên đoạn [0;π]

Kết quả: Max[0 ]

π f(x)=f(π /4)= f(3π /4)=232 ; Min[0 ]

π f(x)=f(0)=f(π )=0

Ví dụ 16 : Cho ab ≠0 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

a

b b

a a

b b

a a

b b

a







 +

− +

= 44 44 22 2

Hướng dẫn : Đặt

a

b b

a

t = + , do

a

b b

a

; cùng dấu nên 2

2

≥ +

= +

ba

ab a

b b

a a

b

b

a

2

2

2

2

−

=

a

b b

a

2

4 2 4 4

4

4

4

+

−

=

a

b b

a

nên

( 2) 5 4 2

4 − + − − + ⇔ = − + +

F

Chú ý : trong một số bài tốn khi tính đạo hàm mà khơng giải được nghiệm hoặc khơng nhận xét được dấu của đạo hàm thì cách thơng thường nhất là ta tiếp tục tính đạo hàm cấp 2, cấp 3 đến khi nào tìm được nghiệm hoặc nhận xét được dấu thì dừng và thực hiện ngược lại như bài tốn trên

Ví dụ 17: Tìm giá trị lớn nhất ,nhỏ nhất của hàm số : y = sin 5 x+ 3 cosx

Hướng dẫn : Vì sin 5 x ≤ sin 4 x nên y= sin 5 x+ 3 cosx≤ sin 4 x+ 3 cosx

Ta tìm GTLN của hàm số y = sin 4 x+ 3 cosx

TLN là 3 đạt được khi cos 1 2 π

1 cos

sin

sin 5 4

k x

x x

x x

=⇔

=

⇔







=

=

Tương tự ta cĩ Vì sin 5x ≥ − sin 4x nên y = sin 5x+ 3 cosx≥ − sin 4 x+ 3 cosx

Ta tìm GTNN của hàm số y = − sin 4 x+ 3 cosx

GTNN là − 3 đạt được khi cos 1 π 2 π

1 cos

sin

sin 5 4

k x

x x

x x

+=

⇔−

=

⇔







−=

−=

Chú ý : trong một số bài tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số ta cần nhận xét đánh giá để

chuyển về một hàm trung gian rồi đi tìm GTLN ,GTNN của hàm trung gian đĩ Mà mục đích là để sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để đơn giản bài tốn

Ví dụ 18: Tìm a để GTNN của hàm số y 4x= 2−4ax a+ −2 2a trên [−2;0] bằng 2.

Nguồn tài liệu : http://violet.vn/thpt-vinhchan-phutho

KL: Vậy a = -1 hoặc a= +1 3 thì GTNN của hàm số bằng 2

Bài tập tự giải

Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất (nếu cĩ) của các hàm số sau :

1 y= x 2− + 4 x− 2 y=2x3+3x2−1 trên đoạn −2;1

1

Kết quả: ;1] (1) 4

2

1 [

=

=

Max

; ;1] (0) 1 2

1 [

−

=

=

Min

3 y=f(x)=x2−2x+3 Kq:MinR f(x) = f(1) = 2.

4 y = x4-2x2+3 Kết quả: Min y=f( R ±1)=2; Không có Max yR

5 y = x4+4x2+5 Kết quả: Min y=f(0)=5; Không có R Max yR

6

2 cos

1 sin 2

2

+

−

=

x

x

y Kết quả: Min y= R −37; Max y=1 R

7

1

3 3 2

2

+ +

+ +

=

x x

x x

y Kết quả: Min y= R 31 ; Max y=3 R

8 y sin x 3sin 2x= +

9 (ĐHCSND) y 5cos x cos5x= − trên đoạn ;

4 4

π π

10 (ĐHKTQD - 97) y= x3+3x2−72x 90+ trên đoạn [−5;5]

Bài 2: Tìm GTNN của

1 (HVNH – 98) y 1 1

sinx cos x

2

x  π

∈ ÷

2 (HVCNBCVT – 99) f (x) 2sin x 4sin xcosx+ 5= 2 +

Bài 3: Tìm GTLN , GTNN của các hàm số sau:

1 (ĐHGT – 98) y sin 2x2 cos 4x2 1

+ + 2 (ĐHSPI –2001):

2 2

3cos4x 4sin x y

3sin x 3cos4x

+

=

+

3 (HVQHQT – 2001) y= x 1− + 9 x− với 3≤ ≤x 6

4 (ĐHNT –2001) P= 1 xx + 1 yy

− − với x>0; y>0 và x +y = 1

5

x x

x x

6 6

cos sin

1

cos sin

1

+ +

+ +

= 6

x x

x x

2 4

cos 2 sin 3

sin 4 cos 3

+

+

=

7 y = sinx( 1 + cosx) 8 y= sinx+ 3 sin 2x

9

x x

y

cos 4

1 sin

4

1

−

+ +

tgx

tgx a

x

x

−

+ +

−

−

+

=

1

1 ) 1 ( 2 sin 1

2 sin 1









∈

4

;

0 π

x

sin cos

sin cos cos

.

+

+

=

B i 5: à Cho

2

0≤x≤π

vµ 2 ≤ m , n∈Z T×m Max,Min cđa y= sinm x cosn x

B i 6: à

a Cho 1 ≤ a T×m Min cđa y= a+ cosx+ a+ sinx

b T×m Max,Min cđa y= 1 + 2 cosx+ 1 + 2 sinx

Bài 7: (ĐHAN Khối A – 97) Tỡm tập giỏ trị của hàm số sau: y= x2+2x+ −4 x2−2x+4

Bài 8: gọi x1; x2 là cỏc nghiệm của phương trỡnh: 2x2+2(m 1)x m+ + 2+4m 3 0+ =

Tỡm GTLN của A= x x1 2−2(x1+x2)

Bài 9: Cho hàm số y x= 4+6bx2+b2 Tỡm giỏ trị lớn nhất của hàm số trờn đoạn [−2;1]

65) Cho haứm soỏ

2

1 3

2+ +

+

=

x x

x

7

−

55) Muoỏn xaõy hoà nửụực coự theồ tớch V = 36 m3, coự daùng hỡnh hoọp chửừ nhaọt (khoõng naộp) maứ caực kớch thửụực cuỷa ủaựy tổ leọ 1:2 Hoỷi: Caực kớch thửụực cuỷa hoà nhử theỏ naứo ủeồ khi xaõy ớt toỏn vaọt lieọu nhaỏt?

Keỏt quaỷ : Caực kớch thửụực caàn tỡm cuỷa hoà nửụực laứ: a=3 m; b=6 m vaứ c=2 m

57) ẹũnh m ủeồ haứm soỏ y = f(x) = x3 −3(m+1)x2+3(m+1)x+1 nghũch bieỏn treõn khoaỷng( −1;0)

Keỏt quaỷ : m ≤ −34

58) Tỡm treõn (C): y =

2

3 2

−

−

x

x ủieồm M sao cho toồng caực khoaỷng caựch tửứ M ủeỏn hai truùc toùa ủoọ laứ nhoỷ nhaỏt Keỏt quaỷ :M(0;23 )

BT10

Giả sử 12 2 −6 + 2 −4+ 122 =0

m m

mx

2

3

1 x x

S= +

BT15 (ĐH Th ơng mại 2000)

Tìm Max,Min của y= sin 6 x+ cos 6 x+a sinx cosx

BT16 (HVQY 2000)

Tìm Max,Min của y= sin 4 x+ cos 4 x+ sinx cosx+ 1

BT17 (ĐH Cảnh Sát 2000)

Tìm Max,Min của y = 5 cosx− cos 5x Với ∈−4 ;4 

π π

x

BT18 (ĐHQG TPHCM 1999)

Cho f(x) = cos 2 2x+ 2 (sinx+ cosx) 3 − 3 sin 2x+m

Tìm Max,Min của f(x) Từ đó tìm m để f(x)2 ≤ 36 ∀x

2)- Sử dụng GTLN, GTNN của hàm số trong ph ơng trình, bpt ,hpt, hbpt

BT1

GPT:

16

1 ) 1 ( 5

5 + −x =

x

BT2(ĐH Thuỷ Sản 1998)

Tìm m để phơng trình sau có nghiệm 2 −x+ 2 +x− ( 2 −x)( 2 +x) =m

BT3(ĐH Y TPHCM 1997) Tìm m để phơng trình sau có nghiệm

a) x+ 9 −x = −x2 + 9x+m

b) 3 +x+ 6 −x− ( 3 +x)( 6 −x) =m

BT4 Tìm m để bất phơng trình sau có nghiệm

m.x− x− 3 ≤m+ 1

BT5(ĐHQG TPHCM 1997)

Tìm m để (x2 + 1 ) 2 +m≤x x2 + 2 + 4 đúng với mọi x thuộc [0;1]

Nguồn tài liệu : http://violet.vn/thpt-vinhchan-phutho

Tìm m để ( 1 + 2x).( 3 −x) ≥m+ ( 2x2 − 5x− 3 ) đúng ∀ ∈−2 ;3

1

x

BT8

Tìm m để phơng trình sau có 4 nghiệm phân biệt (x2 − 2x+ 2 ) 3 − 4 x2 − 2x+ 2 = 2x2 − 4x+m

BT9

Tìm a dể BPT sau đúng với mọi x thuộc R 3 cos 4x− 5 cos 3x− 36 sin 2 x− 15 cosx+ 36 + 24a− 12a2 > 0

BT10

a) Tìm m để ( 4 +x)( 6 −x) ≤x2 − 2x+m đúng với mọi x thuộc [-4;6]

b)Tìm m để − 4 ( 4 −x)( 2 +x) ≤x2 − 2x+m− 18 đúng với mọi x thuộc [-2;4]

BT11(ĐHQG TPHCM 1998)

Tìm a để phơng trình có nghiệm duy nhất x ax

x

x

+

−

=

−

1 2

1

3 2

BT12 (ĐH QGTPHCM 1997-1998)

a) Tìm m dể phơng trình sau có nghiệm 4 (sin 4x+ cos 4 x) − 4 (sin 6x+ cos 6 x) − sin 2 4x=m

b) Tìm m dể phơng trình sau có nghiệm cos 4x+ 6 sinx cosx=m

c) Tìm m dể phơng trình sau có nghiệm sin 4 x+ cos 4 x=m2 cos 2 4x

BT13 (ĐH Cần Thơ 1997)

Tìm m dể phơng trình sau có nghiệm 3 cos 6 2x+ sin 4 x+ cos 4x−m= 2 cos 2 x 1 + 3 cos 2 2x

BT14(ĐHGT 1999)

a)Tìm m để m cos 2x− 4 sinx cosx+m− 2 = 0 Có nghiệm 











∈

4

;

0 π

x

b)Tìm m để sinx.cos2x.sin3x =m Có đúng 2 nghiệm ∈4;2 

π π

x

BT15

Tìm m để phơng trình sau có nghiệm

6 9 6 9

.

BT16

Tìm a để bất phơng trình sau đúng với mọi x thuộc R a 9x + 4 (a− 1 ) 3x +a > 1

BT17

Tìm a để bất phơng trình sau có nghiệm log ( 2 1) log2( )

2 x + < a x+a

BT18

Tìm a để hệ bất phơng trình sau có nghiệm









<

+ +

<

−

+

0 1 3

0 1 2 3

2

2

mx x

x x

3)- Sử dụng GTLN, GTNN chứng minh bất đẳng thức BT1

CMR − 2 ≤x+ 12 − 3x2 ≤ 1 Với mọi x thuộc TXĐ

BT2

a)Tìm m để m x2 + 8 =x+ 2 có 2 nghiệm phân biệt

b)Cho a + b + c = 12 CMR a2 + 8 + b2 + 8 + c2 + 8 ≥ 6 6

BT3

3

2 4 sin 4

1 3 sin 3

1 2 sin 2

1 sinx+ x+ x+ x≥ víi ∈ 5 

3

; 5

π π

x

BT4

CMR 17 ≤ cos 2a+ 4 cosa+ 6 + cos 2a− 2 cosa+ 3 ≤ 2 + 11

BT5

3

2 2

sin

x x

x

−











∈

2

;

0 π

x

BT6

CMR 2 (x3 +y3 +z3 ) − (x2y+y2z+z2x) ≤ 3 víi ∀x,y,z∈[ ]0 , 1

BT7

C A

A gC

gB

1 sin

1 sin

1 2 3 3 cot

cot cot